Sabemos o que é um cone, vamos tentar descobrir a sua área de superfície. Por que você precisa resolver esse problema? Por exemplo, você precisa entender quanta massa será necessária para fazer um cone de waffle? Ou quantos tijolos são necessários para empilhar telhado de tijolo castelo?
Medir a área da superfície lateral de um cone simplesmente não pode ser feito. Mas vamos imaginar o mesmo chifre envolto em tecido. Para saber a área de um pedaço de tecido, é preciso cortá-lo e colocá-lo sobre a mesa. Vai dar certo figura plana, podemos encontrar sua área.
Arroz. 1. Seção de um cone ao longo da geratriz
Vamos fazer o mesmo com o cone. Vamos "cortar" superfície lateral ao longo de qualquer geratriz, por exemplo (ver Fig. 1).
Agora vamos “descontrair” a superfície lateral em um avião. Temos um setor. O centro deste setor é o vértice do cone, o raio do setor é igual à geratriz do cone e o comprimento do seu arco coincide com a circunferência da base do cone. Este setor é denominado desenvolvimento da superfície lateral do cone (ver Fig. 2).
Arroz. 2. Desenvolvimento da superfície lateral
Arroz. 3. Medição de ângulo em radianos
Vamos tentar encontrar a área do setor utilizando os dados disponíveis. Primeiro, vamos introduzir a notação: seja o ângulo no vértice do setor em radianos (ver Fig. 3).
Muitas vezes teremos que lidar com o ângulo no topo da varredura nos problemas. Por enquanto, vamos tentar responder à pergunta: esse ângulo não pode ser superior a 360 graus? Isto é, não aconteceria que a varredura se sobrepusesse? Claro que não. Vamos provar isso matematicamente. Deixe a varredura “se sobrepor” a si mesma. Isso significa que o comprimento do arco de varredura é maior que o comprimento do círculo de raio. Mas, como já mencionado, o comprimento do arco de varredura é o comprimento do círculo de raio. E o raio da base do cone, claro, é menor que a geratriz, por exemplo, porque o cateto de um triângulo retângulo é menor que a hipotenusa
Então vamos relembrar duas fórmulas do curso de planimetria: comprimento do arco. Área do setor: .
No nosso caso, o papel é desempenhado pelo gerador , e o comprimento do arco é igual à circunferência da base do cone, ou seja. Nós temos:
Finalmente obtemos: .
Junto com a área da superfície lateral, também se pode encontrar a área superfície completa. Para fazer isso, some a área da base à área da superfície lateral. Mas a base é um círculo de raio, cuja área segundo a fórmula é igual a.
Finalmente temos: , onde está o raio da base do cilindro, é a geratriz.
Vamos resolver alguns problemas usando as fórmulas fornecidas.
Arroz. 4. Ângulo necessário
Exemplo 1. O desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor com ângulo no ápice. Encontre este ângulo se a altura do cone for 4 cm e o raio da base for 3 cm (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Triângulo Retângulo Formando um Cone
Pela primeira ação, segundo o teorema de Pitágoras, encontramos o gerador: 5 cm (ver Fig. 5). A seguir, sabemos que .
Exemplo 2. A área da seção transversal axial do cone é igual a , a altura é igual a . Encontre a área total da superfície (ver Fig. 6).
A área da superfície de um cone (ou simplesmente a superfície de um cone) é igual à soma das áreas da base e da superfície lateral.
A área da superfície lateral do cone é calculada pela fórmula: S = πR eu, onde R é o raio da base do cone, e eu– formando um cone.
Como a área da base do cone é igual a πR 2 (como a área de um círculo), a área da superfície total do cone será igual a: πR 2 + πR eu=πR(R+ eu).
A obtenção da fórmula da área da superfície lateral de um cone pode ser explicada pelo seguinte raciocínio. Deixe o desenho mostrar o desenvolvimento da superfície lateral de um cone. Vamos dividir o arco AB em possivelmente número maior partes iguais e conecte todos os pontos de divisão ao centro do arco e os vizinhos entre si por cordas.
Temos uma série triângulos iguais. A área de cada triângulo é ah / 2 onde UM- comprimento da base do triângulo, a h- sua altura.
A soma das áreas de todos os triângulos será: ah / 2 n = anh / 2 onde n- número de triângulos.
No grande número divisões, a soma das áreas dos triângulos fica muito próxima da área do desenvolvimento, ou seja, da área da superfície lateral do cone. A soma das bases dos triângulos, ou seja, um, fica muito próximo do comprimento do arco AB, ou seja, da circunferência da base do cone. A altura de cada triângulo fica muito próxima do raio do arco, ou seja, da geratriz do cone.
Desprezando pequenas diferenças nos tamanhos dessas quantidades, obtemos a fórmula para a área da superfície lateral do cone (S):
S=C eu / 2, onde C é a circunferência da base do cone, eu– formando um cone.
Sabendo que C = 2πR, onde R é o raio do círculo da base do cone, obtemos: S = πR eu.
Observação. Na fórmula S = C eu / 2 há um sinal de igualdade exata e não aproximada, embora com base no raciocínio acima possamos considerar esta igualdade aproximada. Mas no ensino médio ensino médio está provado que a igualdade
S=C eu / 2 é exato, não aproximado.
Teorema. A superfície lateral do cone é igual ao produto da circunferência da base pela metade da geratriz.
Vamos escrever no cone (Fig.) alguns pirâmide correta e denotar por letras R E eu números que expressam os comprimentos do perímetro da base e do apótema desta pirâmide.
Então sua superfície lateral será expressa pelo produto 1/2 R eu .
Suponhamos agora que o número de lados do polígono inscrito na base aumenta sem limite. Então o perímetro R tenderá ao limite tomado como o comprimento C da circunferência da base, e o apótema eu terá como limite a geratriz do cone (já que ΔSAK segue que SA - SK
1 / 2 R eu, tenderá ao limite de 1/2 C
L. Este limite é considerado o tamanho da superfície lateral do cone. Designando a superfície lateral do cone com a letra S, podemos escrever:
S = 1/2 C eu = C 1/2 litro
Consequências.
1) Como C = 2 π
R, então a superfície lateral do cone é expressa pela fórmula:
S = 1/2 2π R eu = π R.L.
2) Obtemos a superfície completa do cone se somarmos a superfície lateral à área da base; portanto, denotando a superfície completa por T, teremos:
T = π RL+ π R2 = π R(L+R)
Teorema. A superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto da metade da soma dos comprimentos dos círculos das bases e do gerador.
Vamos escrever no cone truncado (Fig.) alguns regulares pirâmide truncada e denotar por letras r, r 1 e eu números que expressam em unidades lineares idênticas o comprimento dos perímetros do inferior e bases superiores e apótemas desta pirâmide.
Então a superfície lateral da pirâmide inscrita é igual a 1/2 ( p + p 1) eu
Com um aumento ilimitado no número de faces laterais da pirâmide inscrita, os perímetros R E R 1 tendem aos limites tomados como os comprimentos C e C 1 dos círculos de base, e o apótema eu tem como limite o gerador L de um cone truncado. Consequentemente, o tamanho da superfície lateral da pirâmide inscrita tende a um limite igual a (C + C 1) L. Este limite é tomado como o tamanho da superfície lateral do cone truncado. Denotando a superfície lateral do cone truncado com a letra S, temos:
S = 1/2 (C + C 1) eu
Consequências.
1) Se R e R 1 significam os raios dos círculos das bases inferior e superior, então a superfície lateral do cone truncado será:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) eu = π (R + R 1) eu.
2) Se no trapézio OO 1 A 1 A (Fig.), de cuja rotação se obtém um cone truncado, traçamos a linha média BC, então obtemos:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
Por isso,
S=2 π AC L,
ou seja a superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto da circunferência da seção intermediária pela geratriz.
3) A superfície total T de um cone truncado será expressa da seguinte forma:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
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Tipo de aula: uma lição sobre como aprender novos materiais usando elementos de um método de ensino de desenvolvimento baseado em problemas.
Objetivos da lição:
- educacional:
- familiarização com um novo conceito matemático;
- formação de novos centros de formação;
- formação de habilidades práticas de resolução de problemas.
- em desenvolvimento:
- desenvolvimento do pensamento independente dos alunos;
- desenvolvimento de habilidades discurso correto escolares.
- educacional:
- desenvolver habilidades de trabalho em equipe.
Equipamento de aula: quadro magnético, computador, tela, projetor multimídia, modelo de cone, apresentação de aula, apostilas.
Objetivos da aula (para alunos):
- conheça um novo conceito geométrico - cone;
- derivar uma fórmula para calcular a área de superfície de um cone;
- aprender a aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas práticos.
Progresso da lição
Estágio I. Organizacional.
Entrega de cadernos com trabalhos de teste caseiros sobre o tema abordado.
Os alunos são convidados a descobrir o tema da próxima lição resolvendo o quebra-cabeça (slide 1):
Figura 1.
Anunciar o tema e os objetivos da aula aos alunos (slide 2).
Estágio II. Explicação do novo material.
1) Palestra do professor.
No quadro há uma mesa com a imagem de um cone. Novo materialé explicado acompanhado do material programático “Estereometria”. Uma imagem tridimensional de um cone aparece na tela. A professora dá a definição de cone e fala sobre seus elementos. (slide 3). Diz-se que um cone é um corpo formado pela rotação de um triângulo retângulo em relação a uma perna. (slides 4, 5). Aparece uma imagem de uma varredura da superfície lateral do cone. (slide 6)
2) Trabalho prático.
Atualizando conhecimentos básicos: repita as fórmulas de cálculo da área de um círculo, da área de um setor, do comprimento de um círculo, do comprimento de um arco de círculo. (slides 7–10)
A turma é dividida em grupos. Cada grupo recebe uma digitalização da superfície lateral do cone recortado em papel (um setor de círculo com um número atribuído). Os alunos fazem as medidas necessárias e calculam a área do setor resultante. Instruções para realizar o trabalho, perguntas - declarações de problemas - aparecem na tela (slides 11–14). Um representante de cada grupo anota os resultados dos cálculos em uma tabela preparada no quadro. Os participantes de cada grupo colam um modelo de cone a partir do padrão que possuem. (slide 15)
3) Declaração e solução do problema.
Como calcular a área da superfície lateral de um cone se apenas o raio da base e o comprimento da geratriz do cone são conhecidos? (slide 16)
Cada grupo faz as medições necessárias e tenta derivar uma fórmula para calcular a área necessária usando os dados disponíveis. Ao realizar este trabalho, os alunos deverão observar que a circunferência da base do cone é igual ao comprimento do arco do setor - o desenvolvimento da superfície lateral deste cone. (slides 17–21) Usando as fórmulas necessárias, a fórmula desejada é derivada. Os argumentos dos alunos devem ser mais ou menos assim:
O raio de varredura do setor é igual a eu, medida de grau do arco – φ. A área do setor é calculada pela fórmula: o comprimento do arco que delimita este setor é igual ao raio da base do cone R. O comprimento do círculo situado na base do cone é C = 2πR . Observe que como a área da superfície lateral do cone é igual à área de desenvolvimento de sua superfície lateral, então
Assim, a área da superfície lateral do cone é calculada pela fórmula S DBO = πRl.
Após calcular a área da superfície lateral do modelo de cone por meio de uma fórmula derivada de forma independente, um representante de cada grupo escreve o resultado dos cálculos em uma tabela no quadro de acordo com os números do modelo. Os resultados do cálculo em cada linha devem ser iguais. Com base nisso, o professor determina a correção das conclusões de cada grupo. A tabela de resultados deve ficar assim:
|
Modelo não. |
Eu tarefa |
II tarefa |
(125/3)π ~ 41,67π |
||
(425/9)π ~ 47,22π |
||
(539/9)π ~ 59,89π |
Parâmetros do modelo:
- eu=12 cm, φ =120°
- eu=10 cm, φ =150°
- eu=15 cm, φ =120°
- eu=10 cm, φ =170°
- eu=14 cm, φ =110°
A aproximação dos cálculos está associada a erros de medição.
Após a verificação dos resultados, aparece na tela a saída das fórmulas das áreas das superfícies lateral e total do cone (slides 22–26), os alunos fazem anotações em cadernos.
Estágio III. Consolidação do material estudado.
1) São oferecidos aos alunos problemas para solução oral em desenhos prontos.
Encontre as áreas das superfícies completas dos cones mostrados nas figuras (slides 27–32).
2) Pergunta: As áreas das superfícies dos cones são formadas pela rotação de um triângulo retângulo em relação a pernas diferentes? Os alunos apresentam uma hipótese e a testam. A hipótese é testada através da resolução de problemas e escrita pelo aluno no quadro.
Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – corpos de rotação.
Encontrar: S PPK 1, S PPK 2.
Figura 5. (slide 33)
Solução:
1) R=BC = um; S PPK 1 = S BOD 1 + S principal 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC =b; S PPK 2 = S BOD 2 + S base 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Se S PPK 1 = S PPK 2, então a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Porque uma, b, c – números positivos (os comprimentos dos lados do triângulo), a igualdade só é verdadeira se uma =b.
Conclusão: As áreas da superfície de dois cones só serão iguais se os lados do triângulo forem iguais. (slide 34)
3) Resolvendo o problema do livro didático: nº 565.
Estágio IV. Resumindo a lição.
Trabalho de casa: parágrafos 55, 56; Nº 548, Nº 561. (slide 35)
Anúncio das notas atribuídas.
Conclusões durante a aula, repetição das principais informações recebidas durante a aula.
Literatura (slide 36)
- Geometria do 10º ao 11º ano – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B.
- “Quebra-cabeças e charadas matemáticas” - N.V. Udaltsova, biblioteca “Primeiro de Setembro”, série “MATEMÁTICA”, edição 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Sabemos o que é um cone, vamos tentar descobrir a sua área de superfície. Por que você precisa resolver esse problema? Por exemplo, você precisa entender quanta massa será necessária para fazer um cone de waffle? Ou quantos tijolos são necessários para fazer o telhado de um castelo de tijolos?
Medir a área da superfície lateral de um cone simplesmente não pode ser feito. Mas vamos imaginar o mesmo chifre envolto em tecido. Para saber a área de um pedaço de tecido, é preciso cortá-lo e colocá-lo sobre a mesa. O resultado é uma figura plana, podemos encontrar sua área.
Arroz. 1. Seção de um cone ao longo da geratriz
Vamos fazer o mesmo com o cone. Vamos “cortar” sua superfície lateral ao longo de qualquer geratriz, por exemplo (ver Fig. 1).
Agora vamos “descontrair” a superfície lateral em um avião. Temos um setor. O centro deste setor é o vértice do cone, o raio do setor é igual à geratriz do cone e o comprimento do seu arco coincide com a circunferência da base do cone. Este setor é denominado desenvolvimento da superfície lateral do cone (ver Fig. 2).
Arroz. 2. Desenvolvimento da superfície lateral
Arroz. 3. Medição de ângulo em radianos
Vamos tentar encontrar a área do setor utilizando os dados disponíveis. Primeiro, vamos introduzir a notação: seja o ângulo no vértice do setor em radianos (ver Fig. 3).
Muitas vezes teremos que lidar com o ângulo no topo da varredura nos problemas. Por enquanto, vamos tentar responder à pergunta: esse ângulo não pode ser superior a 360 graus? Isto é, não aconteceria que a varredura se sobrepusesse? Claro que não. Vamos provar isso matematicamente. Deixe a varredura “se sobrepor” a si mesma. Isso significa que o comprimento do arco de varredura é maior que o comprimento do círculo de raio. Mas, como já mencionado, o comprimento do arco de varredura é o comprimento do círculo de raio. E o raio da base do cone, claro, é menor que a geratriz, por exemplo, porque o cateto de um triângulo retângulo é menor que a hipotenusa
Então vamos relembrar duas fórmulas do curso de planimetria: comprimento do arco. Área do setor: .
No nosso caso, o papel é desempenhado pelo gerador , e o comprimento do arco é igual à circunferência da base do cone, ou seja. Nós temos:
Finalmente obtemos: .
Junto com a área de superfície lateral, a área de superfície total também pode ser encontrada. Para fazer isso, some a área da base à área da superfície lateral. Mas a base é um círculo de raio, cuja área segundo a fórmula é igual a .
Finalmente temos: , onde está o raio da base do cilindro, é a geratriz.
Vamos resolver alguns problemas usando as fórmulas fornecidas.
Arroz. 4. Ângulo necessário
Exemplo 1. O desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor com ângulo no ápice. Encontre este ângulo se a altura do cone for 4 cm e o raio da base for 3 cm (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Triângulo Retângulo Formando um Cone
Pela primeira ação, segundo o teorema de Pitágoras, encontramos o gerador: 5 cm (ver Fig. 5). A seguir, sabemos que .
Exemplo 2. A área da seção transversal axial do cone é igual a , a altura é igual a . Encontre a área total da superfície (ver Fig. 6).
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