Построение графика квадратичной функции. Визуальный гид (2019)

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х - независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у - зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х - сторона квадрата, а у - его
площадь, то у - х 2 . Если х - сторона куба, а у - его объем, то у - х 3 . Если х - одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см 2 , а у - другая его сторона, то . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y-kx + m, приходится изучать и модель у = х 2 , и модель у = х 3 , и модель , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой - какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная».

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х 2 и построим ее график .

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x 2):

если х = 0, то у = О 2 = 0;
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = 2, то у = 2 2 = 4;
если х = 3, то у = З 2 = 9;
если х = - 1, то у = (- I 2) - 1;
если х = - 2, то у = (- 2) 2 = 4;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
У	0	1	4	9	1	4	9

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).

Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.

Попробуем, глядя на рисунок 54, описать геометрические свойства параболы.

Во-первых , отмечаем, что парабола выглядит довольно красиво, поскольку обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси х, то эта прямая пересечет параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от нее (рис. 55). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 54, а:

(1; 1} и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9).

Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у=х 2 или что парабола симметрична относительно оси у.

Во-вторых , замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.

В-третьих , отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы - точка (0; 0). Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название - вершина параболы.

В-четвертых , когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс.

Теперь попробуем, глядя на рисунок 54, описать некоторые свойства функции у = х 2.

Во-первых , замечаем, что у - 0 при х = 0, у > 0 при х > 0 и при х < 0.

Во-вторых, отмечаем, что y наим. = 0, а у наиб не существует.

В-третьих , замечаем, что функция у = х 2 убывает на луче (-°°, 0] - при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки» (см. рис. 55). Функция у = х 2 возрастает на луче ;
б) на отрезке [- 3, - 1,5];
в) на отрезке [- 3, 2].

Решение,

а) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 56). Для выделенной части графика находим у наим. = 1 (при х = 1), у наиб. = 9 (при х = 3).

б) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, -1,5] (рис. 57). Для выделенной части графика находим y наим. = 2,25 (при х = - 1,5), у наиб. = 9 (при х = - 3).

в) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, 2] (рис. 58). Для выделенной части графика находим у наим = 0 (при х = 0), у наиб. = 9 (при х = - 3).

Совет. Чтобы каждый раз не строить график функции у - х 2 по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу.

Замечание. Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = х 2 и линейную функцию у = кх + m. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка - это и есть шаблон графика функции у = кх + m. Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х 2 .

Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х 2 и прямой у - х + 2.

Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х 2 прямую у = х + 2 (рис. 59). Они пересекаются в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем: x = - 1, y = 1, а для точки В имеем: х - 2, у = 4.

Ответ: парабола у = х 2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А (-1; 1) и В(2;4).

Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе?

Для этого нужно подставить координаты точек А и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том, и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.

В заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками.

Если рассматривать параболу у = х 2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе - тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок на тему: "График и свойства функции $y=x^2$. Примеры построения графиков"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Интерактивный тренажер "Правила и упражнения по алгебре"
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса, онлайн версия

Функция – это зависимость одной переменной от другой.

График функции – графическое изображение функции.

Свойства функции

• Область определения функции – все значения, которые может принимать независимая переменная.
• Область значений функции – все значения, которые может принимать зависимая переменная.
• Нули функции – значение независимой переменной, при которой зависимая переменная равна 0.
• Минимальное значение функции – минимальное значение зависимой переменной.
• Максимальное значение функции – максимальное значение зависимой переменной.

Свойства функции $y=x^2$

Давайте опишем свойства данной функции:

1. x – независимая переменная, y – зависимая переменная.

2. Область определения: очевидно, что для любого значения аргумента (x) существует значение функции (y). Соответственно область определения данной функции вся числовая прямая.

3. Область значений: y не может быть меньше 0, так как квадрат любого числа есть число положительное.

4. Если x=0, то и y=0.

5. Обратите внимание, что для противоположных значений аргумента функция принимает одинаковое значение. Для пары чисел x = 1 и x = -1 значение функции будет 1, т.е. y = 1. Для пары чисел x = 2 и x = – 2; y = 4 и т.д.
$y = x^2 =(-x)^2$.

График функции $y=x^2$

Внимательно посмотрим на формулу y = x 2 и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.

1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.

2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.

Найдем несколько значений y:

Построим эти точки (см. рис. 1).

Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).

Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. Симметричные кривые называются ветвями параболы.

Примеры

I. Дизайнеру надо покрасить часть стены дома в форме квадрата со сторонами 2,7 метра. Специальная краска для стен продается в фасовке из расчета одна банка на 1 м 2 . Не проводя вычисления, выясни, сколько банок краски надо купить, что бы после окрашивания не осталось лишних не распечатанных банок.

Решение:
1. Построим параболу.
2. Найдем на параболе точку А, у которой координата x=2,7 (см. рис. 4).
3. Мы видим, что в этой точке значение функции больше 7, но меньше 8. Значит, дизайнеру потребуется минимум 8 банок краски.

II. Построить график функции у= (х + 1) 2 .

Найдем несколько значений y.

Построим эти точки и прямую x= -1, параллельную оси OY. Очевидно, что построенные точки симметричны относительно этой прямой. В результате у нас получится такая же парабола, только смещенная влево по оси OX (см. рис.5).

Учебник:

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс

Цели:

формировать графическую грамотность при построении графиков,

формировать навык исследовательской работы,

воспитывать четкость при ответе, аккуратность, ответственность.

I. Опрос учащихся

1. Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )

2. Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

3. Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

4. С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b ,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

5. Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х

Рисунок 1

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = х 2	9	4	1	0	1	4	9
у = х 2 + 2	11	6	3	2	3	6	11

Рисунок 2

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) =
5. Функция возрастает на промежутке

   Функция возрастает на промежутке }