Deze les is bedoeld voor degenen die net beginnen met het leren van exponentiële vergelijkingen. Laten we zoals altijd beginnen met de definitie en eenvoudige voorbeelden.
Als je deze les aan het lezen bent, vermoed ik dat je al een minimaal begrip hebt van de eenvoudigste vergelijkingen - lineair en kwadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, enz. Het kunnen oplossen van dergelijke constructies is absoluut noodzakelijk om niet “vast te lopen” in het onderwerp dat nu wordt besproken.
Exponentiële vergelijkingen dus. Ik zal u een paar voorbeelden geven:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Sommigen van hen lijken misschien ingewikkelder voor u, terwijl andere juist te simpel zijn. Maar ze hebben allemaal één belangrijk kenmerk gemeen: hun notatie bevat de exponentiële functie $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Laten we dus de definitie introduceren:
Een exponentiële vergelijking is elke vergelijking die een exponentiële functie bevat, d.w.z. uitdrukking van de vorm $((a)^(x))$. Naast de aangegeven functie kunnen dergelijke vergelijkingen andere algebraïsche constructies bevatten: polynomen, wortels, trigonometrie, logaritmen, enz.
Oké dan. We hebben de definitie op een rij gezet. De vraag is nu: hoe kunnen we al deze onzin oplossen? Het antwoord is zowel eenvoudig als complex.
Laten we beginnen met het goede nieuws: uit mijn ervaring met het lesgeven aan veel studenten kan ik zeggen dat de meesten van hen exponentiële vergelijkingen veel gemakkelijker vinden dan dezelfde logaritmen, en nog meer trigonometrie.
Maar er is slecht nieuws: soms worden de schrijvers van problemen voor allerlei soorten leerboeken en examens getroffen door ‘inspiratie’, en hun door drugs ontstoken brein begint zulke brutale vergelijkingen te produceren dat het oplossen ervan niet alleen voor studenten problematisch wordt – zelfs voor veel leraren blijven steken in dit soort problemen.
Laten we het echter niet over trieste dingen hebben. En laten we terugkeren naar de drie vergelijkingen die aan het begin van het verhaal werden gegeven. Laten we proberen ze allemaal op te lossen.
Eerste vergelijking: $((2)^(x))=4$. Welnu, tot welke macht moet je het getal 2 verheffen om het getal 4 te krijgen? Waarschijnlijk de tweede? $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - en we hebben de juiste numerieke gelijkheid, d.w.z. inderdaad $x=2$. Bedankt, Cap, maar deze vergelijking was zo eenvoudig dat zelfs mijn kat hem kon oplossen :)
Laten we naar de volgende vergelijking kijken:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Maar hier is het iets ingewikkelder. Veel leerlingen weten dat $((5)^(2))=25$ de tafel van vermenigvuldiging is. Sommigen vermoeden ook dat $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ in wezen de definitie is negatieve krachten(naar analogie met de formule $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).
Ten slotte beseffen slechts een select aantal mensen dat deze feiten gecombineerd kunnen worden en het volgende resultaat kunnen opleveren:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Onze oorspronkelijke vergelijking wordt dus als volgt herschreven:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Pijl naar rechts ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Maar dit is al volledig oplosbaar! Aan de linkerkant in de vergelijking bevindt zich een exponentiële functie, aan de rechterkant in de vergelijking bevindt zich een exponentiële functie, er is nergens anders behalve deze. Daarom kunnen we de bases ‘weggooien’ en de indicatoren domweg gelijkstellen:
We hebben de eenvoudigste lineaire vergelijking verkregen die elke leerling in slechts een paar regels kan oplossen. Oké, in vier regels:
\[\begin(uitlijnen)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(uitlijnen)\]
Als je niet begrijpt wat er in de laatste vier regels gebeurde, ga dan zeker terug naar het onderwerp “ lineaire vergelijkingen"en herhaal het. Omdat het zonder een duidelijk begrip van dit onderwerp te vroeg is om met exponentiële vergelijkingen aan de slag te gaan.
\[((9)^(x))=-3\]
Dus hoe los je dit op? Eerste gedachte: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, dus de oorspronkelijke vergelijking kan als volgt worden herschreven:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Dan herinneren we ons dat bij het verheffen van een macht tot een macht de exponenten worden vermenigvuldigd:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Pijl naar rechts ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(uitlijnen)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(uitlijnen)\]
En voor zo’n beslissing krijgen wij een eerlijk verdiende twee. Want met de gelijkmoedigheid van een Pokemon hebben we het minteken vóór de drie tot de macht van deze drie gestuurd. Maar dat kun je niet doen. En hier is waarom. Kijk eens naar de verschillende machten van drie:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]
Bij het samenstellen van deze tablet heb ik niets verdraaid: ik heb rekening gehouden met positieve machten, en negatieve, en zelfs fractionele... nou, waar is hier minstens één negatief getal? Hij is weg! En dat kan niet zo zijn, omdat de exponentiële functie $y=((a)^(x))$ ten eerste altijd alleen positieve waarden aanneemt (ongeacht hoeveel men vermenigvuldigt of deelt door twee, het zal nog steeds een positief getal), en ten tweede is de basis van zo'n functie - het getal $a$ - per definitie een positief getal!
Hoe moet je dan de vergelijking $((9)^(x))=-3$ oplossen? Maar absoluut niet: er zijn geen wortels. En in die zin lijken exponentiële vergelijkingen sterk op kwadratische vergelijkingen: er kunnen ook geen wortels zijn. Maar als in kwadratische vergelijkingen het aantal wortels wordt bepaald door de discriminant (positieve discriminant - 2 wortels, negatief - geen wortels), dan hangt in exponentiële vergelijkingen alles af van wat rechts van het gelijkteken staat.
Laten we dus de belangrijkste conclusie formuleren: de eenvoudigste exponentiële vergelijking van de vorm $((a)^(x))=b$ heeft een wortel dan en slechts dan als $b>0$. Als u dit simpele feit kent, kunt u gemakkelijk bepalen of de u voorgestelde vergelijking wortels heeft of niet. Die. Is het de moeite waard om het überhaupt op te lossen of meteen op te schrijven dat er geen wortels zijn.
Deze kennis zal ons vaak helpen als we complexere problemen moeten oplossen. Voor nu genoeg over de teksten: het is tijd om het basisoplossingsalgoritme te bestuderen exponentiële vergelijkingen.
Hoe exponentiële vergelijkingen op te lossen
Laten we het probleem dus formuleren. Het is noodzakelijk om de exponentiële vergelijking op te lossen:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Volgens het “naïeve” algoritme dat we eerder gebruikten, is het noodzakelijk om het getal $b$ voor te stellen als een macht van het getal $a$:
Als er in plaats van de variabele $x$ een uitdrukking is, krijgen we bovendien een nieuwe vergelijking die al kan worden opgelost. Bijvoorbeeld:
\[\begin(uitlijnen)& ((2)^(x))=8\Pijl naar rechts ((2)^(x))=((2)^(3))\Pijl naar rechts x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Pijl naar rechts ((3)^(-x))=((3)^(4))\Pijl naar rechts -x=4\Pijl naar rechts x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Pijl naar rechts ((5)^(2x))=((5)^(3))\Pijl naar rechts 2x=3\Pijl naar rechts x=\frac(3)( 2). \\\eind(uitlijnen)\]
En vreemd genoeg werkt dit schema in ongeveer 90% van de gevallen. Hoe zit het dan met de resterende 10%? De overige 10% zijn enigszins ‘schizofrene’ exponentiële vergelijkingen in de vorm:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Welnu, tot welke macht moet je 2 verheffen om 3 te krijgen? Eerst? Maar nee: $((2)^(1))=2$ is niet genoeg. Seconde? Ook niet: $((2)^(2))=4$ is te veel. Welke dan?
Goed geïnformeerde studenten hebben het waarschijnlijk al geraden: in dergelijke gevallen, wanneer het niet mogelijk is om “mooi” op te lossen, komt de “zware artillerie” - logaritmen - in het spel. Ik wil u eraan herinneren dat met behulp van logaritmen elk positief getal kan worden weergegeven als een macht van elk ander positief getal (behalve één):
Onthoud deze formule? Als ik mijn studenten over logaritmes vertel, waarschuw ik altijd: deze formule (het is ook de belangrijkste logaritmische identiteit of, zo je wilt, de definitie van een logaritme) zal je heel lang achtervolgen en in de meest voorkomende gevallen ‘opduiken’. onverwachte plaatsen. Nou, ze kwam boven water. Laten we eens kijken naar onze vergelijking en deze formule:
\[\begin(uitlijnen)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(uitlijnen) \]
Als we aannemen dat $a=3$ ons oorspronkelijke getal aan de rechterkant is, en $b=2$ de basis is van de exponentiële functie waartoe we de rechterkant willen reduceren, krijgen we het volgende:
\[\begin(uitlijnen)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rechtspijl 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Pijl naar rechts ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Pijl naar rechts x=( (\logboek)_(2))3. \\\eind(uitlijnen)\]
We kregen een enigszins vreemd antwoord: $x=((\log )_(2))3$. Bij een andere taak zouden velen twijfels hebben over een dergelijk antwoord en hun oplossing opnieuw gaan controleren: wat als er ergens een fout was geslopen? Ik haast me om je een plezier te doen: er is hier geen fout, en logaritmen in de wortels van exponentiële vergelijkingen zijn een volkomen typische situatie. Dus wennen. :)
Laten we nu de resterende twee vergelijkingen naar analogie oplossen:
\[\begin(uitlijnen)& ((5)^(x))=15\Pijl naar rechts ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Pijl naar rechts x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Pijl naar rechts ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Pijl naar rechts 2x=( (\log )_(4))11\Pijl naar rechts x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is het! Overigens kan het laatste antwoord anders worden geschreven:
We hebben een vermenigvuldiger geïntroduceerd in het argument van de logaritme. Maar niemand houdt ons tegen om deze factor aan de basis toe te voegen:
Bovendien zijn alle drie de opties correct: het is eenvoudig verschillende vormen records met hetzelfde nummer. Welke u in deze oplossing kiest en opschrijft, is aan u om te beslissen.
We hebben dus geleerd om alle exponentiële vergelijkingen van de vorm $((a)^(x))=b$ op te lossen, waarbij de getallen $a$ en $b$ strikt positief zijn. De harde realiteit van onze wereld is echter zo eenvoudige taken je zult elkaar heel, heel zelden ontmoeten. Vaker wel dan niet zul je zoiets als dit tegenkomen:
\[\begin(uitlijnen)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\eind(uitlijnen)\]
Dus hoe los je dit op? Kan dit überhaupt opgelost worden? En zo ja, hoe?
Geen paniek. Al deze vergelijkingen zijn snel en gemakkelijk terug te brengen tot de eenvoudige formules die we al hebben overwogen. Je hoeft alleen maar een paar trucjes uit de algebracursus te onthouden. En natuurlijk zijn er geen regels voor het werken met graden. Ik zal je nu alles vertellen. :)
Exponentiële vergelijkingen omzetten
Het eerste dat u moet onthouden: elke exponentiële vergelijking, hoe complex deze ook is, moet op de een of andere manier worden teruggebracht tot de eenvoudigste vergelijkingen - degene die we al hebben overwogen en die we weten op te lossen. Met andere woorden, het schema voor het oplossen van een exponentiële vergelijking ziet er als volgt uit:
- Schrijf de oorspronkelijke vergelijking op. Bijvoorbeeld: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Doe eens wat raars. Of zelfs een onzin genaamd "een vergelijking omzetten";
- Haal bij de uitvoer de eenvoudigste uitdrukkingen op van de vorm $((4)^(x))=4$ of iets dergelijks. Bovendien kan één initiële vergelijking meerdere van dergelijke uitdrukkingen tegelijk opleveren.
Alles is duidelijk met het eerste punt - zelfs mijn kat kan de vergelijking op een vel papier schrijven. Het derde punt lijkt ook min of meer duidelijk te zijn: we hebben hierboven al een hele reeks van dergelijke vergelijkingen opgelost.
Maar hoe zit het met het tweede punt? Wat voor transformaties? Wat omzetten in wat? En hoe?
Nou, laten we het uitzoeken. Allereerst wil ik het volgende opmerken. Alle exponentiële vergelijkingen zijn onderverdeeld in twee typen:
- De vergelijking bestaat uit exponentiële functies met dezelfde basis. Voorbeeld: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- De formule bevat exponentiële functies met verschillende bases. Voorbeelden: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ en $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
Laten we beginnen met vergelijkingen van het eerste type: deze zijn het gemakkelijkst op te lossen. En bij het oplossen ervan zullen we worden geholpen door een techniek als het benadrukken van stabiele uitdrukkingen.
Een stabiele expressie isoleren
Laten we nog eens naar deze vergelijking kijken:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Wat zien we? De vier zijn in verschillende mate verheven. Maar al deze machten zijn eenvoudige sommen van de variabele $x$ met andere getallen. Daarom is het noodzakelijk om de regels voor het werken met graden te onthouden:
\[\begin(uitlijnen)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((een )^(y))). \\\eind(uitlijnen)\]
Simpel gezegd: optellen kan worden omgezet in een product van machten, en aftrekken kan gemakkelijk worden omgezet in delen. Laten we proberen deze formules toe te passen op de graden uit onze vergelijking:
\[\begin(uitlijnen)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\eind(uitlijnen)\]
Laten we de oorspronkelijke vergelijking herschrijven, rekening houdend met dit feit, en vervolgens alle termen aan de linkerkant verzamelen:
\[\begin(uitlijnen)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\eind(uitlijnen)\]
De eerste vier termen bevatten het element $((4)^(x))$ - laten we het uit de haakjes halen:
\[\begin(uitlijnen)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\eind(uitlijnen)\]
Rest ons nog om beide zijden van de vergelijking te delen door de breuk $-\frac(11)(4)$, d.w.z. in wezen vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk - $-\frac(4)(11)$. Wij krijgen:
\[\begin(uitlijnen)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is het! We hebben de oorspronkelijke vergelijking teruggebracht tot de eenvoudigste vorm en het uiteindelijke antwoord verkregen.
Tegelijkertijd ontdekten we tijdens het oplossen (en haalden we deze zelfs uit de haak) de gemeenschappelijke factor $((4)^(x))$ - dit is een stabiele uitdrukking. Het kan worden aangewezen als een nieuwe variabele, of u kunt het eenvoudigweg zorgvuldig uitdrukken en het antwoord krijgen. Het belangrijkste principe van de oplossing is in ieder geval het volgende:
Zoek in de oorspronkelijke vergelijking een stabiele uitdrukking die een variabele bevat die gemakkelijk te onderscheiden is van alle exponentiële functies.
Het goede nieuws is dat je met bijna elke exponentiële vergelijking zo'n stabiele uitdrukking kunt isoleren.
Maar het slechte nieuws is dat deze uitdrukkingen behoorlijk lastig kunnen zijn en behoorlijk moeilijk te identificeren zijn. Laten we dus nog een probleem bekijken:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Misschien heeft iemand nu een vraag: “Pasha, ben je stoned? Er zijn hier verschillende bases: 5 en 0,2.” Maar laten we proberen de macht om te zetten naar basis 0,2. Laten we bijvoorbeeld de decimale breuk wegwerken door deze terug te brengen tot een gewone breuk:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Zoals je kunt zien, verscheen het getal 5 nog steeds, zij het in de noemer. Tegelijkertijd werd de indicator herschreven als negatief. En laten we er nu één onthouden de belangrijkste regels werken met graden:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Pijl naar rechts ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Hier loog ik natuurlijk een beetje. Omdat je de formule om er vanaf te komen volledig begrijpt negatieve indicatoren had zo geschreven moeten worden:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Pijl naar rechts ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Aan de andere kant weerhield niets ons ervan om alleen met breuken te werken:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Maar in dit geval moet je een macht kunnen verheffen tot een andere macht (laat me je eraan herinneren: in dit geval worden de indicatoren bij elkaar opgeteld). Maar ik hoefde de breuken niet te “omkeren” - misschien zal dit voor sommigen gemakkelijker zijn :)
In ieder geval wordt de oorspronkelijke exponentiële vergelijking herschreven als:
\[\begin(uitlijnen)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\eind(uitlijnen)\]
Het blijkt dus dat de oorspronkelijke vergelijking nog eenvoudiger kan worden opgelost dan de vergelijking die eerder werd overwogen: hier hoef je niet eens een stabiele uitdrukking te selecteren - alles is vanzelf gereduceerd. Het enige dat we nog moeten onthouden is $1=((5)^(0))$, waaruit we het volgende krijgen:
\[\begin(uitlijnen)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\&x=-2. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is de oplossing! We kregen het uiteindelijke antwoord: $x=-2$. Tegelijkertijd zou ik één techniek willen opmerken die alle berekeningen voor ons enorm heeft vereenvoudigd:
Zorg ervoor dat u bij exponentiële vergelijkingen wegkomt decimalen, converteer ze naar gewone. Hierdoor kunt u dezelfde basissen van graden zien en wordt de oplossing aanzienlijk vereenvoudigd.
Laten we nu verder gaan met meer complexe vergelijkingen, waarin er verschillende bases zijn die helemaal niet tot elkaar herleidbaar zijn met behulp van graden.
De eigenschap Degrees gebruiken
Ik wil u eraan herinneren dat we nog twee bijzonder harde vergelijkingen hebben:
\[\begin(uitlijnen)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\eind(uitlijnen)\]
De grootste moeilijkheid hier is dat het niet duidelijk is wat te geven en op welke basis. Waar zijn de stabiele expressies? Waar zijn dezelfde gronden? Er is niets van dit alles.
Maar laten we proberen een andere weg in te slaan. Als er geen klaar zijn identieke gronden, kun je proberen ze te vinden door de bestaande bases in factoren te betrekken.
Laten we beginnen met de eerste vergelijking:
\[\begin(uitlijnen)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Pijl naar rechts ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\eind(uitlijnen)\]
Maar je kunt het tegenovergestelde doen: maak het getal 21 van de getallen 7 en 3. Dit is vooral gemakkelijk aan de linkerkant te doen, omdat de indicatoren van beide graden hetzelfde zijn:
\[\begin(uitlijnen)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is het! Je nam de exponent buiten het product en kreeg meteen een mooie vergelijking die in een paar regels kan worden opgelost.
Laten we nu naar de tweede vergelijking kijken. Hier is alles veel ingewikkelder:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
In dit geval bleken de breuken onherleidbaar te zijn, maar als er iets gereduceerd kon worden, zorg er dan voor dat je het verkleint. Vaak verschijnen er interessante redenen waarmee u al kunt werken.
Helaas bleek er voor ons niets bijzonders. Maar we zien dat de exponenten aan de linkerkant in het product tegengesteld zijn:
Laat me je eraan herinneren: om van het minteken in de indicator af te komen, hoef je alleen maar de breuk te "omdraaien". Laten we de oorspronkelijke vergelijking herschrijven:
\[\begin(uitlijnen)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\eind(uitlijnen)\]
In de tweede regel hebben we eenvoudigweg de totale exponent uit het product uit het haakje gehaald volgens de regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, en in de laatste versie vermenigvuldigden ze eenvoudigweg het getal 100 met een breuk.
Merk nu op dat de cijfers aan de linkerkant (aan de basis) en aan de rechterkant enigszins op elkaar lijken. Hoe? Ja, het is duidelijk: het zijn machten van hetzelfde getal! Wij hebben:
\[\begin(uitlijnen)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \rechts))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \rechts))^(2)). \\\eind(uitlijnen)\]
Onze vergelijking wordt dus als volgt herschreven:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\rechts))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
In dit geval kun je aan de rechterkant ook een diploma behalen met dezelfde basis, waarvoor het voldoende is om simpelweg de breuk te "omdraaien":
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Onze vergelijking zal uiteindelijk de vorm aannemen:
\[\begin(uitlijnen)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is de oplossing. Het belangrijkste idee komt neer op het feit dat zelfs met op verschillende gronden we proberen, hoe dan ook, deze bases tot hetzelfde te herleiden. Elementaire transformaties van vergelijkingen en regels voor het werken met machten helpen ons hierbij.
Maar welke regels en wanneer te gebruiken? Hoe begrijp je dat je in de ene vergelijking beide zijden door iets moet delen, en in een andere vergelijking de basis van de exponentiële functie moet ontbinden?
Het antwoord op deze vraag zal met ervaring komen. Probeer eerst eenvoudige vergelijkingen uit, en compliceer dan geleidelijk de problemen - en al snel zullen je vaardigheden voldoende zijn om elke exponentiële vergelijking van hetzelfde Unified State Exam of een onafhankelijk/testwerk op te lossen.
En om u te helpen bij deze moeilijke kwestie, raad ik u aan een reeks vergelijkingen te downloaden voor onafhankelijke beslissing. Alle vergelijkingen hebben antwoorden, dus je kunt jezelf altijd testen.
In de voorbereidingsfase voor de eindtoets moeten middelbare scholieren hun kennis over het onderwerp ‘Exponentiële vergelijkingen’ verbeteren. De ervaring van de afgelopen jaren geeft aan dat dergelijke taken bepaalde problemen voor schoolkinderen veroorzaken. Daarom moeten middelbare scholieren, ongeacht hun voorbereidingsniveau, de theorie grondig beheersen, de formules onthouden en het principe van het oplossen van dergelijke vergelijkingen begrijpen. Nu afgestudeerden hebben geleerd met dit soort problemen om te gaan, kunnen ze rekenen op hoge scores bij het behalen van het Unified State Examen in de wiskunde.
Maak je klaar voor examentesten met Shkolkovo!
Bij het doornemen van de behandelde materialen worden veel leerlingen geconfronteerd met het probleem van het vinden van de formules die nodig zijn om vergelijkingen op te lossen. Het schoolboek is niet altijd bij de hand en selectie noodzakelijke informatie over het onderwerp op internet duurt lang.
Het onderwijsportaal Shkolkovo nodigt studenten uit om onze kennisbank te gebruiken. Wij implementeren het volledig nieuwe methode voorbereiding op de laatste test. Door op onze website te studeren, kunt u lacunes in de kennis identificeren en aandacht besteden aan de taken die de meeste problemen veroorzaken.
Shkolkovo-leraren verzamelden, systematiseerden en presenteerden alles wat nodig was voor succesvol slagen Materiaal voor het Unified State Examen in de eenvoudigste en meest toegankelijke vorm.
Basisdefinities en formules worden gepresenteerd in het gedeelte “Theoretische achtergrond”.
Om de stof beter te begrijpen raden wij u aan om te oefenen met het maken van de opdrachten. Bekijk zorgvuldig de voorbeelden van exponentiële vergelijkingen met oplossingen op deze pagina om het berekeningsalgoritme te begrijpen. Ga daarna verder met het uitvoeren van taken in het gedeelte "Mappen". U kunt beginnen met de eenvoudigste taken of direct doorgaan met het oplossen van complexe exponentiële vergelijkingen met verschillende onbekenden of . De database met oefeningen op onze website wordt voortdurend aangevuld en bijgewerkt.
De voorbeelden met indicatoren die u problemen hebben bezorgd, kunnen worden toegevoegd aan “Favorieten”. Zo kun je ze snel vinden en de oplossing bespreken met je docent.
Om het Unified State Exam met succes te behalen, studeer je elke dag op het Shkolkovo-portaal!
1º. Exponentiële vergelijkingen worden vergelijkingen genoemd die een variabele in een exponent bevatten.
Het oplossen van exponentiële vergelijkingen is gebaseerd op de eigenschap van machten: twee machten met hetzelfde grondtal zijn gelijk als en slechts als hun exponenten gelijk zijn.
2º. Basismethoden voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen:
1) de eenvoudigste vergelijking heeft een oplossing;
2) een vergelijking van de vorm logaritmisch met de basis A reduceren tot vorm;
3) een vergelijking van de vorm is equivalent aan de vergelijking ;
4) vergelijking van de vorm 
is gelijk aan de vergelijking.
5) een vergelijking van de vorm wordt gereduceerd door substitutie tot een vergelijking, en vervolgens wordt een reeks eenvoudige exponentiële vergelijkingen opgelost;
6) vergelijking met reciprocals 
door substitutie worden ze gereduceerd tot een vergelijking en lossen ze vervolgens een reeks vergelijkingen op;
7) vergelijkingen homogeen met betrekking tot een g(x) En bg(x) gezien dat 
vriendelijk 
door substitutie reduceren ze tot een vergelijking en lossen ze vervolgens een reeks vergelijkingen op.
Classificatie van exponentiële vergelijkingen.
1. Vergelijkingen opgelost door naar één grondtal te gaan.
Voorbeeld 18. Los de vergelijking op 
.
Oplossing: Laten we profiteren van het feit dat alle bases van machten machten van het getal 5 zijn: .
2. Vergelijkingen opgelost door over te gaan naar één exponent.
Deze vergelijkingen worden opgelost door de oorspronkelijke vergelijking naar de vorm te transformeren , dat tot zijn eenvoudigste vorm wordt teruggebracht met behulp van de eigenschap van proportie.
Voorbeeld 19. Los de vergelijking op:
3. Vergelijkingen opgelost door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten.
Als elke exponent in een vergelijking een bepaald aantal van de andere verschilt, worden de vergelijkingen opgelost door de exponent met de kleinste exponent tussen haakjes te zetten.
Voorbeeld 20. Los de vergelijking op.
Oplossing: Laten we de graad nemen met de kleinste exponent tussen haakjes aan de linkerkant van de vergelijking:
Voorbeeld 21. Los de vergelijking op 
Oplossing: Laten we aan de linkerkant van de vergelijking de termen die machten met grondtal 4 bevatten afzonderlijk groeperen, aan de rechterkant - met grondtal 3, en vervolgens de machten met de kleinste exponent tussen haakjes zetten:
4. Vergelijkingen die gereduceerd worden tot kwadratische (of kubieke) vergelijkingen.
De volgende vergelijkingen worden gereduceerd tot een kwadratische vergelijking voor de nieuwe variabele y:
a) soort vervanging, in dit geval;
b) het type vervanging, en .
Voorbeeld 22. Los de vergelijking op 
.
Oplossing: Laten we de variabele wijzigen en oplossen kwadratische vergelijking:
.
Antwoord: 0; 1.
5. Vergelijkingen die homogeen zijn met betrekking tot exponentiële functies.
Een vormvergelijking is een homogene vergelijking van de tweede graad met betrekking tot de onbekenden een x En bx. Dergelijke vergelijkingen worden gereduceerd door eerst beide zijden te delen door en ze vervolgens te vervangen door kwadratische vergelijkingen.
Voorbeeld 23. Los de vergelijking op.
Oplossing: Deel beide zijden van de vergelijking door:
Door te zeggen krijgen we een kwadratische vergelijking met wortels.
Het probleem komt nu neer op het oplossen van een reeks vergelijkingen 
. Uit de eerste vergelijking vinden we dat . De tweede vergelijking heeft geen wortels, want voor welke waarde dan ook X.
Antwoord: -1/2.
6. Rationele vergelijkingen met betrekking tot exponentiële functies.
Voorbeeld 24. Los de vergelijking op.
Oplossing: Deel de teller en de noemer van de breuk door 3 x en in plaats van twee krijgen we één exponentiële functie:
7. Vergelijkingen van de vorm 
.
Dergelijke vergelijkingen met een reeks toelaatbare waarden (APV), bepaald door de voorwaarde, door de logaritme van beide zijden van de vergelijking te nemen, worden gereduceerd tot een equivalente vergelijking, die op zijn beurt equivalent is aan een reeks van twee vergelijkingen of.
Voorbeeld 25. Los de vergelijking op: .
.
Didactisch materiaal.
Los de vergelijkingen op:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Zoek het product van de wortels van de vergelijking 
.
27. Vind de som van de wortels van de vergelijking 
.
Zoek de betekenis van de uitdrukking:
28. , waar x 0– wortel van de vergelijking;
29. , waar x 0– hele wortel van de vergelijking 
.
Los de vergelijking op:
31. 
; 32. .
Antwoorden: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Onderwerp nr. 8.
Exponentiële ongelijkheden.
1º. Een ongelijkheid die een variabele in de exponent bevat, wordt genoemd exponentiële ongelijkheid.
2º. Oplossing exponentiële ongelijkheden type is gebaseerd op de volgende uitspraken:
als , dan is de ongelijkheid gelijk aan ;
als , dan is de ongelijkheid gelijk aan .
Bij het oplossen van exponentiële ongelijkheden worden dezelfde technieken gebruikt als bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen.
Voorbeeld 26. Ongelijkheid oplossen 
(manier om naar één basis te gaan).
Oplossing: Sinds 
, dan kan de gegeven ongelijkheid worden geschreven als: 
. Sinds , dan is deze ongelijkheid gelijk aan de ongelijkheid 
.
Als we de laatste ongelijkheid oplossen, krijgen we .
Voorbeeld 27. Los de ongelijkheid op: ( door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten).
Oplossing: Laten we aan de linkerkant van de ongelijkheid tussen haakjes de rechterkant van de ongelijkheid verwijderen en beide zijden van de ongelijkheid delen door (-2), waardoor het teken van de ongelijkheid in het tegenovergestelde verandert:
Sindsdien verandert het teken van ongelijkheid, wanneer we naar de ongelijkheid van indicatoren gaan, opnieuw in het tegenovergestelde. Wij krijgen. De verzameling van alle oplossingen voor deze ongelijkheid is dus het interval.
Voorbeeld 28. Ongelijkheid oplossen ( door een nieuwe variabele te introduceren).
Oplossing: laat. Dan zal deze ongelijkheid de vorm aannemen: 
of 
, waarvan de oplossing het interval is.
Vanaf hier. Omdat de functie toeneemt, dan .
Didactisch materiaal.
Specificeer de reeks oplossingen voor de ongelijkheid:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Bij welke waarden X Liggen de punten op de functiegrafiek onder de rechte lijn?
7. Bij welke waarden X Liggen de punten op de grafiek van de functie minstens tot aan de rechte lijn?
Los de ongelijkheid op:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Specificeer de grootste geheeltallige oplossing voor de ongelijkheid 
.
14. Vind het product van de grootste gehele en de kleinste gehele oplossing voor de ongelijkheid 
.
Los de ongelijkheid op:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Zoek het domein van de functie:
27. 
; 28. 
.
29. Zoek de reeks argumentwaarden waarvoor de waarden van elk van de functies groter zijn dan 3:
En 
.
Antwoorden: 11.3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
Laden...
