Vereenvoudig de uitdrukking. Posts tagged "algebraïsche uitdrukking vereenvoudigen"

Sommige algebraïsche voorbeelden alleen al kunnen schoolkinderen angst aanjagen. Lange uitdrukkingen zijn niet alleen intimiderend, maar maken berekeningen ook erg moeilijk. Als je probeert onmiddellijk te begrijpen wat volgt, zal het niet lang duren om in de war te raken. Het is om deze reden dat wiskundigen altijd proberen een ‘vreselijk’ probleem zo veel mogelijk te vereenvoudigen en pas daarna beginnen met het oplossen ervan. Vreemd genoeg versnelt deze truc het werkproces aanzienlijk.

Vereenvoudiging is een van de fundamentele punten in de algebra. Als binnen eenvoudige taken Je kunt nog steeds zonder, maar moeilijker te berekenen voorbeelden blijken misschien te moeilijk. Dit is waar deze vaardigheden van pas komen! Bovendien is complexe wiskundige kennis niet vereist: het volstaat om enkele basistechnieken en formules te onthouden en in de praktijk te leren toepassen.

Ongeacht de complexiteit van de berekeningen, het is belangrijk bij het oplossen van welke uitdrukking dan ook let op de volgorde van het uitvoeren van bewerkingen met getallen:

1. haakjes;
2. machtsverheffen;
3. vermenigvuldiging;
4. divisie;
5. toevoeging;
6. aftrekken.

De laatste twee punten kunnen eenvoudig worden verwisseld en dit heeft geen enkele invloed op het resultaat. Maar het toevoegen van twee aangrenzende getallen als er een vermenigvuldigingsteken naast staat, is absoluut verboden! Het eventuele antwoord is onjuist. Daarom moet u de volgorde onthouden.

Het gebruik van dergelijke

Dergelijke elementen omvatten getallen met een variabele van dezelfde orde of dezelfde graad. Er zijn ook zogenaamde vrije termen die geen letteraanduiding voor het onbekende naast zich hebben.

Het punt is dat er geen haakjes zijn u kunt de uitdrukking vereenvoudigen door soortgelijke op te tellen of af te trekken.

Een paar illustratieve voorbeelden:

• 8x 2 en 3x 2 - beide getallen hebben dezelfde variabele van de tweede orde, dus ze zijn vergelijkbaar en bij optelling vereenvoudigen ze tot (8+3)x 2 =11x 2, terwijl ze bij aftrekking (8-3)x 2 = krijgen 5x 2;
• 4x 3 en 6x - en hier heeft “x” verschillende graden;
• 2y 7 en 33x 7 - bevatten verschillende variabelen, daarom zijn ze, net als in het vorige geval, niet vergelijkbaar.

Een getal ontbinden

Deze kleine wiskundige truc zal je, als je hem op de juiste manier leert gebruiken, je in de toekomst meer dan eens helpen om met een lastig probleem om te gaan. En het is niet moeilijk om te begrijpen hoe het ‘systeem’ werkt: ontbinding is het product van verschillende elementen, waarvan de berekening de oorspronkelijke waarde oplevert. Dus 20 kan worden weergegeven als 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 of op een andere manier.

Opmerking: Factoren zijn altijd hetzelfde als delers. Je moet dus op zoek gaan naar een werkend ‘paar’ voor ontbinding tussen de getallen waarin het origineel deelbaar is zonder rest.

Deze bewerking kan zowel met vrije termen als met getallen in een variabele worden uitgevoerd. Het belangrijkste is om dit laatste tijdens berekeningen niet te verliezen - zelfs niet na ontbinding kan het onbekende niet zomaar ‘nergens heen gaan’. Het blijft op een van de vermenigvuldigers:

• 15x=3(5x);
• 60j 2 = (15j 2)4.

Priemgetallen die alleen door zichzelf of door 1 kunnen worden gedeeld, worden nooit uitgebreid - het heeft geen zin.

Basismethoden voor vereenvoudiging

Het eerste dat opvalt:

• de aanwezigheid van haakjes;
• breuken;
• wortels.

Algebraïsche voorbeelden in het schoolcurriculum worden vaak geschreven met het idee dat ze prachtig vereenvoudigd kunnen worden.

Berekeningen tussen haakjes

Let goed op het bordje voor de beugels! Vermenigvuldiging of deling wordt toegepast op elk element binnenin, en een minteken keert de bestaande “+” of “-” tekens om.

Haakjes worden berekend volgens de regels of met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules, waarna soortgelijke formules worden gegeven.

Breuken verkleinen

Breuken verkleinen Het is ook gemakkelijk. Zelf lopen ze zo nu en dan ‘gewillig weg’, zodra er operaties worden uitgevoerd om zulke leden binnen te halen. Maar je kunt het voorbeeld zelfs daarvoor vereenvoudigen: let op de teller en de noemer. Vaak bevatten ze expliciete of verborgen elementen die onderling herleidbaar zijn. Het is waar dat als je in het eerste geval alleen maar het onnodige hoeft te schrappen, je in het tweede geval zult moeten nadenken en een deel van de uitdrukking ter vereenvoudiging in vorm moet brengen. Gebruikte methoden:

• het zoeken naar en plaatsen van de grootste gemene deler van de teller en de noemer;
• waarbij elk bovenste element wordt gedeeld door de noemer.

Wanneer een uitdrukking of een deel ervan zich onder de hoofdmap bevindt, is de primaire taak van vereenvoudiging bijna hetzelfde als bij breuken. Het is noodzakelijk om te zoeken naar manieren om er volledig vanaf te komen of, als dit niet mogelijk is, om het teken dat de berekeningen hindert te minimaliseren. Bijvoorbeeld tot aan de onopvallende √(3) of √(7).

De juiste manier vereenvoudig de radicale uitdrukking – probeer er rekening mee te houden, waarvan sommige buiten het bord worden gedragen. Een illustratief voorbeeld: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Andere kleine trucs en nuances:

• deze vereenvoudigingsoperatie kan worden uitgevoerd met breuken, waarbij deze zowel als geheel als afzonderlijk als teller of noemer uit het teken worden gehaald;
• Een deel van de som of het verschil kan niet worden uitgebreid en verder dan de wortel worden genomen;
• wanneer u met variabelen werkt, houd dan rekening met de graad ervan, deze moet gelijk zijn aan of een veelvoud van de wortel om eruit te kunnen worden gehaald: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• soms is het mogelijk om van de radicale variabele af te komen door deze te verheffen tot een fractionele macht: √(y 3)=y 3/2.

Een machtsuitdrukking vereenvoudigen

Als in het geval van eenvoudige berekeningen met min of plus voorbeelden worden vereenvoudigd door soortgelijke voorbeelden te noemen, hoe zit het dan met het vermenigvuldigen of delen van variabelen met verschillende machten? Ze kunnen gemakkelijk worden vereenvoudigd door twee hoofdpunten te onthouden:

1. Als er een vermenigvuldigingsteken tussen de variabelen staat, tellen de machten op.
2. Wanneer ze door elkaar worden gedeeld, wordt dezelfde macht van de noemer afgetrokken van de macht van de teller.

De enige voorwaarde voor een dergelijke vereenvoudiging is dezelfde basis beide leden. Voorbeelden voor de duidelijkheid:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

We merken op dat bewerkingen met numerieke waarden vóór variabelen volgens het gebruikelijke gebeuren wiskundige regels. En als je goed kijkt, wordt het duidelijk dat de krachtelementen van de uitdrukking ‘werken’ op een vergelijkbare manier:

• Een term tot een macht verheffen betekent dat je deze een bepaald aantal keren met zichzelf vermenigvuldigt, d.w.z. x 2 =x×x;
• delen is vergelijkbaar: als je de machten van de teller en de noemer uitbreidt, worden sommige variabelen geannuleerd, terwijl de overige worden 'verzameld', wat gelijk staat aan aftrekken.

Zoals met alles vereist het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen niet alleen kennis van de basisprincipes, maar ook oefening. Na slechts een paar lessen zullen voorbeelden die ooit complex leken, zonder veel moeite worden teruggebracht tot korte en gemakkelijk op te lossen voorbeelden.

Video

Deze video helpt u begrijpen en onthouden hoe uitdrukkingen worden vereenvoudigd.

Heeft u geen antwoord gekregen op uw vraag? Stel een onderwerp voor aan de auteurs.

Vaak vereisen taken een vereenvoudigd antwoord. Hoewel zowel vereenvoudigde als niet-vereenvoudigde antwoorden juist zijn, kan de docent je cijfer verlagen als je je antwoord niet vereenvoudigt. Bovendien is de vereenvoudigde wiskundige uitdrukking veel gemakkelijker om mee te werken. Daarom is het erg belangrijk om uitdrukkingen te leren vereenvoudigen.

Stappen

Correcte volgorde van wiskundige bewerkingen

1. Onthoud de juiste volgorde voor het uitvoeren van wiskundige bewerkingen. Bij het vereenvoudigen van een wiskundige uitdrukking is er een bepaalde volgorde die moet worden gevolgd, omdat sommige wiskundige bewerkingen voorrang hebben op andere en eerst moeten worden uitgevoerd (in feite zal het niet volgen van de juiste volgorde van bewerkingen leiden tot een onjuist resultaat). Onthoud de volgende volgorde van wiskundige bewerkingen: uitdrukking tussen haakjes, machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, optellen, aftrekken.

   • Merk op dat als u de juiste volgorde van bewerkingen kent, u de meeste eenvoudige uitdrukkingen kunt vereenvoudigen, maar om een ​​polynoom (een uitdrukking met een variabele) te vereenvoudigen, moet u speciale trucs kennen (zie de volgende sectie).

2. Begin met het oplossen van de uitdrukking tussen haakjes. In de wiskunde geven haakjes aan dat de uitdrukking daarbinnen eerst moet worden geëvalueerd. Begin daarom bij het vereenvoudigen van een wiskundige uitdrukking met het oplossen van de uitdrukking tussen haakjes (het maakt niet uit welke bewerkingen u tussen haakjes moet uitvoeren). Maar onthoud dat wanneer u werkt met een uitdrukking tussen haakjes, u de volgorde van de bewerkingen moet volgen, dat wil zeggen dat de termen tussen haakjes eerst worden vermenigvuldigd, gedeeld, opgeteld, afgetrokken, enzovoort.

   • Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hier beginnen we met de uitdrukkingen tussen haakjes: 5 + 2 = 7 en 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • De uitdrukking tussen het tweede paar haakjes vereenvoudigt tot 5 omdat 4/2 eerst moet worden gedeeld (volgens de juiste volgorde van bewerkingen). Als u deze volgorde niet volgt, krijgt u het verkeerde antwoord: 3 + 4 = 7 en 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Als er nog een paar haakjes tussen de haakjes staat, begin dan met het vereenvoudigen door de uitdrukking tussen de binnenste haakjes op te lossen en ga dan verder met het oplossen van de uitdrukking tussen de buitenste haakjes.

3. Exponentiëren. Nadat je de uitdrukkingen tussen haakjes hebt opgelost, ga je verder met machtsverheffen (onthoud dat een macht een exponent en een grondtal heeft). Verhef de overeenkomstige uitdrukking (of getal) tot een macht en vervang het resultaat door de uitdrukking die u heeft gekregen.

   • In ons voorbeeld is de enige uitdrukking (getal) voor de macht 3 2: 3 2 = 9. In de uitdrukking die je krijgt, vervang je 3 2 door 9 en je krijgt: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Vermenigvuldigen. Houd er rekening mee dat de vermenigvuldigingsbewerking kan worden weergegeven door de volgende symbolen: "x", "∙" of "*". Maar als er geen symbolen staan ​​tussen het getal en de variabele (bijvoorbeeld 2x) of tussen het getal en het getal tussen haakjes (bijvoorbeeld 4(7)), dan is dit ook een vermenigvuldigingsbewerking.

   • In ons voorbeeld zijn er twee vermenigvuldigingsbewerkingen: 2x (twee vermenigvuldigd met de variabele “x”) en 4(7) (vier vermenigvuldigd met zeven). We kennen de waarde van x niet, dus laten we de uitdrukking 2x zoals hij is. 4(7) = 4 x 7 = 28. Nu kun je de gegeven uitdrukking als volgt herschrijven: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Verdeling. Houd er rekening mee dat de delingsbewerking kan worden weergegeven door de volgende symbolen: “/”, “÷” of “–” (u kunt het laatste teken in breuken zien). 3/4 is bijvoorbeeld drie gedeeld door vier.

   • In ons voorbeeld is er geen deeloperatie meer, omdat je 4 al door 2 (4/2) hebt gedeeld bij het oplossen van de uitdrukking tussen haakjes. U kunt dus doorgaan naar de volgende stap. Houd er rekening mee dat de meeste uitdrukkingen niet alle wiskundige bewerkingen bevatten (slechts enkele).

6. Vouw. Wanneer u termen van een uitdrukking toevoegt, kunt u beginnen met de term die het verst ligt (aan de linkerkant), of u kunt eerst de termen toevoegen die gemakkelijk kunnen worden toegevoegd. In de uitdrukking 49 + 29 + 51 +71 is het bijvoorbeeld gemakkelijker om eerst 49 + 51 = 100 op te tellen, dan 29 + 71 = 100 en ten slotte 100 + 100 = 200. Het is veel moeilijker om op deze manier op te tellen: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • In ons voorbeeld 2x + 28 + 9 + 5 zijn er twee optelbewerkingen. Laten we beginnen met de buitenste (linker) term: 2x + 28; je kunt 2x en 28 niet optellen omdat je de waarde van de variabele "x" niet kent. Voeg daarom 28 + 9 = 37 toe. Nu kan de uitdrukking als volgt worden herschreven: 2x + 37 - 5.

7. Aftrekken. Dit is de laatste operatie in in de juiste volgorde het uitvoeren van wiskundige bewerkingen. In dit stadium kunt u ook toevoegen negatieve getallen of doe het in de fase van het toevoegen van leden - dit heeft op geen enkele manier invloed op het eindresultaat.

   • In ons voorbeeld 2x + 37 - 5 is er slechts één aftrekkingsbewerking: 37 - 5 = 32.

8. In dit stadium zou u, nadat u alle wiskundige bewerkingen heeft uitgevoerd, een vereenvoudigde uitdrukking moeten krijgen. Maar als de uitdrukking die u krijgt een of meer variabelen bevat, onthoud dan dat de variabeleterm blijft zoals hij is. Het oplossen (niet vereenvoudigen) van een uitdrukking met een variabele impliceert het vinden van de waarde van die variabele. Soms kunnen variabele-uitdrukkingen worden vereenvoudigd met behulp van speciale methoden(zie volgende sectie).

   • In ons voorbeeld is het uiteindelijke antwoord 2x + 32. U kunt de twee termen pas optellen als u de waarde van de variabele "x" kent. Zodra u de waarde van de variabele kent, kunt u deze binominale waarde eenvoudig vereenvoudigen.

   Complexe uitdrukkingen vereenvoudigen

   1. Toevoeging van soortgelijke termen. Houd er rekening mee dat u alleen soortgelijke termen kunt aftrekken en optellen, dat wil zeggen termen met dezelfde variabele en dezelfde exponent. U kunt bijvoorbeeld 7x en 5x optellen, maar u kunt niet 7x en 5x 2 optellen (aangezien de exponenten verschillend zijn).

      • Deze regel is ook van toepassing op leden met meerdere variabelen. U kunt bijvoorbeeld 2xy 2 en -3xy 2 toevoegen, maar u kunt niet 2xy 2 en -3x 2 y of 2xy 2 en -3y 2 toevoegen.
      • Laten we een voorbeeld bekijken: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hier zijn soortgelijke termen 3x en 8x, dus ze kunnen bij elkaar worden opgeteld. De vereenvoudigde uitdrukking ziet er als volgt uit: x 2 - 5x + 6.

   2. Vereenvoudig de getalsfractie. In zo'n breuk bevatten zowel de teller als de noemer getallen (zonder variabele). Numerieke breuk op verschillende manieren vereenvoudigd. Deel eerst eenvoudigweg de noemer door de teller. Ten tweede, factoreer de teller en de noemer en annuleer soortgelijke factoren (aangezien het delen van een getal door zichzelf 1 oplevert). Met andere woorden: als zowel de teller als de noemer dezelfde factor hebben, kun je deze laten vallen en een vereenvoudigde breuk krijgen.

      • Neem bijvoorbeeld de breuk 36/60. Deel met behulp van een rekenmachine 36 door 60 om 0,6 te krijgen. Maar je kunt deze breuk op een andere manier vereenvoudigen door de teller en de noemer in factoren te ontbinden: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Omdat 6/6 = 1 is de vereenvoudigde breuk: 1 x 6/10 = 6/10. Maar deze breuk kan ook vereenvoudigd worden: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Als een breuk een variabele bevat, kunt u soortgelijke factoren met de variabele annuleren. Ontbind de teller en de noemer in factoren en annuleer soortgelijke factoren, zelfs als ze de variabele bevatten (onthoud dat soortgelijke factoren hier de variabele wel of niet kunnen bevatten).

      • Laten we naar een voorbeeld kijken: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Deze uitdrukking kan worden herschreven (ontbonden) in de vorm: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Omdat de term 3x zowel in de teller als in de noemer voorkomt, kun je deze weglaten om een ​​vereenvoudigde uitdrukking te krijgen: (x + 1)/(5 - x). Laten we een ander voorbeeld bekijken: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Houd er rekening mee dat u geen termen kunt annuleren. Alleen identieke factoren die zowel in de teller als in de noemer aanwezig zijn, worden geannuleerd. In de uitdrukking (x(x + 2))/x staat de variabele (factor) “x” bijvoorbeeld zowel in de teller als in de noemer, dus “x” kan worden gereduceerd om een ​​vereenvoudigde uitdrukking te verkrijgen: (x + 2))/x 2)/1 = x + 2. In de uitdrukking (x + 2)/x kan de variabele “x” echter niet worden gereduceerd (aangezien “x” geen factor is in de teller).

   4. Open de haakjes. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de term buiten de haakjes met elke term tussen haakjes. Soms helpt dit om een ​​complexe uitdrukking te vereenvoudigen. Dit geldt voor zowel leden die priemgetallen zijn als leden die een variabele bevatten.

      • Bijvoorbeeld 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, en 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Houd er rekening mee dat het bij breukuitdrukkingen niet nodig is om haakjes te openen als zowel de teller als de noemer dezelfde factor hebben. In de uitdrukking (3(x 2 + 8))/3x is het bijvoorbeeld niet nodig om de haakjes uit te breiden, omdat u hier de factor 3 kunt annuleren en de vereenvoudigde uitdrukking (x 2 + 8)/x kunt krijgen. Deze uitdrukking is gemakkelijker om mee te werken; als je de haakjes zou uitvouwen, zou je de volgende complexe uitdrukking krijgen: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Factorpolynomen. Met deze methode kunt u enkele uitdrukkingen en polynomen vereenvoudigen. Factoring is de tegenovergestelde bewerking van het openen van haakjes, dat wil zeggen dat een uitdrukking wordt geschreven als het product van twee uitdrukkingen, elk tussen haakjes. In sommige gevallen kunt u met factoring dezelfde uitdrukking reduceren. In bijzondere gevallen (meestal met kwadratische vergelijkingen Met factoring kunt u de vergelijking oplossen.

      • Beschouw de uitdrukking x 2 - 5x + 6. Deze wordt ontbonden: (x - 3)(x - 2). Dus als de uitdrukking bijvoorbeeld wordt gegeven (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), dan kun je deze herschrijven als (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), verklein de uitdrukking (x - 2) en verkrijg een vereenvoudigde uitdrukking (x - 3)/2.
      • Het factoriseren van polynomen wordt gebruikt om vergelijkingen op te lossen (wortels te vinden) (een vergelijking is een polynoom gelijk aan 0). Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking x 2 - 5x + 6 = 0. Door deze in factoren te ontbinden, krijg je (x - 3)(x - 2) = 0. Omdat elke uitdrukking vermenigvuldigd met 0 gelijk is aan 0, kunnen we deze schrijven als dit: x - 3 = 0 en x - 2 = 0. Dus x = 3 en x = 2, dat wil zeggen dat je twee wortels hebt gevonden van de vergelijking die je hebt gekregen.

Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is een van de belangrijkste punten het leren van algebra en een uiterst nuttige vaardigheid voor alle wiskundigen. Met vereenvoudiging kunt u een complexe of lange uitdrukking terugbrengen tot een eenvoudige uitdrukking waarmee u gemakkelijk kunt werken. Basisvaardigheden van vereenvoudiging zijn goed, zelfs voor degenen die niet enthousiast zijn over wiskunde. Door er meerdere te observeren eenvoudige regels, kun je veel van de meest voorkomende soorten algebraïsche uitdrukkingen vereenvoudigen zonder speciale wiskundige kennis.

Stappen

Belangrijke definities

1. Soortgelijke leden. Dit zijn leden met een variabele van dezelfde orde, leden met dezelfde variabelen of vrije leden (leden die geen variabele bevatten). Met andere woorden: soortgelijke termen omvatten dezelfde variabele in dezelfde mate, omvatten meerdere van dezelfde variabelen, of bevatten helemaal geen variabele. De volgorde van de termen in de uitdrukking doet er niet toe.

   • 3x 2 en 4x 2 zijn bijvoorbeeld vergelijkbare termen omdat ze een variabele van de tweede orde (tot de tweede macht) "x" bevatten. X en x2 zijn echter geen vergelijkbare termen, omdat ze de variabele “x” van verschillende ordes (eerste en tweede) bevatten. Op dezelfde manier zijn -3yx en 5xz geen vergelijkbare termen omdat ze verschillende variabelen bevatten.

2. Factorisatie. Dit is het vinden van getallen waarvan het product naar het oorspronkelijke getal leidt. Elk origineel nummer kan verschillende factoren hebben. Het getal 12 kan bijvoorbeeld worden ontleed in volgende rij factoren: 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, dus we kunnen zeggen dat de getallen 1, 2, 3, 4, 6 en 12 factoren zijn van het getal 12. Factoren zijn hetzelfde als delers, dat wil zeggen de getallen waardoor het oorspronkelijke getal wordt gedeeld.

   • Als u bijvoorbeeld het getal 20 wilt ontbinden, schrijft u dit als volgt: 4×5.
   • Merk op dat bij het factoriseren rekening wordt gehouden met de variabele. Bijvoorbeeld 20x = 4(5x).
   • Priemgetallen kunnen niet in factoren worden ontbonden, omdat ze alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1.

3. Onthoud en volg de volgorde van de handelingen om fouten te voorkomen.

   • Haakjes
   • Rang
   • Vermenigvuldiging
   • Divisie
   • Toevoeging
   • Aftrekken

   Gelijksoortige leden meenemen

   1. Schrijf de uitdrukking op. Eenvoudige algebraïsche uitdrukkingen (die geen breuken, wortels, enz. bevatten) kunnen in slechts een paar stappen worden opgelost (vereenvoudigd).

      • Vereenvoudig de uitdrukking bijvoorbeeld 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieer vergelijkbare termen (termen met een variabele van dezelfde orde, termen met dezelfde variabelen of vrije termen).

      • Zoek vergelijkbare termen in deze uitdrukking. De termen 2x en 4x bevatten een variabele van dezelfde orde (eerste). Bovendien zijn 1 en -3 vrije termen (bevatten geen variabele). Dus in deze uitdrukking de termen 2x en 4x zijn vergelijkbaar, en de leden 1 en -3 zijn ook vergelijkbaar.

   3. Geef vergelijkbare leden. Dit betekent dat u ze moet optellen of aftrekken en de uitdrukking moet vereenvoudigen.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Herschrijf de uitdrukking, rekening houdend met de gegeven termen. U krijgt een eenvoudige uitdrukking met minder termen. De nieuwe uitdrukking is gelijk aan de oorspronkelijke.

      • In ons voorbeeld: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, dat wil zeggen dat de oorspronkelijke expressie vereenvoudigd is en gemakkelijker om mee te werken.

   5. Volg de volgorde van handelingen bij het meenemen van soortgelijke leden. In ons voorbeeld was het gemakkelijk om vergelijkbare termen op te geven. Echter, voor het geval dat complexe uitdrukkingen, waarin de termen tussen haakjes staan ​​en breuken en wortels aanwezig zijn, is het niet zo eenvoudig om dergelijke termen te gebruiken. Volg in deze gevallen de volgorde van de handelingen.

      • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier zou het een vergissing zijn om 3x en 2x onmiddellijk als soortgelijke termen te definiëren en deze te geven, omdat het noodzakelijk is eerst de haakjes te openen. Voer daarom de bewerkingen uit volgens hun volgorde.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nu Als de uitdrukking alleen optel- en aftrekkingsbewerkingen bevat, kunt u vergelijkbare termen gebruiken.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Haal de vermenigvuldiger tussen haakjes

   1. Zoek de grootste gemene deler (GCD) van alle coëfficiënten van de uitdrukking. GCD is grootste aantal, waardoor alle coëfficiënten van de uitdrukking worden gedeeld.

      • Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking 9x 2 + 27x - 3. In dit geval is GCD = 3, aangezien elke coëfficiënt van deze uitdrukking deelbaar is door 3.

   2. Deel elke term van de uitdrukking door ggd. De resulterende termen zullen kleinere coëfficiënten bevatten dan in de oorspronkelijke uitdrukking.

      • In ons voorbeeld deelt u elke term in de uitdrukking door 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Het resultaat was een uitdrukking 3x 2 + 9x - 1. Het is niet gelijk aan de oorspronkelijke uitdrukking.

   3. Schrijf de originele expressie als gelijk aan het product van ggd en de resulterende expressie. Dat wil zeggen: plaats de resulterende uitdrukking tussen haakjes en haal de ggd uit de haakjes.

      • In ons voorbeeld: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereenvoudiging van breukuitdrukkingen door de factor tussen haakjes te plaatsen. Waarom simpelweg de vermenigvuldiger tussen haakjes zetten, zoals eerder werd gedaan? Vervolgens leert u hoe u complexe uitdrukkingen, zoals breukuitdrukkingen, kunt vereenvoudigen. In dit geval kan het plaatsen van de factor tussen haakjes helpen om de breuk (van de noemer) kwijt te raken.

      • Beschouw bijvoorbeeld de fractionele uitdrukking (9x 2 + 27x - 3)/3. Gebruik factoring om deze uitdrukking te vereenvoudigen.
        • Zet de factor 3 tussen haakjes (zoals je eerder deed): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Merk op dat er nu een 3 in zowel de teller als de noemer staat. Dit kan worden gereduceerd tot de uitdrukking: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Omdat elke breuk met het getal 1 in de noemer eenvoudigweg gelijk is aan de teller, wordt de oorspronkelijke breukuitdrukking vereenvoudigd tot: 3x 2 + 9x - 1.

   Aanvullende vereenvoudigingsmethoden

4. Laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken: √(90). Het getal 90 kan worden verwerkt in de volgende factoren: 9 en 10, en afgeleid van 9 vierkantswortel(3) en verwijder er 3 onder de wortel.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Uitdrukkingen vereenvoudigen met machten. Sommige uitdrukkingen bevatten bewerkingen voor het vermenigvuldigen of delen van termen met machten. In het geval van het vermenigvuldigen van termen met dezelfde grondtal worden hun bevoegdheden opgeteld; in het geval van het delen van termen met dezelfde grondtal, worden hun graden afgetrokken.

   • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). In het geval van vermenigvuldigen tel je de machten bij elkaar op, en in het geval van delen trek je ze af.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Hieronder volgt een uitleg van de regels voor het vermenigvuldigen en delen van termen met machten.
     • Het vermenigvuldigen van termen met machten is gelijk aan het vermenigvuldigen van termen met zichzelf. Omdat bijvoorbeeld x 3 = x × x × x en x 5 = x × x × x × x × x, dan x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x8.
     • Op dezelfde manier is het delen van termen met graden gelijk aan het delen van termen op zichzelf. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Omdat vergelijkbare termen in zowel de teller als de noemer kunnen worden gereduceerd, blijft het product van twee “x”, of x 2 , in de teller.

• Onthoud altijd de tekens (plus of min) die aan de termen van de uitdrukking voorafgaan, omdat veel mensen moeite hebben met het kiezen van het juiste teken.
• Vraag om hulp als dat nodig is!
• Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is niet eenvoudig, maar als je het eenmaal onder de knie hebt, is het een vaardigheid die je de rest van je leven kunt gebruiken.

Een algebraïsche uitdrukking waarin, samen met de bewerkingen van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, delen door letterlijke uitdrukkingen, wordt een fractionele algebraïsche uitdrukking genoemd. Dit zijn bijvoorbeeld de uitdrukkingen

We noemen een algebraïsche breuk een algebraïsche uitdrukking die de vorm heeft van een quotiënt van de deling van twee algebraïsche uitdrukkingen met gehele getallen (bijvoorbeeld monomialen of polynomen). Dit zijn bijvoorbeeld de uitdrukkingen

De derde van de uitdrukkingen).

Identieke transformaties van fractionele algebraïsche uitdrukkingen zijn voor het grootste deel bedoeld om ze in de vorm weer te geven algebraïsche breuk. Om de gemeenschappelijke noemer te vinden, wordt factorisatie van de noemers van breuken gebruikt - termen om hun kleinste gemene veelvoud te vinden. Bij het reduceren van algebraïsche breuken kan de strikte identiteit van uitdrukkingen worden geschonden: het is noodzakelijk om waarden uit te sluiten van grootheden waarbij de factor waarmee de reductie wordt doorgevoerd nul wordt.

Laten we voorbeelden geven van identieke transformaties van fractionele algebraïsche uitdrukkingen.

Voorbeeld 1: Vereenvoudig een uitdrukking

Alle termen kunnen worden herleid tot een gemeenschappelijke noemer (het is handig om het teken in de noemer van de laatste term en het teken ervoor te veranderen):

Onze uitdrukking is gelijk aan één voor alle waarden, behalve deze waarden; het is niet gedefinieerd en het verkleinen van de breuk is illegaal).

Voorbeeld 2. Geef de uitdrukking weer als een algebraïsche breuk

Oplossing. Voor gemeenschappelijke noemer we kunnen de uitdrukking accepteren. Achtereenvolgens vinden we:

Oefeningen

1. Zoek de waarden van algebraïsche uitdrukkingen voor de opgegeven parameterwaarden:

2. Factoriseren.

Opmerking 1

Een Booleaanse functie kan worden geschreven met behulp van een Booleaanse expressie en kan vervolgens naar een logisch circuit worden verplaatst. Het is noodzakelijk om logische uitdrukkingen te vereenvoudigen om een ​​zo eenvoudig mogelijk (en daarom goedkoper) logisch circuit te verkrijgen. In wezen zijn er drie een logische functie, een logische expressie en een logisch circuit verschillende talen, die over één entiteit vertelt.

Gebruik om logische expressies te vereenvoudigen wetten van de algebralogica.

Sommige transformaties zijn vergelijkbaar met transformaties van formules in de klassieke algebra (de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten, gebruik maken van commutatieve en combinatorische wetten, enz.), terwijl andere transformaties gebaseerd zijn op eigenschappen die de bewerkingen van de klassieke algebra niet hebben (door gebruik te maken van de distributieve wetten). wet voor conjunctie, wetten van absorptie, lijmen, de regels van De Morgan, enz.).

De wetten van de logische algebra zijn geformuleerd voor fundamentele logische bewerkingen: “NOT” – inversie (negatie), “AND” – conjunctie (logische vermenigvuldiging) en “OR” – disjunctie (logische optelling).

De wet van de dubbele ontkenning betekent dat de “NIET”-operatie omkeerbaar is: als je deze twee keer toepast, verandert de logische waarde uiteindelijk niet.

De wet van het uitgesloten midden stelt dat elke logische uitdrukking waar of onwaar is (“er is geen derde”). Dus als $A=1$, dan is $\bar(A)=0$ (en vice versa), wat betekent dat de conjunctie van deze grootheden altijd gelijk is aan nul, en de disjunctie altijd gelijk is aan één.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Laten we deze formule vereenvoudigen:

Figuur 3.

Hieruit volgt dat $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Antwoord: Leerlingen $B$, $C$ en $D$ schaken, maar leerling $A$ speelt niet.

Bij het vereenvoudigen van logische expressies kunt u de volgende reeks acties uitvoeren:

1. Vervang alle ‘niet-basisbewerkingen’ (equivalentie, implicatie, exclusieve OR, enz.) door hun uitdrukkingen via de basisbewerkingen van inversie, conjunctie en disjunctie.
2. Breid de inversies van complexe uitdrukkingen uit volgens de regels van De Morgan, op zo'n manier dat negatie-operaties alleen voor individuele variabelen blijven bestaan.
3. Vereenvoudig vervolgens de uitdrukking door haakjes te openen, gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te plaatsen en andere wetten van de logische algebra.

Voorbeeld 2

Hier worden achtereenvolgens de regel van De Morgan, de distributieve wet, de wet van het uitgesloten midden, de commutatieve wet, de wet van de herhaling, opnieuw de commutatieve wet en de wet van absorptie gebruikt.