In dit artikel zullen we het concept van het kruisproduct van twee vectoren nader bekijken. We zullen de nodige definities geven, een formule schrijven voor het vinden van de coördinaten van een vectorproduct, de eigenschappen ervan opsommen en rechtvaardigen. Hierna zullen we stilstaan ​​bij de geometrische betekenis van het vectorproduct van twee vectoren en oplossingen overwegen voor verschillende typische voorbeelden.

Paginanavigatie.

Definitie van kruisproduct.

Voordat we een vectorproduct definiëren, moeten we eerst de oriëntatie van een geordend drietal vectoren in de driedimensionale ruimte begrijpen.

Laten we de vectoren vanuit één punt plotten. Afhankelijk van de richting van de vector kunnen de drie rechts of links zijn. Laten we vanaf het einde van de vector kijken hoe de kortste bocht van de vector naar . Als de kortste rotatie tegen de klok in plaatsvindt, wordt het drietal vectoren genoemd rechts, anders - links.

Laten we nu twee niet-collineaire vectoren nemen en . Laten we de vectoren plotten en vanuit punt A. Laten we een vector construeren die loodrecht op zowel en als staat. Het is duidelijk dat we bij het construeren van een vector twee dingen kunnen doen: de vector de ene of de tegenovergestelde richting geven (zie afbeelding).

Afhankelijk van de richting van de vector kan het geordende triplet van vectoren rechtshandig of linkshandig zijn.

Dit brengt ons dicht bij de definitie van een vectorproduct. Het wordt gegeven voor twee vectoren gedefinieerd in een rechthoekig coördinatensysteem van een driedimensionale ruimte.

Definitie.

Het kruisproduct van twee vectoren en , gespecificeerd in rechthoekig systeem coördinaten van de driedimensionale ruimte worden een vector genoemd zodat

Het kruisproduct van vectoren en wordt aangeduid als .

Coördinaten van het vectorproduct.

Nu zullen we de tweede definitie van een vectorproduct geven, waarmee je de coördinaten ervan kunt vinden op basis van de coördinaten van gegeven vectoren en.

Definitie.

In een rechthoekig coördinatensysteem van een driedimensionale ruimte vectorproduct van twee vectoren En is een vector, waarbij de coördinaatvectoren zijn.

Deze definitie geeft ons het kruisproduct in coördinatenvorm.

Het is handig om het vectorproduct weer te geven als de determinant van een vierkante matrix van de derde orde, waarvan de eerste rij de vectoren zijn, de tweede rij de coördinaten van de vector en de derde de coördinaten van de vector in een bepaalde rij. rechthoekig coördinatensysteem:

Als we deze determinant uitbreiden naar de elementen van de eerste rij, verkrijgen we de gelijkheid uit de definitie van het vectorproduct in coördinaten (raadpleeg indien nodig het artikel):

Opgemerkt moet worden dat de coördinatenvorm van het vectorproduct volledig consistent is met de definitie gegeven in de eerste paragraaf van dit artikel. Bovendien zijn deze twee definities van een kruisproduct gelijkwaardig. U kunt het bewijs van dit feit zien in het boek dat aan het einde van het artikel wordt vermeld.

Eigenschappen van een vectorproduct.

Omdat het vectorproduct in coördinaten kan worden weergegeven als een determinant van de matrix, kan het volgende eenvoudig worden gerechtvaardigd op basis van eigenschappen van het kruisproduct:

Laten we als voorbeeld de anticommutatieve eigenschap van een vectorproduct bewijzen.

Per definitie En . We weten dat de waarde van de determinant van een matrix wordt omgekeerd als twee rijen worden verwisseld, daarom , wat de anticommutatieve eigenschap van een vectorproduct bewijst.

Vectorproduct - voorbeelden en oplossingen.

Er zijn grofweg drie soorten problemen.

In problemen van het eerste type worden de lengtes van twee vectoren en de hoek ertussen gegeven, en moet je de lengte van het vectorproduct vinden. In dit geval wordt de formule gebruikt .

Voorbeeld.

Zoek de lengte van het vectorproduct van de vectoren en , indien bekend .

Oplossing.

We weten uit de definitie dat de lengte van het vectorproduct van vectoren gelijk is aan het product van de lengten van vectoren en door de sinus van de hoek ertussen, daarom .

Antwoord:

.

Problemen van het tweede type houden verband met de coördinaten van vectoren, waarbij het vectorproduct, de lengte ervan of iets anders wordt doorzocht via de coördinaten van gegeven vectoren En .

Er is hier veel potentieel verschillende opties. Niet de coördinaten van de vectoren kunnen bijvoorbeeld worden gespecificeerd, maar hun uitbreidingen naar coördinaatvectoren van de vorm en , of vectoren en kunnen worden gespecificeerd door de coördinaten van hun begin- en eindpunt.

Laten we eens kijken naar typische voorbeelden.

Voorbeeld.

Twee vectoren worden gegeven in een rechthoekig coördinatensysteem . Vind hun kruisproduct.

Oplossing.

Volgens de tweede definitie wordt het vectorproduct van twee vectoren in coördinaten geschreven als:

We zouden tot hetzelfde resultaat zijn gekomen als het vectorproduct in termen van de determinant was geschreven

Antwoord:

.

Voorbeeld.

Zoek de lengte van het vectorproduct van de vectoren en , waar zijn de eenheidsvectoren van het rechthoekige Cartesiaanse coördinatensysteem.

Oplossing.

Eerst vinden we de coördinaten van het vectorproduct in een gegeven rechthoekig coördinatensysteem.

Omdat vectoren en respectievelijk coördinaten hebben (zie indien nodig het artikel coördinaten van een vector in een rechthoekig coördinatensysteem), dan hebben we bij de tweede definitie van een vectorproduct

Dat wil zeggen, het vectorproduct heeft coördinaten in een bepaald coördinatensysteem.

We vinden de lengte van een vectorproduct als de vierkantswortel van de som van de kwadraten van zijn coördinaten (we hebben deze formule voor de lengte van een vector verkregen in de sectie over het vinden van de lengte van een vector):

Antwoord:

.

Voorbeeld.

In een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem worden de coördinaten van drie punten gegeven. Zoek een vector die loodrecht is en tegelijkertijd.

Oplossing.

Vectoren en hebben respectievelijk coördinaten en (zie het artikel om de coördinaten van een vector te vinden aan de hand van de coördinaten van punten). Als we het vectorproduct van de vectoren en vinden, dan is het per definitie een vector loodrecht op zowel to als op , dat wil zeggen dat het een oplossing is voor ons probleem. Laten we hem vinden

Antwoord:

- een van de loodrechte vectoren.

Bij problemen van het derde type wordt de vaardigheid van het gebruik van de eigenschappen van het vectorproduct van vectoren getest. Na het toepassen van de eigenschappen worden de bijbehorende formules toegepast.

Voorbeeld.

De vectoren en staan ​​loodrecht en hun lengte is respectievelijk 3 en 4. Zoek de lengte van het kruisproduct .

Oplossing.

Door de distributieve eigenschap van een vectorproduct kunnen we schrijven

Vanwege de combinatie-eigenschap halen we de numerieke coëfficiënten uit het teken van de vectorproducten in de laatste uitdrukking:

De vectorproducten en zijn sindsdien gelijk aan nul En , Dan .

Omdat het vectorproduct anticommutatief is, is .

Dus door gebruik te maken van de eigenschappen van het vectorproduct kwamen we tot de gelijkheid .

Per voorwaarde zijn de vectoren en loodrecht, dat wil zeggen dat de hoek ertussen gelijk is aan . Dat wil zeggen, we hebben alle gegevens om de vereiste lengte te vinden

Antwoord:

.

Geometrische betekenis van een vectorproduct.

Per definitie is de lengte van het vectorproduct van vectoren gelijk aan . En van de cursus geometrie middelbare school We weten dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van de twee zijden van de driehoek en de sinus van de hoek daartussen. Bijgevolg is de lengte van het vectorproduct gelijk aan tweemaal de oppervlakte van een driehoek waarvan de zijden de vectoren en zijn, als ze vanuit één punt worden uitgezet. Met andere woorden, de lengte van het vectorproduct van vectoren is gelijk aan de oppervlakte van een parallellogram met zijden en en de hoek daartussen gelijk aan . Dit is geometrische betekenis vectorproduct.

In deze les zullen we nog twee bewerkingen met vectoren bekijken: vectorproduct van vectoren En gemengd product van vectoren (directe link voor degenen die het nodig hebben). Het is oké, soms gebeurt het dat voor volledig geluk, bovendien scalair product van vectoren, er is steeds meer nodig. Dit is vectorverslaving. Het lijkt misschien alsof we in de jungle van de analytische meetkunde terechtkomen. Dit is verkeerd. In dit deel van de hogere wiskunde is er over het algemeen weinig hout, behalve misschien genoeg voor Pinocchio. In feite is het materiaal heel gebruikelijk en eenvoudig - nauwelijks ingewikkelder dan hetzelfde puntproduct zullen er zelfs minder typische taken zijn. Het belangrijkste in de analytische meetkunde is, zoals velen overtuigd zullen zijn of al overtuigd zijn, dat je GEEN FOUTEN MAAKT BIJ BEREKENINGEN. Herhaal als een spreuk en je zult blij zijn =)

Als vectoren ergens ver weg schitteren, zoals bliksem aan de horizon, maakt het niet uit, begin met de les Vectoren voor dummies basiskennis over vectoren herstellen of opnieuw verwerven. Meer voorbereide lezers kunnen selectief kennis maken met de informatie; ik heb geprobeerd de meest complete verzameling voorbeelden te verzamelen die vaak worden aangetroffen in praktisch werk

Waar word jij meteen blij van? Toen ik klein was, kon ik met twee en zelfs drie ballen jongleren. Het pakte goed uit. Nu hoef je helemaal niet meer te jongleren, want we zullen het overwegen alleen ruimtelijke vectoren, en platte vectoren met twee coördinaten worden weggelaten. Waarom? Dit is hoe deze acties zijn ontstaan: de vector en het gemengde product van vectoren worden gedefinieerd en werken in een driedimensionale ruimte. Het is al makkelijker!

Deze bewerking houdt, net als het scalaire product, in twee vectoren. Laat dit onvergankelijke brieven zijn.

De actie zelf aangegeven door als volgt: . Er zijn andere opties, maar ik ben gewend om het vectorproduct van vectoren op deze manier aan te duiden, tussen vierkante haken met een kruis.

En meteen vraag: als binnen scalair product van vectoren het gaat om twee vectoren, en hier worden dus ook twee vectoren vermenigvuldigd wat is het verschil? Het voor de hand liggende verschil zit in de eerste plaats in het RESULTAAT:

Het resultaat van het scalaire product van vectoren is NUMBER:

Het resultaat van het kruisproduct van vectoren is VECTOR: , dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de vectoren en krijgen weer een vector. Gesloten clubje. Eigenlijk is dit waar de naam van de operatie vandaan komt. In verschillende onderwijsliteratuur kunnen de aanduidingen ook variëren; ik zal de letter gebruiken.

Definitie van kruisproduct

Eerst zal er een definitie zijn met een afbeelding, daarna commentaar.

Definitie: Vectorproduct niet-collineair vectoren, opgenomen in deze volgorde , genaamd VECTOR, lengte dat is numeriek gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram, gebouwd op deze vectoren; vector orthogonaal op vectoren, en is zo gericht dat de basis de juiste oriëntatie heeft:

Laten we de definitie stukje bij beetje opsplitsen, er staan ​​hier veel interessante dingen!

De volgende belangrijke punten kunnen dus worden benadrukt:

1) De originele vectoren, per definitie aangegeven met rode pijlen niet collineair. Het zal passend zijn om iets later het geval van collineaire vectoren te beschouwen.

2) Er worden vectoren genomen in een strikt gedefinieerde volgorde: – "a" wordt vermenigvuldigd met "zijn", niet “zijn” met “a”. Het resultaat van vectorvermenigvuldiging is VECTOR, aangegeven in blauw. Als de vectoren in omgekeerde volgorde worden vermenigvuldigd, krijgen we een vector van gelijke lengte en tegengestelde richting (frambozenkleur). Dat wil zeggen: de gelijkheid is waar .

3) Laten we nu kennis maken met de geometrische betekenis van het vectorproduct. Dit is erg belangrijk punt! De LENGTE van de blauwe vector (en dus de karmozijnrode vector) is numeriek gelijk aan de AREA van het parallellogram dat op de vectoren is gebouwd. In de figuur is dit parallellogram zwart gearceerd.

Opmerking : de tekening is schematisch en uiteraard is de nominale lengte van het vectorproduct niet gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram.

Laten we er één onthouden geometrische formules: De oppervlakte van een parallellogram is gelijk aan het product van aangrenzende zijden en de sinus van de hoek daartussen. Daarom is, op basis van het bovenstaande, de formule voor het berekenen van de LENGTE van een vectorproduct geldig:

Ik benadruk dat de formule gaat over de LENGTE van de vector, en niet over de vector zelf. Wat is de praktische betekenis? En de betekenis is dat bij problemen van de analytische meetkunde het gebied van een parallellogram vaak wordt gevonden via het concept van een vectorproduct:

Laten we de tweede belangrijke formule verkrijgen. De diagonaal van een parallellogram (rode stippellijn) verdeelt het in tweeën gelijke driehoek. Daarom kan het gebied van een driehoek gebouwd op vectoren (rode arcering) worden gevonden met behulp van de formule:

4) Een even belangrijk feit is dat de vector orthogonaal is op de vectoren . Uiteraard is de tegengesteld gerichte vector (frambozenpijl) ook orthogonaal ten opzichte van de oorspronkelijke vectoren.

5) De vector is zo gericht basis heeft rechts oriëntatie. In de les over overgang naar een nieuwe basis Ik heb er voldoende gedetailleerd over gesproken vlak oriëntatie, en nu zullen we uitzoeken wat ruimteoriëntatie is. Ik zal het op je vingers uitleggen rechterhand . Mentaal combineren wijsvinger met vector-en middelvinger met vector. Ringvinger en pink druk het in je handpalm. Als resultaat duim – het vectorproduct zal opzoeken. Dit is een rechtsgeoriënteerde basis (het is deze in de figuur). Verander nu de vectoren ( wijs- en middelvinger) op sommige plaatsen, waardoor de duim zich zal omdraaien en het vectorproduct al naar beneden zal kijken. Ook dit is een rechtsgeoriënteerde basis. Je hebt misschien een vraag: welke basis heeft de oriëntatie verlaten? “Toewijzen” aan dezelfde vingers linkerhand vectoren, en verkrijg de linkerbasis en linkeroriëntatie van de ruimte (in dit geval bevindt de duim zich in de richting van de onderste vector). Figuurlijk gesproken ‘draaien’ of oriënteren deze bases de ruimte in verschillende richtingen. En dit concept moet niet als iets vergezocht of abstracts worden beschouwd - de oriëntatie van de ruimte verandert bijvoorbeeld het meest gewone spiegel, en als je “het gereflecteerde object uit het kijkglas trekt”, dan zal het in het algemeen niet mogelijk zijn om het te combineren met het “origineel”. Houd trouwens drie vingers tegen de spiegel en analyseer de reflectie ;-)

...hoe goed het is dat je het nu weet rechts- en linksgericht bases, omdat de uitspraken van sommige docenten over een verandering van oriëntatie beangstigend zijn =)

Kruisproduct van collineaire vectoren

De definitie is in detail besproken, het valt nog te bezien wat er gebeurt als de vectoren collineair zijn. Als de vectoren collineair zijn, kunnen ze op één rechte lijn worden geplaatst en ons parallellogram "voegt" ook toe tot één rechte lijn. Het gebied hiervan, zoals wiskundigen zeggen, ontaarden parallellogram is gelijk aan nul. Hetzelfde volgt uit de formule: de sinus van nul of 180 graden is gelijk aan nul, wat betekent dat het gebied nul is

Dus als, dan En . Houd er rekening mee dat het vectorproduct zelf gelijk is aan de nulvector, maar in de praktijk wordt dit vaak verwaarloosd en staat geschreven dat het ook gelijk is aan nul.

Speciaal geval– vectorproduct van een vector met zichzelf:

Met behulp van het vectorproduct kun je de collineariteit van driedimensionale vectoren controleren, en we zullen onder meer dit probleem ook analyseren.

Om op te lossen praktische voorbeelden kan nodig zijn trigonometrische tafel om er de waarden van sinussen uit te vinden.

Nou, laten we het vuur aansteken:

Voorbeeld 1

a) Bereken de lengte van het vectorproduct van vectoren if

b) Zoek de oppervlakte van een parallellogram gebouwd op vectoren als

Oplossing: Nee, dit is geen typefout, ik heb met opzet de initiële gegevens in de clausules hetzelfde gemaakt. Omdat het ontwerp van de oplossingen anders zal zijn!

a) Volgens de voorwaarde moet je vinden lengte vector (kruisproduct). Volgens de bijbehorende formule:

Antwoord:

Als u naar de lengte wordt gevraagd, geven we in het antwoord de dimensie-eenheden aan.

b) Volgens de voorwaarde moet je vinden vierkant parallellogram gebouwd op vectoren. De oppervlakte van dit parallellogram is numeriek gelijk aan de lengte van het vectorproduct:

Antwoord:

Houd er rekening mee dat het antwoord helemaal niet over het vectorproduct gaat; gebied van de figuur Dienovereenkomstig is de afmeting vierkante eenheden.

We kijken altijd naar WAT we moeten vinden op basis van de aandoening, en op basis daarvan formuleren we duidelijk antwoord. Het lijkt misschien letterlijk, maar er zijn genoeg letterlijke leraren onder hen, en de opdracht heeft een goede kans om ter herziening teruggestuurd te worden. Hoewel dit geen bijzonder vergezochte klacht is: als het antwoord onjuist is, krijgt men de indruk dat de persoon het niet begrijpt simpele dingen en/of begreep de essentie van de taak niet. Dit punt moet altijd onder controle worden gehouden bij het oplossen van een probleem hogere wiskunde en ook in andere vakken.

Waar is de grote letter ‘en’ gebleven? In principe had het extra aan de oplossing kunnen worden toegevoegd, maar om de invoer te verkorten heb ik dit niet gedaan. Ik hoop dat iedereen dat begrijpt en dat het een aanduiding is voor hetzelfde.

Een populair voorbeeld voor onafhankelijke beslissing:

Voorbeeld 2

Zoek de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

De formule voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek door het vectorproduct wordt gegeven in de opmerkingen bij de definitie. De oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

In de praktijk komt de taak heel vaak voor; driehoeken kunnen je over het algemeen kwellen.

Om andere problemen op te lossen hebben we nodig:

Eigenschappen van het vectorproduct van vectoren

We hebben al enkele eigenschappen van het vectorproduct overwogen, maar ik zal ze in deze lijst opnemen.

Voor willekeurige vectoren en willekeurige getallen geldt volgende eigenschappen:

1) In andere informatiebronnen wordt dit item meestal niet benadrukt in de eigenschappen, maar het is in praktische termen erg belangrijk. Dus laat het zo zijn.

2) – de woning wordt hierboven ook besproken, soms wordt het ook wel genoemd anticommutativiteit. Met andere woorden: de volgorde van de vectoren is van belang.

3) – associatief of associatief vectorproductwetten. Constanten kunnen eenvoudig buiten het vectorproduct worden verplaatst. Echt, wat moeten ze daar doen?

4) – distributie of distributief vectorproductwetten. Ook met het openen van de beugels zijn er geen problemen.

Laten we, om dit aan te tonen, een kort voorbeeld bekijken:

Voorbeeld 3

Zoek of

Oplossing: De voorwaarde vereist opnieuw het vinden van de lengte van het vectorproduct. Laten we onze miniatuur schilderen:

(1) Volgens associatieve wetten nemen we de constanten buiten het bereik van het vectorproduct.

(2) We verplaatsen de constante buiten de module, en de module “eet” het minteken op. De lengte kan niet negatief zijn.

(3) De rest is duidelijk.

Antwoord:

Het is tijd om meer hout aan het vuur toe te voegen:

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

Oplossing: Zoek de oppervlakte van de driehoek met behulp van de formule . De valkuil is dat de vectoren “tse” en “de” zelf worden gepresenteerd als sommen van vectoren. Het algoritme hier is standaard en doet enigszins denken aan voorbeelden nr. 3 en 4 van de les Puntproduct van vectoren. Voor de duidelijkheid verdelen we de oplossing in drie fasen:

1) Bij de eerste stap drukken we het vectorproduct uit via het vectorproduct, in feite laten we een vector uitdrukken in termen van een vector. Nog geen woord over lengtes!

(1) Vervang de uitdrukkingen van de vectoren.

(2) Met behulp van distributieve wetten openen we de haakjes volgens de regel van vermenigvuldiging van polynomen.

(3) Met behulp van associatieve wetten verplaatsen we alle constanten voorbij de vectorproducten. Met een beetje ervaring kunnen stap 2 en 3 gelijktijdig worden uitgevoerd.

(4) De eerste en laatste term zijn gelijk aan nul (nulvector) vanwege de mooie eigenschap. In de tweede term gebruiken we de eigenschap van anticommutativiteit van een vectorproduct:

(5) We presenteren vergelijkbare termen.

Het resultaat was dat de vector werd uitgedrukt via een vector, wat moest worden bereikt:

2) In de tweede stap vinden we de lengte van het vectorproduct dat we nodig hebben. Deze actie herinnert voorbeeld 3:

3) Zoek de oppervlakte van de gewenste driehoek:

Fasen 2-3 van de oplossing hadden op één regel geschreven kunnen worden.

Antwoord:

Het beschouwde probleem komt vrij vaak voor in tests, hier is een voorbeeld om het zelf op te lossen:

Voorbeeld 5

Zoek of

Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de les. Laten we eens kijken hoe aandachtig je was bij het bestuderen van de voorgaande voorbeelden ;-)

Kruisproduct van vectoren in coördinaten

, gespecificeerd op orthonormale basis, uitgedrukt door de formule:

De formule is heel eenvoudig: in de bovenste regel van de determinant schrijven we de coördinaatvectoren, in de tweede en derde regel "zetten" we de coördinaten van de vectoren, en we plaatsen in strikte volgorde– eerst de coördinaten van de “ve”-vector, daarna de coördinaten van de “dubbel-ve”-vector. Als de vectoren in een andere volgorde moeten worden vermenigvuldigd, moeten de rijen worden verwisseld:

Voorbeeld 10

Controleer of de volgende ruimtevectoren collineair zijn:
A)
B)

Oplossing: De controle is gebaseerd op een van de uitspraken uit deze les: als de vectoren collineair zijn, dan is hun vectorproduct gelijk aan nul (vector nul): .

a) Zoek het vectorproduct:

De vectoren zijn dus niet collineair.

b) Zoek het vectorproduct:

Antwoord: a) niet collineair, b)

Hier is misschien alle basisinformatie over het vectorproduct van vectoren.

Deze sectie zal niet erg groot zijn, omdat er weinig problemen zijn wanneer het gemengde product van vectoren wordt gebruikt. In feite zal alles afhangen van de definitie, geometrische betekenis en een paar werkformules.

Een gemengd product van vectoren is het product van drie vectoren:

Ze stonden dus in de rij als een trein en kunnen niet wachten om geïdentificeerd te worden.

Eerst nogmaals een definitie en een afbeelding:

Definitie: Gemengd werk niet-coplanair vectoren, in deze volgorde genomen, genaamd parallellepipedum volume, gebouwd op deze vectoren, uitgerust met een “+” teken als de basis goed is, en een “–” teken als de basis links is.

Laten we de tekening maken. Lijnen die voor ons onzichtbaar zijn, worden getekend met stippellijnen:

Laten we in de definitie duiken:

2) Er worden vectoren genomen in een bepaalde volgorde, dat wil zeggen dat de herschikking van vectoren in het product, zoals je zou kunnen raden, niet zonder gevolgen plaatsvindt.

3) Voordat ik commentaar geef op de geometrische betekenis, wil ik een voor de hand liggend feit opmerken: het gemengde product van vectoren is een NUMMER: . In de onderwijsliteratuur kan het ontwerp iets anders zijn; ik ben gewend om een ​​gemengd product aan te duiden met , en het resultaat van berekeningen met de letter “pe”.

Per definitie het gemengde product is het volume van het parallellepipedum, gebouwd op vectoren (de figuur is getekend met rode vectoren en zwarte lijnen). Dat wil zeggen, het getal is gelijk aan het volume van een bepaald parallellepipedum.

Opmerking : De tekening is schematisch.

4) Laten we ons geen zorgen meer maken over het concept van oriëntatie van de basis en ruimte. De betekenis van het laatste deel is dat er een minteken aan het volume kan worden toegevoegd. In eenvoudige woorden, kan het gemengde product negatief zijn: .

Direct uit de definitie volgt de formule voor het berekenen van het volume van een parallellepipedum gebouwd op vectoren.

Test nr. 1

Vectoren. Elementen van hogere algebra

1-20. De lengtes van de vectoren en en zijn bekend;

– de hoek tussen deze vectoren.

Bereken: 1) en, 2).3) Zoek de oppervlakte van de driehoek gebouwd op de vectoren en.

Oplossing. Maak een tekening.

Gebruikmakend van de definitie van het puntproduct van vectoren: ,

En de eigenschappen van het scalaire product:

1) vind het scalaire kwadraat van de vector:

dat wil zeggen, dan.

1) vind het scalaire kwadraat van de vector:

Als we op dezelfde manier argumenteren, krijgen we dat

Per definitie van een vectorproduct: ,

daar rekening mee houdend

21-40. De oppervlakte van een driehoek opgebouwd uit vectoren en gelijk aan Bekende coördinaten van drie hoekpunten A, B, D parallellogram ABCD

. Met vectoralgebra heb je nodig:(3;0;-7), A(2;4;6), B(-7;-5;1)

Oplossing.

D Het is bekend dat de diagonalen van een parallellogram op het snijpunt in tweeën worden gedeeld. Daarom de coördinaten van het punt E - snijpunt van diagonalen - vind als coördinaten van het midden van het segment BD . Door ze aan te duiden Het is bekend dat de diagonalen van een parallellogram op het snijpunt in tweeën worden gedeeld. Daarom de coördinaten van het punt ,X Het is bekend dat de diagonalen van een parallellogram op het snijpunt in tweeën worden gedeeld. Daarom de coördinaten van het punt , j Het is bekend dat de diagonalen van een parallellogram op het snijpunt in tweeën worden gedeeld. Daarom de coördinaten van het punt z

wij snappen dat

Wij krijgen. Het is bekend dat de diagonalen van een parallellogram op het snijpunt in tweeën worden gedeeld. Daarom de coördinaten van het punt De coördinaten van het punt kennen - snijpunt van diagonalen - vind als coördinaten van het midden van het segment- middelpunt van de diagonaal . Met vectoralgebra heb je nodig:(3;0;-7), en de coördinaten van een van de uiteinden Met behulp van formules bepalen we de benodigde coördinaten van het hoekpunt MET

parallellogram:

De bovenkant dus.

2) Om de projectie van een vector op een vector te vinden, vinden we de coördinaten van deze vectoren:

op dezelfde manier. De projectie van een vector op een vector wordt gevonden met behulp van de formule:

3) De hoek tussen de diagonalen van een parallellogram wordt gevonden als de hoek tussen de vectoren

En door de eigenschap van het scalaire product:

Dan

4) Zoek de oppervlakte van het parallellogram als de modulus van het vectorproduct:

5) Het volume van de piramide wordt gevonden als een zesde van de modulus van het gemengde product van vectoren, waarbij O(0;0;0), dan

41-60. Vervolgens het benodigde volume (kubieke eenheden)

Gegeven matrices:

VC -1 +3A T

Benamingen:

Eerst vinden we de inverse matrix van matrix C.

Om dit te doen, vinden we de determinant ervan:

De determinant verschilt van nul, daarom is de matrix niet-singulier en daarvoor kun je de inverse matrix C -1 vinden

Laten we de algebraïsche complementen vinden met behulp van de formule , waarbij de minor van het element is:

61–80. Dan , . Los het systeem op:

lineaire vergelijkingen

Oplossing.

Cramers methode; 2. Matrixmethode.

a) Cramers methode

Laten we de determinant van het systeem vinden

Sindsdien heeft het systeem een ​​unieke oplossing.

Laten we de determinanten vinden en respectievelijk de eerste, tweede en derde kolom in de coëfficiëntenmatrix vervangen door een kolom met vrije termen.

Volgens de formules van Cramer:B)

matrixmethode (met behulp van een inverse matrix).

We schrijven dit systeem in matrixvorm en lossen het op met behulp van de inverse matrix. Laten A – matrix van coëfficiënten voor onbekenden; X . Door ze aan te duiden, X, j– matrixkolom van onbekenden En N

De linkerkant van systeem (1) kan worden geschreven als een product van matrices, en de rechterkant als een matrix En.

Daarom hebben we de matrixvergelijking Laten Sinds de determinant van de matrix Laten verschillend is van nul (punt “a”), dan de matrix

heeft een inverse matrix. Laten we beide zijden van gelijkheid (2) aan de linkerkant vermenigvuldigen met de matrix, die we krijgen Sinds waar E

is de identiteitsmatrix, en , dan

Laten we een niet-singuliere matrix A hebben:

Vervolgens vinden we de inverse matrix met behulp van de formule: . Met vectoralgebra heb je nodig: Waar ij - algebraïsch complement van een element Waar A Laten in de determinant van de matrix , wat het product is van (-1) i+j en de minor (determinant) n-1 volgorde verkregen door verwijderen i-de lijnen en jde

kolom in de determinant van matrix A:

Vanaf hier krijgen we de inverse matrix:

81–100. Kolom X: X=A -1 H

Los een stelsel lineaire vergelijkingen op met behulp van de Gauss-methode

Oplossing. Laten we het systeem schrijven in de vorm van een uitgebreide matrix:

We voeren elementaire transformaties uit met strings.

Van de 2e regel trekken we de eerste regel af, vermenigvuldigd met 2. Van regel 3 trekken we de eerste regel af, vermenigvuldigd met 4. Van regel 4 trekken we de eerste regel af, we krijgen de matrix:

Vervolgens krijgen we nul in de eerste kolom van volgende rijen, trek de derde rij af van de tweede rij; Trek van de derde rij de tweede rij af, vermenigvuldigd met 2. Trek van de vierde rij de tweede rij af, vermenigvuldigd met 3. Als resultaat krijgen we een matrix van de vorm:

Van de vierde regel trekken we de derde af.

Laten we de voorlaatste en laatste regel omwisselen:

De laatste matrix is ​​gelijkwaardig aan het stelsel vergelijkingen:

Uit de laatste vergelijking van het systeem vinden we . .

Als we dit in de voorlaatste vergelijking invullen, krijgen we

Uit de tweede vergelijking van het systeem volgt dat

Antwoord:

Uit de eerste vergelijking vinden we x:

Proef nr. 2

1-20. Analytische geometrie Gegeven de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek ABC.

Vinden: . Met vectoralgebra heb je nodig:1) zijlengte;

IN 2) vergelijkingen van de zijden– matrixkolom van onbekenden AB Zon

en hun hoekcoëfficiënten; 1) zijlengte 3) hoek

in radialen nauwkeurig tot op twee cijfers; 4) hoogtevergelijking CD

en zijn lengte; 5) mediaanvergelijking

AE 4) hoogtevergelijking;

hoogte NAAR evenwijdig aan de zijkant

AB,

7) maak een tekening.

Oplossing.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11) 2) vergelijkingen van de zijden:

IN 2) vergelijkingen van de zijden– matrixkolom van onbekenden AB Door (1) toe te passen, vinden we de lengte van de zijde

en hun hoekcoëfficiënten: Vergelijking van een lijn

, die door de punten gaat en , heeft de vorm Laten En 1) zijlengte De coördinaten van de punten vervangen door (2) 2) vergelijkingen van de zijden:

(2) vergelijkingen van de zijden).

(, verkrijgen we de vergelijking van de zijde).

en hun hoekcoëfficiënten; 1) zijlengte BC

in radialen met een nauwkeurigheid van twee cijfers.

Het is bekend dat de raaklijn van de hoek tussen twee rechte lijnen, waarvan de hoekcoëfficiënten respectievelijk gelijk zijn, wordt berekend met de formule 1) zijlengte Vereiste hoek 2) vergelijkingen van de zijden gevormd door rechte lijnen AB En

, waarvan de hoekcoëfficiënten worden gevonden: ;

in radialen nauwkeurig tot op twee cijfers; 4) hoogtevergelijking. Als we (3) toepassen, krijgen we

;

en zijn lengte; 5) mediaanvergelijking en de coördinaten van het punt K van het snijpunt van deze mediaan met

AE 4) hoogtevergelijking.

midden van de zonzijde:

Dan de vergelijking AE:

We lossen het stelsel vergelijkingen op:

6) vergelijking van een lijn die door een punt gaat hoogte NAAR 2) vergelijkingen van de zijden:

Omdat de gewenste lijn evenwijdig is aan de zijkant 2) vergelijkingen van de zijden, dan zal de helling gelijk zijn aan de helling van de rechte lijn 2) vergelijkingen van de zijden. hoogte De coördinaten van het gevonden punt vervangen door (4)

; (en de helling, krijgen we).

KF De oppervlakte van het parallellogram is 12 vierkante meter. eenheden, de twee hoekpunten zijn punten EEN(-1;3) En B(-2;4).

Zoek de andere twee hoekpunten van dit parallellogram als bekend is dat het snijpunt van de diagonalen op de x-as ligt.

Maak een tekening.

Oplossing. Laat het snijpunt van de diagonalen coördinaten hebben.

Dan is het duidelijk dat

daarom zijn de coördinaten van de vectoren .

We vinden de oppervlakte van een parallellogram met behulp van de formule Dan zijn de coördinaten van de andere twee hoekpunten . In de opgaven 51-60 worden de coördinaten van de punten gegeven

A en B . Vereist: Schrijf een canonieke vergelijking voor een hyperbool die door deze punten gaat

A en B,

als de brandpunten van de hyperbool zich op de x-as bevinden;

Vind de halve assen, brandpunten, excentriciteit en vergelijkingen van asymptoten van deze hyperbool;

Vind alle snijpunten van een hyperbool met een cirkel met middelpunt in de oorsprong, als deze cirkel door de brandpunten van de hyperbool gaat;

Construeer een hyperbool, zijn asymptoten en cirkel.

Vervolgens vinden we de inverse matrix met behulp van de formule: - algebraïsch complement van een element A(6;-2), B(-8;12). Oplossing. De vergelijking van de gewenste hyperbool in canonieke vorm is geschreven- echte semi-as van de hyperbool, Laten En 1) zijlengte B-

denkbeeldige halve as. Vervanging van de coördinaten van de punten

In deze vergelijking vinden we deze halve assen:

– hyperboolvergelijking: .

Halve assen a=4,

brandpuntsafstand Scherpstellen (-8,0) en (8,0)

Excentriciteit

Asyptoten:

Als een cirkel door de oorsprong gaat, is de vergelijking:

Door een van de brandpunten te vervangen, vinden we de vergelijking van de cirkel

Zoek de snijpunten van de hyperbool en de cirkel: /8 (0   We bouwen een tekening:

Oplossing. In de opgaven 61-80 construeer je punt voor punt een grafiek van een functie in het poolcoördinatensysteem, waarbij je -waarden geeft over het interval 

2). Zoek de vergelijking van de lijn in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem (de positieve halve as van de abscis valt samen met de poolas en de pool met de oorsprong).	φ ,	Laten we een lijn per punten opbouwen, nadat we eerst de tabel met waarden en φ hebben ingevuld.			2). Zoek de vergelijking van de lijn in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem (de positieve halve as van de abscis valt samen met de poolas en de pool met de oorsprong).	φ , Nummer	φ, graden
								blij graden 3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 we concluderen dat deze vergelijking een ellips definieert: Er worden punten gegeven , A, . IN C, D (Moet vinden:), 1. Vlakvergelijking Q B punten passeren A, B, C; in het vliegtuig (Q) 1. Vlakvergelijking 1) zijlengte 2. Lijnvergelijking (I), A, B, C en D; 3. Hoek tussen vlak; en recht (I) door een punt gaan Laten loodrecht op een rechte lijn 3. Hoek tussen vlak; 5. Hoek tussen vlakken (P)– matrixkolom van onbekenden (Moet vinden:) ; 6. Vergelijking van een lijn (T), door een punt gaan Laten in de richting van zijn straalvector; 7. Hoek tussen rechte lijnen 3. Hoek tussen vlak– matrixkolom van onbekenden (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),B(6;4;0) C, D (Moet vinden:), punten passeren Q en controleer of het punt ligt B in het vlak wordt bepaald door de formule Find: 1) . 2) Vierkant parallellogram, gebouwd op En. 3) Volume van het parallellepipedum, gebouwd op vectoren, En. Controle Functie over het onderwerp " Elementen theorie van lineaire ruimtes... Methodologische aanbevelingen voor het voltooien van tests voor deeltijdstudies in kwalificatie 080100. 62 in de richting Methodische aanbevelingen Parallellepipedum en volume van de piramide, gebouwd op vectoren, En. Oplossing: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. TAKEN VOOR CONTROLE WERKEN Sectie I. Lineair algebra. 1 – 10. Gegeven...