Staatsuniversiteit van Belgorod

AFDELING algebra, getaltheorie en meetkunde

Onderwerp: Exponentiële machtsvergelijkingen en ongelijkheden.

Stelling student van de Faculteit Natuurkunde en Wiskunde

Wetenschappelijk begeleider:

______________________________

Recensent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Invoering			3
Onderwerp I.	Analyse van literatuur over het onderzoeksonderwerp.
Onderwerp II.	Functies en hun eigenschappen die worden gebruikt bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.
	I.1.	Machtsfunctie en zijn eigenschappen.
	I.2.	Exponentiële functie en zijn eigenschappen.
Onderwerp III.	Exponentiële machtsvergelijkingen, algoritmen en voorbeelden oplossen.
Onderwerp IV.	Exponentiële ongelijkheden oplossen, oplossingsplan en voorbeelden.
Onderwerp V.	Ervaring met het geven van lessen aan schoolkinderen over het onderwerp: "Het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden."
V. 1.	Educatief materiaal.
V. 2.	Problemen voor onafhankelijke oplossing.
Conclusie.	Conclusies en suggesties.
Lijst met gebruikte literatuur.
Toepassingen

Invoering.

“...de vreugde van het zien en begrijpen...”

A.Einstein.

In dit werk heb ik geprobeerd mijn ervaring als wiskundeleraar over te brengen, om in ieder geval tot op zekere hoogte mijn houding ten opzichte van het onderwijs ervan over te brengen - een menselijk streven waarin wiskundige wetenschap, pedagogiek, didactiek, psychologie en zelfs filosofie verrassend met elkaar verweven zijn.

Ik kreeg de kans om met kinderen en afgestudeerden te werken, met kinderen die aan de polen stonden intellectuele ontwikkeling: degenen die bij een psychiater ingeschreven stonden en echt geïnteresseerd waren in wiskunde

Ik kreeg de kans om veel methodologische problemen op te lossen. Ik zal proberen te praten over de problemen die ik heb kunnen oplossen. Maar er zijn er nog meer mislukt, en zelfs bij de problemen die opgelost lijken te zijn, rijzen er nieuwe vragen.

Maar nog belangrijker dan de ervaring zelf zijn de reflecties en twijfels van de leraar: waarom is het precies zo, deze ervaring?

En de zomer is nu anders en de ontwikkeling van het onderwijs is interessanter geworden. ‘Under the Jupiters’ is vandaag de dag geen zoektocht naar een mythisch optimaal systeem om ‘alles en iedereen’ te onderwijzen, maar het kind zelf. Maar dan – noodgedwongen – de leraar.

In de schoolcursus algebra en begon met analyse, groep 10 - 11, bij het behalen van het Unified State Exam voor de cursus middelbare school en bij toelatingsexamens voor universiteiten zijn er vergelijkingen en ongelijkheden met een onbekende in de grondtal en exponenten - dit zijn exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

Op school krijgen ze weinig aandacht; er staan ​​vrijwel geen opdrachten over dit onderwerp in de schoolboeken. Het lijkt mij echter erg nuttig om de techniek om ze op te lossen onder de knie te krijgen: het verhoogt de mentale en creativiteit studenten, er openen zich compleet nieuwe horizonten voor ons. Bij het oplossen van problemen verwerven leerlingen eerste vaardigheden onderzoekswerk, hun wiskundige cultuur wordt verrijkt en hun vermogen tot logisch denken ontwikkelt zich. Schoolkinderen ontwikkelen persoonlijkheidskwaliteiten als vastberadenheid, het stellen van doelen en onafhankelijkheid, die voor hen op latere leeftijd nuttig zullen zijn. En er is ook sprake van herhaling, uitbreiding en diepe assimilatie van educatief materiaal.

Voor mijn afstudeeronderzoek ben ik met dit onderwerp aan de slag gegaan door het schrijven van mijn cursussen. In de loop waarvan ik de wiskundige literatuur over dit onderwerp diepgaand heb bestudeerd en geanalyseerd, heb ik de meeste geïdentificeerd geschikte methode het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

Het ligt in het feit dat naast de algemeen aanvaarde aanpak bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen (de basis wordt groter dan 0 genomen) en bij het oplossen van dezelfde ongelijkheden (de basis wordt groter dan 1 of groter dan 0, maar kleiner dan 1) , worden ook gevallen in aanmerking genomen waarin de bases negatief zijn, gelijk aan 0 en 1.

Uit een analyse van de schriftelijke examenpapieren van leerlingen blijkt dat het gebrek aan aandacht voor de kwestie van de negatieve waarde van het argument van een exponentiële functie in schoolboeken hen een aantal problemen bezorgt en tot fouten leidt. En ze hebben ook problemen in de fase van het systematiseren van de verkregen resultaten, waar, als gevolg van de overgang naar een vergelijking - een gevolg of een ongelijkheid - een gevolg, vreemde wortels kunnen verschijnen. Om fouten te elimineren, gebruiken we een test met de oorspronkelijke vergelijking of ongelijkheid en een algoritme voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen, of een plan voor het oplossen van exponentiële ongelijkheden.

Om studenten succesvol te laten slagen voor het eind- en toelatingsexamen, denk ik dat het noodzakelijk is om meer aandacht te besteden aan het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden in trainingen, of daarnaast in keuzevakken en clubs.

Dus onderwerp , Mijn stelling wordt als volgt gedefinieerd: “Exponentiële machtsvergelijkingen en ongelijkheden.”

Doelen van dit werk zijn:

1. Analyseer de literatuur over dit onderwerp.

2. Geef volledige analyse het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

3. Geef voldoende voorbeelden van verschillende typen over dit onderwerp.

4. Controleer in de klas-, keuzevak- en clublessen hoe de voorgestelde methoden voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden zullen worden ervaren. Geef passende aanbevelingen voor het bestuderen van dit onderwerp.

Onderwerp Ons onderzoek is bedoeld om een ​​methodologie te ontwikkelen voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

Het doel en onderwerp van het onderzoek vereisten het oplossen van de volgende problemen:

1. Bestudeer de literatuur over het onderwerp: “Exponentiële machtsvergelijkingen en ongelijkheden.”

2. Beheers de technieken voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

3. Selecteer trainingsmateriaal en ontwikkel een oefensysteem verschillende niveaus over het onderwerp: “Het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.”

Tijdens het afstudeeronderzoek zijn ruim twintig werken geanalyseerd op het gebruik van verschillende methoden het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden. Vanaf hier krijgen we.

Scriptieplan:

Invoering.

Hoofdstuk I. Analyse van literatuur over het onderzoeksonderwerp.

Hoofdstuk II. Functies en hun eigenschappen die worden gebruikt bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden.

II.1. Machtsfunctie en zijn eigenschappen.

II.2. Exponentiële functie en zijn eigenschappen.

Hoofdstuk III. Exponentiële machtsvergelijkingen, algoritmen en voorbeelden oplossen.

Hoofdstuk IV. Exponentiële ongelijkheden oplossen, oplossingsplan en voorbeelden.

Hoofdstuk V. Ervaring met het geven van lessen aan schoolkinderen over dit onderwerp.

1. Trainingsmateriaal.

2. Taken voor onafhankelijke oplossing.

Conclusie. Conclusies en suggesties.

Lijst met gebruikte literatuur.

Hoofdstuk I analyseert de literatuur

Exponentiële vergelijkingen oplossen. Voorbeelden.

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)

Wat is er gebeurd exponentiële vergelijking? Dit is een vergelijking waarin de onbekenden (x-en) en uitdrukkingen daarmee voorkomen indicatoren enkele graden. En alleen daar! Dit is belangrijk.

Alsjeblieft voorbeelden exponentiële vergelijkingen :

3 x 2 x = 8 x+3

Let op! In de basis van graden (hieronder) - alleen cijfers. IN indicatoren graden (hierboven) - een grote verscheidenheid aan uitdrukkingen met een X. Als er plotseling ergens anders dan een indicator een X in de vergelijking verschijnt, bijvoorbeeld:

dit zal al een vergelijking van gemengd type zijn. Dergelijke vergelijkingen hebben geen duidelijke regels om ze op te lossen. Wij zullen ze voorlopig niet in overweging nemen. Hier gaan we mee aan de slag exponentiële vergelijkingen oplossen in zijn puurste vorm.

In feite worden zelfs zuivere exponentiële vergelijkingen niet altijd duidelijk opgelost. Maar die zijn er bepaalde typen exponentiële vergelijkingen die opgelost kunnen en moeten worden. Dit zijn de typen die we zullen overwegen.

Eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen.

Laten we eerst iets heel basaals oplossen. Bijvoorbeeld:

Zelfs zonder theorieën is het door eenvoudige selectie duidelijk dat x = 2. Verder niets, toch!? Geen enkele andere waarde van X werkt. Laten we nu eens kijken naar de oplossing van deze lastige exponentiële vergelijking:

Wat hebben we gedaan? In feite gooiden we gewoon dezelfde honken weg (triples). Volledig weggegooid. En het goede nieuws is: we slaan de spijker op de kop!

Als er in een exponentiële vergelijking links en rechts zijn identiek getallen in welke macht dan ook, deze getallen kunnen worden verwijderd en de exponenten kunnen worden gelijkgesteld. Wiskunde maakt het mogelijk. Rest ons nog een veel eenvoudigere vergelijking op te lossen. Geweldig, toch?)

Laten we echter krachtig onthouden: Je kunt alleen basen verwijderen als de basisnummers links en rechts zich in uitstekende isolatie bevinden! Zonder buren en coëfficiënten. Laten we in de vergelijkingen zeggen:

2x+2x+1 = 2 3, of

tweeën kunnen niet worden verwijderd!

Welnu, we hebben het belangrijkste onder de knie. Hoe je van slechte exponentiële uitdrukkingen naar eenvoudigere vergelijkingen kunt gaan.

"Dat zijn de tijden!" - zeg je. “Wie zou zo’n primitieve les geven over toetsen en examens!?”

Ik moet het ermee eens zijn. Niemand zal dat doen. Maar nu weet je waar je op moet letten bij het oplossen van lastige voorbeelden. Het is noodzakelijk om het naar het formulier te brengen waar links en rechts hetzelfde basisnummer staat. Dan zal alles gemakkelijker zijn. Eigenlijk is dit een klassieker uit de wiskunde. We nemen het originele voorbeeld en transformeren het naar het gewenste voorbeeld ons verstand. Volgens de regels van de wiskunde uiteraard.

Laten we eens kijken naar voorbeelden die wat extra inspanning vergen om ze tot de eenvoudigste terug te brengen. Laten we ze bellen eenvoudige exponentiële vergelijkingen.

Eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen. Voorbeelden.

Bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen zijn de belangrijkste regels: acties met graden. Zonder kennis van deze acties zal niets werken.

Aan acties met graden moet men persoonlijke observatie en vindingrijkheid toevoegen. Hebben we dezelfde basisnummers nodig? Daarom zoeken we ze in het voorbeeld in expliciete of gecodeerde vorm.

Laten we eens kijken hoe dit in de praktijk wordt gedaan?

Laten we een voorbeeld geven:

2 2x - 8x+1 = 0

De eerste scherpe blik is op gronden. Ze... Ze zijn anders! Twee en acht. Maar het is nog te vroeg om ontmoedigd te raken. Het is tijd om dat te onthouden

Twee en acht zijn qua graad verwant.) Het is heel goed mogelijk om te schrijven:

8 x+1 = (2 3) x+1

Als we ons de formule herinneren van bewerkingen met graden:

(een n) m = een nm,

dit lukt uitstekend:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Het originele voorbeeld begon er als volgt uit te zien:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wij transfereren 2 3 (x+1) naar rechts (niemand heeft de elementaire bewerkingen van de wiskunde geannuleerd!), krijgen we:

2 2x = 2 3(x+1)

Dat is praktisch alles. De basis verwijderen:

We lossen dit monster op en krijgen

Dit is het juiste antwoord.

In dit voorbeeld heeft het kennen van de krachten van twee ons geholpen. Wij geïdentificeerd in acht is er een gecodeerde twee. Deze techniek (codering van gemeenschappelijke gronden onder verschillende nummers) is een zeer populaire techniek in exponentiële vergelijkingen! Ja, en ook in logaritmen. Je moet machten van andere getallen in getallen kunnen herkennen. Dit is uiterst belangrijk voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen.

Feit is dat het geen probleem is om welk getal dan ook tot welke macht dan ook te verheffen. Vermenigvuldig, zelfs op papier, en dat is alles. Iedereen kan bijvoorbeeld 3 tot de vijfde macht verheffen. 243 komt uit als je de tafel van vermenigvuldiging kent.) Maar in exponentiële vergelijkingen is het veel vaker niet nodig om tot een macht te verheffen, maar omgekeerd... Ontdek het welk getal in welke mate is verborgen achter het getal 243, of bijvoorbeeld 343... Geen enkele rekenmachine helpt je hier.

Je moet de machten van sommige getallen op zicht kennen, toch... Laten we oefenen?

Bepaal welke machten en welke getallen de getallen zijn:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antwoorden (in een puinhoop natuurlijk!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Als je goed kijkt, kun je het zien vreemd feit. Er zijn aanzienlijk meer antwoorden dan taken! Nou, het gebeurt... Bijvoorbeeld 2 6, 4 3, 8 2 - dat is allemaal 64.

Laten we aannemen dat u kennis hebt genomen van de informatie over de bekendheid met getallen.) Ik wil u er ook aan herinneren dat we voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen alle voorraad wiskundige kennis. Inclusief die uit de lagere en middenklasse. Je bent niet meteen naar de middelbare school gegaan, toch?)

Bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen helpt het bijvoorbeeld vaak om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten (hallo tegen groep 7!). Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

3 2x+4 -11 9x = 210

En nogmaals, de eerste blik is op de fundamenten! De basis van de graden is verschillend... Drie en negen. Maar we willen dat ze hetzelfde zijn. Welnu, in dit geval wordt de wens volledig vervuld!) Omdat:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gebruik dezelfde regels voor het omgaan met graden:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Dat is geweldig, je kunt het opschrijven:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Om dezelfde redenen hebben we een voorbeeld gegeven. En wat nu!? Je kunt geen drieën weggooien... Doodlopende weg?

Helemaal niet. Denk aan de meest universele en krachtige beslissingsregel iedereen wiskunde taken:

Als je niet weet wat je nodig hebt, doe dan wat je kunt!

Kijk, alles komt goed).

Wat staat er in deze exponentiële vergelijking? Kan Doen? Ja, aan de linkerkant vraagt ​​het er gewoon om om uit de haakjes te worden gehaald! De totale vermenigvuldiger van 3 2x duidt hier duidelijk op. Laten we het proberen, en dan zullen we zien:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Het voorbeeld wordt steeds beter en beter!

We herinneren ons dat we, om gronden te elimineren, een zuivere graad nodig hebben, zonder enige coëfficiënten. Het getal 70 stoort ons. Dus delen we beide kanten van de vergelijking door 70, dan krijgen we:

Oeps! Alles werd beter!

Dit is het definitieve antwoord.

Het komt echter voor dat taxiën op hetzelfde terrein wel lukt, maar de eliminatie ervan niet. Dit gebeurt in andere soorten exponentiële vergelijkingen. Laten we dit type onder de knie krijgen.

Een variabele vervangen bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen. Voorbeelden.

Laten we de vergelijking oplossen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ten eerste - zoals gewoonlijk. Laten we verder gaan naar één basis. Tot een deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

We krijgen de vergelijking:

2 2x - 3 2x +2 = 0

En dit is waar we hangen. De voorgaande technieken zullen niet werken, hoe je het ook bekijkt. We zullen een andere krachtige en universele methode uit ons arsenaal moeten halen. Het heet variabele vervanging.

De essentie van de methode is verrassend eenvoudig. In plaats van één complex pictogram (in ons geval - 2 x) schrijven we een ander, eenvoudiger pictogram (bijvoorbeeld - t). Zo'n schijnbaar zinloze vervanging leidt tot verbluffende resultaten!) Alles wordt gewoon duidelijk en begrijpelijk!

Dus laat

Dan 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

In onze vergelijking vervangen we alle machten door x's door t:

Nou, dringt het tot je door?) Ben je de kwadratische vergelijkingen al vergeten? Als we de discriminant oplossen, krijgen we:

Het belangrijkste hier is om niet te stoppen, zoals gebeurt... Dit is nog niet het antwoord, we hebben x nodig, niet t. Laten we terugkeren naar de X's, d.w.z. we maken een omgekeerde vervanging. Eerst voor t 1:

Daarom,

Er werd één wortel gevonden. Wij zijn op zoek naar de tweede van t 2:

Hm... 2 x links, 1 x rechts... Probleem? Helemaal niet! Het is voldoende om te onthouden (van operaties met graden, ja...) dat het een eenheid is elk getal tot de macht nul. Elk. Wat er ook nodig is, wij installeren het. We hebben er een twee nodig. Middelen:

Dat is het nu. We hebben 2 wortels:

Dit is het antwoord.

Bij exponentiële vergelijkingen oplossen aan het einde krijg je soms een soort ongemakkelijke uitdrukking. Type:

Zeven kunnen niet door een eenvoudige macht in twee worden omgezet. Ze zijn geen familie... Hoe kunnen we dat wel zijn? Iemand is misschien in de war... Maar de persoon die op deze site het onderwerp "Wat is een logaritme?" , glimlacht slechts spaarzaam en schrijft met vaste hand het absoluut juiste antwoord op:

Een dergelijk antwoord kan niet bestaan ​​in taak “B” van het Unified State Examination. Daar is een specifiek nummer vereist. Maar bij taken “C” is het eenvoudig.

Deze les geeft voorbeelden van het oplossen van de meest voorkomende exponentiële vergelijkingen. Laten we de belangrijkste punten benadrukken.

Praktisch advies:

1. Allereerst kijken we naar gronden graden. Wij vragen ons af of het mogelijk is om deze te maken identiek. Laten we proberen dit te doen door actief gebruik te maken van acties met graden. Vergeet niet dat getallen zonder x-en ook kunnen worden omgezet in machten!

2. We proberen de exponentiële vergelijking in de vorm te brengen die er links en rechts is identiek getallen in welke macht dan ook. Wij gebruiken acties met graden En factorisatie. Wat in cijfers kan worden geteld, tellen wij.

3. Als de tweede tip niet werkt, probeer dan variabele vervanging. Het resultaat kan een vergelijking zijn die gemakkelijk kan worden opgelost. Meestal - vierkant. Of fractioneel, wat ook reduceert tot vierkant.

4. Voor succesvolle oplossing Voor exponentiële vergelijkingen moet je de machten van sommige getallen ‘op zicht’ kennen.

Zoals gewoonlijk wordt u aan het einde van de les uitgenodigd om een ​​beetje te beslissen.) Zelf. Van eenvoudig tot complex.

Los exponentiële vergelijkingen op:

Moeilijker:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Vind het product van wortels:

2 3'en + 2 x = 9

Heeft het gewerkt?

Nou dan het meest ingewikkelde voorbeeld(maar in gedachten besloten...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Wat is interessanter? Dan is hier een slecht voorbeeld voor jou. Best verleidelijk voor een hogere moeilijkheidsgraad. Laat me erop wijzen dat wat u in dit voorbeeld redt vindingrijkheid is en de meest universele regel voor het oplossen van alle wiskundige problemen.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Een eenvoudiger voorbeeld, ter ontspanning):

9 2 x - 4 3 x = 0

En als toetje. Zoek de som van de wortels van de vergelijking:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja, ja! Dit is een vergelijking van het gemengde type! Waar we in deze les niet bij stil stonden. Waarom zou je ze overwegen, ze moeten worden opgelost!) Deze les is voldoende om de vergelijking op te lossen. Nou, je hebt vindingrijkheid nodig... En moge de zevende klas je helpen (dit is een hint!).

Antwoorden (in wanorde, gescheiden door puntkomma's):

1; 2; 3; 4; er zijn geen oplossingen; 2; -2; -5; 4; 0.

Is alles succesvol? Geweldig.

Zijn er problemen? Geen vraag! In speciale sectie 555 worden al deze exponentiële vergelijkingen opgelost met gedetailleerde uitleg. Wat, waarom en waarom. En natuurlijk is er aanvullende waardevolle informatie over het werken met allerlei exponentiële vergelijkingen. Niet alleen deze.)

Nog een laatste leuke vraag om over na te denken. In deze les hebben we gewerkt met exponentiële vergelijkingen. Waarom heb ik hier geen woord over ODZ gezegd? In vergelijkingen is dit trouwens heel belangrijk...

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

In de voorbereidingsfase voor de eindtoets moeten middelbare scholieren hun kennis over het onderwerp ‘Exponentiële vergelijkingen’ verbeteren. De ervaring van de afgelopen jaren geeft aan dat dergelijke taken bepaalde problemen voor schoolkinderen veroorzaken. Daarom moeten middelbare scholieren, ongeacht hun voorbereidingsniveau, de theorie grondig beheersen, de formules onthouden en het principe van het oplossen van dergelijke vergelijkingen begrijpen. Nu afgestudeerden hebben geleerd met dit soort problemen om te gaan, kunnen ze rekenen op hoge scores bij het behalen van het Unified State Examen in de wiskunde.

Maak je klaar voor examentesten met Shkolkovo!

Bij het doornemen van de behandelde materialen worden veel leerlingen geconfronteerd met het probleem van het vinden van de formules die nodig zijn om vergelijkingen op te lossen. Het schoolboek is niet altijd bij de hand en selectie noodzakelijke informatie over het onderwerp op internet duurt lang.

Het onderwijsportaal Shkolkovo nodigt studenten uit om onze kennisbank te gebruiken. Wij implementeren het volledig nieuwe methode voorbereiding op de laatste test. Door op onze website te studeren, kunt u lacunes in de kennis identificeren en aandacht besteden aan de taken die de meeste problemen veroorzaken.

Shkolkovo-leraren hebben alles verzameld, gesystematiseerd en gepresenteerd wat nodig is om succesvol te zijn slagen voor het Unified State Exam materiaal in de eenvoudigste en meest toegankelijke vorm.

Basisdefinities en formules worden gepresenteerd in het gedeelte “Theoretische achtergrond”.

Om de stof beter te begrijpen raden wij u aan om te oefenen met het maken van de opdrachten. Bekijk zorgvuldig de voorbeelden van exponentiële vergelijkingen met oplossingen op deze pagina om het berekeningsalgoritme te begrijpen. Ga daarna verder met het uitvoeren van taken in het gedeelte "Mappen". U kunt beginnen met de eenvoudigste taken of direct doorgaan met het oplossen van complexe exponentiële vergelijkingen met verschillende onbekenden of . De database met oefeningen op onze website wordt voortdurend aangevuld en bijgewerkt.

De voorbeelden met indicatoren die u problemen hebben bezorgd, kunnen worden toegevoegd aan “Favorieten”. Zo kun je ze snel vinden en de oplossing bespreken met je docent.

Om het Unified State Exam met succes te behalen, studeer je elke dag op het Shkolkovo-portaal!

Voorbeelden:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Hoe exponentiële vergelijkingen op te lossen

Bij het oplossen van een exponentiële vergelijking streven we ernaar deze in de vorm \(a^(f(x))=a^(g(x))\) te brengen, en vervolgens de overgang te maken naar de gelijkheid van exponenten, dat wil zeggen:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Bijvoorbeeld:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Belangrijk! Vanuit dezelfde logica volgen twee vereisten voor een dergelijke transitie:
- nummer binnen links en rechts moeten hetzelfde zijn;
- de graden links en rechts moeten “puur” zijn, dat wil zeggen dat er geen vermenigvuldiging, deling, enz. mag plaatsvinden.

Bijvoorbeeld:

Om de vergelijking terug te brengen tot de vorm \(a^(f(x))=a^(g(x))\) en worden gebruikt.

Voorbeeld . Los de exponentiële vergelijking \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) op
Oplossing:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		We weten dat \(27 = 3^3\). Hiermee rekening houdend, transformeren we de vergelijking.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Door de eigenschap van de wortel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) verkrijgen we dat \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^(\frac(1)(2))\). Vervolgens verkrijgen we met behulp van de eigenschap graad \((a^b)^c=a^(bc)\ \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		We weten ook dat \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Als we dit op de linkerkant toepassen, krijgen we: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Onthoud nu dat: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Deze formule kan ook worden gebruikt in achterkant: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dan \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Door de eigenschap \((a^b)^c=a^(bc)\) op de rechterkant toe te passen, verkrijgen we: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		En nu zijn onze bases gelijk en zijn er geen storende coëfficiënten, enz. Zo kunnen we de overstap maken.
		Voorbeeld . Los de exponentiële vergelijking \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) op Oplossing: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) We gebruiken opnieuw de machtseigenschap \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in de tegenovergestelde richting. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Onthoud nu dat \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Met behulp van de eigenschappen van graden transformeren we: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) We kijken zorgvuldig naar de vergelijking en zien dat de vervanging \(t=2^x\) zichzelf voorstelt. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) We hebben echter de waarden van \(t\) gevonden, en we hebben \(x\) nodig. We keren terug naar de X's en maken een omgekeerde vervanging. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) We transformeren de tweede vergelijking met behulp van de eigenschap negatieve graad… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...en we maken het antwoord af. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Antwoord : \(-1; 1\). De vraag blijft: hoe kun je begrijpen wanneer je welke methode moet gebruiken? Dit komt met ervaring. Totdat je het krijgt, gebruik het algemene aanbeveling om complexe problemen op te lossen - "als je niet weet wat je moet doen, doe dan wat je kunt." Dat wil zeggen, zoek naar hoe je de vergelijking in principe kunt transformeren, en probeer dit te doen - wat als wat er gebeurt? Het belangrijkste is om alleen wiskundig gebaseerde transformaties uit te voeren. Exponentiële vergelijkingen zonder oplossingen Laten we nog twee situaties bekijken die leerlingen vaak in verwarring brengen: - een positief getal tot de macht is gelijk aan nul, bijvoorbeeld \(2^x=0\); - een positief getal tot de macht is gelijk aan negatief getal, bijvoorbeeld \(2^x=-4\). Laten we proberen het met brute kracht op te lossen. Als x een positief getal is, zal de gehele macht \(2^x\) alleen maar toenemen naarmate x groeit: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Ook door. Negatieve X's blijven bestaan. Als we de eigenschap \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ in herinnering roepen, controleren we: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Ondanks het feit dat het getal bij elke stap kleiner wordt, zal het nooit nul bereiken. Dus de negatieve graad heeft ons niet gered. We komen tot een logische conclusie: Een positief getal, in welke mate dan ook, blijft een positief getal. Beide bovenstaande vergelijkingen hebben dus geen oplossingen. Exponentiële vergelijkingen met verschillende bases In de praktijk komen we soms exponentiële vergelijkingen tegen met verschillende bases die niet tot elkaar herleidbaar zijn, en tegelijkertijd met dezelfde exponenten. Ze zien er als volgt uit: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), waarbij \(a\) en \(b\) positieve getallen zijn. Bijvoorbeeld: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Dergelijke vergelijkingen kunnen eenvoudig worden opgelost door te delen door een van de zijden van de vergelijking (meestal gedeeld door de rechterkant, dat wil zeggen door \(b^(f(x))\). Je kunt op deze manier delen omdat het een positief getal is is positief voor elke macht (dat wil zeggen, we delen niet door nul). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Voorbeeld . Los de exponentiële vergelijking \(5^(x+7)=3^(x+7)\) op Oplossing: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Hier kunnen we een vijf niet in een drie veranderen, of andersom (althans zonder ). Dit betekent dat we niet tot de vorm \(a^(f(x))=a^(g(x))\) kunnen komen. De indicatoren zijn echter hetzelfde. Laten we de vergelijking delen door de rechterkant, dat wil zeggen door \(3^(x+7)\) (we kunnen dit doen omdat we weten dat drie in geen enkele mate nul zal zijn). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Onthoud nu de eigenschap \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) en gebruik deze aan de linkerkant in de tegenovergestelde richting. Aan de rechterkant verkleinen we eenvoudigweg de breuk. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Het lijkt erop dat de zaken er niet beter op zijn geworden. Maar onthoud nog een eigenschap van macht: \(a^0=1\), met andere woorden: "elk getal tot de macht nul is gelijk aan \(1\)." Het omgekeerde is ook waar: “één kan worden weergegeven als elk getal tot de macht nul.” Laten we hiervan profiteren door de basis aan de rechterkant hetzelfde te maken als aan de linkerkant. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Laten we de bases wegwerken. Wij schrijven een reactie. Antwoord : \(-7\). Soms is de ‘gelijkheid’ van exponenten niet duidelijk, maar vakkundig gebruik van de eigenschappen van exponenten lost dit probleem op. Voorbeeld . Los de exponentiële vergelijking \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) op Oplossing: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) De vergelijking ziet er erg treurig uit... Niet alleen kunnen de grondtallen niet tot hetzelfde getal worden herleid (zeven zullen op geen enkele manier gelijk zijn aan \(\frac(1)(3)\)), maar ook de exponenten zijn verschillend. .. Laten we echter de linker exponent deuce gebruiken. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Terwijl we de eigenschap \((a^b)^c=a^(b·c)\) onthouden, transformeren we vanaf links: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nu we de eigenschap van de negatieve graad \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\ in gedachten houden), transformeren we van rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Hallelujah! De indicatoren zijn hetzelfde! Handelend volgens het schema dat ons al bekend is, lossen we op vóór het antwoord. Antwoord : \(2\).

Instapniveau

Exponentiële vergelijkingen. Uitgebreide gids (2019)

Hallo! Vandaag zullen we met u bespreken hoe u vergelijkingen kunt oplossen die zowel elementair kunnen zijn (en ik hoop dat na het lezen van dit artikel dat bijna allemaal voor u het geval zal zijn), en vergelijkingen die gewoonlijk "ter vulling" worden gegeven. Blijkbaar om eindelijk in slaap te vallen. Maar ik zal proberen al het mogelijke te doen, zodat je nu niet in de problemen komt als je met dit soort vergelijkingen wordt geconfronteerd. Ik zal er niet meer omheen draaien, maar ik zal hem meteen openen klein geheim: vandaag gaan we studeren exponentiële vergelijkingen.

Voordat ik verder ga met het analyseren van manieren om ze op te lossen, zal ik onmiddellijk een reeks vragen (vrij klein) voor u schetsen die u moet herhalen voordat u zich haast om dit onderwerp aan te pakken. Dus om te krijgen beste resultaat, Alsjeblieft, herhalen:

1. Eigenschappen en
2. Oplossing en vergelijkingen

Herhaald? Verbazingwekkend! Dan zal het voor u niet moeilijk zijn om op te merken dat de wortel van de vergelijking een getal is. Begrijp je precies hoe ik het deed? Is het waar? Laten we dan doorgaan. Beantwoord nu mijn vraag: wat is gelijk aan de derde macht? Je hebt helemaal gelijk: . Welke macht van twee is acht? Dat klopt - de derde! Omdat. Laten we nu proberen het volgende probleem op te lossen: laat me het getal één keer met zichzelf vermenigvuldigen en het resultaat krijgen. De vraag is: hoe vaak heb ik mezelf vermenigvuldigd? Dit kun je uiteraard direct controleren:

\begin(uitlijnen) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( uitlijnen)

Dan kun je concluderen dat ik de tijden met mezelf heb vermenigvuldigd. Hoe kun je dit anders controleren? Hier leest u hoe: direct per definitie van graad: . Maar je moet toegeven dat als ik zou vragen hoe vaak twee met zichzelf vermenigvuldigd moet worden om bijvoorbeeld te komen tot het volgende, je zou zeggen: ik zal mezelf niet voor de gek houden en met zichzelf vermenigvuldigen totdat ik blauw in mijn gezicht sta. En hij zou volkomen gelijk hebben. Want hoe kun je schrijf alle stappen kort op(en beknoptheid is de zus van talent)

waar - dit zijn dezelfde "tijden", wanneer je met zichzelf vermenigvuldigt.

Ik denk dat je weet (en als je het niet weet, herhaal dan dringend, heel dringend de graden!) Dat mijn probleem dan in de vorm zal worden geschreven:

Hoe kun je redelijkerwijs concluderen dat:

Dus ongemerkt schreef ik de eenvoudigste op exponentiële vergelijking:

En ik heb hem zelfs gevonden wortel. Denk je niet dat alles volkomen triviaal is? Ik denk precies hetzelfde. Hier is nog een voorbeeld voor jou:

Maar wat te doen? Het kan immers niet geschreven worden als een macht van een (redelijk) getal. Laten we niet wanhopen en opmerken dat beide getallen perfect worden uitgedrukt door de kracht van hetzelfde getal. Welke? Rechts: . Vervolgens wordt de oorspronkelijke vergelijking omgezet naar de vorm:

Waar, zoals je al begreep, . Laten we niet langer uitstellen en het opschrijven definitie:

In ons geval: .

Deze vergelijkingen worden opgelost door ze te reduceren tot de vorm:

gevolgd door het oplossen van de vergelijking

In het vorige voorbeeld deden we precies dat: we kregen het volgende: En we hebben de eenvoudigste vergelijking opgelost.

Het lijkt niets ingewikkelds, toch? Laten we eerst oefenen met de eenvoudigste voorbeelden:

We zien opnieuw dat de rechter- en linkerkant van de vergelijking moeten worden weergegeven als machten van één getal. Toegegeven, aan de linkerkant is dit al gedaan, maar aan de rechterkant staat een nummer. Maar het is oké, want mijn vergelijking zal op wonderbaarlijke wijze hierin veranderen:

Wat moest ik hier gebruiken? Welke regel? Regel van "graden binnen graden" die luidt:

Wat als:

Voordat we deze vraag beantwoorden, vullen we eerst de volgende tabel in:

Het is gemakkelijk voor ons om op te merken dat hoe kleiner, hoe kleiner de waarde, maar toch zijn al deze waarden groter dan nul. EN HET ZAL ALTIJD ZO ZIJN!!! Dezelfde eigenschap geldt VOOR ELKE BASIS MET ELKE INDICATOR!! (voor elke en). Wat kunnen we dan concluderen over de vergelijking? Dit is wat het is: het heeft geen wortels! Net zoals elke vergelijking geen wortels heeft. Laten we nu oefenen en Laten we eenvoudige voorbeelden oplossen:

Laten we eens kijken:

1. Hier is niets van je vereist behalve kennis van de eigenschappen van graden (wat ik je trouwens heb gevraagd te herhalen!) In de regel leidt alles naar de kleinste basis: , . Dan zal de oorspronkelijke vergelijking gelijk zijn aan het volgende: Het enige wat ik nodig heb is de eigenschappen van machten te gebruiken: Bij het vermenigvuldigen van getallen met hetzelfde grondtal worden de machten opgeteld, bij het delen worden ze afgetrokken. Dan krijg ik: Nou, nu ga ik met een gerust geweten van de exponentiële vergelijking naar de lineaire vergelijking: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\einde(uitlijnen)

2. In het tweede voorbeeld moeten we voorzichtiger zijn: het probleem is dat we aan de linkerkant onmogelijk hetzelfde getal als een macht kunnen weergeven. In dit geval is het soms handig getallen voorstellen als een product van machten met verschillende bases, maar dezelfde exponenten:

De linkerkant van de vergelijking ziet er als volgt uit: Wat heeft dit ons opgeleverd? Dit is wat: Getallen met verschillende bases maar dezelfde exponenten kunnen worden vermenigvuldigd.In dit geval worden de bases vermenigvuldigd, maar de indicator verandert niet:

In mijn situatie levert dit het volgende op:

\begin(uitlijnen)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\einde(uitlijnen)

Niet slecht, toch?

3. Ik hou er niet van als ik onnodig twee termen aan de ene kant van de vergelijking heb en geen aan de andere kant (soms is dit natuurlijk gerechtvaardigd, maar dat is nu niet het geval). Ik verplaats de minterm naar rechts:

Nu zal ik, net als voorheen, alles schrijven in termen van machten van drie:

Ik tel de graden aan de linkerkant op en krijg een equivalente vergelijking

Je kunt de wortel gemakkelijk vinden:

4. Net als in voorbeeld drie heeft de minterm een ​​plaats aan de rechterkant!

Aan mijn linkerkant is bijna alles in orde, behalve wat? Ja, de “verkeerde graad” van de twee stoort mij. Maar ik kan dit eenvoudig oplossen door te schrijven: . Eureka - aan de linkerkant zijn alle bases verschillend, maar alle graden zijn hetzelfde! Laten we ons onmiddellijk vermenigvuldigen!

Ook hier is alles duidelijk: (als je niet begrijpt hoe ik op magische wijze de laatste gelijkheid kreeg, neem dan een minuut pauze, haal diep adem en lees de eigenschappen van het diploma nog eens heel aandachtig. Wie zei dat je een diploma met een negatieve exponent? Nou, hier ben ik ongeveer hetzelfde als niemand). Nu krijg ik:

\begin(uitlijnen)
& ((2)^(4\links((x) -9 \rechts)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\einde(uitlijnen)

Hier zijn enkele problemen die u kunt oefenen, waarop ik alleen de antwoorden zal geven (maar in een “gemengde” vorm). Los ze op, controleer ze, en jij en ik gaan verder met ons onderzoek!

Klaar? Antwoorden zoals dit:

1. elk nummer

Oké, oké, ik maakte een grapje! Hier zijn enkele schetsen van oplossingen (sommige heel kort!)

Denk je niet dat het geen toeval is dat de ene breuk aan de linkerkant de andere "omgekeerd" is? Het zou zonde zijn om hier geen misbruik van te maken:

Deze regel wordt heel vaak gebruikt bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen, onthoud hem goed!

Dan wordt de oorspronkelijke vergelijking als volgt:

Na dit besloten te hebben kwadratische vergelijking, je krijgt deze wortels:

2. Een andere oplossing: beide zijden van de vergelijking delen door de uitdrukking aan de linkerkant (of rechts). Deel door wat rechts staat, dan krijg ik:

Waar (waarom?!)

3. Ik wil mezelf niet eens herhalen, alles is al zo vaak “gekauwd”.

4. gelijk aan een kwadratische vergelijking, wortels

5. Je moet de formule uit de eerste opgave gebruiken, dan krijg je het volgende:

De vergelijking is veranderd in een triviale identiteit die voor iedereen geldt. Dan is het antwoord een reëel getal.

Nou, nu heb je geoefend met het oplossen eenvoudige exponentiële vergelijkingen. Nu wil ik je een paar levensvoorbeelden geven die je zullen helpen begrijpen waarom ze in principe nodig zijn. Hier geef ik twee voorbeelden. De ene is vrij alledaags, maar de andere is eerder van wetenschappelijk dan van praktisch belang.

Voorbeeld 1 (handels) Geef je roebels, maar je wilt er roebels van maken. De bank biedt u aan dit geld tegen een jaarlijkse rentevoet van u af te nemen met maandelijkse kapitalisatie van de rente (maandelijkse opbouw). De vraag is: hoeveel maanden moet u een deposito openen om het vereiste eindbedrag te bereiken? Een hele alledaagse taak, nietwaar? Niettemin houdt de oplossing ervan verband met de constructie van de overeenkomstige exponentiële vergelijking: Laat - het initiële bedrag, - het uiteindelijke bedrag, - rente per periode, - het aantal perioden. Dan:

In ons geval (als het tarief jaarlijks is, wordt het per maand berekend). Waarom wordt het gedeeld door? Als u het antwoord op deze vraag niet weet, onthoud dan het onderwerp “”! Dan krijgen we deze vergelijking:

Deze exponentiële vergelijking kan alleen worden opgelost met behulp van een rekenmachine (zijn verschijning verwijst hiernaar, en dit vereist kennis van logaritmen, waar we later kennis mee zullen maken), wat ik zal doen: ... Om een ​​​​miljoen te ontvangen, zullen we dus een maand lang een aanbetaling moeten doen ( niet zo snel, toch?).

Voorbeeld 2 (redelijk wetenschappelijk). Ondanks zijn enigszins ‘geïsoleerde’ houding raad ik je aan om op hem te letten: hij ‘glipt regelmatig in het Unified State Examination!! (het probleem is overgenomen uit de “echte” versie) Tijdens het verval van een radioactieve isotoop neemt de massa af volgens de wet, waarbij (mg) de initiële massa van de isotoop is, (min.) de tijd is verstreken vanaf de initiële moment, (min.) is de halfwaardetijd. Op het eerste moment is de massa van de isotoop mg. De halfwaardetijd is min. Na hoeveel minuten is de massa van de isotoop gelijk aan mg? Het is oké: we nemen gewoon alle gegevens en vervangen deze in de formule die ons wordt voorgesteld:

Laten we beide delen delen door, "in de hoop" dat we aan de linkerkant iets verteerbaars krijgen:

Nou, wij hebben veel geluk! Het staat aan de linkerkant, laten we dan verder gaan met de equivalente vergelijking:

Waar is min.

Zoals u kunt zien, hebben exponentiële vergelijkingen in de praktijk zeer reële toepassingen. Nu wil ik je een andere (eenvoudige) manier laten zien om exponentiële vergelijkingen op te lossen, die gebaseerd is op het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor en het groeperen van de termen. Laat je niet afschrikken door mijn woorden, deze methode kwam je al tegen in groep 7 toen je veeltermen studeerde. Als u bijvoorbeeld de uitdrukking in factoren wilt ontbinden:

Laten we groeperen: de eerste en derde term, evenals de tweede en vierde. Het is duidelijk dat de eerste en de derde het verschil in vierkanten zijn:

en de tweede en vierde hebben een gemeenschappelijke factor van drie:

Dan is de oorspronkelijke uitdrukking gelijkwaardig aan deze:

Waar de gemeenschappelijke factor af te leiden is niet langer moeilijk:

Vandaar,

Dit is grofweg wat we gaan doen bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen: zoek naar ‘gemeenschappelijkheid’ tussen de termen en haal dit tussen haakjes, en dan - wat er ook gebeurt, ik geloof dat we geluk zullen hebben =)) Bijvoorbeeld:

Aan de rechterkant is het verre van een macht van zeven (ik heb het gecontroleerd!) En aan de linkerkant - het is een beetje beter, je kunt natuurlijk de factor a van de tweede van de eerste term "afhakken", en dan handelen met wat je hebt, maar laten we voorzichtiger met je zijn. Ik wil me niet bezighouden met de breuken die onvermijdelijk ontstaan ​​bij het "selecteren", dus moet ik die niet liever weglaten? Dan heb ik geen breuken: zoals ze zeggen, de wolven worden gevoed en de schapen zijn veilig:

Bereken de uitdrukking tussen haakjes. Magisch, magisch blijkt dat (verrassend genoeg, maar wat moeten we anders verwachten?).

Vervolgens verminderen we beide zijden van de vergelijking met deze factor. Wij krijgen: , van.

Hier is een ingewikkelder voorbeeld (behoorlijk beetje eigenlijk):

Wat een probleem! We hebben hier niet één gemeenschappelijke basis! Het is niet helemaal duidelijk wat je nu moet doen. Laten we doen wat we kunnen: verplaats eerst de ‘vieren’ naar de ene kant en de ‘vijven’ naar de andere:

Laten we nu de "generaal" links en rechts eruit halen:

Dus wat nu? Wat is het voordeel van zo'n domme groep? Op het eerste gezicht is het helemaal niet zichtbaar, maar laten we dieper kijken:

Welnu, nu zorgen we ervoor dat we aan de linkerkant alleen de uitdrukking c hebben, en aan de rechterkant - al het andere. Hoe doen we dit? Zo werkt het: deel eerst beide zijden van de vergelijking door (zodat we de exponent aan de rechterkant weglaten) en deel dan beide zijden door (zodat we de numerieke factor aan de linkerkant kwijtraken). Uiteindelijk krijgen we:

Ongelooflijk! Aan de linkerkant hebben we een uitdrukking en aan de rechterkant hebben we een eenvoudige uitdrukking. Dan concluderen we dat meteen

Hier is nog een voorbeeld dat je kunt versterken:

Ik zal zijn korte oplossing geven (zonder mezelf lastig te vallen met uitleg), probeer alle "subtiliteiten" van de oplossing zelf te begrijpen.

Nu voor de definitieve consolidatie van het behandelde materiaal. Probeer de volgende problemen zelf op te lossen. Ik zal slechts korte aanbevelingen en tips geven om ze op te lossen:

1. Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten: Waar:
2. Laten we de eerste uitdrukking in de vorm presenteren: , deel beide zijden door en krijg dat
3. , dan wordt de oorspronkelijke vergelijking omgezet in de vorm: Nou, nu een hint - zoek waar jij en ik deze vergelijking al hebben opgelost!
4. Stel je voor hoe, hoe, nou, deel dan beide kanten door, zodat je de eenvoudigste exponentiële vergelijking krijgt.
5. Haal het uit de beugels.
6. Haal het uit de beugels.

EXPONENTAIRE VERGELIJKINGEN. MIDDEN NIVEAU

Ik neem aan dat na het lezen van het eerste artikel, waar over gesproken werd Wat zijn exponentiële vergelijkingen en hoe deze op te lossen?, je hebt het onder de knie het noodzakelijke minimum kennis die nodig is om eenvoudige voorbeelden op te lossen.

Nu zal ik kijken naar een andere methode voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen, namelijk

“methode voor het introduceren van een nieuwe variabele” (of vervanging). Hij lost de meeste “moeilijke” problemen op op het gebied van exponentiële vergelijkingen (en niet alleen vergelijkingen). Deze methode is een van de meest gebruikte in de praktijk. Ten eerste raad ik u aan om vertrouwd te raken met het onderwerp.

Zoals je uit de naam al hebt begrepen, is de essentie van deze methode het introduceren van een zodanige verandering van variabele dat je exponentiële vergelijking op wonderbaarlijke wijze zal veranderen in een vergelijking die je gemakkelijk kunt oplossen. Het enige dat u nog hoeft te doen na het oplossen van deze zeer “vereenvoudigde vergelijking” is het maken van een “omgekeerde vervanging”: dat wil zeggen: terugkeren van het vervangen naar het vervangen. Laten we illustreren wat we zojuist zeiden met een heel eenvoudig voorbeeld:

Voorbeeld 1:

Deze vergelijking wordt opgelost met behulp van een ‘eenvoudige substitutie’, zoals wiskundigen het minachtend noemen. In feite is de vervanging hier het meest voor de hand liggend. Dat hoef je alleen maar te zien

Dan wordt de oorspronkelijke vergelijking dit:

Als we ons bovendien voorstellen hoe, dan is het volkomen duidelijk wat er moet worden vervangen: natuurlijk . Wat wordt dan de oorspronkelijke vergelijking? Dit is wat:

Je kunt de wortels ervan gemakkelijk zelf vinden: . Wat moeten we nu doen? Het is tijd om terug te keren naar de oorspronkelijke variabele. Wat ben ik vergeten te vermelden? Namelijk: bij het vervangen van een bepaalde graad door een nieuwe variabele (dat wil zeggen bij het vervangen van een type), zal ik geïnteresseerd zijn alleen positieve wortels! Je kunt zelf gemakkelijk antwoorden waarom. Jij en ik zijn dus niet geïnteresseerd, maar de tweede wortel is redelijk geschikt voor ons:

Waar vandaan dan.

Antwoord:

Zoals je kunt zien, vroeg een vervanger in het vorige voorbeeld alleen maar om onze handen. Helaas is dit niet altijd het geval. Laten we echter niet meteen naar de trieste dingen gaan, maar laten we oefenen met nog een voorbeeld met een vrij eenvoudige vervanging

Voorbeeld 2.

Het is duidelijk dat we hoogstwaarschijnlijk een vervanging zullen moeten maken (dit is de kleinste van de machten die in onze vergelijking zijn opgenomen), maar voordat we een vervanging introduceren, moet onze vergelijking erop worden “voorbereid”, namelijk: , . Dan kun je vervangen, als resultaat krijg ik de volgende uitdrukking:

Oh horror: een derdegraadsvergelijking met absoluut vreselijke formules om het op te lossen (nou ja, in gesproken woorden). algemeen beeld). Maar laten we niet meteen wanhopen, maar laten we nadenken over wat we moeten doen. Ik stel voor om vals te spelen: we weten dat we, om een ​​“mooi” antwoord te krijgen, het in de vorm van een macht van drie moeten krijgen (waarom zou dat zijn, hè?). Laten we proberen minstens één wortel van onze vergelijking te raden (ik begin te raden met machten van drie).

Eerste gok. Geen wortel. Helaas en ach...

.
De linkerkant is gelijk.
Rechterkant: !
Eten! Ik raadde de eerste wortel. Nu wordt het makkelijker!

Kent u het 'hoekverdelingsschema'? Natuurlijk doe je dat, je gebruikt het als je het ene getal door het andere deelt. Maar weinig mensen weten dat hetzelfde kan worden gedaan met polynomen. Er is één prachtige stelling:

Als ik dit op mijn situatie toepas, weet ik dat het zonder rest deelbaar is door. Hoe vindt de verdeling plaats? Hier ziet u hoe:

Ik kijk met welk monomiaal ik moet vermenigvuldigen om het duidelijk te krijgen, en dan:

Ik trek de resulterende uitdrukking af, ik krijg:

Waarmee moet ik vermenigvuldigen om te krijgen? Het is duidelijk dat ik dan het volgende krijg:

en trek opnieuw de resulterende uitdrukking af van de resterende:

Goed laatste stap, vermenigvuldig met en trek af van de resterende uitdrukking:

Hoera, de verdeeldheid is voorbij! Wat hebben we privé verzameld? Natuurlijk: .

Toen kregen we de volgende uitbreiding van de oorspronkelijke polynoom:

Laten we de tweede vergelijking oplossen:

Het heeft wortels:

Dan de oorspronkelijke vergelijking:

heeft drie wortels:

We zullen uiteraard de laatste wortel weggooien, aangezien deze kleiner is dan nul. En de eerste twee na omgekeerde vervanging zullen ons twee wortels opleveren:

Antwoord: ..

Ik wilde je helemaal niet bang maken met dit voorbeeld, het was mijn doel om aan te tonen dat hoewel we een vrij eenvoudige vervanging hadden, deze toch tot een behoorlijke uitkomst leidde; complexe vergelijking, waarvan de oplossing enkele speciale vaardigheden van ons vereiste. Welnu, niemand is hier immuun voor. Maar de vervanging lag in dit geval vrij voor de hand.

Hier is een voorbeeld met een iets minder voor de hand liggende vervanging:

Het is helemaal niet duidelijk wat we moeten doen: het probleem is dat er in onze vergelijking twee zijn verschillende bases en de ene basis kan niet van de andere worden verkregen door deze tot welke (redelijke, uiteraard) graad dan ook te verheffen. Maar wat zien we? Beide bases verschillen alleen in teken, en hun product is het verschil tussen de vierkanten gelijk aan één:

Definitie:

De getallen die in ons voorbeeld de bases zijn, zijn dus geconjugeerd.

In dit geval zou de slimme stap zijn vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met het geconjugeerde getal.

Bijvoorbeeld op, dan wordt de linkerkant van de vergelijking gelijk aan, en de rechterkant. Als we een substitutie uitvoeren, wordt onze oorspronkelijke vergelijking als volgt:

zijn wortels dan, en als we dat in gedachten houden, begrijpen we dat.

Antwoord: , .

In de regel is de vervangingsmethode voldoende om de meeste ‘school’-exponentiële vergelijkingen op te lossen. De volgende taken zijn afkomstig uit het Unified State Examination C1 (verhoogde moeilijkheidsgraad). Je bent al geletterd genoeg om deze voorbeelden zelf op te lossen. Ik geef alleen de benodigde vervanging.

1. Los de vergelijking op:
2. Zoek de wortels van de vergelijking:
3. Los de vergelijking op: . Zoek alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen:

En nu enkele korte uitleg en antwoorden:

1. Hier volstaat het voor ons om op te merken dat... Dan is de oorspronkelijke vergelijking gelijkwaardig aan deze: Deze vergelijking kan worden opgelost door te vervangen. Voer zelf de verdere berekeningen uit. Uiteindelijk wordt je taak beperkt tot het oplossen van eenvoudige trigonometrische problemen (afhankelijk van sinus of cosinus). We zullen oplossingen voor soortgelijke voorbeelden in andere secties bekijken.
2. Hier kun je zelfs zonder substitutie doen: verplaats gewoon het aftrekkertje naar rechts en geef beide bases weer via machten van twee: , en ga dan meteen naar de kwadratische vergelijking.
3. De derde vergelijking wordt ook vrij standaard opgelost: laten we ons voorstellen hoe. Vervolgens vervangen we een kwadratische vergelijking: dan

   Je weet al wat een logaritme is, toch? Nee? Lees dan dringend het onderwerp!

   De eerste wortel behoort uiteraard niet tot het segment, maar de tweede is onduidelijk! Maar dat zullen we snel weten! Laten we daarom (dit is een eigenschap van de logaritme!) eens vergelijken:

   Trek van beide kanten af, dan krijgen we:

   De linkerkant kan worden weergegeven als:

   vermenigvuldig beide zijden met:

   kan dan vermenigvuldigd worden met

   Vergelijk dan:

   sindsdien:

   Dan behoort de tweede wortel tot het vereiste interval

   Antwoord:

Zoals je kunt zien, selectie van wortels van exponentiële vergelijkingen vereist een vrij diepgaande kennis van de eigenschappen van logaritmen, dus ik raad je aan zo voorzichtig mogelijk te zijn bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen. Zoals je begrijpt, is in de wiskunde alles met elkaar verbonden! Zoals mijn wiskundeleraar zei: “Wiskunde kan, net als geschiedenis, niet van de ene op de andere dag worden gelezen.”

In de regel allemaal De moeilijkheid bij het oplossen van problemen C1 is precies de selectie van de wortels van de vergelijking. Laten we oefenen met nog een voorbeeld:

Het is duidelijk dat de vergelijking zelf vrij eenvoudig kan worden opgelost. Door een substitutie uit te voeren, reduceren we onze oorspronkelijke vergelijking tot het volgende:

Laten we eerst eens kijken naar de eerste wortel. Laten we vergelijken en: sindsdien, dan. (eigenschap van een logaritmische functie, at). Dan is het duidelijk dat de eerste wortel niet tot ons interval behoort. Nu de tweede wortel: . Het is duidelijk dat (aangezien de functie at toeneemt). Het blijft vergelijken en...

sindsdien, tegelijkertijd. Op deze manier kan ik “een pinnetje rijden” tussen de en. Deze pin is een getal. De eerste uitdrukking is kleiner en de tweede is groter. Dan is de tweede uitdrukking groter dan de eerste en behoort de wortel tot het interval.

Antwoord: .

Laten we tot slot eens kijken naar een ander voorbeeld van een vergelijking waarbij de substitutie nogal afwijkend is:

Laten we meteen beginnen met wat er gedaan kan worden, en wat er in principe gedaan kan worden, maar het is beter om het niet te doen. Je kunt je alles voorstellen via de machten van drie, twee en zes. Waar zal dit toe leiden? Het zal nergens toe leiden: een wirwar van graden, waarvan sommige heel moeilijk weg te werken zijn. Wat is er dan nodig? Laten we er rekening mee houden dat: En wat levert dit ons op? En het feit dat we de oplossing van dit voorbeeld kunnen reduceren tot de oplossing van een vrij eenvoudige exponentiële vergelijking! Laten we eerst onze vergelijking herschrijven als:

Laten we nu beide zijden van de resulterende vergelijking delen door:

Eureka! Nu we kunnen vervangen, krijgen we:

Welnu, nu is het jouw beurt om demonstratieproblemen op te lossen, en ik zal er slechts korte opmerkingen over maken, zodat je niet op een dwaalspoor raakt! Succes!

1. Het moeilijkste! Het is zo moeilijk om hier een vervanger te zien! Maar toch kan dit voorbeeld volledig worden opgelost met behulp van een volledig vierkant markeren. Om het op te lossen, volstaat het om het volgende op te merken:

Dan is hier uw vervanger:

(Houd er rekening mee dat we hier tijdens onze vervanging de negatieve wortel niet kunnen weggooien!!! Waarom denk je?)

Om het voorbeeld op te lossen, hoeft u slechts twee vergelijkingen op te lossen:

Beide kunnen worden opgelost door een “standaardvervanging” (maar de tweede in één voorbeeld!)

2. Merk dat op en zorg voor een vervanging.

3. Ontleed het getal in coprime-factoren en vereenvoudig de resulterende uitdrukking.

4. Deel de teller en de noemer van de breuk door (of, als je dat liever hebt) en voer de vervanging uit met of.

5. Merk op dat de cijfers en vervoegd zijn.

EXPONENTAIRE VERGELIJKINGEN. GEAVANCEERD NIVEAU

Laten we bovendien naar een andere manier kijken: exponentiële vergelijkingen oplossen met behulp van de logaritmemethode. Ik kan niet zeggen dat het oplossen van exponentiële vergelijkingen met deze methode erg populair is, maar alleen in sommige gevallen kan het ons ertoe leiden de juiste beslissing onze vergelijking. Het wordt vooral vaak gebruikt om de zogenaamde “ gemengde vergelijkingen": dat wil zeggen, die waar functies van verschillende typen voorkomen.

Bijvoorbeeld een vergelijking van de vorm:

in het algemene geval kan het alleen worden opgelost door logaritmen van beide zijden te nemen (bijvoorbeeld naar de basis), waarbij de oorspronkelijke vergelijking als volgt zal veranderen:

Laten we eens kijken naar het volgende voorbeeld:

Het is duidelijk dat we volgens de ODZ van de logaritmische functie alleen maar geïnteresseerd zijn. Dit volgt echter niet alleen uit de ODZ van de logaritme, maar om nog een reden. Ik denk dat het voor jou niet moeilijk zal zijn om te raden welke het is.

Laten we de logaritme van beide zijden van onze vergelijking naar de basis nemen:

Zoals je kunt zien, leidde het nemen van de logaritme van onze oorspronkelijke vergelijking ons snel naar het juiste (en mooie!) antwoord. Laten we oefenen met nog een voorbeeld:

Er is hier ook niets mis: laten we de logaritme van beide kanten van de vergelijking naar de basis brengen, dan krijgen we:

Laten we een vervanging maken:

Wij hebben echter iets gemist! Is het je opgevallen waar ik een fout heb gemaakt? Immers, dan:

die niet aan de eis voldoet (denk aan waar het vandaan komt!)

Antwoord:

Probeer de oplossing van de onderstaande exponentiële vergelijkingen op te schrijven:

Vergelijk nu uw beslissing hiermee:

1. Laten we beide zijden logaritme maken naar de basis, rekening houdend met het volgende:

(de tweede wortel is voor ons niet geschikt wegens vervanging)

2. Logaritme ten opzichte van het grondtal:

Laten we de resulterende uitdrukking transformeren naar de volgende vorm:

EXPONENTAIRE VERGELIJKINGEN. KORTE BESCHRIJVING EN BASISFORMULES

Exponentiële vergelijking

Vergelijking van de vorm:

genaamd de eenvoudigste exponentiële vergelijking.

Eigenschappen van graden

Benaderingen van oplossing

• Leidt tot dezelfde basis
• Reductie tot dezelfde exponent
• Variabele vervanging
• Vereenvoudig de uitdrukking en pas een van de bovenstaande toe.