Vergelijking van complexe getallen online. Modulus en argument van een complex getal

Laten we ons de nodige informatie over complexe getallen herinneren.

Complex getal is een uitdrukking van de vorm A + bi, Waar A, B zijn reële getallen, en i- de zogenaamde denkbeeldige eenheid, een symbool waarvan het kwadraat gelijk is aan –1 i 2 = –1. Nummer A genaamd echt deel en het nummer B - denkbeeldig deel complex getal z = A + bi. Als B= 0, dan in plaats daarvan A + 0i ze schrijven gewoon A. Het is duidelijk dat de echte cijfers dat zijn speciaal geval complexe getallen.

Rekenkundige bewerkingen op complexe getallen zijn hetzelfde als op reële getallen: ze kunnen door elkaar worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld. Optellen en aftrekken gebeurt volgens de regel ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)i, en vermenigvuldiging volgt de regel ( A + bi) · ( C + di) = (ac – geb) + (advertentie + bc)i(hier wordt dat gebruikt i 2 = –1). Aantal = A – bi genaamd complex conjugaat Naar z = A + bi. Gelijkwaardigheid z · = A 2 + B Met 2 kunt u begrijpen hoe u een complex getal kunt delen door een ander (niet-nul) complex getal:

(Bijvoorbeeld, .)

Complexe getallen hebben een handige en visuele geometrische weergave: getal z = A + bi kan worden weergegeven door een vector met coördinaten ( A; B) op het cartesiaanse vlak (of, wat bijna hetzelfde is, een punt - het einde van een vector met deze coördinaten). In dit geval wordt de som van twee complexe getallen weergegeven als de som van de overeenkomstige vectoren (die kunnen worden gevonden met behulp van de parallellogramregel). Volgens de stelling van Pythagoras is de lengte van de vector met coördinaten ( A; B) is gelijk aan . Deze hoeveelheid wordt genoemd module complex getal z = A + bi en wordt aangegeven met | z|. De hoek die deze vector maakt met de positieve richting van de x-as (tegen de klok in geteld) wordt genoemd argument complex getal z en wordt aangegeven met Arg z. Het argument is niet uniek gedefinieerd, maar alleen tot de toevoeging van een veelvoud van 2 π radialen (of 360°, indien geteld in graden) - het is immers duidelijk dat een rotatie over een dergelijke hoek rond de oorsprong de vector niet zal veranderen. Maar als de vector van lengte R vormt een hoek φ met de positieve richting van de x-as, dan zijn de coördinaten gelijk aan ( R want φ ; R zonde φ ). Vanaf hier blijkt het trigonometrische notatie complex getal: z = |z| · (cos(Arg z) + i zonde (arg z)). Het is vaak handig om complexe getallen in deze vorm te schrijven, omdat dit de berekeningen enorm vereenvoudigt. Het vermenigvuldigen van complexe getallen in trigonometrische vorm is heel eenvoudig: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i zonde (arg z 1 + Arg z 2)) (bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen worden hun modules vermenigvuldigd en hun argumenten toegevoegd). Vanaf hier volgen De formules van Moivre: zn = |z|N· (omdat( N· (Arg z)) + i zonde( N· (Arg z))). Met behulp van deze formules kun je gemakkelijk leren hoe je wortels van welke graad dan ook uit complexe getallen kunt halen. Wortel nde graad vanaf nummer z- dit is een complex getal w, Wat w n = z. Dat is duidelijk , en , waar k kan elke waarde uit de set aannemen (0, 1, ..., N– 1). Dit betekent dat er altijd precies is N wortels N e graad van een complex getal (op het vlak bevinden ze zich op de hoekpunten van het reguliere getal N-gon).

Met behulp van de rekenmachine

Om een ​​expressie te evalueren, moet u een tekenreeks invoeren die moet worden geëvalueerd. Bij het invoeren van getallen is het scheidingsteken tussen het gehele getal en de breuken een punt. Je kunt haakjes gebruiken. Bewerkingen op complexe getallen zijn vermenigvuldigen (*), delen (/), optellen (+), aftrekken (-), machtsverheffen (^) en andere. U kunt exponentiële en algebraïsche vormen gebruiken om complexe getallen te schrijven. Voer denkbeeldige eenheid in i het is mogelijk zonder het vermenigvuldigingsteken; in andere gevallen is het vermenigvuldigingsteken vereist, bijvoorbeeld tussen haakjes of tussen een getal en een constante. Er kunnen ook constanten worden gebruikt: het getal π wordt ingevoerd als pi, exponent e, moeten alle uitdrukkingen in de indicator tussen haakjes staan.

Voorbeeldregel voor berekening: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), wat overeenkomt met de uitdrukking \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Met de rekenmachine kunt u constanten, wiskundige functies, aanvullende bewerkingen en meer gebruiken. complexe uitdrukkingen, kunt u vertrouwd raken met deze mogelijkheden op de pagina met algemene regels voor het gebruik van rekenmachines op deze site.

De site is in aanbouw, sommige pagina's zijn mogelijk niet beschikbaar.

Nieuws

07.07.2016
Een rekenmachine toegevoegd voor het oplossen van stelsels van niet-lineaire algebraïsche vergelijkingen: .

30.06.2016
De site heeft een responsief ontwerp; pagina's worden adequaat weergegeven op zowel grote monitoren als mobiele apparaten.

Sponsor

RGROnline.ru – directe oplossing voor online elektrotechnisch werk.

Klas 12 . Complexe getallen.

12.1. Definitie van complexe getallen in algebraïsche vorm. Vergelijking en weergave van complexe getallen op het complexe vlak. Complexe koppeling. Optellen, vermenigvuldigen, delen van complexe getallen.

12.2. Modulus, argument van een complex getal.

12.3. Trigonometrische en exponentiële vormen van het schrijven van een complex getal.

12.4. Verheffen tot een gehele macht en de wortel van een complex getal extraheren.

Definitie van complexe getallen in algebraïsche vorm. Vergelijking en weergave van complexe getallen op het complexe vlak. Complexe koppeling. Optellen, vermenigvuldigen, delen van complexe getallen.

Een complex getal in algebraïsche vorm is het getal

Waar
genaamd denkbeeldige eenheid En
- reële cijfers:
genaamd echt (echt) deel;
- denkbeeldig deel complex getal . Complexe getallen van het formulier
worden genoemd puur denkbeeldige getallen. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met de letter .

Per definitie,

De verzameling van alle reële getallen maakt deel uit van het geheel
: . Aan de andere kant zijn er complexe getallen die niet tot de set behoren
.
Bijvoorbeeld,
.

En , omdat Complexe getallen in algebraïsche vorm ontstaan ​​op natuurlijke wijze bij het oplossen

kwadratische vergelijkingen met een negatieve discriminant.
.

Voorbeeld 1

. Los de vergelijking op

,
.

Oplossing. , Daarom heeft de gegeven kwadratische vergelijking complexe wortels

,

,
.

Voorbeeld 2 ,

. Vind de reële en denkbeeldige delen van complexe getallen
Dienovereenkomstig, de reële en denkbeeldige delen van het getal Elk complex getal
weergegeven door een vector op het complexe vlak , dat een vlak voorstelt met een cartesiaans coördinatensysteem
. Het begin van de vector ligt in het punt
, en het einde bevindt zich op het punt met coördinaten
(Figuur 1.) As .

wordt de echte as genoemd, en de as
- denkbeeldige as van het complexe vlak
Complexe getallen worden alleen met tekens met elkaar vergeleken
. . .
Als ten minste één van de gelijkheden:.

wordt dan geschonden Records van type
geen zin
Per definitie complex
nummer
heet de complexe conjugaat van een getal

.

In dit geval schrijven ze

. Dat is duidelijk.

Overal daaronder betekent een bovenbalk boven een complex getal een complexe vervoeging.

Bijvoorbeeld, .

U kunt bewerkingen uitvoeren op complexe getallen, zoals optellen (aftrekken), vermenigvuldigen en delen.

1. Optelling van complexe getallen
zo gedaan: vectoren volgens de parallellogramregel.

Nummeraftrekking van onder zo gedaan:

2. Vermenigvuldiging van complexe getallen zo gedaan:

Eigenschappen van de vermenigvuldigingsoperatie:

Bijvoorbeeld, .

- eigenschap van associativiteit;

- de wet van de distributiviteit.

3. Deling van complexe getallen alleen haalbaar met
en wordt als volgt gedaan:

.

Voorbeeld 3. Vinden
, Als .

Voorbeeld 4. Berekenen
, Als .

z, omdat
.

.(auw!)

Het is niet moeilijk om de geldigheid van de volgende uitspraken te controleren (het wordt aanbevolen dat u dit zelf doet):

Modulus, argument van een complex getal.

Modulus van een complex getal
(module aangegeven door ) is een niet-negatief getal
, d.w.z.
.

Geometrische betekenis - lengte van de vector die het getal vertegenwoordigt op het complexe vlak .
Vergelijking definieert de verzameling van alle getallen (vectoren per
.

), waarvan de uiteinden op de eenheidscirkel liggen
Complex getalargument aangegeven door
(argument ) Dit is een hoek
in radialen tussen de reële as op het complexe vlak en nummer , En
positief als er vanaf wordt geteld naar tegen de klok in, en negatief als
positief als er vanaf wordt geteld gemeten vanaf de as.

rechtsom Het getalargument dus
wordt dubbelzinnig bepaald, tot op zekere hoogte
, Waar . Absoluut een cijferargument
bepaald binnen één ronde van de eenheidscirkel . in het vliegtuig
Meestal moet je zoeken
,binnen het interval deze waarde wordt de hoofdwaarde van het getalargument genoemd
.

en wordt aangewezen
En cijfers
kan worden gevonden uit de vergelijking , terwijl Noodzakelijkerwijs er rekening mee gehouden moet worden , in welk kwart van het vliegtuig ligt het einde van de vector
:

- punt
Als (1e kwart van het vliegtuig

- punt
), Dat ; (2e kwart van het vliegtuig

- punt
), Dat; (1e kwart van het vliegtuig

- punt
(3e kwart van het vliegtuig (4e kwart vlak

), Dat .
In feite de modulus en het argument van het getal
, dit zijn poolcoördinaten
punten bepaald binnen één ronde van de eenheidscirkel .

- einde van de vector Voorbeeld 5

.

. Zoek de modulus en hoofdwaarde van het getallenargument:
Argumenten van getallen die op assen liggen , die de kwartalen 1,2,3,4 van het complexe vlak scheidt .

, kan onmiddellijk worden gevonden aan de hand van de grafische weergaven van deze getallen in het vlak

Trigonometrische en exponentiële vormen van het schrijven van een complex getal. Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen in trigonometrische en exponentiële notatie. Trigonometrische notatie
complex getal

, (2)

Waar heeft de vorm: - module, - argument voor complexe getallen

. Deze weergave van complexe getallen volgt uit de gelijkheden.(Indicatief exponentieel
complex getal

, (3)

Waar heeft de vorm: ) vorm van het schrijven van een complex getal - getalargument

. (4)

. De mogelijkheid om complexe getallen in exponentiële vorm (3) weer te geven volgt uit de trigonometrische vorm (2) en de formule van Euler:

Deze formule is bewezen in de cursus TFKP (Theorie van functies van een complexe variabele).. Zoek trigonometrische en exponentiële vormen voor complexe getallen: uit voorbeeld 5.

Oplossing. Laten we de resultaten van voorbeeld 5 gebruiken, waarin de modules en argumenten van alle aangegeven getallen worden gevonden.

,

.

- trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van het schrijven van een getal .

3)

- trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van het schrijven van een getal .

Trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van het schrijven van een getal .

5)

- trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van het schrijven van een getal .

Trigonometrische vorm van een getal ,

.

7)

- trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van een getal .

- trigonometrische vorm van het schrijven van een getal ,

- exponentiële vorm van het schrijven van een getal .

De exponentiële vorm van het schrijven van complexe getallen leidt tot de volgende geometrische interpretatie van de bewerkingen van vermenigvuldigen en delen van complexe getallen. Laten
- exponentiële vormen van getallen
.

1. Bij het vermenigvuldigen van complexe getallen worden hun modules vermenigvuldigd en worden hun argumenten toegevoegd.

2. Bij het delen van een complex getal per nummer het blijkt een complex getal te zijn , moduul wat gelijk is aan de verhouding van modules , en de argumentatie - verschillen
aantal argumenten
.

Verheffen tot een gehele macht en de wortel van een complex getal extraheren.

Per definitie,

Wanneer verheven tot een hele macht complex getal
, moet u als volgt te werk gaan: zoek eerst de module en betoog dit nummer; introduceren in demonstratieve vorm
;
vinden

door de volgende reeks acties uit te voeren

Waar . (5) Opmerking.
Argument
cijfers
behoort mogelijk niet tot het interval . In dit geval volgens de verkregen waarde

zoek de belangrijkste betekenis
argument
cijfers
, een getal optellen (of aftrekken).

met deze betekenis
, naar behoorde tot het interval .

.. Vinden .
Hierna moet je formules vervangen (5)
.

1)
=
op Voorbeeld 7

2)
, Als
.
.
.

(zie nummer uit voorbeeld 6).

, Waar
.

3)
, Als
.
.

Vandaar, kan worden vervangen door en, wat betekent

Waar Wij zullen vervangen
op . Vandaar,
Wortelextractie