Soort taak: 7

Voorwaarde

De rechte lijn y=3x+2 raakt de grafiek van de functie y=-12x^2+bx-10.

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Oplossing

Zij x_0 de abscis van het punt op de grafiek van de functie y=-12x^2+bx-10 waar de raaklijn aan deze grafiek doorheen gaat. De waarde van de afgeleide op punt x_0 is gelijk aan de helling van de raaklijn, dat wil zeggen y"(x_0)=-24x_0+b=3. Aan de andere kant behoort het raakpunt tegelijkertijd tot zowel de grafiek van de functie en de raaklijn, dat wil zeggen -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2

\begin(gevallen) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gevallen)

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

Antwoord

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Onderwerp: Geometrische betekenis van derivaten. Raaklijn aan de grafiek van een functie

De rechte lijn y=-3x+4 is evenwijdig aan de raaklijn aan de grafiek van de functie y=-x^2+5x-7.

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Zoek de abscis van het raakpunt. De hoekcoëfficiënt van de rechte lijn naar de grafiek van de functie y=-x^2+5x-7 op een willekeurig punt x_0 is gelijk aan y"(x_0). Maar y"=-2x+5, wat y" betekent (x_0)=-2x_0+5. De coëfficiënt van de lijn y=-3x+4 gespecificeerd in de voorwaarde is gelijk aan -3. Parallelle lijnen hebben dezelfde hoekcoëfficiënten, zodat = -2x_0 +5=-3. We krijgen: x_0 = 4.

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Uit de figuur bepalen we dat de raaklijn door de punten A(-6; 2) en B(-1; 1) gaat.

Laten we met C(-6; 1) het snijpunt van de lijnen x=-6 en y=1 aangeven, en met \alpha de hoek ABC (je kunt in de figuur zien dat deze scherp is). Dan vormt rechte lijn AB een hoek \pi -\alpha met de positieve richting van de Ox-as, die stomp is. Zoals bekend zal tg(\pi -\alpha) de waarde zijn van de afgeleide van de functie f(x) in punt x_0. Merk dat op tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Vanaf hier krijgen we, met behulp van de reductieformules:

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Bron: “Wiskunde. Voorbereiding op het Unified State Exam 2017. Profielniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

De rechte lijn y=-2x-4 raakt de grafiek van de functie y=16x^2+bx+12.

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt groter is dan nul. Zij x_0 de abscis van het punt op de grafiek van de functie y=16x^2+bx+12 waardoor

raakt aan deze grafiek.

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Vanaf hier krijgen we, met behulp van de reductieformules:

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

De waarde van de afgeleide op punt x_0 is gelijk aan de helling van de raaklijn, dat wil zeggen y"(x_0)=32x_0+b=-2. Aan de andere kant behoort het raakpunt tegelijkertijd tot zowel de grafiek van de functie en de raaklijn, dat wil zeggen 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4. We krijgen een stelsel vergelijkingen

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

\begin(gevallen) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(gevallen) Als we het systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent. Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten groter dan nul, dus x_0=1, en dan b=-2-32x_0=-34.

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Vanaf hier krijgen we, met behulp van de reductieformules:

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (-2; 8).

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Bepaal het aantal punten waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie evenwijdig is aan de rechte lijn y=6.

Als we dit systeem oplossen, krijgen we x_0^2=1, wat x_0=-1 of x_0=1 betekent.

Vanaf hier krijgen we, met behulp van de reductieformules:

Soort taak: 7
Volgens de abscisvoorwaarde zijn de raakpunten kleiner dan nul, dus x_0=-1, en dan b=3+24x_0=-21.

Voorwaarde

De rechte lijn y=6 is evenwijdig aan de Ox-as. Daarom vinden we punten waarop de raaklijn aan de grafiek van de functie evenwijdig is aan de Ox-as.

Vind b, gegeven dat de abscis van het raakpunt kleiner is dan nul.

Oplossing tonen

Uit de figuur bepalen we dat de raaklijn door de punten A(1; 1) en B(5; 4) gaat.

Laten we met C(5; 1) het snijpunt van de lijnen x=5 en y=1 aangeven, en met \alpha de hoek BAC (je kunt in de figuur zien dat deze scherp is). Dan vormt rechte lijn AB een hoek \alpha met de positieve richting van de Ox-as. Het artikel geeft een gedetailleerde uitleg van de definities, geometrische betekenis afgeleide met grafische symbolen

. De vergelijking van een raaklijn zal met voorbeelden worden besproken, de vergelijkingen van een raaklijn aan krommen van de 2e orde zullen worden gevonden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definitie 1

De hellingshoek van de rechte lijn y = k x + b wordt hoek α genoemd, gemeten vanaf de positieve richting van de x-as tot de rechte lijn y = k x + b in de positieve richting.

In de figuur wordt de x-richting aangegeven door een groene pijl en een groene boog, en de hellingshoek door een rode boog. De blauwe lijn verwijst naar de rechte lijn.

Definitie 2

De helling van de rechte lijn y = k x + b wordt de numerieke coëfficiënt k genoemd.

• De hoekcoëfficiënt is gelijk aan de raaklijn van de rechte lijn, met andere woorden k = t g α.
• De hellingshoek van een rechte lijn is alleen gelijk aan 0 als deze evenwijdig is rond x en de helling gelijk is aan nul, omdat de raaklijn van nul gelijk is aan 0. Dit betekent dat de vorm van de vergelijking y = b zal zijn.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Als de hellingshoek van de rechte lijn y = k x + b scherp is, dan is aan de voorwaarden 0 voldaan
• 0, en er is een stijging in de grafiek.
• Als α = π 2, dan staat de locatie van de lijn loodrecht op x. Gelijkheid wordt gespecificeerd door x = c, waarbij de waarde c een reëel getal is.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Als de hellingshoek van de rechte lijn y = k x + b stomp is, dan komt deze overeen met de voorwaarden π 2

Definitie 3

Een secans is een lijn die door 2 punten van de functie f (x) gaat. Met andere woorden: een secans is een rechte lijn die door twee willekeurige punten in de grafiek van een bepaalde functie wordt getrokken.

De figuur laat zien dat AB een secans is, en f (x) een zwarte curve is, α een rode boog is, die de hellingshoek van de secans aangeeft.

Wanneer de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn gelijk is aan de raaklijn van de hellingshoek, is het duidelijk dat de raaklijn van een rechthoekige driehoek A B C kan worden gevonden door de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde.

Definitie 4

We krijgen een formule voor het vinden van een secans van de vorm:

Uiteraard wordt de hoekcoëfficiënt van de secans bepaald met behulp van de gelijkheid k = f (x B) - f (x A) x B - x A of k = f (x A) - f (x B) x A - x B , en de vergelijking moet worden geschreven als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) of
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

De secans verdeelt de grafiek visueel in 3 delen: links van punt A, van A naar B, rechts van B. Onderstaande figuur laat zien dat er drie secans zijn die als samenvallend worden beschouwd, dat wil zeggen dat ze worden ingesteld met behulp van een soortgelijke vergelijking.

Per definitie is het duidelijk dat de rechte lijn en de secans in dit geval samenvallen.

Een secans kan de grafiek van een bepaalde functie meerdere keren snijden. Als er een vergelijking is van de vorm y = 0 voor een secans, dan is het aantal snijpunten met de sinusoïde oneindig.

Definitie 5

Raaklijn aan de grafiek van de functie f (x) in punt x 0 ; f (x 0) is een rechte lijn die door een bepaald punt x 0 gaat; f (x 0), met de aanwezigheid van een segment dat veel x-waarden heeft die dichtbij x 0 liggen.

Voorbeeld 1

Laten we het onderstaande voorbeeld eens nader bekijken. Dan is het duidelijk dat de lijn gedefinieerd door de functie y = x + 1 wordt beschouwd als rakend aan y = 2 x op het punt met coördinaten (1; 2). Voor de duidelijkheid is het noodzakelijk om grafieken te overwegen met waarden dichtbij (1; 2). De functie y = 2 x wordt in het zwart weergegeven, de blauwe lijn is de raaklijn en de rode stip is het snijpunt.

Het is duidelijk dat y = 2 x samenvloeit met de lijn y = x + 1.

Om de raaklijn te bepalen, moeten we het gedrag van de raaklijn A B beschouwen als punt B punt A oneindig nadert. Voor de duidelijkheid presenteren we een tekening.

De secans A B, aangegeven door de blauwe lijn, neigt naar de positie van de raaklijn zelf, en de hellingshoek van de secans α zal beginnen te neigen naar de hellingshoek van de raaklijn zelf α x.

Definitie 6

De raaklijn aan de grafiek van de functie y = f (x) op punt A wordt beschouwd als de grenspositie van de secans A B, aangezien B naar A neigt, dat wil zeggen B → A.

Laten we nu verder gaan met het bekijken van de geometrische betekenis van de afgeleide van een functie in een punt.

Laten we verder gaan met het beschouwen van de secans A B voor de functie f (x), waarbij A en B met coördinaten x 0, f (x 0) en x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), en ∆ x is aangegeven als de toename van het argument . Nu zal de functie de vorm aannemen ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Laten we voor de duidelijkheid een voorbeeld van een tekening geven.

Beschouw de resulterende rechthoekige driehoek A B C. We gebruiken de definitie van raaklijn om op te lossen, dat wil zeggen dat we de relatie ∆ y ∆ x = t g α verkrijgen. Uit de definitie van een raaklijn volgt dat lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Volgens de regel van de afgeleide op een punt geldt dat de afgeleide f (x) op het punt x 0 de limiet wordt genoemd van de verhouding tussen de toename van de functie en de toename van het argument, waarbij ∆ x → 0 , dan noteren we het als f (x 0) = lim ∆ X → 0 ∆ y ∆ X .

Hieruit volgt dat f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, waarbij k x wordt aangegeven als de helling van de raaklijn.

Dat wil zeggen, we krijgen dat f ’ (x) kan bestaan ​​op het punt x 0 en net als de raaklijn aan gegeven schema functie op het raakpunt gelijk aan x 0, f 0 (x 0), waarbij de waarde van de helling van de raaklijn op het punt gelijk is aan de afgeleide op het punt x 0. Dan krijgen we dat k x = f " (x 0) .

De geometrische betekenis van de afgeleide van een functie in een punt is dat deze het concept geeft van het bestaan ​​van een raaklijn aan de grafiek op hetzelfde punt.

Om de vergelijking van een rechte lijn in een vlak op te schrijven, is het noodzakelijk om een ​​hoekcoëfficiënt te hebben met het punt waar de lijn doorheen gaat. De notatie wordt genomen als x 0 op het snijpunt.

De raaklijnvergelijking aan de grafiek van de functie y = f (x) op het punt x 0, f 0 (x 0) heeft de vorm y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Dit betekent dat de eindwaarde van de afgeleide f "(x 0) de positie van de raaklijn kan bepalen, dat wil zeggen verticaal, op voorwaarde dat lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ en lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ of helemaal geen afwezigheid onder de voorwaarde lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

De locatie van de raaklijn hangt af van de waarde van de hoekcoëfficiënt k x = f "(x 0). Wanneer parallel aan de o x-as, verkrijgen we dat k k = 0, wanneer parallel aan ongeveer y - k x = ∞, en de vorm van de raaklijnvergelijking x = x 0 neemt toe met k x > 0, neemt af met k x< 0 .

Voorbeeld 2

Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de grafiek van de functie y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 op het punt met coördinaten (1; 3) en bepaal de hellingshoek.

Oplossing

Als voorwaarde stellen we dat de functie voor iedereen gedefinieerd is echte cijfers. We vinden dat het punt met de coördinaten gespecificeerd door de voorwaarde (1; 3) een raakpunt is, dus x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Het is noodzakelijk om de afgeleide te vinden op het punt met waarde - 1. Dat snappen wij

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

De waarde van f ’ (x) op het raakpunt is helling raaklijn, die gelijk is aan de raaklijn van de helling.

Dan geldt k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Hieruit volgt dat α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antwoord: de raaklijnvergelijking neemt de vorm aan

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Voor de duidelijkheid geven we een voorbeeld in een grafische illustratie.

Zwarte kleur wordt gebruikt voor de grafiek van de originele functie, blauw– afbeelding van een raaklijn, rode stip – raakpunt. De figuur rechts toont een vergroot aanzicht.

Voorbeeld 3

Bepaal het bestaan ​​van een raaklijn aan de grafiek van een bepaalde functie
y = 3 · x - 1 5 + 1 op het punt met coördinaten (1 ; 1) . Schrijf een vergelijking en bepaal de hellingshoek.

Oplossing

Als voorwaarde stellen we dat het definitiedomein van een bepaalde functie wordt beschouwd als de verzameling van alle reële getallen.

Laten we verder gaan met het vinden van de afgeleide

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Als x 0 = 1, dan is f' (x) niet gedefinieerd, maar de limieten worden geschreven als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ en lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , wat betekent dat bestaan ​​verticale raaklijn in punt (1; 1).

Antwoord: de vergelijking heeft de vorm x = 1, waarbij de hellingshoek gelijk is aan π 2.

Voor de duidelijkheid, laten we het grafisch weergeven.

Voorbeeld 4

Zoek de punten op de grafiek van de functie y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, waarbij

1. Er is geen raaklijn;
2. De raaklijn is evenwijdig aan x;
3. De raaklijn is evenwijdig aan de lijn y = 8 5 x + 4.

Oplossing

Het is noodzakelijk om aandacht te besteden aan de reikwijdte van de definitie. Als voorwaarde hebben we dat de functie wordt gedefinieerd op de verzameling van alle reële getallen. We breiden de module uit en lossen het systeem op met intervallen x ∈ - ∞ ; 2 en [-2; +∞). Dat snappen wij

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Het is noodzakelijk om de functie te differentiëren. Dat hebben wij

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Als x = − 2, dan bestaat de afgeleide niet omdat de eenzijdige grenzen op dat punt niet gelijk zijn:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

We berekenen de waarde van de functie op het punt x = - 2, waar we dat vinden

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, dat wil zeggen de raaklijn op het punt ( - 2; - 2) zal niet bestaan.
2. De raaklijn is evenwijdig aan x als de helling nul is. Dan k x = t g α x = f "(x 0). Dat wil zeggen, het is noodzakelijk om de waarden van dergelijke x te vinden wanneer de afgeleide van de functie deze naar nul verandert. Dat wil zeggen, de waarden van f ' (x) zijn de raakpunten, waarbij de raaklijn evenwijdig is aan x.

Wanneer x ∈ - ∞ ; - 2, dan - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, en voor x ∈ (- 2; + ∞) krijgen we 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Bereken de overeenkomstige functiewaarden

j 1 = j - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 j 2 = j (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 j 3 = j (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 j 4 = j (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Vandaar - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 worden beschouwd als de vereiste punten van de functiegrafiek.

Laten we eens kijken naar een grafische weergave van de oplossing.

De zwarte lijn is de grafiek van de functie, de rode stippen zijn de raakpunten.

1. Als de lijnen evenwijdig zijn, zijn de hoekcoëfficiënten gelijk. Vervolgens moet je zoeken naar punten in de functiegrafiek waar de helling gelijk zal zijn aan de waarde 8 5. Om dit te doen, moet je een vergelijking oplossen van de vorm y "(x) = 8 5. Dan, als x ∈ - ∞; - 2, verkrijgen we dat - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, en als x ∈ ( - 2 ; + ∞), dan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

De eerste vergelijking heeft geen wortels omdat de discriminant kleiner is dan nul. Laten we dat opschrijven

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Een andere vergelijking heeft dus twee reële wortels

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Laten we verder gaan met het vinden van de waarden van de functie. Dat snappen wij

j 1 = j (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 j 2 = j (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punten met waarden - 1; 4 15, 5; 8 3 zijn de punten waarop de raaklijnen evenwijdig zijn aan de lijn y = 8 5 x + 4.

Antwoord: zwarte lijn – grafiek van de functie, rode lijn – grafiek van y = 8 5 x + 4, blauwe lijn – raaklijnen aan punten - 1; 4 15, 5; 8 3.

Er kan een oneindig aantal raaklijnen zijn voor bepaalde functies.

Voorbeeld 5

Schrijf de vergelijkingen van alle beschikbare raaklijnen van de functie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, die loodrecht op de rechte lijn y = - 2 x + 1 2 staan.

Oplossing

Om de raaklijnvergelijking samen te stellen, is het noodzakelijk om de coëfficiënt en coördinaten van het raakpunt te vinden, gebaseerd op de voorwaarde van loodrechtheid van de lijnen. De definitie is als volgt: het product van hoekcoëfficiënten die loodrecht op rechte lijnen staan, is gelijk aan - 1, dat wil zeggen geschreven als k x · k ⊥ = - 1. Uit de voorwaarde dat de hoekcoëfficiënt loodrecht op de lijn staat en gelijk is aan k ⊥ = - 2, dan k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nu moet je de coördinaten van de contactpunten vinden. Je moet x vinden en vervolgens de waarde ervan voor een bepaalde functie. Merk dat op uit de geometrische betekenis van de afgeleide op het punt
x 0 we verkrijgen dat k x = y "(x 0). Uit deze gelijkheid vinden we de waarden van x voor de contactpunten.

Dat snappen wij

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 zonde 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 zonde 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ zonde 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Dit trigonometrische vergelijking zal worden gebruikt om de coördinaten van de raakpunten te berekenen.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk of 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk of 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk of x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z is een verzameling gehele getallen.

Er zijn x contactpunten gevonden. Nu moet je verder gaan met het zoeken naar de waarden van y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 of y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

j 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 of j 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

j 0 = 4 5 - 1 3 of j 0 = - 4 5 + 1 3

Hieruit verkrijgen we dat 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 zijn de raakpunten.

Antwoord: de noodzakelijke vergelijkingen worden geschreven als

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Beschouw voor een visuele weergave een functie en een raaklijn op een coördinatenlijn.

De figuur laat zien dat de functie zich op het interval [-10; 10 ], waarbij de zwarte lijn de grafiek van de functie is, de blauwe lijnen de raaklijnen, die loodrecht op de gegeven lijn van de vorm y = - 2 x + 1 2 staan. Rode stippen zijn contactpunten.

De canonieke vergelijkingen van krommen van de tweede orde zijn geen functies met één waarde. Tangensvergelijkingen daarvoor worden samengesteld volgens bekende schema's.

Raaklijn aan een cirkel

Om een ​​cirkel te definiëren met middelpunt op punt x c e n t e r; y c e n t e r en straal R, pas de formule x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 toe.

Deze gelijkheid kan worden geschreven als een unie van twee functies:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

De eerste functie bevindt zich bovenaan en de tweede onderaan, zoals weergegeven in de afbeelding.

Om de vergelijking van een cirkel op het punt x 0 samen te stellen; y 0 , die zich in de bovenste of onderste halve cirkel bevindt, zou je de vergelijking moeten vinden van de grafiek van een functie van de vorm y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r of y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r op het aangegeven punt.

Wanneer op punten x cent e r; y cent e r + R en x c e n t e r ; y c e n t e r - R raaklijnen kunnen worden gegeven door de vergelijkingen y = y c e n t e r + R en y = y c e n t e r - R , en op punten x c e n t e r + R ; y cent e r en
x cent e r - R ; y c e n t e r evenwijdig zal zijn aan o y, dan verkrijgen we vergelijkingen van de vorm x = x c e n t e r + R en x = x c e n t e r - R .

Raaklijn aan een ellips

Wanneer de ellips een middelpunt heeft op x middelpunt; y c e n t e r met halve assen a en b, dan kan het worden gespecificeerd met behulp van de vergelijking x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Een ellips en een cirkel kunnen worden aangeduid door twee functies te combineren, namelijk de bovenste en onderste halve ellips. Dan snappen wij dat

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Als de raaklijnen zich op de hoekpunten van de ellips bevinden, zijn ze evenwijdig rond x of rond y. Bekijk hieronder voor de duidelijkheid de figuur.

Voorbeeld 6

Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de ellips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 op punten met waarden van x gelijk aan x = 2.

Oplossing

Het is noodzakelijk om de raakpunten te vinden die overeenkomen met de waarde x = 2. We vervangen de bestaande vergelijking van de ellips en vinden die

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dan 2; 5 3 2 + 5 en 2; - 5 3 2 + 5 zijn de raakpunten die behoren tot de bovenste en onderste halve ellips.

Laten we verder gaan met het vinden en oplossen van de vergelijking van de ellips met betrekking tot y. Dat snappen wij

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Het is duidelijk dat de bovenste halve ellips wordt gespecificeerd met behulp van een functie van de vorm y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, en de onderste halve ellips y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Laten we een standaardalgoritme toepassen om een ​​vergelijking te maken voor een raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt. Laten we schrijven dat de vergelijking voor de eerste raaklijn op punt 2; 5 3 2 + 5 zal eruitzien

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

We vinden dat de vergelijking van de tweede raaklijn met een waarde op het punt
2; - 5 3 2 + 5 heeft de vorm

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch worden raaklijnen als volgt aangeduid:

Raaklijn aan hyperbool

Wanneer een hyperbool een middelpunt heeft op x middelpunt; y c e n t e r en hoekpunten x c e n t e r + α ; y c e n t e r en x c e n t e r - α; y c e n t e r , de ongelijkheid x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 vindt plaats, als met hoekpunten x c e n t e r ; y cent e r + b en x c e n t e r ; y c e n t e r - b , wordt dan gespecificeerd met behulp van de ongelijkheid x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Een hyperbool kan worden weergegeven als twee gecombineerde functies van het formulier

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r of y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

In het eerste geval zijn de raaklijnen evenwijdig aan y, en in het tweede geval zijn ze evenwijdig aan x.

Hieruit volgt dat om de vergelijking van de raaklijn aan een hyperbool te vinden, het noodzakelijk is om uit te zoeken tot welke functie het raakpunt behoort. Om dit te bepalen, is het noodzakelijk om de vergelijkingen in te vullen en de identiteit te controleren.

Voorbeeld 7

Schrijf een vergelijking voor de raaklijn aan de hyperbool x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 in punt 7; - 3 3 - 3 .

Oplossing

Het is noodzakelijk om het oplossingsrecord te transformeren voor het vinden van een hyperbool met behulp van 2 functies. Dat snappen wij

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 en y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Het is noodzakelijk om te identificeren tot welke functie een bepaald punt met coördinaten 7 behoort; - 3 3 - 3 .

Om de eerste functie te controleren is het uiteraard nodig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, dan hoort het punt niet bij de grafiek, omdat de gelijkheid niet opgaat.

Voor de tweede functie geldt dat y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, wat betekent dat het punt bij de gegeven grafiek hoort. Vanaf hier zou je de helling moeten vinden.

Dat snappen wij

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antwoord: de raaklijnvergelijking kan worden weergegeven als

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Het is duidelijk als volgt weergegeven:

Raaklijn aan een parabool

Om een ​​vergelijking te maken voor de raaklijn aan de parabool y = a x 2 + b x + c op het punt x 0, y (x 0), moet je een standaardalgoritme gebruiken, dan zal de vergelijking de vorm aannemen y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Zo'n raaklijn aan het hoekpunt is evenwijdig aan x.

Je moet de parabool x = a y 2 + by y + c definiëren als de vereniging van twee functies. Daarom moeten we de vergelijking voor y oplossen. Dat snappen wij

x = een y 2 + door y + c ⇔ een y 2 + door y + c - x = 0 D = b 2 - 4 een (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 een y = - b - b 2 - 4 een (c - x) 2 een

Laten we het grafisch weergeven als:

Om erachter te komen of een punt x 0, y (x 0) tot een functie behoort, gaat u voorzichtig te werk volgens het standaardalgoritme. Zo'n raaklijn zal evenwijdig zijn aan o y ten opzichte van de parabool.

Voorbeeld 8

Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek x - 2 y 2 - 5 y + 3 als we een raakhoek van 150 ° hebben.

Oplossing

We beginnen de oplossing door de parabool voor te stellen als twee functies. Dat snappen wij

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4

De waarde van de helling is gelijk aan de waarde van de afgeleide op punt x 0 van deze functie en is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek.

Wij krijgen:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Vanaf hier bepalen we de x-waarde voor de raakpunten.

De eerste functie wordt geschreven als

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Het is duidelijk dat er geen echte wortels zijn, omdat we een negatieve waarde hebben. We concluderen dat er voor een dergelijke functie geen raaklijn met een hoek van 150° bestaat.

De tweede functie wordt geschreven als

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

We hebben vastgesteld dat de contactpunten 23 4 zijn; - 5 + 3 4 .

Antwoord: de raaklijnvergelijking neemt de vorm aan

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Laten we het grafisch als volgt weergeven:

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

In dit artikel zullen we alle soorten problemen analyseren die we kunnen vinden

Laten we het onthouden geometrische betekenis van afgeleide: als in een punt een raaklijn wordt getekend aan de grafiek van een functie, dan is de hellingscoëfficiënt van de raaklijn (gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as) gelijk aan de afgeleide van de functie op het punt.

Laten we een willekeurig punt nemen op de raaklijn met coördinaten:

En beschouw een rechthoekige driehoek:

In deze driehoek

Vanaf hier

Dit is de vergelijking van de raaklijn getrokken aan de grafiek van de functie in het punt.

Om de raaklijnvergelijking te schrijven, hoeven we alleen de vergelijking van de functie en het punt te kennen waarop de raaklijn wordt getekend. Dan kunnen we vinden en .

Er zijn drie hoofdtypen raaklijnvergelijkingsproblemen.

1. Gegeven een aanspreekpunt

2. De tangens-hellingscoëfficiënt wordt gegeven, dat wil zeggen de waarde van de afgeleide van de functie op het punt.

3. Gegeven zijn de coördinaten van het punt waardoor de raaklijn wordt getrokken, maar dat niet het raakpunt is.

Laten we elk type taak bekijken.

1. Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie op het punt .

.

b) Bereken de waarde van de afgeleide op punt . Laten we eerst de afgeleide van de functie vinden

Laten we de gevonden waarden vervangen door de raaklijnvergelijking:

Laten we de haakjes aan de rechterkant van de vergelijking openen. Wij krijgen:

Antwoord: .

2. Zoek de abscis van de punten waarop de functies de grafiek raken evenwijdig aan de x-as.

Als de raaklijn evenwijdig is aan de x-as, is de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as nul, en daarom is de raaklijn van de raaklijn nul. Dit betekent dat de waarde van de afgeleide van de functie op de contactpunten is nul.

a) Zoek de afgeleide van de functie .

b) Laten we de afgeleide gelijkstellen aan nul en de waarden vinden waarin de raaklijn evenwijdig is aan de as:

Als we elke factor gelijkstellen aan nul, krijgen we:

Antwoord: 0;3;5

3. Schrijf vergelijkingen voor raaklijnen aan de grafiek van een functie , parallel direct .

Een raaklijn is evenwijdig aan een lijn. De helling van deze lijn is -1. Omdat de raaklijn evenwijdig is aan deze lijn, is de helling van de raaklijn dus ook -1. Dat is we kennen de helling van de raaklijn, en daardoor afgeleide waarde op het raakpunt.

Dit is het tweede type probleem om de raaklijnvergelijking te vinden.

We krijgen dus de functie en de waarde van de afgeleide op het raakpunt.

a) Zoek de punten waarop de afgeleide van de functie gelijk is aan -1.

Laten we eerst de afgeleide vergelijking vinden.

Laten we de afgeleide gelijkstellen aan het getal -1.

Laten we de waarde van de functie op het punt vinden.

(op voorwaarde)

.

b) Bereken de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie in punt .

Laten we de waarde van de functie op het punt vinden.

(op voorwaarde).

Laten we deze waarden vervangen door de raaklijnvergelijking:

.

Antwoord:

4. Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de curve , door een punt gaan

Laten we eerst controleren of het punt een raakpunt is. Als een punt een raakpunt is, behoort het tot de grafiek van de functie en moeten de coördinaten ervan voldoen aan de vergelijking van de functie. Laten we de coördinaten van het punt vervangen door de vergelijking van de functie.

Titel="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negatief getal, is de gelijkheid niet waar, en behoort het punt niet tot de grafiek van de functie en is geen aanspreekpunt.

Dit is het laatste type probleem waarbij de raaklijnvergelijking wordt gevonden. Allereerst we moeten de abscis van het raakpunt vinden.

Laten we de waarde vinden.

Laat het aanspreekpunt zijn. Het punt behoort tot de raaklijn aan de grafiek van de functie. Als we de coördinaten van dit punt in de raaklijnvergelijking invullen, krijgen we de juiste gelijkheid:

.

De waarde van de functie op een punt is .

Laten we de waarde van de afgeleide van de functie op het punt vinden.

Laten we eerst de afgeleide van de functie vinden. Dit .

De afgeleide in een punt is gelijk aan .

Laten we de uitdrukkingen voor en in de raaklijnvergelijking vervangen. We krijgen de vergelijking voor:

Laten we deze vergelijking oplossen.

Verminder de teller en de noemer van de breuk met 2:

Laten we de rechterkant van de vergelijking reduceren tot gemeenschappelijke noemer. Wij krijgen:

Laten we de teller van de breuk vereenvoudigen en beide zijden vermenigvuldigen met - deze uitdrukking is strikt groter dan nul.

We krijgen de vergelijking

Laten we het oplossen. Laten we, om dit te doen, beide delen kwadrateren en verder gaan met het systeem.

Titel="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Laten we de eerste vergelijking oplossen.

Laten we beslissen kwadratische vergelijking, wij krijgen

De tweede root voldoet niet aan de voorwaarde title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Laten we de vergelijking schrijven van de raaklijn aan de curve op het punt. Om dit te doen, vervangt u de waarde in de vergelijking - We hebben het al opgenomen.

Antwoord:
.

Vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie

P.Romanov, T.Romanova,
Magnitogorsk,
Regio Tsjeljabinsk

Vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie

Het artikel werd gepubliceerd met steun van het ITAKA+ Hotel Complex. Als u in de stad van scheepsbouwers Severodvinsk verblijft, zult u niet het probleem tegenkomen van het vinden van tijdelijke huisvesting. Op de website van het hotelcomplex “ITHAKA+” http://itakaplus.ru kunt u eenvoudig en snel een appartement in de stad huren, voor elke periode, met een dagelijkse betaling.

Op moderne podium ontwikkeling van het onderwijs, een van de belangrijkste taken is de vorming van een creatief denkende persoonlijkheid. Het vermogen tot creativiteit bij studenten kan alleen worden ontwikkeld als ze systematisch betrokken zijn bij de basisprincipes van onderzoeksactiviteiten. De basis voor studenten om hun creatieve krachten, capaciteiten en talenten te gebruiken, wordt gevormd door volwaardige kennis en vaardigheden. In dit opzicht is het probleem van het vormen van een systeem van basiskennis en -vaardigheden voor elk onderwerp van de wiskundecursus op school van niet gering belang. Tegelijkertijd moeten volwaardige vaardigheden het didactische doel zijn, niet van individuele taken, maar van een zorgvuldig doordacht systeem ervan. In de breedste zin van het woord wordt een systeem opgevat als een reeks onderling verbonden, op elkaar inwerkende elementen die integriteit en een stabiele structuur hebben.

Laten we eens kijken naar een techniek waarmee we leerlingen leren hoe ze een vergelijking kunnen schrijven voor een raaklijn aan de grafiek van een functie. In wezen komen alle problemen bij het vinden van de raaklijnvergelijking neer op de noodzaak om uit een reeks (bundel, familie) lijnen die lijnen te selecteren die aan een bepaalde vereiste voldoen - ze raken aan de grafiek van een bepaalde functie. In dit geval kan de reeks lijnen waaruit de selectie wordt uitgevoerd op twee manieren worden gespecificeerd:

a) een punt dat op het xOy-vlak ligt (centraal potlood van lijnen);
b) hoekcoëfficiënt (parallelle bundel van rechte lijnen).

In dit opzicht hebben we bij het bestuderen van het onderwerp "Rangenten aan de grafiek van een functie" om de elementen van het systeem te isoleren, twee soorten problemen geïdentificeerd:

1) problemen met een raaklijn gegeven door het punt waar deze doorheen gaat;
2) problemen op een raaklijn gegeven door de helling ervan.

Training in het oplossen van raaklijnproblemen werd uitgevoerd met behulp van het algoritme voorgesteld door A.G. Mordkovich. Het fundamentele verschil met de reeds bekende is dat de abscis van het raakpunt wordt aangegeven met de letter a (in plaats van x0), en daarom heeft de raaklijnvergelijking de vorm

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(vergelijk met y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Deze methodologische techniek stelt studenten naar onze mening in staat snel en gemakkelijk te begrijpen waar de coördinaten van het huidige punt zijn geschreven de algemene raaklijnvergelijking, en waar zijn de contactpunten.

Algoritme voor het samenstellen van de raaklijnvergelijking aan de grafiek van de functie y = f(x)

1. Geef de abscis van het raakpunt aan met de letter a.
2. Vind f(a).
3. Zoek f "(x) en f "(a).
4. Vervang de gevonden getallen a, f(a), f "(a) in de algemene raaklijnvergelijking y = f(a) = f "(a)(x – a).

Dit algoritme kan worden samengesteld op basis van de onafhankelijke identificatie van de bewerkingen door de leerlingen en de volgorde van hun implementatie.

De praktijk heeft geleerd dat de sequentiële oplossing van elk van de belangrijkste problemen met behulp van een algoritme je in staat stelt de vaardigheden te ontwikkelen om de vergelijking van een raaklijn aan de grafiek van een functie in fasen te schrijven, en de stappen van het algoritme dienen als referentiepunten voor acties . Deze benadering komt overeen met de theorie van de geleidelijke vorming van mentale acties, ontwikkeld door P.Ya. Galperin en N.F. Talyzina.

Bij het eerste type taken werden twee sleuteltaken geïdentificeerd:

• de raaklijn gaat door een punt dat op de curve ligt (probleem 1);
• de raaklijn gaat door een punt dat niet op de curve ligt (probleem 2).

Taak 1. Schrijf een vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van de functie op punt M(3; – 2).

Oplossing. Punt M(3; – 2) is immers een raakpunt

1. a = 3 – abscis van het raakpunt.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – raaklijnvergelijking.

Opgave 2. Schrijf de vergelijkingen van alle raaklijnen aan de grafiek van de functie y = – x 2 – 4x + 2 die door het punt M(– 3; 6) gaat.

Oplossing. Punt M(– 3; 6) is geen raakpunt, aangezien f(– 3) 6 (Afb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – raaklijnvergelijking.

De raaklijn gaat door het punt M(– 3; 6), daarom voldoen de coördinaten ervan aan de raaklijnvergelijking.

6 = – een 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – een),
a 2 + 6a + 8 = 0^ een 1 = – 4, een 2 = – 2.

Als a = – 4, dan is de raaklijnvergelijking y = 4x + 18.

Als a = – 2, dan heeft de raaklijnvergelijking de vorm y = 6.

In het tweede type zijn de belangrijkste taken de volgende:

• de raaklijn is evenwijdig aan een lijn (probleem 3);
• de raaklijn passeert onder een bepaalde hoek de gegeven lijn (probleem 4).

Opgave 3. Schrijf de vergelijkingen van alle raaklijnen aan de grafiek van de functie y = x 3 – 3x 2 + 3, evenwijdig aan de lijn y = 9x + 1.

Oplossing.

1. a – abscis van het raakpunt.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f"(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Maar aan de andere kant geldt f "(a) = 9 (parallelismevoorwaarde). Dit betekent dat we de vergelijking 3a 2 – 6a = 9 moeten oplossen. De wortels zijn a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f"(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – raaklijnvergelijking;

1) een = 3;
2) f(3) = 3;
3)f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – raaklijnvergelijking.

Opgave 4. Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = 0,5x 2 – 3x + 1, die onder een hoek van 45° gaat met de rechte lijn y = 0 (Fig. 4).

Oplossing. Uit de voorwaarde f "(a) = tan 45° vinden we a: a – 3 = 1^ een = 4.

1. a = 4 – abscis van het raakpunt.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3.f"(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – raaklijnvergelijking.

Het is gemakkelijk om aan te tonen dat het oplossen van elk ander probleem neerkomt op het oplossen van een of meer sleutelproblemen. Beschouw de volgende twee problemen als voorbeeld.

1. Schrijf de vergelijkingen van de raaklijnen aan de parabool y = 2x 2 – 5x – 2, als de raaklijnen elkaar loodrecht snijden en een ervan de parabool raakt op het punt met abscis 3 (Fig. 5).

Oplossing. Omdat de abscis van het raakpunt gegeven is, wordt het eerste deel van de oplossing teruggebracht tot sleutelprobleem 1.

1. a = 3 – abscis van het raakpunt van een van de zijden van de rechte hoek.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – vergelijking van de eerste raaklijn.

Laat een – hellingshoek van de eerste raaklijn. Omdat de raaklijnen loodrecht staan, is de hellingshoek van de tweede raaklijn gelijk. Uit de vergelijking y = 7x – 20 van de eerste raaklijn vinden we tg a = 7. Laten we zoeken

Dit betekent dat de helling van de tweede raaklijn gelijk is aan .

De verdere oplossing komt neer op sleuteltaak 3.

Laat B(c; f(c)) dan het raakpunt van de tweede lijn zijn

1. – abscis van het tweede raakpunt.
2.
3.
4.
– vergelijking van de tweede raaklijn.

Opmerking. De hoekcoëfficiënt van de raaklijn kan gemakkelijker worden gevonden als leerlingen de verhouding kennen van de coëfficiënten van loodrechte lijnen k 1 k 2 = – 1.

2. Schrijf de vergelijkingen van alle gemeenschappelijke raaklijnen aan de grafieken van functies

Oplossing. De taak komt neer op het vinden van de abscis van de raakpunten van gemeenschappelijke raaklijnen, dat wil zeggen het oplossen van sleutelprobleem 1 in algemene vorm, het opstellen van een systeem van vergelijkingen en het vervolgens oplossen ervan (Fig. 6).

1. Laat a de abscis zijn van het raakpunt dat ligt op de grafiek van de functie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = een 2 + een + 1.
3.f"(a) = 2a + 1.
4. y = een 2 + een + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – een 2 .

1. Laat c de abscis zijn van het raakpunt dat op de grafiek van de functie ligt
2.
3. f "(c) = c.
4.

Omdat raaklijnen dus algemeen zijn

Dus y = x + 1 en y = – 3x – 3 zijn gemeenschappelijke raaklijnen.

Het belangrijkste doel van de beschouwde taken is om leerlingen voor te bereiden op het zelfstandig herkennen van het type sleutelprobleem bij het oplossen van complexere problemen waarvoor bepaalde onderzoeksvaardigheden nodig zijn (het vermogen om te analyseren, vergelijken, generaliseren, een hypothese naar voren brengen, enz.). Dergelijke taken omvatten elke taak waarin de sleuteltaak als onderdeel is opgenomen. Laten we als voorbeeld het probleem (in tegenstelling tot probleem 1) bekijken van het vinden van een functie uit de familie van zijn raaklijnen.

3. Waarvoor b en c raken de rechten y = x en y = – 2x de grafiek van de functie y = x 2 + bx + c?

Oplossing.

Laat t de abscis zijn van het raakpunt van de rechte lijn y = x met de parabool y = x 2 + bx + c; p is de abscis van het raakpunt van de rechte lijn y = – 2x met de parabool y = x 2 + bx + c. Dan zal de raaklijnvergelijking y = x de vorm aannemen y = (2t + b)x + c – t 2 , en de raaklijnvergelijking y = – 2x zal de vorm aannemen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Laten we een stelsel vergelijkingen opstellen en oplossen

Antwoord:

Problemen om zelfstandig op te lossen

1. Schrijf de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek van de functie y = 2x 2 – 4x + 3 op de snijpunten van de grafiek met de lijn y = x + 3.

Antwoord: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Voor welke waarden van a gaat de raaklijn aan de grafiek van de functie y = x 2 – ax op het punt van de grafiek met de abscis x 0 = 1 door het punt M(2; 3)?

Antwoord: a = 0,5.

3. Voor welke waarden van p raakt de rechte lijn y = px – 5 de curve y = 3x 2 – 4x – 2?

Antwoord: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Vind alle gemeenschappelijke punten van de grafiek van de functie y = 3x – x 3 en de raaklijn die aan deze grafiek wordt getrokken door het punt P(0; 16).

Antwoord: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Vind de kortste afstand tussen de parabool y = x 2 + 6x + 10 en de rechte lijn

Antwoord:

6. Zoek op de curve y = x 2 – x + 1 het punt waarop de raaklijn aan de grafiek evenwijdig is aan de rechte lijn y – 3x + 1 = 0.

Antwoord: M(2; 3).

7. Schrijf de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = x 2 + 2x – | 4x |, die het op twee punten raakt. Maak een tekening.

Antwoord: y = 2x – 4.

8. Bewijs dat de lijn y = 2x – 1 de curve y = x 4 + 3x 2 + 2x niet snijdt. Vind de afstand tussen hun dichtstbijzijnde punten.

Antwoord:

9. Op de parabool y = x 2 worden twee punten genomen met abscis x 1 = 1, x 2 = 3. Door deze punten wordt een secans getrokken. Op welk punt van de parabool zal de raaklijn daaraan evenwijdig zijn aan de secans? Schrijf de secans- en raaklijnvergelijkingen.

Antwoord: y = 4x – 3 – secansvergelijking; y = 4x – 4 – raaklijnvergelijking.

10. Zoek de hoek q tussen de raaklijnen aan de grafiek van de functie y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, getekend op de punten met abscis 0 en 1.

Antwoord: q = 45°.

11. Op welke punten vormt de raaklijn aan de grafiek van de functie een hoek van 135° met de Ox-as?

Antwoord: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Op punt A(1; 8) naar de curve er wordt een raaklijn getekend. Zoek de lengte van het raaklijnsegment tussen de coördinaatassen.

Antwoord:

13. Schrijf de vergelijking van alle gemeenschappelijke raaklijnen aan de grafieken van de functies y = x 2 – x + 1 en y = 2x 2 – x + 0,5.

Antwoord: y = – 3x en y = x.

14. Bereken de afstand tussen de raaklijnen aan de grafiek van de functie evenwijdig aan de x-as.

Antwoord:

15. Bepaal onder welke hoeken de parabool y = x 2 + 2x – 8 de x-as snijdt.

Antwoord: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Functiegrafiek vind alle punten waarvan de raaklijn op elk van deze grafiek de positieve halve assen van coördinaten snijdt, en er gelijke segmenten van afsnijdt.

Antwoord: A(– 3; 11).

17. De lijn y = 2x + 7 en de parabool y = x 2 – 1 snijden elkaar in de punten M en N. Zoek het snijpunt K van de lijnen die de parabool raken in de punten M en N.

Antwoord: K(1; – 9).

18. Voor welke waarden van b raakt de lijn y = 9x + b de grafiek van de functie y = x 3 – 3x + 15?

Antwoord: – 1; 31.

19. Voor welke waarden van k heeft de rechte y = kx – 10 slechts één punt gemeenschappelijk met de grafiek van de functie y = 2x 2 + 3x – 2? Bepaal voor de gevonden waarden van k de coördinaten van het punt.

Antwoord: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Voor welke waarden van b gaat de raaklijn getrokken aan de grafiek van de functie y = bx 3 – 2x 2 – 4 op het punt met de abscis x 0 = 2 door het punt M(1; 8)?

Antwoord: b = – 3.

21. Een parabool met een hoekpunt op de Ox-as raakt de lijn die door de punten A(1; 2) en B(2; 4) gaat in punt B. Zoek de vergelijking van de parabool.

Antwoord:

22. Bij welke waarde van de coëfficiënt k raakt de parabool y = x 2 + kx + 1 de Ox-as?

Antwoord: k = d2.

23. Zoek de hoeken tussen de rechte lijn y = x + 2 en de curve y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Zoek de afstand tussen de raaklijnen aan de grafiek van de functie en de generatoren met de positieve richting van de Ox-as onder een hoek van 45°.

Antwoord:

30. Zoek de plaats van de hoekpunten van alle parabolen van de vorm y = x 2 + ax + b die de lijn y = 4x – 1 raken.

Antwoord: rechte lijn y = 4x + 3.

Literatuur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra en het begin van analyse: 3600 problemen voor schoolkinderen en studenten die naar de universiteit gaan. – M., Trap, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar vier voor jonge leraren. Onderwerp: Afgeleide toepassingen. – M., “Wiskunde”, nr. 21/94.
3. Vorming van kennis en vaardigheden gebaseerd op de theorie van de geleidelijke assimilatie van mentale acties.

/ Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina.

– M., Staatsuniversiteit van Moskou, 1968.

Deze online calculator kan nuttig zijn voor middelbare scholieren op middelbare scholen bij de voorbereiding op toetsen en examens, bij het testen van kennis vóór het Unified State Exam, en voor ouders om de oplossing van veel problemen op het gebied van wiskunde en algebra te controleren. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe schoolboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk

in wiskunde of algebra? In dit geval kunt u ook onze programma's met gedetailleerde oplossingen gebruiken.

Zo kun je zelf trainingen geven en/of trainingen geven aan je jongere broertjes of zusjes, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van het oplossen van problemen omhoog gaat.

Als je de afgeleide van een functie moet vinden, dan hebben we hiervoor de taak Vind de afgeleide.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van functies, raden wij u aan zich hiermee vertrouwd te maken.

Voer de functie-expressie \(f(x)\) en het getal \(a\) in
f(x)=

een=

Zoek de raaklijnvergelijking
Er is ontdekt dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Het kan zijn dat AdBlock is ingeschakeld.

Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.
JavaScript is uitgeschakeld in uw browser.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.

Hier vindt u instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.
Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek is in de wachtrij geplaatst.
Binnen enkele seconden verschijnt de oplossing hieronder. Wacht alstublieft

sec... Als jij heb een fout in de oplossing opgemerkt
, dan kun je hierover schrijven in het Feedbackformulier. Vergeet niet geef aan welke taak jij bepaalt wat.

voer de velden in

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Directe helling Laten we niet vergeten dat het schema lineaire functie \(y=kx+b\) is een rechte lijn. Het getal \(k=tg \alpha \) wordt aangeroepen helling van een rechte lijn

, en de hoek \(\alpha \) is de hoek tussen deze lijn en de Ox-as

Als \(k>0\), dan \(0 Als \(kVergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie

Laat een functie y = f(x) en een punt M(a; f(a)) gegeven worden op de grafiek van deze functie; laat weten dat f"(a) bestaat. Laten we een vergelijking maken voor de raaklijn aan de grafiek van een bepaalde functie op een bepaald punt. Deze vergelijking heeft, net als de vergelijking van elke rechte lijn die niet evenwijdig is aan de ordinaat-as, de vorm y = kx + b, dus de taak is om de waarden van de coëfficiënten k en b te vinden.

Alles is duidelijk met de hoekcoëfficiënt k: het is bekend dat k = f"(a). Om de waarde van b te berekenen, gebruiken we het feit dat de gewenste rechte lijn door het punt M(a; f(a)) gaat Dit betekent dat als we de coördinaten van het punt M in de vergelijking van een rechte lijn invullen, we de juiste gelijkheid verkrijgen: \(f(a)=ka+b\), d.w.z. \(b = f(a) -. ka\).

Het blijft nodig om de gevonden waarden van de coëfficiënten k en b in de vergelijking van de rechte lijn te vervangen:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Wij hebben ontvangen vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie\(y = f(x) \) op het punt \(x=a \).

Algoritme voor het vinden van de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie \(y=f(x)\)
1. Geef de abscis van het raakpunt aan met de letter \(a\)
2. Bereken \(f(a)\)
3. Zoek \(f"(x)\) en bereken \(f"(a)\)
4. Vervang de gevonden getallen \(a, f(a), f"(a) \) in de formule \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Boeken (leerboeken) Samenvattingen van het Unified State Examination en de Unified State Examination-tests online Games, puzzels Grafieken van functies plotten Spellingwoordenboek van de Russische taal Woordenboek van jeugdjargon Catalogus van Russische scholen Catalogus van secundaire onderwijsinstellingen van Rusland Catalogus van Russische universiteiten Lijst van problemen GCD en LCM vinden Een polynoom vereenvoudigen (polynomen vermenigvuldigen)