Dit is de naam voor vergelijkingen van de vorm waarbij het onbekende zowel in de exponent als in de basis van de macht voorkomt.

U kunt een volledig duidelijk algoritme opgeven voor het oplossen van een vergelijking van de vorm. Om dit te doen, moet je aandacht besteden aan het feit dat wanneer Oh) niet gelijk aan nul, één en min één gelijkheid van machten met op dezelfde gronden(of het nu positief of negatief is) is alleen mogelijk als de exponenten gelijk zijn. Dat wil zeggen dat alle wortels van de vergelijking de wortels van de vergelijking zullen zijn f(x) = g(x) De omgekeerde verklaring is niet waar, wanneer Oh)< 0 en fractionele waarden f(x) En g(x) uitdrukkingen Oh) f(x) En

Oh) g(x) hun betekenis verliezen. Dat wil zeggen, bij het verplaatsen van naar f(x) = g(x)(for en vreemde wortels kunnen verschijnen, die moeten worden uitgesloten door te vergelijken met de oorspronkelijke vergelijking. En gevallen a = 0, a = 1, a = -1 afzonderlijk moeten worden bekeken.

Dus voor volledige oplossing vergelijkingen beschouwen we de gevallen:

een(x) = O f(x) En g(x) positieve getallen zullen zijn, dan is dit de oplossing. Anders niet

a(x) = 1. De wortels van deze vergelijking zijn ook de wortels van de oorspronkelijke vergelijking.

a(x) = -1. Als, voor een waarde van x die aan deze vergelijking voldoet, f(x) En g(x) gehele getallen van dezelfde pariteit zijn (beide even of beide oneven), dan is dit de oplossing. Anders niet

Wanneer en we lossen de vergelijking op f(x)= g(x) en door de verkregen resultaten in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen, snijden we de externe wortels af.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen met exponentiële machten.

Voorbeeld nr. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. omdat 3 > 0, en 3 2 > 0, dan is x 1 = 3 de oplossing.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Beide indicatoren zijn even. Deze oplossing is x 3 = 1.

4) x-3 ? 0 en x? ± 1. x = x 2, x = 0 of x = 1. Voor x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - deze oplossing is correct: x 4 = 0. Voor x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - deze oplossing is correct x 5 = 1.

Antwoord: 0, 1, 2, 3, 4.

Voorbeeld nr. 2.

Per definitie van rekenkunde vierkantswortel: x - 1 ? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 of x = 1, = 0, 0 0 is geen oplossing.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 past niet in ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - er zijn geen wortels.

1º. Exponentiële vergelijkingen worden vergelijkingen genoemd die een variabele in een exponent bevatten.

Het oplossen van exponentiële vergelijkingen is gebaseerd op de eigenschap van machten: twee machten met hetzelfde grondtal zijn gelijk als en slechts als hun exponenten gelijk zijn.

2º. Basismethoden voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen:

1) de eenvoudigste vergelijking heeft een oplossing;

2) een vergelijking van de vorm logaritmisch met de basis A reduceren tot vorm;

3) een vergelijking van de vorm is equivalent aan de vergelijking ;

4) vergelijking van de vorm is gelijk aan de vergelijking.

5) een vergelijking van de vorm wordt gereduceerd door substitutie tot een vergelijking, en vervolgens wordt een reeks eenvoudige exponentiële vergelijkingen opgelost;

6) vergelijking met reciprocals door substitutie worden ze gereduceerd tot een vergelijking en lossen ze vervolgens een reeks vergelijkingen op;

7) vergelijkingen homogeen met betrekking tot een g(x) En bg(x) gezien dat vriendelijk door substitutie reduceren ze tot een vergelijking en lossen ze vervolgens een reeks vergelijkingen op.

Classificatie van exponentiële vergelijkingen.

1. Vergelijkingen opgelost door naar één grondtal te gaan.

Voorbeeld 18. Los de vergelijking op .

Oplossing: Laten we profiteren van het feit dat alle bases van machten machten van het getal 5 zijn: .

2. Vergelijkingen opgelost door over te gaan naar één exponent.

Deze vergelijkingen worden opgelost door de oorspronkelijke vergelijking naar de vorm te transformeren , dat tot zijn eenvoudigste vorm wordt teruggebracht met behulp van de eigenschap van proportie.

Voorbeeld 19. Los de vergelijking op:

3. Vergelijkingen opgelost door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen.

Als elke exponent in een vergelijking een bepaald aantal van de andere verschilt, worden de vergelijkingen opgelost door de exponent met de kleinste exponent tussen haakjes te zetten.

Voorbeeld 20. Los de vergelijking op.

Oplossing: Laten we de graad nemen met de kleinste exponent tussen haakjes aan de linkerkant van de vergelijking:

Voorbeeld 21. Los de vergelijking op

Oplossing: Laten we aan de linkerkant van de vergelijking de termen die machten met grondtal 4 bevatten afzonderlijk groeperen, aan de rechterkant - met grondtal 3, en vervolgens de machten met de kleinste exponent tussen haakjes zetten:

4. Vergelijkingen die gereduceerd worden tot kwadratische (of kubieke) vergelijkingen.

NAAR kwadratische vergelijking met betrekking tot de nieuwe variabele y worden de volgende vergelijkingen gereduceerd:

a) het type vervanging, in dit geval;

b) het type vervanging, en .

Voorbeeld 22. Los de vergelijking op .

Oplossing: Laten we de variabele wijzigen en de kwadratische vergelijking oplossen:

.

Antwoord: 0; 1.

5. Vergelijkingen die homogeen zijn met betrekking tot exponentiële functies.

Een vormvergelijking is een homogene vergelijking van de tweede graad met betrekking tot de onbekenden een x En bx. Dergelijke vergelijkingen worden gereduceerd door eerst beide zijden te delen door en ze vervolgens te vervangen door kwadratische vergelijkingen.

Voorbeeld 23. Los de vergelijking op.

Oplossing: Deel beide zijden van de vergelijking door:

Door te zeggen krijgen we een kwadratische vergelijking met wortels.

Het probleem komt nu neer op het oplossen van een reeks vergelijkingen . Uit de eerste vergelijking vinden we dat . De tweede vergelijking heeft geen wortels, want voor welke waarde dan ook X.

Antwoord: -1/2.

6. Rationele vergelijkingen met betrekking tot exponentiële functies.

Voorbeeld 24. Los de vergelijking op.

Oplossing: Deel de teller en de noemer van de breuk door 3 x en in plaats van twee krijgen we één exponentiële functie:

7. Vergelijkingen van de vorm .

Dergelijke vergelijkingen met een reeks toelaatbare waarden (APV), bepaald door de voorwaarde, door de logaritme van beide zijden van de vergelijking te nemen, worden gereduceerd tot een equivalente vergelijking, die op zijn beurt equivalent is aan een reeks van twee vergelijkingen of.

Voorbeeld 25. Los de vergelijking op: .

.

Didactisch materiaal.

Los de vergelijkingen op:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Zoek het product van de wortels van de vergelijking .

27. Vind de som van de wortels van de vergelijking .

Zoek de betekenis van de uitdrukking:

28. , waar x 0– wortel van de vergelijking;

29. , waar x 0– hele wortel van de vergelijking .

Los de vergelijking op:

31. ; 32. .

Antwoorden: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Onderwerp nr. 8.

Exponentiële ongelijkheden.

1º. Een ongelijkheid die een variabele in de exponent bevat, wordt genoemd exponentiële ongelijkheid.

2º. Oplossing exponentiële ongelijkheden type is gebaseerd op de volgende uitspraken:

als , dan is de ongelijkheid gelijk aan ;

als , dan is de ongelijkheid gelijk aan .

Gebruik bij het oplossen van exponentiële ongelijkheden dezelfde technieken als bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen.

Voorbeeld 26. Ongelijkheid oplossen (manier om naar één basis te gaan).

Oplossing: Sinds , dan kan de gegeven ongelijkheid worden geschreven als: . Sinds , dan is deze ongelijkheid gelijk aan de ongelijkheid .

Als we de laatste ongelijkheid oplossen, krijgen we .

Voorbeeld 27. Los de ongelijkheid op: ( door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten).

Oplossing: Laten we haakjes verwijderen aan de linkerkant van de ongelijkheid, aan de rechterkant van de ongelijkheid en beide zijden van de ongelijkheid delen door (-2), waardoor het teken van de ongelijkheid in het tegenovergestelde verandert:

Sindsdien verandert het teken van ongelijkheid, wanneer we naar de ongelijkheid van indicatoren gaan, opnieuw in het tegenovergestelde. Wij krijgen. De verzameling van alle oplossingen voor deze ongelijkheid is dus het interval.

Voorbeeld 28. Ongelijkheid oplossen ( door een nieuwe variabele te introduceren).

Oplossing: laat. Dan zal deze ongelijkheid de vorm aannemen: of , waarvan de oplossing het interval is.

Vanaf hier. Omdat de functie toeneemt, dan .

Didactisch materiaal.

Specificeer de reeks oplossingen voor de ongelijkheid:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Bij welke waarden X Liggen de punten op de functiegrafiek onder de rechte lijn?

7. Bij welke waarden X Liggen de punten op de grafiek van de functie minstens tot aan de rechte lijn?

Los de ongelijkheid op:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Specificeer de grootste geheeltallige oplossing voor de ongelijkheid .

14. Vind het product van de grootste gehele en de kleinste gehele oplossing voor de ongelijkheid .

Los de ongelijkheid op:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Zoek het domein van de functie:

27. ; 28. .

29. Zoek de reeks argumentwaarden waarvoor de waarden van elk van de functies groter zijn dan 3:

En .

Antwoorden: 11.3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

We voegen aan de oorspronkelijke vergelijking toe:

Laten we het tussen haakjes zetten \

Laten we uitdrukken \

Omdat de graden hetzelfde zijn, gooien we ze weg:

Antwoord: \

Waar kan ik een exponentiële vergelijking oplossen met een online oplosser?

U kunt de vergelijking oplossen op onze website https://site. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. U kunt ook video-instructies bekijken en leren hoe u de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Sluit u aan bij onze groep, wij helpen u graag verder.

Lezing: “Methoden voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen.”

1 . Exponentiële vergelijkingen.

Vergelijkingen die onbekenden in exponenten bevatten, worden exponentiële vergelijkingen genoemd. De eenvoudigste daarvan is de vergelijking ax = b, waarbij a > 0, a ≠ 1.

1) Bij b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Voor b > 0 heeft de vergelijking, gebruikmakend van de monotoniciteit van de functie en de wortelstelling, een unieke wortel. Om het te vinden, moet b worden weergegeven in de vorm b = aс, аx = bс ó x = c of x = logab.

Exponentiële vergelijkingen door algebraïsche transformaties leiden tot standaardvergelijkingen, die worden opgelost met behulp van de volgende methoden:

1) methode van reductie tot één base;

2) beoordelingsmethode;

3) grafische methode;

4) methode voor het introduceren van nieuwe variabelen;

5) factorisatiemethode;

6) indicatief – machtsvergelijkingen;

7) demonstratief met een parameter.

2 . Methode van reductie tot één base.

De methode is gebaseerd op volgende eigendom graden: als twee graden gelijk zijn en hun bases gelijk zijn, dan zijn hun exponenten gelijk, dat wil zeggen dat we moeten proberen de vergelijking terug te brengen tot de vorm

Voorbeelden. Los de vergelijking op:

1 . 3x = 81;

Laten we de rechterkant van de vergelijking weergeven in de vorm 81 = 34 en de vergelijking opschrijven die equivalent is aan de oorspronkelijke 3 x = 34; x = 4. Antwoord: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">en laten we verder gaan met de vergelijking voor exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" breedte = "105" hoogte = "47">

Merk op dat de getallen 0,2, 0,04, √5 en 25 machten van 5 vertegenwoordigen. Laten we hiervan profiteren en de oorspronkelijke vergelijking als volgt transformeren:

, vandaar 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, waaruit we de oplossing x = -1 vinden. Antwoord: -1.

5. 3x = 5. Volgens de definitie van logaritme is x = log35. Antwoord: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Laten we de vergelijking herschrijven in de vorm 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, d.w.z..png" width="181" height="49 src="> Vandaar x – 4 =0, x = 4. Antwoord: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Met behulp van de eigenschappen van machten schrijven we de vergelijking in de vorm 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 en dan 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, d.w.z. x+1 = 2, x =1. Antwoord: 1.

Probleembank nr. 1.

Los de vergelijking op:

Test nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) geen wortels
	1) 7;1 2) geen wortels 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Proef nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) geen wortels 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evaluatiemethode.

Wortelstelling: als de functie f(x) toeneemt (afneemt) op het interval I, is het getal a elke waarde die f op dit interval neemt, dan heeft de vergelijking f(x) = a een enkele wortel op het interval I.

Bij het oplossen van vergelijkingen met behulp van de schattingsmethode worden deze stelling en de monotoniciteitseigenschappen van de functie gebruikt.

Voorbeelden. Vergelijkingen oplossen: 1. 4x = 5 – x.

Oplossing. Laten we de vergelijking herschrijven als 4x +x = 5.

1. als x = 1, dan is 41+1 = 5, 5 = 5 waar, wat betekent dat 1 de wortel van de vergelijking is.

Functie f(x) = 4x – neemt toe op R, en g(x) = x – neemt toe op R => h(x)= f(x)+g(x) neemt toe op R, als de som van toenemende functies, dan is x = 1 de enige wortel van de vergelijking 4x = 5 – x. Antwoord: 1.

2.

Oplossing. Laten we de vergelijking in het formulier herschrijven .

1. als x = -1, dan , 3 = 3 is waar, wat betekent dat x = -1 de wortel van de vergelijking is.

2. bewijzen dat hij de enige is.

3. Functie f(x) = - neemt af op R, en g(x) = - x – neemt af op R=> h(x) = f(x)+g(x) – neemt af op R, als de som van afnemende functies. Dit betekent dat, volgens de wortelstelling, x = -1 de enige wortel van de vergelijking is. Antwoord: -1.

Probleembank nr. 2. Los de vergelijking op

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Methode voor het introduceren van nieuwe variabelen.

De werkwijze is beschreven in paragraaf 2.1. De introductie van een nieuwe variabele (substitutie) wordt meestal uitgevoerd na transformaties (vereenvoudiging) van de termen van de vergelijking. Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeelden. R Los de vergelijking op: 1. .

Laten we de vergelijking anders herschrijven: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Oplossing. Laten we de vergelijking anders herschrijven:

Laten we https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> aanwijzen als niet geschikt.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationele vergelijking. We merken op dat

De oplossing van de vergelijking is x = 2,5 ≤ 4, wat betekent dat 2,5 de wortel van de vergelijking is. Antwoord: 2.5.

Oplossing. Laten we de vergelijking in de vorm herschrijven en beide zijden delen door 56x+6 ≠ 0. We krijgen de vergelijking

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" breedte = "118" hoogte = "56">

De wortels van de kwadratische vergelijking zijn t1 = 1 en t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Oplossing . Laten we de vergelijking in het formulier herschrijven

en merk op dat het een homogene vergelijking van de tweede graad is.

Verdeel de vergelijking door 42x, we krijgen

Laten we https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> vervangen.

Antwoord: 0; 0,5.

Probleembank nr. 3. Los de vergelijking op

B)

G)

Proef nr. 3 met keuze uit antwoorden. Minimaal niveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) geen wortels 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) geen wortels 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Proef nr. 4 met keuze uit antwoorden. Algemeen niveau.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) geen wortels

5. Factorisatiemethode.

1. Los de vergelijking op: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Oplossing..png" width="169" height="69"> , van waar

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Oplossing. Laten we 6x tussen haakjes aan de linkerkant van de vergelijking zetten, en 2x aan de rechterkant. We krijgen de vergelijking 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Omdat 2x >0 voor alle x kunnen we beide zijden van deze vergelijking door 2x delen zonder bang te hoeven zijn oplossingen te verliezen. We krijgen 3x = 1ó x = 0.

3.

Oplossing. Laten we de vergelijking oplossen met behulp van de factorisatiemethode.

Laten we het kwadraat van de binomiaal selecteren

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" breedte = "500" hoogte = "181">

x = -2 is de wortel van de vergelijking.

Vergelijking x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Proef nr. 6 Algemeen niveau.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponentieel – machtsvergelijkingen.

Naast exponentiële vergelijkingen staan ​​de zogenaamde exponentiële-machtsvergelijkingen, d.w.z. vergelijkingen van de vorm (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Als bekend is dat f(x)>0 en f(x) ≠ 1, dan wordt de vergelijking, net als de exponentiële, opgelost door de exponenten g(x) = f(x) gelijk te stellen.

Als de voorwaarde de mogelijkheid van f(x)=0 en f(x)=1 niet uitsluit, moeten we met deze gevallen rekening houden bij het oplossen van een exponentiële vergelijking.

1..png" breedte = "182" hoogte = "116 src = ">

2.

Oplossing. x2 +2x-8 – is logisch voor elke x, omdat het een polynoom is, wat betekent dat de vergelijking equivalent is aan de totaliteit

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" breedte = "137" hoogte = "35">

B)

7. Exponentiële vergelijkingen met parameters.

1. Voor welke waarden van de parameter p heeft vergelijking 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) een unieke oplossing?

Oplossing. Laten we de vervanging 2x = t, t > 0 introduceren, dan zal vergelijking (1) de vorm aannemen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant van vergelijking (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Vergelijking (1) heeft een unieke oplossing als vergelijking (2) één positieve wortel heeft. Dit is mogelijk in de volgende gevallen.

1. Als D = 0, dat wil zeggen p = 1, dan zal vergelijking (2) de vorm aannemen t2 – 2t + 1 = 0, dus t = 1, daarom heeft vergelijking (1) een unieke oplossing x = 0.

2. Als p1, dan 9(p – 1)2 > 0, dan heeft vergelijking (2) twee verschillende wortels t1 = p, t2 = 4p – 3. Aan de voorwaarden van het probleem wordt voldaan door een reeks systemen

Door t1 en t2 in de systemen te vervangen, hebben we dat gedaan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Oplossing. Laten dan zal vergelijking (3) de vorm aannemen t2 – 6t – a = 0. (4)

Laten we de waarden van de parameter a vinden waarvoor ten minste één wortel van vergelijking (4) voldoet aan de voorwaarde t > 0.

Laten we de functie f(t) = t2 – 6t – a introduceren. De volgende gevallen zijn mogelijk.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kwadratische trinominaal f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Geval 2. Vergelijking (4) heeft een unieke positieve oplossing als

D = 0, als a = – 9, dan zal vergelijking (4) de vorm aannemen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Geval 3. Vergelijking (4) heeft twee wortels, maar één ervan voldoet niet aan de ongelijkheid t > 0. Dit is mogelijk als

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Voor a 0 heeft vergelijking (4) dus één positieve wortel . Dan heeft vergelijking (3) een unieke oplossing

Wanneer een< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

als een< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
als a = – 9, dan is x = – 1;

indien een  0, dan

Laten we de methoden voor het oplossen van vergelijkingen (1) en (3) vergelijken. Merk op dat bij het oplossen van vergelijking (1) werd gereduceerd tot een kwadratische vergelijking, waarvan de discriminant een perfect kwadraat is; De wortels van vergelijking (2) werden dus onmiddellijk berekend met behulp van de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking, en vervolgens werden er conclusies getrokken met betrekking tot deze wortels. Vergelijking (3) is teruggebracht tot een kwadratische vergelijking (4), waarvan de discriminant geen perfect kwadraat is. Daarom is het raadzaam om bij het oplossen van vergelijking (3) stellingen te gebruiken over de locatie van de wortels van een kwadratische trinominaal en een grafisch model. Merk op dat vergelijking (4) kan worden opgelost met behulp van de stelling van Vieta.

Laten we complexere vergelijkingen oplossen.

Probleem 3: Los de vergelijking op

Oplossing. ODZ: x1, x2.

Laten we een vervanger introduceren. Stel 2x = t, t > 0, dan zal de vergelijking als resultaat van transformaties de vorm aannemen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Laten we de waarden van a vinden waarvoor minstens één wortel van de vergelijking (*) voldoet aan de voorwaarde t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwoord: als a > – 13, a  11, a  5, dan als a – 13,

a = 11, a = 5, dan zijn er geen wortels.

Lijst met gebruikte literatuur.

1. Guzeev-fundamenten van onderwijstechnologie.

2. Guzeev-technologie: van receptie tot filosofie.

M. “Schooldirecteur” nr. 4, 1996

3. Guzeev en organisatorische vormen van training.

4. Guzeev en de praktijk van integrale onderwijstechnologie.

M. “Openbaar onderwijs”, 2001

5. Guzeev uit de vormen van een les - seminar.

Wiskunde op school nr. 2, 1987 blz. 9 – 11.

6. Seleuko educatieve technologieën.

M. “Openbaar onderwijs”, 1998

7. Episheva-schoolkinderen om wiskunde te studeren.

M. "Verlichting", 1990

8. Ivanova bereidt lessen voor - workshops.

Wiskunde op school nr. 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Smirnovs model voor het onderwijzen van wiskunde.

Wiskunde op school nr. 1, 1997 p. 32 – 36.

10. Tarasenko manieren om praktisch werk te organiseren.

Wiskunde op school nr. 1, 1993 p. 27 – 28.

11. Over een van de soorten individueel werk.

Wiskunde op school nr. 2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Khazankin creativiteit schoolkinderen.

Wiskunde op school nr. 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Uitgever, 1997

14. en anderen. Didactische materialen Voor

15. Krivonogov-taken in de wiskunde.

M. “Eerste september”, 2002

16. Tsjerkasov. Handboek voor middelbare scholieren en

universiteiten betreden. “A S T - persschool”, 2002

17. Zhevnyak voor degenen die naar universiteiten gaan.

Minsk en Russische Federatie “Review”, 1996

18. Schriftelijk D. We bereiden ons voor op het examen wiskunde. M. Rolf, 1999

19. enz. Vergelijkingen en ongelijkheden leren oplossen.

M. "Intellect - Centrum", 2003

20. etc. Educatief en trainingsmateriaal ter voorbereiding op de EGE.

M. "Intelligentie - Centrum", 2003 en 2004.

21 en andere. Testcentrum van het Ministerie van Defensie van de Russische Federatie, 2002, 2003.

22. Goldberg-vergelijkingen. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Hoe je met succes wiskunde kunt onderwijzen.

Wiskunde, 1997 nr. 3.

24 Okunev voor de les, kinderen! M. Onderwijs, 1988

25. Jakimanskaja – gericht leren op school.

26. Grenzen werken in de klas. M. Kennis, 1975