Gemiddeld niveau
Kwadratische ongelijkheden. Uitgebreide gids (2019)
Om erachter te komen hoe we kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen, moeten we begrijpen wat het is kwadratische functie en welke eigenschappen het heeft.
Je hebt je waarschijnlijk afgevraagd waarom een kwadratische functie überhaupt nodig is? Waar is de grafiek (parabool) van toepassing? Ja, je hoeft alleen maar om je heen te kijken, en dat merk je elke dag weer het dagelijks leven je komt haar tegen. Is het je opgevallen hoe een gegooide bal vliegt in de lichamelijke opvoeding? "Langs de boog"? Het meest correcte antwoord zou “parabool” zijn! En langs welk traject beweegt de straal in de fontein? Ja, ook in een parabool! Hoe vliegt een kogel of granaat? Dat klopt, ook in een parabool! Door de eigenschappen van een kwadratische functie te kennen, zal het dus mogelijk zijn veel praktische problemen op te lossen. Onder welke hoek moet een bal bijvoorbeeld worden gegooid om de grootste afstand te garanderen? Of waar zal het projectiel terechtkomen als je het onder een bepaalde hoek afvuurt? enz.
Kwadratische functie
Dus laten we het uitzoeken.
Bijvoorbeeld, . Wat zijn hier de gelijken, en? Nou ja, natuurlijk!
Wat als, d.w.z. minder dan nul? Nou ja, natuurlijk zijn we ‘verdrietig’, wat betekent dat de takken naar beneden gericht zullen zijn! Laten we naar de grafiek kijken.
Deze figuur toont de grafiek van een functie. Sinds, d.w.z. minder dan nul zijn de takken van de parabool naar beneden gericht. Bovendien heb je waarschijnlijk al gemerkt dat de takken van deze parabool de as snijden, wat betekent dat de vergelijking 2 wortels heeft en dat de functie zowel positieve als negatieve waarden aanneemt!
Helemaal aan het begin, toen we de definitie van een kwadratische functie gaven, werd er gezegd dat er enkele getallen zijn. Kunnen ze gelijk zijn aan nul? Nou ja, natuurlijk kunnen ze dat! Ik zal zelfs een nog groter geheim onthullen (dat helemaal geen geheim is, maar het vermelden waard): er zijn helemaal geen beperkingen opgelegd aan deze cijfers (en)!
Laten we eens kijken wat er met de grafieken gebeurt als en gelijk is aan nul.
Zoals u kunt zien, zijn de grafieken van de functies (en) in kwestie zodanig verschoven dat hun hoekpunten zich nu op het punt met coördinaten bevinden, dat wil zeggen op het snijpunt van de assen, en dit heeft geen effect op de richting van de takken . We kunnen dus concluderen dat ze verantwoordelijk zijn voor de “beweging” van de paraboolgrafiek langs het coördinatensysteem.
De grafiek van een functie raakt de as op een punt. Dit betekent dat de vergelijking één wortel heeft. De functie neemt dus waarden aan die groter zijn dan of gelijk zijn aan nul.
We volgen dezelfde logica met de grafiek van de functie. Het raakt de x-as op een punt. Dit betekent dat de vergelijking één wortel heeft. De functie neemt dus waarden kleiner dan of gelijk aan nul aan.
Om het teken van een uitdrukking te bepalen, moet je dus eerst de wortels van de vergelijking vinden. Dit zal zeer nuttig voor ons zijn.
Kwadratische ongelijkheid
Bij het oplossen van dergelijke ongelijkheden hebben we het vermogen nodig om te bepalen waar een kwadratische functie groter, kleiner of gelijk aan nul is. Dat is:
- als we een vormongelijkheid hebben, komt de taak in feite neer op het bepalen van het numerieke interval van waarden waarvoor de parabool boven de as ligt.
- als we een vormongelijkheid hebben, komt de taak in feite neer op het bepalen van het numerieke interval van x-waarden waarvoor de parabool onder de as ligt.
Als de ongelijkheden niet strikt zijn, worden de wortels (de coördinaten van het snijpunt van de parabool met de as) opgenomen in het gewenste numerieke interval; in het geval van strikte ongelijkheden worden ze uitgesloten.
Dit is allemaal behoorlijk geformaliseerd, maar wanhoop niet en wees niet bang! Laten we nu naar de voorbeelden kijken, en alles zal op zijn plaats vallen.
Bij het oplossen van kwadratische ongelijkheden zullen we ons aan het gegeven algoritme houden en ons wacht onvermijdelijk succes!
| Algoritme | Voorbeeld: |
| 1) Laten we de overeenkomstige ongelijkheid opschrijven kwadratische vergelijking(verander gewoon het ongelijkheidsteken in het gelijkteken “=”). | |
| 2) Laten we de wortels van deze vergelijking vinden. | |
| 3) Markeer de wortels op de as en geef schematisch de oriëntatie van de takken van de parabool weer (“omhoog” of “omlaag”) |  |
| 4) Laten we tekens op de as plaatsen die overeenkomen met het teken van de kwadratische functie: waar de parabool zich boven de as bevindt, plaatsen we “ ”, en daaronder - “ “. |  |
| 5) Schrijf de interval(s) op die overeenkomt met “ ” of “ ”, afhankelijk van het ongelijkheidsteken. Als de ongelijkheid niet strikt is, worden de wortels in het interval opgenomen; als deze wel strikt is, zijn ze dat niet. |
Heb je het? Ga dan je gang en pin het!
Voorbeeld:
Nou, is het gelukt? Als u problemen ondervindt, zoek dan naar oplossingen.
Oplossing:
Laten we de intervallen opschrijven die overeenkomen met het teken " ", aangezien het ongelijkheidsteken " " is. De ongelijkheid is niet strikt, dus de wortels zijn opgenomen in de intervallen:
Laten we de overeenkomstige kwadratische vergelijking schrijven:
Laten we de wortels van deze kwadratische vergelijking vinden:
Laten we de verkregen wortels schematisch op de as markeren en de tekens rangschikken:
Laten we de intervallen opschrijven die overeenkomen met het teken " ", aangezien het ongelijkheidsteken " " is. De ongelijkheid is strikt, dus de wortels zijn niet opgenomen in de intervallen:
Laten we de overeenkomstige kwadratische vergelijking schrijven:
Laten we de wortels van deze kwadratische vergelijking vinden:
deze vergelijking heeft één wortel
Laten we de verkregen wortels schematisch op de as markeren en de tekens rangschikken:
Laten we de intervallen opschrijven die overeenkomen met het teken " ", aangezien het ongelijkheidsteken " " is. Voor elk daarvan neemt de functie niet-negatieve waarden aan. Omdat de ongelijkheid niet strikt is, zal het antwoord dat zijn.
Laten we de overeenkomstige kwadratische vergelijking schrijven:
Laten we de wortels van deze kwadratische vergelijking vinden:
Laten we schematisch een grafiek van een parabool tekenen en de tekens rangschikken:
Laten we de intervallen opschrijven die overeenkomen met het teken " ", aangezien het ongelijkheidsteken " " is. Voor iedereen neemt de functie positieve waarden aan, daarom is de oplossing voor de ongelijkheid het interval:
VIERKANTE ONGELIJKHEDEN. MIDDEN NIVEAU
Kwadratische functie.
Voordat we het hebben over het onderwerp 'kwadratische ongelijkheden', moeten we onthouden wat een kwadratische functie is en wat de grafiek ervan is.
| Een kwadratische functie is een functie van de vorm, |
Met andere woorden: dit polynoom van de tweede graad.
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool (weet je nog wat dat is?). De takken zijn naar boven gericht als "a) de functie alleen positieve waarden voor iedereen aanneemt, en in de tweede () - alleen negatieve waarden:
In het geval dat de vergelijking () precies één wortel heeft (bijvoorbeeld als de discriminant nul is), betekent dit dat de grafiek de as raakt:
Vervolgens, vergelijkbaar met het vorige geval, voor " .
We hebben dus onlangs geleerd hoe we kunnen bepalen waar een kwadratische functie groter is dan nul en waar deze kleiner is:
Als de kwadratische ongelijkheid niet strikt is, worden de wortels opgenomen in het numerieke interval; dat is niet het geval.
Als er maar één wortel is, is dat geen probleem, hetzelfde teken zal overal zijn. Als er geen wortels zijn, hangt alles alleen af van de coëfficiënt: als "25((x)^(2))-30x+9
Antwoorden:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Er zijn geen wortels, dus de hele uitdrukking aan de linkerkant heeft het teken van de coëfficiënt ervoor:
- Als je een numeriek interval wilt vinden waarop de kwadratische trinominaal groter is dan nul, dan is dit het numerieke interval waarbij de parabool boven de as ligt.
- Als je een numeriek interval wilt vinden waarop de kwadratische trinominaal kleiner is dan nul, dan is dit het numerieke interval waarbij de parabool onder de as ligt.
VIERKANTE ONGELIJKHEDEN. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN
Kwadratische functie is een functie van de vorm: ,
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. De takken zijn naar boven gericht als, en naar beneden als:
Soorten kwadratische ongelijkheden:
Alle kwadratische ongelijkheden worden teruggebracht tot de volgende vier typen:
Oplossingsalgoritme:
| Algoritme | Voorbeeld: |
| 1) Laten we de kwadratische vergelijking schrijven die overeenkomt met de ongelijkheid (verander eenvoudigweg het ongelijkheidsteken in het gelijkteken " "). | |
| 2) Laten we de wortels van deze vergelijking vinden. | |
| 3) Markeer de wortels op de as en geef schematisch de oriëntatie van de takken van de parabool weer (“omhoog” of “omlaag”) | |
| 4) Laten we tekens op de as plaatsen die overeenkomen met het teken van de kwadratische functie: waar de parabool zich boven de as bevindt, plaatsen we “ ”, en daaronder - “ “. | |
| 5) Schrijf de interval(s) op die overeenkomt met “ ” of “ ”, afhankelijk van het ongelijkheidsteken. Als de ongelijkheid niet strikt is, worden de wortels in het interval opgenomen; als deze wel strikt is, zijn ze dat niet. |
Les en presentatie over het onderwerp: "Kwadratische ongelijkheden, voorbeelden van oplossingen"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 9
Elektronisch leerboek "Begrijpelijke geometrie" voor groep 7-9
Onderwijscomplex 1C: "Geometrie, graad 9"
Jongens, we weten al hoe we kwadratische vergelijkingen moeten oplossen. Laten we nu leren hoe we kwadratische ongelijkheden kunnen oplossen.
Kwadratische ongelijkheid Dit type ongelijkheid heet:
$ax^2+bx+c>0$.
Het ongelijkheidsteken kan elk getal zijn, de coëfficiënten a, b, c kunnen elk getal zijn ($a≠0$).
Alle regels die we voor lineaire ongelijkheden hebben gedefinieerd, werken ook hier. Herhaal deze regels zelf!
Laten we nog een belangrijke regel introduceren:
Als de trinominaal $ax^2+bx+c$ een negatieve discriminant heeft, dan zal, als je een waarde van x vervangt, het teken van de trinominaal hetzelfde zijn als het teken van de coëfficiënt a.
Voorbeelden van het oplossen van kwadratische ongelijkheden
kan worden opgelost door grafieken of intervallen te plotten. Laten we eens kijken naar voorbeelden van oplossingen voor ongelijkheid.Voorbeelden.
1. Los de ongelijkheid op: $x^2-2x-8
Oplossing:
Laten we de wortels van de vergelijking $x^2-2x-8=0$ vinden.
$x_1=4$ en $x_2=-2$.
Laten we de kwadratische vergelijking grafisch weergeven. De x-as snijdt elkaar in de punten 4 en -2. 2. Ongelijkheid oplossen: $5x-6 Oplossing: Laten we een grafiek maken van een kwadratische vergelijking, waarbij de x-as elkaar snijdt in de punten 2 en 3. 3. Los de ongelijkheid op: $2^2+2x+1≥0$. Oplossing: 4. Los de ongelijkheid op: $x^2+x-2 Definitie van kwadratische ongelijkheid Opmerking 1 De ongelijkheid wordt kwadratisch genoemd omdat de variabele is gekwadrateerd. Kwadratische ongelijkheden worden ook wel genoemd ongelijkheid van de tweede graad. Voorbeeld 1 Voorbeeld. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – kwadratische ongelijkheden. Zoals uit het voorbeeld blijkt, zijn niet alle elementen van de ongelijkheid van de vorm $ax^2+bx+c > 0$ aanwezig. In de ongelijkheid $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ is er bijvoorbeeld geen vrije term (term $с$), en in de ongelijkheid $11z^2+8 \le 0$ er is geen term met coëfficiënt $b$. Dergelijke ongelijkheden zijn ook kwadratisch, maar worden ook wel genoemd onvolledige kwadratische ongelijkheden. Het betekent alleen dat de coëfficiënten $b$ of $c$ gelijk zijn aan nul. Bij het oplossen van kwadratische ongelijkheden worden de volgende basismethoden gebruikt: Opmerking 2 Grafische methode voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden $ax^2+bx+c > 0$ (of met het $-teken Deze intervallen zijn het oplossen van de kwadratische ongelijkheid. Opmerking 3 Intervalmethode voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden van de vorm $ax^2+bx+c > 0$ (het ongelijkheidsteken kan ook $ zijn Oplossingen voor kwadratische ongelijkheden met het teken $""$ - positieve intervallen, met de tekens $"≤"$ en $"≥"$ - negatieve en positieve intervallen (respectievelijk), inclusief punten die overeenkomen met de nulpunten van de trinominaal. De methode voor het oplossen van een kwadratische ongelijkheid door het kwadraat van de binominale factor te isoleren, is door over te gaan naar een equivalente ongelijkheid van de vorm $(x-n)^2 > m$ (of met het teken $ Opmerking 4 Bij het oplossen van ongelijkheden moeten ze vaak worden teruggebracht tot kwadratische ongelijkheden van de vorm $ax^2+bx+c > 0$ (het ongelijkheidsteken kan ook $ ongelijkheden zijn die tot kwadratische ongelijkheden worden gereduceerd. Opmerking 5 De eenvoudigste manier om ongelijkheden terug te brengen tot kwadratische ongelijkheden is door de termen in de oorspronkelijke ongelijkheid te herschikken of ze bijvoorbeeld van rechts naar links over te brengen. Wanneer we bijvoorbeeld alle termen van de ongelijkheid $7x > 6-3x^2$ van de rechterkant naar links overbrengen, verkrijgen we een kwadratische ongelijkheid van de vorm $3x^2+7x-6 > 0$. Als we de termen aan de linkerkant van de ongelijkheid $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ herschikken in aflopende volgorde van de graad van de variabele $y$, dan leidt dit tot een equivalente kwadratische ongelijkheid van de vorm $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$. Bij het oplossen van rationele ongelijkheden worden ze vaak gereduceerd tot kwadratische ongelijkheden. In dit geval is het noodzakelijk om alle termen naar de linkerkant over te brengen en de resulterende uitdrukking te transformeren naar de vorm van een kwadratische trinominaal. Voorbeeld 2 Voorbeeld. Reduceer de ongelijkheid $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ tot een kwadratische. Oplossing. Laten we alle termen naar de linkerkant van de ongelijkheid verplaatsen: $7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules en haakjes openen vereenvoudigen we de uitdrukking aan de linkerkant van de ongelijkheid: $7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0$. Antwoord: $x^2-21,5x-19 > 0$. De methode van intervallen wordt terecht beschouwd als een universele methode voor het oplossen van ongelijkheden. Het is het gemakkelijkst te gebruiken voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden in één variabele. In dit materiaal zullen we alle aspecten bekijken van het gebruik van de intervalmethode om kwadratische ongelijkheden op te lossen. Om de assimilatie van het materiaal te vergemakkelijken, zullen we een groot aantal voorbeelden van verschillende mate van complexiteit beschouwen. Yandex.RTB R-A-339285-1 Laten we een algoritme bekijken voor het gebruik van de intervalmethode in een aangepaste versie, die geschikt is voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden. Het is deze versie van de intervalmethode waarmee leerlingen in de algebralessen kennis maken. Laten we de taak ook niet ingewikkelder maken. Laten we verder gaan met het algoritme zelf. We hebben de kwadratische trinominaal a · x 2 + b · x + c vanaf de linkerkant van de kwadratische ongelijkheid. We vinden de nulpunten van deze trinominaal. In het coördinatensysteem geven we een coördinatenlijn weer. We markeren de wortels erop. Voor het gemak kunnen we verschillende manieren introduceren om punten voor strikte en niet-strikte ongelijkheden te noteren. Laten we afspreken dat we “lege” punten zullen gebruiken om de coördinaten te markeren bij het oplossen van een strikte ongelijkheid, en gewone punten om een niet-strikte ongelijkheid te markeren. Door de punten te markeren, krijgen we verschillende intervallen op de coördinatenas. Als we bij de eerste stap nullen hebben gevonden, bepalen we de tekens van de waarden van de trinominaal voor elk van de resulterende intervallen. Als we geen nullen ontvangen, voeren we deze actie uit voor de hele getallenlijn. We markeren de gaten met de tekens “+” of “-”. Daarnaast zullen we arcering introduceren in gevallen waarin we ongelijkheden oplossen met tekens > of ≥ en< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». Door de tekens van de waarden van de trinominaal te noteren en schaduw over de segmenten aan te brengen, verkrijgen we een geometrisch beeld van een bepaalde numerieke reeks, wat feitelijk een oplossing is voor de ongelijkheid. Het enige wat we hoeven te doen is het antwoord opschrijven. Laten we dieper ingaan op de derde stap van het algoritme, waarbij het teken van de kloof wordt bepaald. Er zijn verschillende benaderingen om tekens te definiëren. Laten we ze in volgorde bekijken, te beginnen met de meest nauwkeurige, hoewel niet de snelste. Deze methode omvat het berekenen van de waarden van de trinominaal op verschillende punten van de resulterende intervallen. Voorbeeld 1 Laten we bijvoorbeeld de trinominaal x 2 + 4 · x − 5 nemen. De wortels van deze trinominaal 1 en - 5 verdelen de coördinatenas in drie intervallen (− ∞, − 5), (− 5, 1) en (1, + ∞). Laten we beginnen met het interval (1, + ∞). Om onze taak te vereenvoudigen, nemen we x = 2. We krijgen 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7. 7 is een positief getal. Dit betekent dat de waarden van deze kwadratische trinominaal op het interval (1, + ∞) positief zijn en kunnen worden aangegeven met het teken “+”. Om het teken van het interval (− 5, 1) te bepalen nemen we x = 0. We hebben 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Plaats een “-” teken boven het interval. Voor het interval (− ∞, − 5) nemen we x = − 6, we krijgen (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. We markeren dit interval met een “+” teken. U kunt de symptomen veel sneller herkennen door rekening te houden met de volgende feiten. Met een positieve discriminant geeft een vierkante trinominaal met twee wortels een afwisseling van tekens van zijn waarden op intervallen waarin de getallenlijn wordt verdeeld door de wortels van deze trinominale. Dit betekent dat we niet noodzakelijkerwijs tekens voor elk van de intervallen hoeven te definiëren. Het volstaat om berekeningen voor één uit te voeren en voor de rest tekens op te stellen, rekening houdend met het principe van afwisseling. Als u wilt, kunt u helemaal zonder berekeningen doen door conclusies te trekken over de tekens op basis van de waarde van de leidende coëfficiënt. Als a > 0, dan krijgen we een reeks tekens +, −, +, en als a< 0 – то − , + , − . Voor kwadratische trinomialen met één wortel krijgen we, wanneer de discriminant nul is, twee intervallen op de coördinatenas met dezelfde tekens. Dit betekent dat we het teken voor één van de intervallen bepalen en hetzelfde instellen voor de tweede. Hier passen we ook de methode toe om het teken te bepalen op basis van de waarde van de coëfficiënt a: als a > 0, dan is het +, +, en als a< 0 , то − , − . Als een vierkante trinominaal geen wortels heeft, vallen de tekens van zijn waarden voor de gehele coördinatenlijn samen met zowel het teken van de leidende coëfficiënt a als het teken van de vrije term c. Als we bijvoorbeeld de kwadratische trinominaal − 4 x 2 − 7 nemen, heeft deze geen wortels (de discriminant is negatief). De coëfficiënt van x 2 is negatief − 4, en het snijpunt − 7 is ook negatief. Dit betekent dat op het interval (− ∞, + ∞) de waarden negatief zijn. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van kwadratische ongelijkheden met behulp van het hierboven besproken algoritme. Voorbeeld 2 Los de ongelijkheid 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0 op. Oplossing
Om de ongelijkheid op te lossen, gebruiken we de intervalmethode. Om dit te doen, gaan we de wortels van de vierkante trinominale 8 x 2 − 4 x − 1 vinden. Vanwege het feit dat de coëfficiënt van x even is, zal het voor ons handiger zijn om niet de discriminant te berekenen, maar het vierde deel van de discriminant: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 . De discriminant is groter dan nul. Hierdoor kunnen we de twee wortels van de vierkante trinominaal vinden: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 en x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Laten we deze waarden op de getallenlijn markeren. Omdat de vergelijking niet strikt is, gebruiken we gewone punten in de grafiek. Nu bepalen we met behulp van de intervalmethode de tekens van de drie resulterende intervallen. De coëfficiënt van x 2 is gelijk aan 8, dat wil zeggen positief, daarom zal de reeks tekens +, −, + zijn. Omdat we een ongelijkheid oplossen met het ≥ teken, tekenen we arcering over de intervallen met plustekens: Laten we de numerieke set analytisch schrijven op basis van het resulterende grafische beeld. We kunnen dit op twee manieren doen: Antwoord:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) of x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Voorbeeld 3 Los de kwadratische ongelijkheid op - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Oplossing
Laten we eerst de wortels van de kwadratische trinominaal vinden vanaf de linkerkant van de ongelijkheid: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Dit is een strikte ongelijkheid, daarom gebruiken we een “leeg” punt in de grafiek. Met coördinaat 7. Nu moeten we de tekens op de resulterende intervallen (− ∞, 7) en (7, + ∞) bepalen. Omdat de discriminant van een kwadratische trinominaal nul is en de leidende coëfficiënt negatief is, noteren we de tekens − , − : Omdat we een ongelijkheid oplossen met een teken< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: In dit geval zijn de oplossingen beide intervallen (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . Antwoord:(− ∞, 7) ∪ (7, + ∞) of in een andere notatie x ≠ 7 . Voorbeeld 4 Is de kwadratische ongelijkheid x 2 + x + 7< 0 решения? Oplossing
Laten we de wortels van de kwadratische trinominaal vinden vanaf de linkerkant van de ongelijkheid. Om dit te doen, vinden we de discriminant: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . De discriminant is kleiner dan nul, wat betekent dat er geen echte wortels zijn. De grafische afbeelding ziet eruit als een getallenlijn zonder gemarkeerde punten. Laten we het teken van de waarden van de kwadratische trinominaal bepalen. Bij D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : In dit geval kunnen we schaduw aanbrengen op de ruimtes met het teken “-”. Maar zulke gaten hebben we niet. Daarom ziet de tekening er als volgt uit: Als resultaat van de berekeningen ontvingen we een lege set. Dit betekent dat deze kwadratische ongelijkheid geen oplossingen heeft. Antwoord: Nee. Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
Onze kwadratische trinomiaal neemt waarden kleiner dan nul aan waar de grafiek van de functie zich onder de x-as bevindt.
Als we naar de grafiek van de functie kijken, krijgen we het antwoord: $x^2-2x-8 Antwoord: $-2
Laten we de ongelijkheid transformeren: $-x^2+5x-6 Laten we de ongelijkheid delen door min één. Laten we niet vergeten het teken te veranderen: $x^2-5x+6>0$.
Laten we de wortels van de trinominale vinden: $x_1=2$ en $x_2=3$.
Onze kwadratische trinomiaal neemt waarden groter dan nul aan waar de grafiek van de functie zich boven de x-as bevindt. Als we naar de grafiek van de functie kijken, krijgen we het antwoord: $5x-6
Laten we de wortels van onze trinominaal vinden, hiervoor berekenen we de discriminant: $D=2^2-4*2=-4 De discriminant is kleiner dan nul. Laten we de regel gebruiken die we in het begin hebben geïntroduceerd. Het teken van de ongelijkheid zal hetzelfde zijn als het teken van de coëfficiënt van het vierkant. In ons geval is de coëfficiënt positief, wat betekent dat onze vergelijking positief zal zijn voor elke waarde van x.
Antwoord: Voor alle x is de ongelijkheid groter dan nul.
Oplossing:
Laten we de wortels van de trinominale vinden en deze op de coördinatenlijn plaatsen: $x_1=-2$ en $x_2=1$. 
Als $x>1$ en $x Als $x>-2$ en $x Antwoord: $x>-2$ en $xProblemen voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden
Ongelijkheden oplossen:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Methoden voor het oplossen van kwadratische ongelijkheden
Grafische methode
Intervalmethode
Het kwadraat van een binomiaal isoleren
Ongelijkheid die reduceert tot kwadratisch
Algoritme voor het toepassen van de intervalmethode
Laden...
