Oplossen van gehele en fractionele rationale vergelijkingen. Systemen van rationale vergelijkingen in de wiskunde Definitie van een rationale vergelijking met twee variabelen

De benadering van de auteur van dit onderwerp is niet toevallig. Vergelijkingen met twee variabelen komen voor het eerst voor in de cursus van groep 7. Eén vergelijking met twee variabelen heeft een oneindig aantal oplossingen. Dit wordt duidelijk aangetoond door de grafiek van een lineaire functie, gegeven als ax + by=c. In de schoolcursus bestuderen studenten systemen van twee vergelijkingen met twee variabelen. Als gevolg hiervan vallen een hele reeks problemen met beperkte voorwaarden voor de coëfficiënt van de vergelijking, evenals methoden om deze op te lossen, buiten het zicht van de leraar en dus van de leerling.

We hebben het over het oplossen van een vergelijking met twee onbekenden in gehele getallen of natuurlijke getallen.

Op school worden in groep 4 t/m 6 natuurlijke getallen en gehele getallen bestudeerd. Tegen de tijd dat ze afstuderen, herinneren niet alle studenten zich de verschillen tussen de sets van deze getallen.

Een probleem als “een vergelijking oplossen van de vorm ax + by=c in gehele getallen” wordt echter steeds vaker aangetroffen bij toelatingsexamens voor universiteiten en in Unified State Examination-materiaal.

Het oplossen van onzekere vergelijkingen ontwikkelt logisch denken, intelligentie en aandacht voor analyse.

Ik stel voor om verschillende lessen over dit onderwerp te ontwikkelen. Ik heb geen duidelijke aanbevelingen over de timing van deze lessen. Sommige elementen kunnen ook gebruikt worden in groep 7 (voor een sterke klas). Deze lessen kunnen als basis worden genomen en er kan een kleine keuzecursus vmbo-onderwijs in het 9e leerjaar worden ontwikkeld. En natuurlijk kan dit materiaal in de groepen 10-11 worden gebruikt om zich voor te bereiden op examens.

Doel van de les:

• herhaling en generalisatie van kennis over het onderwerp “Eerste en tweede orde vergelijkingen”
• het koesteren van cognitieve interesse in het onderwerp
• het ontwikkelen van het vermogen om te analyseren, generalisaties te maken en kennis over te dragen naar een nieuwe situatie

Les 1.

Voortgang van de les.

1) Org. moment.

2) Basiskennis actualiseren.

Definitie. Lineaire vergelijking met twee variabelen wordt een vergelijking van de vorm genoemd

mx + ny = k, waarbij m, n, k getallen zijn, x, y variabelen.

Voorbeeld: 5x+2y=10

Definitie. Een oplossing voor een vergelijking met twee variabelen is een paar waarden van variabelen die de vergelijking in een echte gelijkheid veranderen.

Vergelijkingen met twee variabelen die dezelfde oplossingen hebben, worden equivalent genoemd.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Deze vergelijking kan een willekeurig aantal oplossingen hebben. Om dit te doen, volstaat het om een ​​willekeurige x-waarde te nemen en de overeenkomstige y-waarde te vinden.

Stel x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Nummerparen (2;1); (4;-4) – oplossingen voor vergelijking (1).

Deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen.

3) Historische achtergrond

Onbepaalde (diophantische) vergelijkingen zijn vergelijkingen die meer dan één variabele bevatten.

In de 3e eeuw. ADVERTENTIE – Diophantus van Alexandrië schreef ‘Rekenkunde’, waarin hij de reeks getallen uitbreidde naar rationele getallen en algebraïsche symboliek introduceerde.

Diophantus hield zich ook bezig met de problemen bij het oplossen van onbepaalde vergelijkingen en hij gaf methoden voor het oplossen van onbepaalde vergelijkingen van de tweede en derde graad.

4) Nieuw materiaal bestuderen.

Definitie: Een inhomogene Diophantische vergelijking van de eerste orde met twee onbekenden x, y is een vergelijking van de vorm mx + ny = k, waarbij m, n, k, x, y Z k0

Verklaring 1.

Als de vrije term k in vergelijking (1) niet deelbaar is door de grootste gemeenschappelijke deler(GCD) van de getallen m en n, dan heeft vergelijking (1) geen geheeltallige oplossingen.

Voorbeeld: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 is niet deelbaar door 17, er is geen oplossing in hele getallen.

Laat k gedeeld worden door ggd (m, n). Door alle coëfficiënten te delen, kunnen we ervoor zorgen dat m en n relatief priem worden.

Verklaring 2.

Als m en n van vergelijking (1) relatief priemgetallen zijn, dan heeft deze vergelijking minstens één oplossing.

Verklaring 3.

Als de coëfficiënten m en n van vergelijking (1) coprime-getallen zijn, dan heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen:

Waar (; ) een oplossing is voor vergelijking (1), t Z

Definitie. Een homogene Diophantische vergelijking van de eerste orde met twee onbekenden x, y is een vergelijking van de vorm mx + ny = 0, waarbij (2)

Verklaring 4.

Als m en n coprime-getallen zijn, heeft elke oplossing van vergelijking (2) de vorm

5) Huiswerk. Los de vergelijking op in hele getallen:

1. 9x – 18j = 5
2. x+y=xy
3. Verschillende kinderen waren appels aan het plukken. Elke jongen verzamelde 21 kg en het meisje verzamelde 15 kg. In totaal hebben ze 174 kg ingezameld. Hoeveel jongens en hoeveel meisjes hebben appels geplukt?

Opmerking. Deze les geeft geen voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen in gehele getallen. Dat is waarom huiswerk kinderen beslissen op basis van stelling 1 en selectie.

Les 2.

1) Organisatorisch moment

2) Huiswerk controleren

1) 9x – 18j = 5

5 is niet deelbaar door 9; er zijn geen oplossingen in gehele getallen.

Met behulp van de selectiemethode kunt u een oplossing vinden

Antwoord: (0;0), (2;2)

3) Laten we een vergelijking maken:

Stel dat de jongens x, x Z zijn en de meisjes y, y Z, dan kunnen we de vergelijking 21x + 15y = 174 maken

Veel studenten zullen, nadat ze een vergelijking hebben geschreven, deze niet kunnen oplossen.

Antwoord: 4 jongens, 6 meisjes.

3) Nieuw materiaal leren

Omdat ze moeilijkheden ondervonden bij het maken van huiswerk, waren de leerlingen overtuigd van de noodzaak om hun methoden voor het oplossen van onzekere vergelijkingen te leren. Laten we er een paar bekijken.

I. Methode voor het beschouwen van delingsresten.

Voorbeeld. Los de vergelijking op in gehele getallen 3x – 4y = 1.

De linkerkant van de vergelijking is deelbaar door 3, dus de rechterkant moet deelbaar zijn. Laten we drie gevallen bekijken.

Antwoord: waar m Z.

De beschreven methode is handig in gebruik als de getallen m en n niet klein zijn, maar kunnen worden opgesplitst in eenvoudige factoren.

Voorbeeld: Los vergelijkingen op in hele getallen.

Stel y = 4n, dan wordt 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) gedeeld door 4.

y = 4n+1, dan is 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n is niet deelbaar door 4.

y = 4n+2, dan is 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n is niet deelbaar door 4.

y = 4n+3, dan is 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n is niet deelbaar door 4.

Daarom is y = 4n, dus

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Antwoord: , waarbij n Z.

II. Onzekere vergelijkingen van de 2e graad

Vandaag zullen we in de les alleen ingaan op de oplossing van Diophantische vergelijkingen van de tweede orde.

En van alle soorten vergelijkingen zullen we het geval overwegen waarin we de formule voor het verschil in kwadraten of een andere factorisatiemethode kunnen toepassen.

Voorbeeld: Los een vergelijking op in hele getallen.

13 is een priemgetal en kan dus slechts op vier manieren worden ontbonden: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Laten we deze gevallen eens bekijken

Antwoord: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Huiswerk.

Voorbeelden. Los de vergelijking op in hele getallen:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
j = 0	past niet	past niet
2x = -4	past niet	past niet
x = -2
j = 0

Antwoord: (-2;0), (2;0).

Antwoorden: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Antwoord: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Resultaten. Wat betekent het om een ​​vergelijking in gehele getallen op te lossen?

Welke methoden voor het oplossen van onzekere vergelijkingen ken je?

Sollicitatie:

Oefeningen voor training.

1) Los op in hele getallen.

a) 8x + 12j = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5j = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, nZ
c) 4x + 7j = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, nZ
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11j = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
e) 7x – 4j = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ
g) 19x – 5j = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40j = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Vind niet-negatieve oplossingen met gehele getallen voor de vergelijking:

Oplossing:Z (2; -1)

Literatuur.

1. Kinderencyclopedie “Pedagogie”, Moskou, 1972.
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO “Wetenschap”, Novosibirsk, 1992
3. Concurrentieproblemen gebaseerd op de getaltheorie.
4. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moskou, 2005.
5. Problemen met verhoogde moeilijkheidsgraad in de algebracursus voor de groepen 7-9. N.P. Kosrykina. “Verlichting”, Moskou, 1991

Algebra 7, Makarychev Yu.N., “Verlichting”. In de wiskundecursus van groep 7 komen we voor het eerst tegen vergelijkingen met twee variabelen , maar ze worden alleen bestudeerd in de context van stelsels vergelijkingen met twee onbekenden. Dat is de reden waarom een ​​hele reeks problemen waarbij bepaalde voorwaarden worden geïntroduceerd op de coëfficiënten van de vergelijking die deze beperken, uit het zicht verdwijnen. Bovendien worden methoden voor het oplossen van problemen zoals “Los een vergelijking in natuurlijke of gehele getallen op” ook genegeerd, hoewel ze wel Materialen voor het Unified State Examen

En bij toelatingsexamens komen dit soort problemen steeds vaker voor.

Welke vergelijking wordt een vergelijking met twee variabelen genoemd?

De vergelijkingen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 of xy = 12 zijn dus vergelijkingen in twee variabelen.

Beschouw de vergelijking 2x – y = 1. Deze wordt waar als x = 2 en y = 3, dus dit paar variabele waarden is een oplossing voor de vergelijking in kwestie.

De oplossing voor elke vergelijking met twee variabelen is dus een reeks geordende paren (x; y), waarden van de variabelen die deze vergelijking in een echte numerieke gelijkheid veranderen.

Een vergelijking met twee onbekenden kan: A) hebben één oplossing.

De vergelijking x 2 + 5y 2 = 0 heeft bijvoorbeeld een unieke oplossing (0; 0); B) meerdere oplossingen hebben.

(5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 heeft bijvoorbeeld 4 oplossingen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); V) hebben geen oplossingen.

De vergelijking x 2 + y 2 + 1 = 0 heeft bijvoorbeeld geen oplossingen; G) Bijvoorbeeld x + y = 3. De oplossingen voor deze vergelijking zijn getallen waarvan de som gelijk is aan 3. De reeks oplossingen voor deze vergelijking kan worden geschreven in de vorm (k; 3 – k), waarbij k een willekeurig getal is. echt nummer.

De belangrijkste methoden voor het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen zijn methoden die zijn gebaseerd op het ontbinden van uitdrukkingen, het isoleren van een volledig vierkant, het gebruik van de eigenschappen van een kwadratische vergelijking, beperkte uitdrukkingen en schattingsmethoden. De vergelijking wordt gewoonlijk omgezet in een vorm waaruit een systeem voor het vinden van de onbekenden kan worden verkregen.

Factorisatie

Voorbeeld 1.

Los de vergelijking op: xy – 2 = 2x – y.

Oplossing.

We groeperen de termen met het oog op factorisatie:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Uit elk haakje halen we een gemeenschappelijke factor:

y(x+1) – 2(x+1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. We hebben:

y = 2, x – elk reëel getal of x = -1, y – elk reëel getal.

Dus, het antwoord is alle paren van de vorm (x; 2), x € R en (-1; y), y € R.

Gelijk aan nul is dat niet negatieve getallen

Voorbeeld 2.

Los de vergelijking op: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Oplossing.

Groepering:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nu kan elke beugel worden gevouwen met behulp van de kwadratische verschilformule.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

De som van twee niet-negatieve uitdrukkingen is alleen nul als 3x – 2 = 0 en 2y – 3 = 0.

Dit betekent x = 2/3 en y = 3/2.

Antwoord: (2/3; 3/2).

Schattingsmethode

Voorbeeld 3.

Los de vergelijking op: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Oplossing.

In elke haak selecteren we een compleet vierkant:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Laten we schatten de betekenis van de uitdrukkingen tussen haakjes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 en (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dan is de linkerkant van de vergelijking altijd minimaal 2. Gelijkheid is mogelijk als:

(x + 1) 2 + 1 = 1 en (y – 2) 2 + 2 = 2, wat betekent x = -1, y = 2.

Antwoord: (-1; 2).

Laten we kennis maken met een andere methode voor het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen van de tweede graad. Deze methode bestaat uit het behandelen van de vergelijking als vierkant ten opzichte van een variabele.

Voorbeeld 4.

Los de vergelijking op: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Oplossing.

Laten we de vergelijking oplossen als een kwadratische vergelijking voor x. Laten we de discriminant vinden:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . De vergelijking heeft alleen een oplossing als D = 0, dat wil zeggen als y = 4. We vervangen de waarde van y in de oorspronkelijke vergelijking en vinden dat x = 3.

Antwoord: (3; 4).

Vaak geven ze in vergelijkingen met twee onbekenden aan beperkingen op variabelen.

Voorbeeld 5.

Los de vergelijking op in hele getallen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Oplossing.

Laten we de vergelijking herschrijven in de vorm x 2 = -5y 2 + 20x + 2. De rechterkant van de resulterende vergelijking geeft, gedeeld door 5, een rest van 2. Daarom is x 2 niet deelbaar door 5. Maar het kwadraat van a een getal dat niet deelbaar is door 5 geeft een rest van 1 of 4. Gelijkheid is dus onmogelijk en er zijn geen oplossingen.

Antwoord: geen wortels.

Voorbeeld 6.

Los de vergelijking op: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Oplossing.

Laten we de volledige vierkanten in elke haak markeren:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. De linkerkant van de vergelijking is altijd groter dan of gelijk aan 3. Gelijkheid is mogelijk op voorwaarde dat |x| – 2 = 0 en y + 3 = 0. Dus x = ± 2, y = -3.

Antwoord: (2; -3) en (-2; -3).

Voorbeeld 7.

Voor elk paar negatieve gehele getallen (x;y) die aan de vergelijking voldoen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, bereken de som (x + y). Geef in uw antwoord het kleinste bedrag aan.

Oplossing.

Laten we volledige vierkanten selecteren:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Omdat x en y gehele getallen zijn, zijn hun kwadraten ook gehele getallen. We krijgen de som van de kwadraten van twee gehele getallen gelijk aan 37 als we 1 + 36 optellen. Daarom:

(x – y) 2 = 36 en (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 en (y + 2) 2 = 36.

Door deze systemen op te lossen en er rekening mee te houden dat x en y negatief zijn, vinden we oplossingen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwoord: -17.

Wanhoop niet als je moeite hebt met het oplossen van vergelijkingen met twee onbekenden. Met een beetje oefening kun je elke vergelijking aan.

Heeft u nog vragen? Weet u niet hoe u vergelijkingen in twee variabelen moet oplossen?
Om hulp te krijgen van een docent, registreer je.
De eerste les is gratis!

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Instructies

Substitutiemethode Druk één variabele uit en vervang deze door een andere vergelijking. U kunt elke variabele naar eigen goeddunken uitdrukken. Druk bijvoorbeeld y uit de tweede vergelijking uit:
x-y=2 => y=x-2 Vervang vervolgens alles in de eerste vergelijking:
2x+(x-2)=10 Verplaats alles zonder “x” naar de rechterkant en bereken:
2x+x=10+2
3x=12 Om x te krijgen, deelt u vervolgens beide zijden van de vergelijking door 3:
x=4. Dus je hebt “x gevonden. Zoek "j. Om dit te doen, vervangt u “x” in de vergelijking waaruit u “y” hebt uitgedrukt:
y=x-2=4-2=2
j=2.

Doe een controle. Om dit te doen, vervangt u de resulterende waarden in de vergelijkingen:
2*4+2=10
4-2=2
De onbekenden zijn correct gevonden!

Een manier om vergelijkingen op te tellen of af te trekken. Verwijder meteen elke variabele. In ons geval is dit gemakkelijker te doen met “y.
Omdat in de vergelijking “y” een “+” teken heeft, en in de tweede “-”, kunt u de optelbewerking uitvoeren, d.w.z. vouw de linkerkant met links en de rechterkant met rechts:
2x+y+(x-y)=10+2Omzetten:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Vervang “x” in een willekeurige vergelijking en vind “y”:
2*4+y=10
8+j=10
j=10-8
y=2 Met de eerste methode kunt u controleren of de wortels correct zijn gevonden.

Als er geen duidelijk gedefinieerde variabelen zijn, is het noodzakelijk om de vergelijkingen enigszins te transformeren.
In de eerste vergelijking hebben we “2x”, en in de tweede hebben we eenvoudigweg “x”. Om x te verkleinen bij het optellen of aftrekken, vermenigvuldigt u de tweede vergelijking met 2:
x-y=2
2x-2y=4Trek vervolgens de tweede af van de eerste vergelijking:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Merk op dat als er een minteken vóór de haak staat, u na het openen de tekens in het tegenovergestelde verandert:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
vind y=2x door een willekeurige vergelijking uit te drukken, d.w.z.
x=4

Video over het onderwerp

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het argument x (of tijd t bij natuurkundige problemen) niet altijd expliciet beschikbaar. Dit is echter vereenvoudigd speciaal geval het specificeren van een differentiaalvergelijking, wat vaak helpt om de zoektocht naar de integraal ervan te vereenvoudigen.

Instructies

Beschouw een natuurkundig probleem dat resulteert in een differentiaalvergelijking waarin het argument t ontbreekt. Dit is een probleem bij oscillaties van een massa m opgehangen aan een draad met lengte r die zich in een verticaal vlak bevindt. De bewegingsvergelijking van de slinger is vereist als deze aanvankelijk bewegingloos was en over een hoek α vanuit de evenwichtstoestand was gekanteld. De krachten moeten worden verwaarloosd (zie figuur 1a).

Oplossing. Een wiskundige slinger is een materieel punt dat hangt aan een gewichtloze en onuitrekbare draad in punt O. Op het punt werken twee krachten in: de zwaartekracht G = mg en de spankracht van de draad N. Beide krachten liggen in het verticale vlak . Om het probleem op te lossen, kunt u daarom de vergelijking van de rotatiebeweging van een punt rond een horizontale as toepassen die door punt O gaat. De vergelijking van de rotatiebeweging van een lichaam heeft de vorm die wordt weergegeven in figuur 1. 1b. In dit geval is I het traagheidsmoment van het materiële punt; j is de rotatiehoek van de draad samen met het punt, gemeten vanaf de verticale as tegen de klok in; M is het moment van de krachten die op een materieel punt worden uitgeoefend.

Bereken deze waarden. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Maar M(N)=0, aangezien de werklijn van de kracht door punt O gaat. M(G)=-mgrsinj. Het teken “-” betekent dat het krachtmoment in de richting tegengesteld aan de beweging is gericht. Vervang het traagheidsmoment en het krachtmoment in de bewegingsvergelijking en verkrijg de vergelijking getoond in Fig. 1s. Door de massa te verkleinen ontstaat er een relatie (zie figuur 1d). Er is hier geen sprake van een t-argument.

We hebben al geleerd hoe we kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen. Laten we nu de bestudeerde methoden uitbreiden naar rationale vergelijkingen.

Wat is er gebeurd rationele expressie? Dit concept zijn we al tegengekomen. Rationele uitdrukkingen zijn uitdrukkingen die zijn samengesteld uit getallen, variabelen, hun bevoegdheden en symbolen van wiskundige bewerkingen.

Dienovereenkomstig zijn rationale vergelijkingen vergelijkingen van de vorm: , waar - rationele uitdrukkingen.

Voorheen hebben we alleen die rationale vergelijkingen overwogen die tot lineaire vergelijkingen kunnen worden herleid. Laten we nu eens kijken naar de rationale vergelijkingen die kunnen worden herleid tot kwadratische vergelijkingen.

Voorbeeld 1

Los de vergelijking op: .

Oplossing:

Een breuk is gelijk aan 0 als en slechts als de teller gelijk is aan 0 en de noemer niet gelijk is aan 0.

We krijgen het volgende systeem:

De eerste vergelijking van het systeem is kwadratische vergelijking. Voordat we het oplossen, delen we alle coëfficiënten door 3. We krijgen:

We krijgen twee wortels: ; .

Omdat 2 nooit gelijk is aan 0, moet aan twee voorwaarden worden voldaan: . Omdat geen van de wortels van de hierboven verkregen vergelijking samenvalt met de ongeldige waarden van de variabele die zijn verkregen bij het oplossen van de tweede ongelijkheid, zijn het beide oplossingen voor deze vergelijking.

Antwoord:.

Laten we dus een algoritme formuleren voor het oplossen van rationale vergelijkingen:

1. Verplaats alle termen naar de linkerkant, zodat de rechterkant op 0 eindigt.

2. Transformeer en vereenvoudig de linkerkant, breng alle breuken naar een gemeenschappelijke noemer.

3. Stel de resulterende breuk gelijk aan 0 met behulp van het volgende algoritme: .

4. Schrijf de wortels op die in de eerste vergelijking zijn verkregen en voldoe in het antwoord aan de tweede ongelijkheid.

Laten we naar een ander voorbeeld kijken.

Voorbeeld 2

Los de vergelijking op: .

Oplossing

Helemaal aan het begin verplaatsen we alle termen naar links zodat 0 aan de rechterkant blijft.

Laten we nu de linkerkant van de vergelijking naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Deze vergelijking is equivalent aan het systeem:

De eerste vergelijking van het systeem is een kwadratische vergelijking.

Coëfficiënten van deze vergelijking: . We berekenen de discriminant:

We krijgen twee wortels: ; .

Laten we nu de tweede ongelijkheid oplossen: het product van factoren is niet gelijk aan 0 als en slechts als geen van de factoren gelijk is aan 0.

Er moet aan twee voorwaarden worden voldaan: . We vinden dat van de twee wortels van de eerste vergelijking er maar één geschikt is: 3.

Antwoord:.

In deze les herinnerden we ons wat een rationele uitdrukking is, en leerden we ook hoe we rationele vergelijkingen konden oplossen, die herleidbaar zijn tot kwadratische vergelijkingen.

In de volgende les zullen we rationale vergelijkingen als modellen bekijken echte situaties en overweeg ook bewegingstaken.

Referenties

1. Bashmakov M.I. Algebra, groep 8. - M.: Onderwijs, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. en anderen. - M.: Onderwijs, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, groep 8. Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs. - M.: Onderwijs, 2006.

1. Festival pedagogische ideeën "Open les" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Huiswerk