Thuis
Vergelijkingssystemen worden in de economische sector veel gebruikt voor het wiskundig modelleren van verschillende processen. Bijvoorbeeld bij het oplossen van problemen op het gebied van productiebeheer en -planning, logistieke routes (transportprobleem) of plaatsing van apparatuur.
Vergelijkingssystemen worden niet alleen in de wiskunde gebruikt, maar ook in de natuurkunde, scheikunde en biologie, bij het oplossen van problemen bij het vinden van de populatiegrootte. Systeem lineaire vergelijkingen
noem twee of meer vergelijkingen met verschillende variabelen waarvoor het nodig is een gemeenschappelijke oplossing te vinden. Zo'n reeks getallen waarvoor alle vergelijkingen echte gelijkheden worden of bewijzen dat de reeks niet bestaat.
Lineaire vergelijking
Vergelijkingen van de vorm ax+by=c worden lineair genoemd. De aanduidingen x, y zijn de onbekenden waarvan de waarde moet worden gevonden, b, a zijn de coëfficiënten van de variabelen, c is de vrije term van de vergelijking.
Als u een vergelijking oplost door deze uit te zetten, ziet het eruit als een rechte lijn, waarvan alle punten oplossingen zijn voor de polynoom.
Soorten systemen van lineaire vergelijkingen
De eenvoudigste voorbeelden worden beschouwd als stelsels van lineaire vergelijkingen met twee variabelen X en Y.
F1(x, y) = 0 en F2(x, y) = 0, waarbij F1,2 functies zijn en (x, y) functievariabelen zijn. - Systeem van vergelijkingen oplossen dit betekent het vinden van waarden (x, y) waarbij het systeem in een echte gelijkheid verandert of het vaststellen daarvan geschikte waarden
x en y bestaan niet.
Een paar waarden (x, y), geschreven als de coördinaten van een punt, wordt een oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen genoemd.
Homogene systemen van lineaire vergelijkingen zijn systemen waarvan de rechterkant gelijk is aan nul. Als het rechterdeel na het gelijkteken een waarde heeft of wordt uitgedrukt door een functie, is zo'n systeem heterogeen.
Het aantal variabelen kan veel meer dan twee zijn, dan zouden we het moeten hebben over een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen met drie of meer variabelen.
Wanneer schoolkinderen met systemen worden geconfronteerd, gaan ze ervan uit dat het aantal vergelijkingen noodzakelijkerwijs moet samenvallen met het aantal onbekenden, maar dit is niet het geval. Het aantal vergelijkingen in het systeem is niet afhankelijk van de variabelen; er kunnen er zoveel zijn als gewenst.
Eenvoudige en complexe methoden voor het oplossen van stelsels vergelijkingen
Er is geen gemeenschappelijkheid analytische methode oplossingen van vergelijkbare systemen, alle methoden zijn gebaseerd op numerieke oplossingen. De wiskundecursus op school beschrijft in detail methoden als permutatie, algebraïsche optelling, substitutie, evenals grafische en matrixmethoden, oplossing volgens de Gauss-methode.
De belangrijkste taak bij het aanleren van oplossingsmethoden is om te leren hoe je het systeem correct kunt analyseren en voor elk voorbeeld het optimale oplossingsalgoritme kunt vinden. Het belangrijkste is niet om voor elke methode een systeem van regels en acties uit het hoofd te leren, maar om de principes van het gebruik van een bepaalde methode te begrijpen
Het oplossen van voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen in het algemene leerplan van groep 7 is vrij eenvoudig en wordt tot in detail uitgelegd. In elk wiskundehandboek krijgt dit gedeelte voldoende aandacht. Het oplossen van voorbeelden van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van de Gauss- en Cramer-methode wordt in de eerste jaren van het hoger onderwijs nader bestudeerd.
Systemen oplossen met behulp van de substitutiemethode
De acties van de substitutiemethode zijn erop gericht de waarde van de ene variabele uit te drukken in termen van de tweede. De uitdrukking wordt vervangen door de resterende vergelijking en vervolgens gereduceerd tot een vorm met één variabele. De actie wordt herhaald afhankelijk van het aantal onbekenden in het systeem
Laten we een oplossing geven voor een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen van klasse 7 met behulp van de substitutiemethode:
Zoals uit het voorbeeld blijkt, werd de variabele x uitgedrukt via F(X) = 7 + Y. De resulterende uitdrukking, gesubstitueerd in de tweede vergelijking van het systeem in plaats van X, hielp om één variabele Y in de tweede vergelijking te verkrijgen . Het oplossen van dit voorbeeld is eenvoudig en stelt u in staat de Y-waarde te verkrijgen. Laatste stap Dit is een controle van de ontvangen waarden.
Het is niet altijd mogelijk om een voorbeeld van een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen door middel van substitutie. De vergelijkingen kunnen complex zijn en het uitdrukken van de variabele in termen van de tweede onbekende zal te omslachtig zijn voor verdere berekeningen. Als er meer dan drie onbekenden in het systeem voorkomen, is het oplossen door substitutie ook onpraktisch.
Oplossing van een voorbeeld van een systeem van lineaire inhomogene vergelijkingen:
Oplossing met behulp van algebraïsche optelling
Bij het zoeken naar oplossingen voor systemen die de optelmethode gebruiken, voeren ze term-voor-term optelling en vermenigvuldiging van vergelijkingen uit verschillende nummers. Het uiteindelijke doel van wiskundige bewerkingen is een vergelijking in één variabele.
Voor toepassingen deze methode oefening en observatie zijn vereist. Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van de optellingsmethode als er drie of meer variabelen zijn, is niet eenvoudig. Algebraïsche optelling is handig als vergelijkingen breuken en decimalen bevatten.
Oplossingsalgoritme:
- Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met een bepaald getal. Als resultaat van de rekenkundige bewerking moet een van de coëfficiënten van de variabele gelijk worden aan 1.
- Voeg de resulterende uitdrukking term voor term toe en vind een van de onbekenden.
- Vervang de resulterende waarde in de tweede vergelijking van het systeem om de resterende variabele te vinden.
Oplossingsmethode door een nieuwe variabele te introduceren
Er kan een nieuwe variabele worden geïntroduceerd als het systeem een oplossing vereist voor niet meer dan twee vergelijkingen;
De methode wordt gebruikt om een van de vergelijkingen te vereenvoudigen door een nieuwe variabele te introduceren. De nieuwe vergelijking wordt opgelost voor het geïntroduceerde onbekende, en de resulterende waarde wordt gebruikt om de oorspronkelijke variabele te bepalen.
Het voorbeeld laat zien dat door het introduceren van een nieuwe variabele t het mogelijk was om de eerste vergelijking van het systeem terug te brengen tot de standaardvergelijking kwadratische trinominaal. Je kunt een polynoom oplossen door de discriminant te vinden.
Het is noodzakelijk om de waarde van de discriminant te vinden met behulp van de bekende formule: D = b2 - 4*a*c, waarbij D de gewenste discriminant is, b, a, c zijn de factoren van de polynoom. In het gegeven voorbeeld is a=1, b=16, c=39, dus D=100. Als de discriminant groter is dan nul, dan zijn er twee oplossingen: t = -b±√D / 2*a, als de discriminant kleiner is dan nul, dan is er één oplossing: x = -b / 2*a.
De oplossing voor de resulterende systemen wordt gevonden door de toevoegingsmethode.
Visuele methode voor het oplossen van systemen
Geschikt voor 3 vergelijkingssystemen. De methode bestaat uit het construeren van grafieken van elke vergelijking in het systeem op de coördinatenas. De coördinaten van de snijpunten van de curven zullen de algemene oplossing van het systeem zijn.
De grafische methode kent een aantal nuances. Laten we verschillende voorbeelden bekijken van het op een visuele manier oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen.
Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden voor elke lijn twee punten geconstrueerd, de waarden van de variabele x werden willekeurig gekozen: 0 en 3. Op basis van de waarden van x werden de waarden voor y gevonden: 3 en 0. Punten met coördinaten (0, 3) en (3, 0) zijn gemarkeerd in de grafiek en verbonden door een lijn.
De stappen moeten worden herhaald voor de tweede vergelijking. Het snijpunt van de lijnen is de oplossing van het systeem.
Voor het volgende voorbeeld is zoeken vereist grafische oplossing stelsels van lineaire vergelijkingen: 0,5x-y+2=0 en 0,5x-y-1=0.
Zoals uit het voorbeeld blijkt, heeft het systeem geen oplossing, omdat de grafieken evenwijdig zijn en elkaar niet over de gehele lengte snijden.
De systemen uit de voorbeelden 2 en 3 zijn vergelijkbaar, maar wanneer ze worden geconstrueerd, wordt het duidelijk dat hun oplossingen verschillend zijn. We moeten niet vergeten dat het niet altijd mogelijk is om te zeggen of een systeem een oplossing heeft of niet; het is altijd nodig om een grafiek te construeren.
De matrix en zijn variëteiten
Matrices worden gebruikt om een systeem van lineaire vergelijkingen beknopt te schrijven. Een matrix is een tabel speciaal type gevuld met cijfers. n*m heeft n - rijen en m - kolommen.
Een matrix is vierkant als het aantal kolommen en rijen gelijk is. Een matrixvector is een matrix van één kolom met een oneindig aantal rijen. Een matrix met enen langs een van de diagonalen en andere nulelementen wordt identiteit genoemd.
Een inverse matrix is een matrix waarmee de oorspronkelijke matrix verandert in een eenheidsmatrix; een dergelijke matrix bestaat alleen voor de oorspronkelijke vierkante matrix.
Regels voor het omzetten van een stelsel vergelijkingen in een matrix
Met betrekking tot stelsels van vergelijkingen worden de coëfficiënten en vrije termen van de vergelijkingen geschreven als matrixgetallen; één vergelijking is één rij van de matrix.
Er wordt gezegd dat een matrixrij niet nul is als ten minste één element van de rij niet nul is. Als het aantal variabelen in een van de vergelijkingen verschilt, is het daarom noodzakelijk om nul in te voeren in plaats van de ontbrekende onbekende.
De matrixkolommen moeten strikt overeenkomen met de variabelen. Dit betekent dat de coëfficiënten van de variabele x slechts in één kolom kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld de eerste, de coëfficiënt van de onbekende y - alleen in de tweede.
Bij het vermenigvuldigen van een matrix worden alle elementen van de matrix opeenvolgend vermenigvuldigd met een getal.
Opties voor het vinden van de inverse matrix
De formule voor het vinden van de inverse matrix is vrij eenvoudig: K -1 = 1 / |K|, waarbij K -1 de inverse matrix is, en |K| is de determinant van de matrix. |K| mag niet gelijk zijn aan nul, dan heeft het systeem een oplossing.
De determinant kan eenvoudig worden berekend voor een twee-bij-twee-matrix; u hoeft alleen maar de diagonale elementen met elkaar te vermenigvuldigen. Voor de optie “drie bij drie” is er een formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + een 3 b 2 c 1 . U kunt de formule gebruiken, of u kunt onthouden dat u uit elke rij en elke kolom één element moet nemen, zodat het aantal kolommen en rijen met elementen niet in het werk wordt herhaald.
Voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de matrixmethode
Met de matrixmethode voor het vinden van een oplossing kunt u omslachtige invoer verminderen bij het oplossen van systemen met een groot aantal variabelen en vergelijkingen.
In het voorbeeld zijn nm de coëfficiënten van de vergelijkingen, de matrix is een vector, x n zijn variabelen en bn zijn vrije termen.
Systemen oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode
IN hogere wiskunde De Gauss-methode wordt samen met de Cramer-methode bestudeerd, en het proces van het vinden van oplossingen voor systemen wordt de Gauss-Cramer-oplossingsmethode genoemd. Deze methoden worden gebruikt om te vinden variabele systemen met een groot aantal lineaire vergelijkingen.
De methode van Gauss lijkt sterk op oplossingen die gebruik maken van substituties en algebraïsche optelling, maar systematischer. In de schoolcursus wordt de oplossing volgens de Gaussische methode gebruikt voor stelsels van 3- en 4-vergelijkingen. Het doel van de methode is om het systeem terug te brengen tot de vorm van een omgekeerde trapezium. Door middel van algebraïsche transformaties en substituties wordt de waarde van één variabele gevonden in een van de vergelijkingen van het systeem. De tweede vergelijking is een uitdrukking met 2 onbekenden, terwijl 3 en 4 respectievelijk 3 en 4 variabelen zijn.
Nadat het systeem in de beschreven vorm is gebracht, wordt de verdere oplossing gereduceerd tot de opeenvolgende vervanging van bekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem.
In schoolboeken voor groep 7 wordt een voorbeeld van een oplossing volgens de Gauss-methode als volgt beschreven:
Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden bij stap (3) twee vergelijkingen verkregen: 3x 3 -2x 4 =11 en 3x 3 +2x 4 =7. Door een van de vergelijkingen op te lossen, kun je een van de variabelen x n ontdekken.
Stelling 5, die in de tekst wordt genoemd, stelt dat als een van de vergelijkingen van het systeem wordt vervangen door een equivalent, het resulterende systeem ook equivalent zal zijn aan het oorspronkelijke.
De Gauss-methode is voor studenten moeilijk te begrijpen middelbare school, maar is een van de meest interessante manieren om de vindingrijkheid te ontwikkelen van kinderen die zijn ingeschreven voor geavanceerde studieprogramma's in wiskunde- en natuurkundelessen.
Om de registratie te vergemakkelijken, worden de berekeningen meestal als volgt uitgevoerd:
De coëfficiënten van de vergelijkingen en vrije termen worden geschreven in de vorm van een matrix, waarbij elke rij van de matrix overeenkomt met een van de vergelijkingen van het systeem. scheidt de linkerkant van de vergelijking van de rechterkant. Romeinse cijfers geven het aantal vergelijkingen in het systeem aan.
Schrijf eerst de matrix op waarmee u wilt werken en vervolgens alle acties die met een van de rijen worden uitgevoerd. De resulterende matrix wordt na het "pijl" -teken geschreven en de noodzakelijke algebraïsche bewerkingen worden voortgezet totdat het resultaat is bereikt.
Het resultaat zou een matrix moeten zijn waarin een van de diagonalen gelijk is aan 1 en alle andere coëfficiënten gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen dat de matrix wordt gereduceerd tot een eenheidsvorm. We mogen niet vergeten berekeningen uit te voeren met getallen aan beide kanten van de vergelijking.
Deze opnamemethode is minder omslachtig en zorgt ervoor dat u niet wordt afgeleid door het opsommen van talloze onbekende zaken.
Het gratis gebruik van elke oplossingsmethode vereist zorg en enige ervaring. Niet alle methoden zijn van toegepaste aard. Sommige methoden om oplossingen te vinden verdienen meer de voorkeur op een bepaald gebied van menselijke activiteit, terwijl andere voor educatieve doeleinden bestaan.
Een systeem van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden zijn twee of meer lineaire vergelijkingen waarvoor het nodig is ze allemaal te vinden algemene oplossingen. We zullen systemen van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden beschouwen. Algemeen beeld een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden wordt weergegeven in de onderstaande figuur:
(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Hier zijn x en y onbekende variabelen, a1, a2, b1, b2, c1, c2 zijn enkele reële getallen. Een oplossing voor een systeem van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden is een paar getallen (x,y), zodat als we deze getallen in de vergelijkingen van het systeem vervangen, elk van de vergelijkingen van het systeem in een echte gelijkheid verandert. Er zijn verschillende manieren om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen. Laten we eens kijken naar een van de manieren om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen, namelijk de optelmethode.
Algoritme voor het oplossen door optelmethode
Een algoritme voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met twee onbekenden met behulp van de optelmethode.
1. Maak, indien nodig, door middel van equivalente transformaties de coëfficiënten van een van de onbekende variabelen in beide vergelijkingen gelijk.
2. Verkrijg een lineaire vergelijking met één onbekende door de resulterende vergelijkingen op te tellen of af te trekken
3. Los de resulterende vergelijking op met één onbekende en zoek een van de variabelen.
4. Vervang de resulterende uitdrukking door een van de twee vergelijkingen van het systeem en los deze vergelijking op, waardoor je de tweede variabele verkrijgt.
5. Controleer de oplossing.
Een voorbeeld van een oplossing met behulp van de optelmethode
Laten we voor meer duidelijkheid het volgende systeem van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen met behulp van de optelmethode:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Omdat geen van de variabelen identieke coëfficiënten heeft, maken we de coëfficiënten van de variabele y gelijk. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de eerste vergelijking met drie en de tweede vergelijking met twee.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Wij krijgen het volgende stelsel vergelijkingen:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Nu trekken we de eerste af van de tweede vergelijking. We presenteren vergelijkbare termen en lossen de resulterende lineaire vergelijking op.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
We vervangen de resulterende waarde in de eerste vergelijking van onze origineel systeem en los de resulterende vergelijking op.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
Het resultaat is een paar getallen x=6 en y=14. Wij zijn aan het controleren. Laten we een vervanging maken.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Zoals je kunt zien, hebben we twee correcte gelijkheden gevonden, en daarom hebben we de juiste oplossing gevonden.
Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt bij veel berekeningen, constructies en zelfs sporten. De mens gebruikte vergelijkingen in de oudheid, en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Alleen door zelf stelsels van vergelijkingen van verschillende complexiteit op te lossen, leer je snel methoden te bepalen voor het oplossen van welk systeem dan ook. Soms kan het behoorlijk lastig zijn om het systeem op te lossen kwadratische vergelijkingen.
De meest gebruikte methode om deze vergelijkingen op te lossen is echter de substitutie/optelling-methode.
Stel dat we het volgende stelsel vergelijkingen krijgen:
\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]
Laten we de vergelijkingen van het systeem toevoegen:
\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]
Laten we het resulterende systeem oplossen:
\[\left\(\begin(matrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]
\[(x - y) = -1 \] of \[(x - y) = 1\] - we verkrijgen uit 2 vergelijkingen
Laten we 1 of -1 vervangen door 1:
\ of \
Omdat we nu de waarde van één onbekende kennen, kunnen we de tweede vinden:
Laten we 1 of -1 vervangen door 1:
\[-3 - y= -1\] of \
Antwoord: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Als je een systeem van 2 graden en 1 lineair moet oplossen, dan kun je 1 van de variabelen uit het lineaire systeem uitdrukken en deze vergelijking vervangen door het kwadratische systeem.
U kunt het stelsel vergelijkingen online oplossen op onze website https://site. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. U kunt ook video-instructies bekijken en leren hoe u de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Sluit u aan bij onze groep, wij helpen u graag verder.
Algebraïsche optelmethode
Je kunt een stelsel vergelijkingen met twee onbekenden oplossen op verschillende manieren- grafische methode of variabele vervangingsmethode.
In deze les zullen we kennis maken met een andere methode om systemen op te lossen die je waarschijnlijk leuk zult vinden: dit is de methode van algebraïsche optelling.
Waar kwam het idee vandaan om iets in systemen te stoppen? Bij het oplossen van systemen voornaamste probleem is de aanwezigheid van twee variabelen, omdat we niet weten hoe we vergelijkingen met twee variabelen moeten oplossen. Dit betekent dat een van hen op een juridische manier moet worden uitgesloten. En zulke legale manieren zijn dat ook wiskundige regels en eigenschappen.
Eén van deze eigenschappen is: de som van tegengestelde getallen is nul. Dit betekent dat als een van de variabelen tegengestelde coëfficiënten heeft, hun som gelijk zal zijn aan nul en we deze variabele uit de vergelijking kunnen uitsluiten. Het is duidelijk dat we niet het recht hebben om alleen termen toe te voegen met de variabele die we nodig hebben. Je moet de volledige vergelijkingen toevoegen, d.w.z. Voeg afzonderlijk vergelijkbare termen toe aan de linkerkant en vervolgens aan de rechterkant. Als resultaat krijgen we een nieuwe vergelijking die slechts één variabele bevat. Laten we eens kijken naar wat er is gezegd met specifieke voorbeelden.
We zien dat er in de eerste vergelijking een variabele y is, en in de tweede het tegenovergestelde getal -y. Dit betekent dat deze vergelijking kan worden opgelost door optelling.
Eén van de vergelijkingen blijft zoals hij is. Iedereen die je het leukst vindt.
Maar de tweede vergelijking wordt verkregen door deze twee vergelijkingen term voor term op te tellen. Die. We tellen 3x op met 2x, we tellen y op met -y, we tellen 8 op met 7.
We verkrijgen een stelsel van vergelijkingen
De tweede vergelijking van dit systeem is een eenvoudige vergelijking met één variabele. Hieruit vinden we x = 3. Als we de gevonden waarde in de eerste vergelijking vervangen, vinden we y = -1.
Antwoord: (3; - 1).
Voorbeeldontwerp:
Los een stelsel vergelijkingen op met behulp van de algebraïsche optelmethode
Er zijn geen variabelen met tegengestelde coëfficiënten in dit systeem. Maar we weten dat beide kanten van de vergelijking met hetzelfde getal kunnen worden vermenigvuldigd. Laten we de eerste vergelijking van het systeem met 2 vermenigvuldigen.
Dan zal de eerste vergelijking de vorm aannemen:
Nu zien we dat de variabele x tegengestelde coëfficiënten heeft. Dit betekent dat we hetzelfde gaan doen als in het eerste voorbeeld: we laten een van de vergelijkingen ongewijzigd. Bijvoorbeeld 2y + 2x = 10. En we krijgen de tweede door optelling.
Nu hebben we een stelsel vergelijkingen:
We vinden gemakkelijk uit de tweede vergelijking y = 1, en vervolgens uit de eerste vergelijking x = 4.
Voorbeeldontwerp:
Laten we het samenvatten:
We hebben geleerd hoe we stelsels van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden kunnen oplossen met behulp van de algebraïsche optellingsmethode. We kennen nu dus drie hoofdmethoden voor het oplossen van dergelijke systemen: grafische, variabele vervangingsmethode en optelmethode. Bijna elk systeem kan met deze methoden worden opgelost. Meer moeilijke gevallen Er wordt gebruik gemaakt van een combinatie van deze technieken.
Lijst met gebruikte literatuur:
- Mordkovich A.G., Algebra 7e leerjaar in 2 delen, deel 1, leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs / A.G. Mordkovich. – 10e druk, herzien – Moskou, “Mnemosyne”, 2007.
- Mordkovich A.G., Algebra 7e leerjaar in 2 delen, deel 2, Probleemboek voor onderwijsinstellingen / [A.G. Mordkovich en anderen]; onder redactie van A.G. Mordkovich - 10e druk, herzien - Moskou, “Mnemosyne”, 2007.
- HAAR. Tulchinskaya, Algebra 7e leerjaar. Blitz-enquête: een handleiding voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs, 4e editie, herzien en uitgebreid, Moskou, Mnemosyne, 2008.
- Alexandrova L.A., Algebra 7e leerjaar. Thematisch proefwerk in nieuwe vorm voor studenten van algemene onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich, Moskou, “Mnemosyne”, 2011.
- Alexandrova L.A. Algebra 7e leerjaar. Zelfstandig werk voor studenten van algemene onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich - 6e editie, stereotiep, Moskou, “Mnemosyne”, 2010.
Laten we twee soorten oplossingen voor stelsels vergelijkingen analyseren:
1. Het systeem oplossen met behulp van de substitutiemethode.
2. Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).
Om het stelsel vergelijkingen op te lossen via substitutiemethode je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Express. Uit elke vergelijking drukken we één variabele uit.
2. Vervanger. We vervangen de resulterende waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele. Wij vinden een oplossing voor het systeem.
Om te beslissen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) methode moet:
1. Selecteer een variabele waarvoor we identieke coëfficiënten gaan maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, wat resulteert in een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. Wij vinden een oplossing voor het systeem.
De oplossing voor het systeem zijn de snijpunten van de functiegrafieken.
Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.
Voorbeeld #1:
Laten we het oplossen via de substitutiemethode
Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de substitutiemethode2x+5y=1 (1 vergelijking)
x-10y=3 (2e vergelijking)
1. Express
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, wat betekent dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x=3+10j
2. Nadat we het hebben uitgedrukt, vervangen we 3+10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2(3+10j)+5j=1
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele.
2(3+10y)+5y=1 (open de haakjes)
6+20j+5j=1
25j=1-6
25j=-5 |: (25)
j=-5:25
y=-0,2
De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Laten we x vinden, in het eerste punt waar we het uitdrukten, vervangen we daar y .
x=3+10j
x=3+10*(-0,2)=1
Het is gebruikelijk om punten te schrijven, in de eerste plaats schrijven we de variabele x, en in de tweede plaats de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)
Voorbeeld #2:
Laten we het oplossen met behulp van de term-voor-term optelling (aftrekking) methode.
Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de optelmethode3x-2y=1 (1 vergelijking)
2x-3y=-10 (2e vergelijking)
1. We kiezen een variabele, laten we zeggen dat we x kiezen. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede - 2. We moeten de coëfficiënten hetzelfde maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3 en krijgen een totale coëfficiënt van 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trek de tweede af van de eerste vergelijking om de variabele x weg te werken. Los de lineaire vergelijking op.
__6x-4y=2
5j=32 | :5
j=6,4
3. Zoek x. We vervangen de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Het snijpunt zal x=4,6 zijn; j=6,4
Antwoord: (4,6; 6,4)
Wil jij je gratis voorbereiden op examens? Bijlesdocent online gratis. Geen grap.
Laden...
