Voorbeelden van factoringpolynomen. Vierkant trinominaal

Het is een vierkant en bestaat uit drie termen (). Het blijkt dus een vierkante trinominale te zijn.

Voorbeelden Niet vierkante trinomialen:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - kubieke quadrinomiaal
\(2x+1\) - lineair binomiaal

Vierkantswortel van de trinominaal:

Voorbeeld:
De trinominaal \(x^2-2x+1\) heeft een wortel \(1\), omdat \(1^2-2 1+1=0\)
De trinomiale \(x^2+2x-3\) heeft wortels \(1\) en \(-3\), omdat \(1^2+2-3=0\) en \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Bijvoorbeeld: als je wortels moet vinden kwadratische trinominaal\(x^2-2x+1\), stel dit gelijk aan nul en los de vergelijking \(x^2-2x+1=0\) op.

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Klaar. De wortel is \(1\).

Ontleding van een kwadratische trinominaal in:

De vierkante trinominaal \(ax^2+bx+c\) kan worden uitgebreid als \(a(x-x_1)(x-x_2)\) als de vergelijkingen \(ax^2+bx+c=0\) zijn groter dan nul \ (x_1\) en \(x_2\) zijn wortels van dezelfde vergelijking).

Bijvoorbeeld, beschouw de trinominaal \(3x^2+13x-10\).
De kwadratische vergelijking \(3x^2+13x-10=0\) heeft een discriminant gelijk aan 289 (groter dan nul) en wortels gelijk aan \(-5\) en \(\frac(2)(3)\) . Daarom \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Het is gemakkelijk om de juistheid van deze verklaring te verifiëren - als we dat doen, krijgen we de originele trinominaal.

De vierkante trinominaal \(ax^2+bx+c\) kan worden weergegeven als \(a(x-x_1)^2\) als de discriminant van de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) gelijk is aan nul.

Bijvoorbeeld, beschouw de trinominaal \(x^2+6x+9\).
De kwadratische vergelijking \(x^2+6x+9=0\) heeft een discriminant gelijk aan \(0\) en een unieke wortel gelijk aan \(-3\). Dit betekent \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (hier is de coëfficiënt \(a=1\), dus deze wordt niet vóór de haak geschreven - dat is niet nodig). Houd er rekening mee dat dezelfde conversie kan worden uitgevoerd door .

De vierkante trinominaal \(ax^2+bx+c\) wordt niet ontbonden als de discriminant van de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) kleiner is dan nul.

Bijvoorbeeld, hebben de trinomialen \(x^2+x+4\) en \(-5x^2+2x-1\) een discriminant kleiner dan nul. Daarom is het onmogelijk om ze in factoren te verwerken.

Voorbeeld . Factor \(2x^2-11x+12\).
Oplossing :
Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking \(2x^2-11x+12=0\) vinden

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Dus \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Antwoord : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Het resulterende antwoord kan anders worden geschreven: \((2x-3)(x-4)\).

Voorbeeld . (Opdracht van de OGE) De vierkante trinominaal wordt ontbonden met \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Zoek \(a\).
Oplossing:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Antwoord : \(-1,6\)

Het is noodzakelijk om polynomen in factoren te verwerken bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen (zodat reductie kan worden uitgevoerd), bij het oplossen van vergelijkingen of bij het ontbinden van een fractioneel rationale functie in eenvoudige breuken.

Het is zinvol om te praten over het ontbinden van een polynoom als de graad ervan niet lager is dan twee.

Er wordt een polynoom van de eerste graad genoemd lineair.

Laten we eerst de theoretische grondslagen bekijken en dan direct overgaan tot de methoden voor het factoriseren van een polynoom.

Paginanavigatie.

Noodzakelijke theorie.

Stelling.

Elke polynoom van graad N type wordt weergegeven door het product van een constante factor met de hoogste macht en N lineaire vermenigvuldigers, ik=1, 2, …, n, dat wil zeggen, en, ik=1, 2, …, n zijn de wortels van de polynoom.

Deze stelling is geformuleerd voor complexe wortels, ik=1, 2, …, n en complexe coëfficiënten, k=0, 1, 2, …, n. Het is de basis voor het ontbinden van elke polynoom.

Als de coëfficiënten k=0, 1, 2, …, n reële getallen zijn, MOETEN de complexe wortels van de polynoom voorkomen in complexe geconjugeerde paren.

Als de wortels van de polynoom bijvoorbeeld complex geconjugeerd zijn en de resterende wortels reëel zijn, dan wordt de polynoom weergegeven in de vorm, waarbij

Opmerking.

Onder de wortels van een polynoom kunnen zich herhalende wortels bevinden.

Het bewijs van de stelling wordt uitgevoerd met behulp van fundamentele stelling van de algebra En uitvloeisels van de stelling van Bezout.

Fundamentele stelling van de algebra.

Elke polynoom van graad N heeft minstens één wortel (complex of reëel).

De stelling van Bezout.

Bij het delen van een polynoom door (x-s) de rest wordt verkregen gelijk aan waarde polynoom in een punt S, dat wil zeggen, waar er een polynoom van graad is n-1.

Uitvloeisel van de stelling van Bezout.

Als S is dan de wortel van de polynoom.

We zullen dit uitvloeisel vrij vaak gebruiken bij het beschrijven van oplossingen voor voorbeelden.

Een kwadratische trinominaal in factoren ontbinden.

De vierkante trinominaal wordt opgesplitst in twee lineaire factoren: , waar en zijn wortels (complex of reëel).

Het ontbinden van een kwadratische trinominale factor wordt dus gereduceerd tot het oplossen van een kwadratische vergelijking.

Voorbeeld.

Ontbind een kwadratische trinominale factor.

Oplossing.

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden .

De discriminant van de vergelijking is gelijk, daarom

Dus, .

Ter controle kunt u de haakjes uitvouwen: . Bij controle kwamen we uit bij de originele trinominaal, dus de ontleding klopte.

Voorbeeld.

Oplossing.

Relevant kwadratische vergelijking lijkt op .

Laten we de wortels ervan vinden.

Dat is waarom, .

Voorbeeld.

Ontbind de polynoom in factoren.

Oplossing.

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden.

We verkregen een paar complexe geconjugeerde wortels.

De uitbreiding van de polynoom zal de vorm hebben .

Voorbeeld.

Ontbind de kwadratische trinominaal in factoren.

Oplossing.

Laten we een kwadratische vergelijking oplossen .

Dat is waarom,

Opmerking:

In wat volgt zullen we, met een negatieve discriminant, polynomen van de tweede orde in hun oorspronkelijke vorm laten, dat wil zeggen dat we ze niet zullen ontleden in lineaire factoren met complexe vrije termen.

Methoden voor het factoriseren van een polynoom met een graad hoger dan twee.

Over het algemeen houdt deze taak in creativiteit, omdat er geen universele methode bestaat om dit op te lossen. Maar laten we proberen een paar tips te geven.

In de overgrote meerderheid van de gevallen is de factorisatie van een polynoom gebaseerd op een uitvloeisel van de stelling van Bezout, dat wil zeggen dat de wortel wordt gevonden of geselecteerd en de graad van de polynoom met één wordt verminderd door te delen door . De wortel van de resulterende polynoom wordt gezocht en het proces wordt herhaald totdat volledige expansie is bereikt.

Als de wortel niet kan worden gevonden, worden specifieke uitbreidingsmethoden gebruikt: van groeperen tot het introduceren van aanvullende, elkaar uitsluitende termen.

De verdere presentatie is gebaseerd op vaardigheden met gehele coëfficiënten.

De gemeenschappelijke factor buiten beschouwing laten.

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval, wanneer de vrije term gelijk is aan nul, dat wil zeggen dat de polynoom de vorm heeft.

Het is duidelijk dat de wortel van zo'n polynoom is, dat wil zeggen dat we de polynoom kunnen weergeven in de vorm .

Deze methode is niets anders dan door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten.

Voorbeeld.

Factoreer een polynoom van de derde graad.

Oplossing.

Het is duidelijk wat de wortel van de polynoom is X kan uit de haakjes gehaald worden:

Laten we de wortels van de kwadratische trinominaal vinden

Dus,

Een polynoom met rationele wortels ontbinden in factoren.

Laten we eerst een methode bekijken voor het uitbreiden van een polynoom met gehele coëfficiënten van de vorm , de coëfficiënt van de hoogste graad is gelijk aan één.

Als een polynoom in dit geval gehele wortels heeft, zijn dit delers van de vrije term.

Voorbeeld.

Oplossing.

Laten we controleren of er intacte wortels zijn. Om dit te doen, noteert u de delers van het getal -18 : . Dat wil zeggen, als een polynoom gehele wortels heeft, dan behoren deze tot de geschreven getallen. Laten we deze getallen opeenvolgend controleren met behulp van het schema van Horner. Het gemak ervan ligt ook in het feit dat we uiteindelijk de uitzettingscoëfficiënten van de polynoom verkrijgen:

Dat wil zeggen, x=2 En x=-3 zijn de wortels van de oorspronkelijke polynoom en we kunnen deze als een product weergeven:

Het blijft nodig om de kwadratische trinominaal uit te breiden.

De discriminant van deze trinominaal is negatief en heeft daarom geen echte wortels.

Antwoord:

Opmerking:

in plaats van het schema van Horner zou men de selectie van de wortel en de daaropvolgende deling van de polynoom door een polynoom kunnen gebruiken.

Beschouw nu de uitbreiding van een polynoom met gehele coëfficiënten van de vorm , en de coëfficiënt van de hoogste graad is niet gelijk aan één.

In dit geval kan de polynoom fractioneel rationele wortels hebben.

Voorbeeld.

Factoreer de uitdrukking.

Oplossing.

Door een variabele wijziging uit te voeren j=2x Laten we verder gaan met een polynoom met een coëfficiënt gelijk aan één in de hoogste graad. Om dit te doen, vermenigvuldigt u eerst de uitdrukking met 4 .

Als de resulterende functie gehele wortels heeft, behoren ze tot de delers van de vrije term. Laten we ze opschrijven:

Laten we opeenvolgend de waarden van de functie berekenen g(y) op deze punten totdat nul is bereikt.

Dat wil zeggen, j=-5 is de wortel is daarom de wortel van de oorspronkelijke functie. Laten we de polynoom door een kolom (hoek) verdelen in een binomiaal.

Dus,

Het is niet raadzaam om door te gaan met het controleren van de resterende delers, omdat het gemakkelijker is om de resulterende kwadratische trinominale factor te ontbinden

Vandaar,

Kunstmatige technieken voor het factoriseren van een polynoom.

Veeltermen hebben niet altijd rationele wortels. In dit geval moet u bij factoring op zoek gaan naar speciale methoden. Maar hoe graag we ook zouden willen, sommige polynomen (of beter gezegd de overgrote meerderheid) kunnen niet als een product worden weergegeven.

Groeperingsmethode.

Soms blijkt het de termen van een polynoom te groeperen, waardoor je een gemeenschappelijke factor kunt vinden en deze tussen haakjes kunt zetten.

Voorbeeld.

Vouw polynoom uit door vermenigvuldigers.

Oplossing.

Omdat de coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen er gehele wortels voorkomen onder de delers van de vrije term. Laten we de waarden controleren 1 , -1 , 2 En -2 , waarbij de waarde van de polynoom op deze punten wordt berekend.

Dat wil zeggen, er zijn geen hele wortels. Laten we op zoek gaan naar een andere manier van ontbinding.

Laten we groeperen:

Na groepering werd de oorspronkelijke polynoom weergegeven als het product van twee vierkante trinomialen. Laten we ze in overweging nemen.

Om te ontbinden in factoren is het noodzakelijk om de uitdrukkingen te vereenvoudigen. Dit is nodig om het verder terug te dringen. De uitbreiding van een polynoom is zinvol als de graad ervan niet lager is dan twee. Een polynoom met de eerste graad wordt lineair genoemd.

Het artikel behandelt alle concepten van ontbinding, theoretische grondslagen en methoden voor het ontbinden van een polynoom.

Theorie

Stelling 1

Wanneer een polynoom met graad n, met de vorm P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, worden weergegeven als een product met een constante factor met de hoogste graad a n en n lineaire factoren (x - x i), i = 1, 2, ..., n, dan P n (x) = een n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , waarbij x i, i = 1, 2, …, n de wortels van de polynoom zijn.

De stelling is bedoeld voor wortels van complex type x i, i = 1, 2, …, n en voor complexe coëfficiënten a k, k = 0, 1, 2, …, n. Dit is de basis van elke ontbinding.

Wanneer coëfficiënten van de vorm a k, k = 0, 1, 2, ..., n zijn echte cijfers, dan complexe wortels die in geconjugeerde paren zullen voorkomen. Wortels x 1 en x 2 hebben bijvoorbeeld betrekking op een polynoom van de vorm P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 worden als complex geconjugeerd beschouwd, dan zijn de andere wortels reëel, waaruit we afleiden dat de polynoom de vorm aanneemt P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, waarbij x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Opmerking

De wortels van een polynoom kunnen worden herhaald. Laten we eens kijken naar het bewijs van de algebra-stelling, een gevolg van de stelling van Bezout.

Fundamentele stelling van de algebra

Stelling 2

Elk polynoom met graad n heeft minstens één wortel.

De stelling van Bezout

Na het delen van een polynoom van de vorm P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 op (x - s), dan krijgen we de rest, die gelijk is aan de polynoom op punt s, dan krijgen we

P n X = een n X n + een n - 1 X n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , waarbij Q n - 1 (x) een polynoom is met graad n - 1.

Uitvloeisel van de stelling van Bezout

Wanneer de wortel van de polynoom P n (x) wordt beschouwd als s, dan is P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + een 1 x + een 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Dit uitvloeisel is voldoende als het wordt gebruikt om de oplossing te beschrijven.

Een kwadratische trinominaal in factoren ontbinden

Een vierkante trinominaal van de vorm a x 2 + b x + c kan worden ontbonden in lineaire factoren. dan krijgen we dat a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , waarbij x 1 en x 2 wortels zijn (complex of reëel).

Dit laat zien dat de uitbreiding zelf reduceert tot het vervolgens oplossen van de kwadratische vergelijking.

Voorbeeld 1

Ontbind de kwadratische trinominaal in factoren.

Oplossing

Het is noodzakelijk om de wortels van de vergelijking 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 te vinden. Om dit te doen, moet je de waarde van de discriminant vinden met behulp van de formule, dan krijgen we D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Vanaf hier hebben we dat

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Hieruit krijgen we dat 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Om de controle uit te voeren, moet u de haakjes openen. Dan krijgen we een uitdrukking van de vorm:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Na controle komen we tot de oorspronkelijke uitdrukking. Dat wil zeggen, we kunnen concluderen dat de ontleding correct is uitgevoerd.

Voorbeeld 2

Ontbind de kwadratische trinominaal van de vorm 3 x 2 - 7 x - 11 in factoren.

Oplossing

We vinden dat het nodig is om de resulterende kwadratische vergelijking van de vorm 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 te berekenen.

Om de wortels te vinden, moet je de waarde van de discriminant bepalen. Dat snappen wij

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Hieruit krijgen we dat 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Voorbeeld 3

Ontbind de polynoom in factoren 2 x 2 + 1.

Oplossing

Nu moeten we de kwadratische vergelijking 2 x 2 + 1 = 0 oplossen en de wortels ervan vinden. Dat snappen wij

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ik x 2 = - 1 2 = - 1 2 ik

Deze wortels worden complex conjugaat genoemd, wat betekent dat de expansie zelf kan worden weergegeven als 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Voorbeeld 4

Ontleed de kwadratische trinominale x 2 + 1 3 x + 1 .

Oplossing

Eerst moet je een kwadratische vergelijking van de vorm x 2 + 1 3 x + 1 = 0 oplossen en de wortels ervan vinden.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 ik 2 = - 1 + 35 · ik 6 = - 1 6 + 35 6 · ik x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ik 2 = - 1 - 35 · ik 6 = - 1 6 - 35 6 · ik

Nadat we de wortels hebben verkregen, schrijven we

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ik x - - 1 6 - 35 6 ik = = x + 1 6 - 35 6 ik x + 1 6 + 35 6 ik

Opmerking

Als de discriminantwaarde negatief is, blijven de polynomen polynomen van de tweede orde. Hieruit volgt dat we ze niet zullen uitbreiden naar lineaire factoren.

Methoden voor het factoriseren van een polynoom met een graad hoger dan twee

Bij het ontleden wordt uitgegaan van een universele methode. De meeste van alle gevallen zijn gebaseerd op een uitvloeisel van de stelling van Bezout. Om dit te doen, moet u de waarde van de wortel x 1 selecteren en de graad ervan verkleinen door te delen door een polynoom door 1 door te delen door (x - x 1). De resulterende polynoom moet de wortel x 2 vinden, en het zoekproces is cyclisch totdat we een volledige uitbreiding verkrijgen.

Als de wortel niet wordt gevonden, worden andere ontbindingsmethoden gebruikt: groeperen, aanvullende termen. Dit onderwerp omvat het oplossen van vergelijkingen met hogere machten en gehele coëfficiënten.

Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes

Beschouw het geval waarin de vrije term gelijk is aan nul, dan wordt de vorm van de polynoom P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + een 1x.

Het is duidelijk dat de wortel van zo'n polynoom gelijk zal zijn aan x 1 = 0, en dan kan de polynoom worden weergegeven als de uitdrukking P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + een 1 x = = x (een n x n - 1 + een n - 1 x n - 2 + . . + een 1)

Er wordt aangenomen dat deze methode de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zet.

Voorbeeld 5

Ontbind het derdegraadspolynoom in factoren 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Oplossing

We zien dat x 1 = 0 de wortel is van de gegeven polynoom, en vervolgens kunnen we x tussen haakjes van de hele uitdrukking verwijderen. Wij krijgen:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Laten we verder gaan met het vinden van de wortels van de vierkante trinominaal 4 x 2 + 8 x - 1. Laten we de discriminant en wortels vinden:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Dan volgt dat

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Laten we om te beginnen een ontledingsmethode in overweging nemen die gehele coëfficiënten bevat van de vorm P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, waarbij de coëfficiënt van de hoogste graad 1 is.

Als een polynoom gehele wortels heeft, worden deze beschouwd als delers van de vrije term.

Voorbeeld 6

Vouw de uitdrukking f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 uit.

Oplossing

Laten we eens kijken of er volledige wortels zijn. Het is noodzakelijk om de delers van het getal op te schrijven - 18. We krijgen dat ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Hieruit volgt dat dit polynoom gehele wortels heeft. Je kunt dit controleren met behulp van het schema van Horner. Het is erg handig en stelt u in staat snel de uitzettingscoëfficiënten van een polynoom te verkrijgen:

Hieruit volgt dat x = 2 en x = - 3 de wortels zijn van de oorspronkelijke polynoom, die kan worden weergegeven als een product van de vorm:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2x + 3)

We gaan over tot de uitbreiding van een kwadratische trinominaal van de vorm x 2 + 2 x + 3.

Omdat de discriminant negatief is, betekent dit dat er geen echte wortels zijn.

Antwoord: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Opmerking

Het is toegestaan ​​om wortelselectie en deling van een polynoom door een polynoom te gebruiken in plaats van het schema van Horner. Laten we verder gaan met het beschouwen van de uitbreiding van een polynoom met gehele coëfficiënten van de vorm P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , waarvan de hoogste gelijk is aan één.

Dit geval doet zich voor bij rationale breuken.

Voorbeeld 7

Factoriseer f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Oplossing

Het is noodzakelijk om de variabele y = 2 x te vervangen, je moet doorgaan naar een polynoom met coëfficiënten gelijk aan 1 in de hoogste graad. U moet beginnen door de uitdrukking met 4 te vermenigvuldigen. Dat snappen wij

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Wanneer de resulterende functie van de vorm g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 gehele wortels heeft, dan ligt hun locatie tussen de delers van de vrije term. De invoer ziet er als volgt uit:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Laten we verder gaan met het berekenen van de functie g (y) op deze punten om als resultaat nul te krijgen. Dat snappen wij

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

We vinden dat y = - 5 de wortel is van een vergelijking van de vorm y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, wat betekent dat x = y 2 = - 5 2 de wortel is van de oorspronkelijke functie.

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om te delen met een kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 door x + 5 2.

Oplossing

Laten we het opschrijven en krijgen:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Het controleren van de delers zal veel tijd kosten, dus het is winstgevender om de resulterende kwadratische trinominaal van de vorm x 2 + 7 x + 3 te ontbinden in factoren. Door gelijk te stellen aan nul vinden we de discriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Daaruit volgt

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Kunstmatige technieken voor het factoriseren van een polynoom

Rationele wortels zijn niet inherent aan alle polynomen. Om dit te doen, moet je gebruiken op bijzondere manieren factoren te vinden. Maar niet alle polynomen kunnen worden uitgebreid of weergegeven als een product.

Groeperingsmethode

Er zijn gevallen waarin u de termen van een polynoom kunt groeperen om een ​​gemeenschappelijke factor te vinden en deze tussen haakjes kunt plaatsen.

Voorbeeld 9

Ontbind de polynoom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Oplossing

Omdat de coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen de wortels vermoedelijk ook gehele getallen zijn. Om dit te controleren, neemt u de waarden 1, - 1, 2 en - 2 om de waarde van de polynoom op deze punten te berekenen. Dat snappen wij

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Dit laat zien dat er geen wortels zijn; het is noodzakelijk om een ​​andere methode van expansie en oplossing te gebruiken.

Het is noodzakelijk om te groeperen:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Nadat u de oorspronkelijke polynoom hebt gegroepeerd, moet u deze weergeven als het product van twee vierkante trinomialen. Om dit te doen, moeten we factoriseren. wij snappen dat

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Opmerking

De eenvoud van groeperen betekent niet dat het kiezen van termen eenvoudig genoeg is. Er is geen specifieke oplossingsmethode, dus het is noodzakelijk om speciale stellingen en regels te gebruiken.

Voorbeeld 10

Ontbind de polynoom in factoren x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Oplossing

De gegeven polynoom heeft geen gehele wortels. De termen moeten worden gegroepeerd. Dat snappen wij

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Na factorisatie krijgen we dat

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules en de binominale factor van Newton om een ​​polynoom te ontbinden

Het uiterlijk maakt vaak niet altijd duidelijk welke methode tijdens de ontbinding moet worden gebruikt. Nadat de transformaties zijn gemaakt, kun je een lijn bouwen die bestaat uit de driehoek van Pascal, anders worden ze de binomiaal van Newton genoemd.

Voorbeeld 11

Factor de polynoom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Oplossing

Het is noodzakelijk om de uitdrukking naar de vorm te converteren

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

De reeks coëfficiënten van de som tussen haakjes wordt aangegeven door de uitdrukking x + 1 4 .

Dit betekent dat we x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 hebben.

Nadat we het verschil in vierkanten hebben toegepast, krijgen we

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Beschouw de uitdrukking die tussen de tweede haakjes staat. Het is duidelijk dat er geen ridders zijn, dus we moeten de formule voor het verschil in vierkanten opnieuw toepassen. We krijgen een uitdrukking van de vorm

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Voorbeeld 12

Ontbind in factoren x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Oplossing

Laten we beginnen met het transformeren van de uitdrukking. Dat snappen wij

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Het is noodzakelijk om de formule toe te passen voor een verkorte vermenigvuldiging van het verschil in kubussen. Wij krijgen:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Een methode voor het vervangen van een variabele bij het ontbinden van een polynoom

Bij het vervangen van een variabele wordt de graad verlaagd en wordt de polynoom in factoren verwerkt.

Voorbeeld 13

Ontbind de polynoom van de vorm x 6 + 5 x 3 + 6 in factoren.

Oplossing

Volgens de voorwaarde is het duidelijk dat het noodzakelijk is om de vervanging y = x 3 uit te voeren. Wij krijgen:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

De wortels van de resulterende kwadratische vergelijking zijn dan y = - 2 en y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Het is noodzakelijk om de formule toe te passen voor een verkorte vermenigvuldiging van de som van kubussen. We krijgen uitdrukkingen van de vorm:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3x + 3 3x 2 - 3 3x + 9 3

Dat wil zeggen, we hebben de gewenste ontleding verkregen.

De hierboven besproken gevallen zullen helpen bij het op verschillende manieren beschouwen en ontbinden van een polynoom.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Er worden 8 voorbeelden van factorpolynomen gegeven. Ze bevatten voorbeelden van het oplossen van kwadratische en bikwadratische vergelijkingen, voorbeelden van wederzijdse polynomen en voorbeelden van het vinden van gehele wortels van polynomen van de derde en vierde graad.

Inhoud

Zie ook: Methoden voor het ontbinden van polynomen
Wortels van een kwadratische vergelijking
Kubieke vergelijkingen oplossen

1. Voorbeelden van het oplossen van een kwadratische vergelijking

Voorbeeld 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Wij nemen x weg 2 buiten haakjes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Wortels van de vergelijking:
, .

.

Voorbeeld 1.2

Factor het derdegraadspolynoom:
X 3 + 6x 2 + 9x.

Laten we x tussen haakjes zetten:
.
Het oplossen van de kwadratische vergelijking x 2 + 6x + 9 = 0:
Zijn discriminant: .
Omdat de discriminant nul is, zijn de wortels van de vergelijking veelvouden: ;
.

Hieruit verkrijgen we de factorisatie van de polynoom:
.

Voorbeeld 1.3

Factor de polynoom van de vijfde graad:
X 5 - 2x4 + 10x3.

Wij nemen x weg 3 buiten haakjes:
.
Het oplossen van de kwadratische vergelijking x 2 - 2 x + 10 = 0.
Zijn discriminant: .
Omdat de discriminant kleiner is dan nul, zijn de wortels van de vergelijking complex: ;
, .

De factorisatie van de polynoom heeft de vorm:
.

Als we geïnteresseerd zijn in factorisatie met reële coëfficiënten, dan:
.

Voorbeelden van het factoriseren van polynomen met behulp van formules

Voorbeelden met bikwadratische polynomen

Voorbeeld 2.1

Factor de bikwadratische polynoom:
X 4 + x 2 - 20.

Laten we de formules toepassen:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Voorbeeld 2.2

Factor de polynoom die reduceert tot een bikwadratische:
X 8 + x 4 + 1.

Laten we de formules toepassen:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Voorbeeld 2.3 met terugkerende polynoom

Factor de wederkerige polynoom:
.

Een wederkerig polynoom heeft een oneven graad. Daarom heeft het wortel x = - 1 . Deel de polynoom door x -(-1) =x+1
.
.
, ;
;


;
.

Als resultaat krijgen we:

Laten we een vervanging maken:

Voorbeelden van factoringpolynomen met gehele wortels
.

Voorbeeld 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Factor de polynoom:;
Laten we aannemen dat de vergelijking;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

We hebben dus drie wortels gevonden:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Omdat de oorspronkelijke polynoom van de derde graad is, heeft deze niet meer dan drie wortels. Omdat we drie wortels hebben gevonden, zijn ze eenvoudig. Dan
.

Voorbeeld 3.2

Voorbeelden van factoringpolynomen met gehele wortels
.

Voorbeeld 3.1

heeft minstens één hele wortel. Dan is het een deler van het getal 2 (lid zonder x). Dat wil zeggen, de hele wortel kan een van de volgende getallen zijn:
-2, -1, 1, 2 .
We vervangen deze waarden één voor één:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Dus we hebben één wortel gevonden:
X 1 = -1 .
Deel de polynoom door x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Dan,
.

Nu moeten we de derdegraadsvergelijking oplossen:
.
Als we aannemen dat deze vergelijking een geheel getalwortel heeft, dan is het een deler van het getal 2 (lid zonder x). Dat wil zeggen, de hele wortel kan een van de volgende getallen zijn:
1, 2, -1, -2 .
Laten we x = vervangen -1 :
.

We hebben dus nog een wortel x gevonden 2 = -1 .
.

Het zou, net als in het vorige geval, mogelijk zijn om de polynoom te delen door , maar we zullen de termen groeperen:

De vierkante trinominaal kan als volgt in factoren worden verwerkt:

EEN x 2 + b x + c = een ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

waarbij a een getal is, een coëfficiënt vóór de leidende coëfficiënt,

x – variabele (d.w.z. letter),

x 1 en x 2 zijn getallen, wortels van de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0, die worden gevonden via de discriminant.

Als een kwadratische vergelijking slechts één wortel heeft, ziet de uitbreiding er als volgt uit:

een x 2 + b x + c = een ⋅ (x − x 0) 2

1. Voorbeelden van het ontbinden van een kwadratische trinominaal:

− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

1. − x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

• Als de kwadratische trinominaal onvolledig is (b = 0 of c = 0), kan deze op de volgende manieren worden ontbonden:

• c = 0 ⇒ een x 2 + b x = x (a x + b)

b = 0 ⇒ pas de verkorte vermenigvuldigingsformule toe voor het verschil in kwadraten.

Taken voor onafhankelijke oplossing

Oplossing:

Nr. 1. De vierkante trinominaal wordt in factoren opgeteld: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Vind een.

Eerst moet je de kwadratische trinominaal gelijkstellen aan nul om x 1 en x 2 te vinden.

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 een c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 betekent dat er twee verschillende wortels zullen zijn.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Als we de wortels kennen, ontbinden we de kwadratische trinominaal in factoren:

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

Oplossing:

Nr. 2. De vergelijking x 2 + p x + q = 0 heeft wortels − 5; 7. Zoek q.(je moet weten hoe je een kwadratische trinominale factor moet ontbinden)

Als x 1 en x 2 de wortels zijn van de vierkante trinominale a x 2 + b x + c, dan kan deze als volgt worden ontbonden: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Omdat in een gegeven kwadratische trinominaal de leidende coëfficiënt (de factor vóór x 2) gelijk is aan één, zal de expansie als volgt zijn:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

Methode 2: (je moet de stelling van Vieta kennen)

De stelling van Vieta:

De som van de wortels van de gereduceerde kwadratische trinominaal x 2 + p x + q is gelijk aan de tweede coëfficiënt p met het tegengestelde teken, en het product is de vrije term q.

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.