Het meest voorkomende type gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde.
Eenvoudig rekenkundig gemiddelde
Een eenvoudig rekenkundig gemiddelde is de gemiddelde term, waarmee wordt bepaald of het totale volume van een bepaald attribuut in de gegevens gelijkelijk is verdeeld over alle eenheden in de gegeven populatie. De gemiddelde jaarlijkse productie per werknemer is dus de hoeveelheid output die door elke werknemer zou worden geproduceerd als het volledige productievolume gelijkelijk zou worden verdeeld over alle werknemers van de organisatie. De rekenkundig gemiddelde eenvoudige waarde wordt berekend met behulp van de formule:
Voorbeeld 1 .Eenvoudig rekenkundig gemiddelde— Gelijk aan de verhouding tussen de som van de individuele waarden van een kenmerk en het aantal kenmerken in het geheel
Een team van 6 arbeiders ontvangt 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 duizend roebel per maand.
Vind gemiddeld salaris
Oplossing: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 duizend roebel.
Rekenkundig gemiddelde gewogen Als het volume van de dataset groot is en een distributiereeks vertegenwoordigt, wordt het gewogen rekenkundig gemiddelde berekend. Zo wordt de gewogen gemiddelde prijs per productie-eenheid bepaald: totale kosten
producten (de som van de producten van de hoeveelheid en de prijs van een productie-eenheid) wordt gedeeld door de totale hoeveelheid producten.
— gelijk aan de verhouding van (de som van de producten van de waarde van een kenmerk tot de frequentie van herhaling van dit kenmerk) tot (de som van de frequenties van alle kenmerken). Het wordt gebruikt wanneer varianten van de onderzochte populatie voorkomen een ongelijk aantal keren. Voorbeeld 2Laten we ons dit voorstellen in de vorm van de volgende formule: Gewogen rekenkundig gemiddelde
Het gemiddelde salaris bekomt u door het totaal te delen loon op totaal aantal werknemers:
Antwoord: 3,35 duizend roebel.
Rekenkundig gemiddelde voor intervalreeksen
Wanneer u het rekenkundig gemiddelde voor een intervalvariatiereeks berekent, bepaalt u eerst het gemiddelde voor elk interval als de halve som van de boven- en ondergrenzen, en vervolgens het gemiddelde van de gehele reeks. Bij open intervallen wordt de waarde van het onderste of bovenste interval bepaald door de grootte van de aangrenzende intervallen.
Gemiddelden berekend op basis van intervalreeksen zijn bij benadering.
Voorbeeld 3. Definiëren middelbare leeftijd avond studenten.
Gemiddelden berekend op basis van intervalreeksen zijn bij benadering. De mate van onderlinge aanpassing hangt af van de mate waarin de feitelijke verdeling van bevolkingseenheden binnen het interval een uniforme verdeling benadert.
Bij het berekenen van gemiddelden kunnen niet alleen absolute maar ook relatieve waarden (frequentie) als gewichten worden gebruikt:
Het rekenkundig gemiddelde heeft een aantal eigenschappen die de essentie ervan beter onthullen en berekeningen vereenvoudigen:
1. Het product van het gemiddelde door de som van frequenties is altijd gelijk aan de som van de producten van de variant door frequenties, d.w.z.
2. Gemiddeld rekenkundige som variërende hoeveelheden is gelijk aan de som van de rekenkundige gemiddelden van deze hoeveelheden:
3. De algebraïsche som van afwijkingen van individuele waarden van een kenmerk van het gemiddelde is gelijk aan nul:
4. De som van de kwadratische afwijkingen van opties van het gemiddelde is kleiner dan de som van de kwadratische afwijkingen van enige andere willekeurige waarde, d.w.z.
Antwoord: iedereen kreeg er een 4 peren.Voorbeeld 2. Naar cursussen Engelse taal op maandag kwamen er 15 mensen, op dinsdag - 10, op woensdag - 12, op donderdag - 11, op vrijdag - 7, op zaterdag - 14, op zondag - 8. Zoek de gemiddelde deelname aan de cursussen voor de week.
Oplossing: Laten we het rekenkundig gemiddelde vinden:
| 15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8 | = | 77 | = 11 |
| 7 | 7 |
Voorbeeld 3. Een racer reed twee uur met 120 km/u en één uur met 90 km/u. Vind de gemiddelde snelheid van de auto tijdens de race.
Oplossing: Laten we het rekenkundig gemiddelde van de autosnelheden voor elk uur reizen vinden:
| 120 + 120 + 90 | = | 330 | = 110 |
| 3 | 3 |
Voorbeeld 4. Het rekenkundig gemiddelde van 3 getallen is 6, en het rekenkundig gemiddelde van 7 andere getallen is 3. Wat is het rekenkundig gemiddelde van deze tien getallen?
Oplossing: Omdat het rekenkundig gemiddelde van 3 getallen 6 is, is hun som 6 3 = 18, op dezelfde manier is de som van de overige 7 getallen 7 3 = 21.
Dit betekent dat de som van alle 10 getallen 18 + 21 = 39 is, en dat het rekenkundig gemiddelde gelijk is aan
| 39 | = 3.9 |
| 10 |
Het concept van rekenkundig gemiddelde betekent het resultaat van een eenvoudige reeks berekeningen gemiddelde grootte voor een vooraf bepaalde reeks getallen. Opgemerkt moet worden dat deze waarde momenteel op grote schaal wordt gebruikt door specialisten in een aantal industrieën. Er zijn bijvoorbeeld formules bekend bij het uitvoeren van berekeningen door economen of werknemers in de statistische sector, waarbij het nodig is een waarde te hebben van dit type. Bovendien wordt deze indicator actief gebruikt in een aantal andere industrieën die verband houden met het bovenstaande.
Een van de kenmerken van het berekenen van deze waarde is de eenvoud van de procedure. Berekeningen uitvoeren Iedereen kan het. Je hebt hiervoor geen speciale opleiding nodig. Vaak is het niet nodig om computertechnologie te gebruiken.
Om de vraag te beantwoorden hoe je het rekenkundig gemiddelde kunt vinden, overweeg een aantal situaties.
Het meest eenvoudige optie Het berekenen van een bepaalde waarde is het berekenen van twee getallen. De berekeningsprocedure is in dit geval heel eenvoudig:
- In eerste instantie moet u de bewerking uitvoeren om de geselecteerde nummers toe te voegen. Dit kan vaak, zoals ze zeggen, handmatig worden gedaan, zonder gebruik te maken van elektronische apparatuur.
- Nadat de optelling is uitgevoerd en het resultaat is verkregen, moet de deling worden uitgevoerd. Deze bewerking omvat het delen van de som van twee opgetelde getallen door twee: het aantal opgetelde getallen. Met deze actie kunt u de vereiste waarde verkrijgen.
Formule
De formule voor het berekenen van de vereiste waarde in het geval van twee ziet er dus als volgt uit:
(A+B)/2
Deze formule gebruikt de volgende notatie:
A en B zijn vooraf geselecteerde getallen waarvoor u een waarde moet vinden.
Het vinden van de waarde voor drie
Het berekenen van deze waarde in een situatie waarin drie getallen zijn geselecteerd, zal niet veel verschillen van de vorige optie:
- Om dit te doen, selecteert u de cijfers die nodig zijn voor de berekening en voegt u deze toe om het totaal te krijgen.
- Nadat deze som van drie is gevonden, moet de delingsprocedure opnieuw worden uitgevoerd. In dit geval moet het resulterende bedrag door drie worden gedeeld, wat overeenkomt met het aantal geselecteerde nummers.
Formule
De formule die nodig is voor het berekenen van de rekenkundige drie zal er dus als volgt uitzien:
(A+B+C)/3
In deze formule De volgende notatie wordt geaccepteerd:
A, B en C zijn de getallen waarvoor u het rekenkundig gemiddelde moet vinden.
Het rekenkundig gemiddelde van vier berekenen
Zoals al te zien is naar analogie met de vorige opties, zal de berekening van deze waarde voor een hoeveelheid gelijk aan vier in de volgende volgorde plaatsvinden:
- Er worden vier getallen geselecteerd waarvan het gemiddelde moet worden berekend rekenkundige waarde. Vervolgens wordt de sommatie uitgevoerd en wordt het eindresultaat van deze procedure gevonden.
- Om het eindresultaat te krijgen, moet u het resultaat nemen de som van vier en deel het door vier. De ontvangen gegevens hebben de vereiste waarde.
Formule
Uit de hierboven beschreven reeks acties voor het vinden van het rekenkundig gemiddelde van vier kunt u de volgende formule verkrijgen:
(A+B+C+E)/4
In deze formule de variabelen hebben de volgende betekenis:
A, B, C en E zijn die waarvoor het nodig is om de waarde van het rekenkundig gemiddelde te vinden.
Met deze formule is het altijd mogelijk om de vereiste waarde voor een bepaald aantal getallen te berekenen.
Het rekenkundig gemiddelde van vijf berekenen
Voor het uitvoeren van deze bewerking is een bepaald algoritme van acties vereist.
- Allereerst moet u vijf getallen selecteren waarvoor het rekenkundig gemiddelde wordt berekend. Na deze selectie hoeven deze getallen, net als bij de vorige opties, alleen maar te worden toegevoegd en krijgen ze het uiteindelijke bedrag.
- Het resulterende bedrag moet door vijf worden gedeeld door hun aantal, waardoor u de vereiste waarde kunt krijgen.
Formule
Dus, vergelijkbaar met de eerder overwogen opties, verkrijgen we de volgende formule voor het berekenen van het rekenkundig gemiddelde:
(A+B+C+E+P)/5
In deze formule worden de variabelen als volgt aangeduid:
A, B, C, E en P zijn getallen waarvoor het rekenkundig gemiddelde moet worden verkregen.
Universele berekeningsformule
Het uitvoeren van een beoordeling verschillende opties formules om het rekenkundig gemiddelde te berekenen, je kunt erop letten dat ze een algemeen patroon hebben.
Daarom zal het praktischer zijn om een algemene formule te gebruiken om het rekenkundig gemiddelde te vinden. Er zijn immers situaties waarin het aantal en de omvang van de berekeningen erg groot kunnen zijn. Daarom zou het redelijker zijn om een universele formule te gebruiken en niet elke keer een individuele technologie te ontwikkelen om deze waarde te berekenen.
Het belangrijkste bij het bepalen van de formule is principe van het berekenen van het rekenkundig gemiddelde O.
Dit principe ziet er, zoals blijkt uit de gegeven voorbeelden, als volgt uit:
- Het aantal getallen dat is opgegeven om de vereiste waarde te verkrijgen, wordt geteld. Deze handeling kan handmatig worden uitgevoerd met een klein aantal cijfers of met behulp van computertechnologie.
- De geselecteerde getallen worden opgeteld. Deze bewerking wordt in de meeste situaties uitgevoerd met behulp van computertechnologie, omdat getallen uit twee, drie of meer cijfers kunnen bestaan.
- Het bedrag dat wordt verkregen door de geselecteerde nummers op te tellen, moet worden gedeeld door hun aantal. Deze waarde wordt bepaald in de beginfase van de berekening van het rekenkundig gemiddelde.
Dus, algemene formule om het rekenkundig gemiddelde van een reeks geselecteerde getallen te berekenen, ziet er als volgt uit:
(A+B+…+N)/N
Deze formule bevat de volgende variabelen:
A en B zijn getallen die vooraf zijn geselecteerd om hun rekenkundig gemiddelde te berekenen.
N is het aantal getallen dat is gebruikt om de vereiste waarde te berekenen.
Door elke keer de geselecteerde getallen in deze formule te vervangen, kunnen we altijd de vereiste waarde van het rekenkundig gemiddelde verkrijgen.
Zoals je kunt zien, het rekenkundig gemiddelde vinden is een eenvoudige procedure. U moet echter voorzichtig zijn met de uitgevoerde berekeningen en de verkregen resultaten controleren. Deze aanpak wordt verklaard door het feit dat zelfs in de eenvoudigste situaties de mogelijkheid bestaat dat er een fout optreedt, die vervolgens verdere berekeningen kan beïnvloeden. In dit opzicht wordt aanbevolen om computertechnologie te gebruiken die berekeningen van elke complexiteit kan uitvoeren.
Het onderwerp rekenkundig gemiddelde en meetkundig gemiddelde is opgenomen in het wiskundeprogramma voor groep 6 t/m 7. Omdat de paragraaf vrij gemakkelijk te begrijpen is, is deze snel voltooid, en tegen het einde academisch jaar schoolkinderen vergeten hem. Maar daarvoor is kennis van basisstatistieken nodig slagen voor het Unified State Exam, evenals voor internationale SAT-examens. Ja en voor het dagelijks leven ontwikkeld analytisch denken doet nooit pijn.
Hoe het rekenkundig gemiddelde en het geometrische gemiddelde van getallen te berekenen
Laten we zeggen dat er een reeks getallen is: 11, 4 en 3. Het rekenkundig gemiddelde is de som van alle getallen gedeeld door het aantal gegeven getallen. Dat wil zeggen, in het geval van de getallen 11, 4, 3 is het antwoord 6. Hoe kom je aan 6?
Oplossing: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
De noemer moet een getal bevatten dat gelijk is aan het aantal getallen waarvan het gemiddelde moet worden gevonden. De som is deelbaar door 3, omdat er drie termen zijn.
Nu moeten we het geometrische gemiddelde bepalen. Laten we zeggen dat er een reeks getallen is: 4, 2 en 8.
Gemiddeld geometrische getallen wordt het product van alle gegeven getallen genoemd, gelegen onder de wortel met een graad gelijk aan het aantal gegeven getallen. Dat wil zeggen, in het geval van de getallen 4, 2 en 8 zal het antwoord 4 zijn. Zo bleek. :
Oplossing: ∛(4 × 2 × 8) = 4
In beide opties kregen we hele antwoorden, omdat er voor het voorbeeld speciale getallen werden gebruikt. Dit gebeurt niet altijd. In de meeste gevallen moet het antwoord worden afgerond of bij de wortel worden gelaten. Voor de getallen 11, 7 en 20 is het rekenkundig gemiddelde bijvoorbeeld ≈ 12,67 en het geometrische gemiddelde ∛1540. En voor de getallen 6 en 5 zijn de antwoorden respectievelijk 5,5 en √30.
Zou het kunnen gebeuren dat het rekenkundig gemiddelde gelijk wordt aan het geometrische gemiddelde?
Natuurlijk kan dat. Maar slechts in twee gevallen. Als er een reeks getallen is die alleen uit enen of nullen bestaat. Het is ook opmerkelijk dat het antwoord niet afhankelijk is van hun aantal.
Bewijs met eenheden: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (rekenkundig gemiddelde).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrisch gemiddelde).
Bewijs met nullen: (0 + 0) / 2=0 (rekenkundig gemiddelde).
√(0 × 0) = 0 (geometrisch gemiddelde).
Er is geen andere optie en dat kan ook niet.
Drie kinderen gingen het bos in om bessen te plukken. De oudste dochter vond 18 bessen, de middelste 15 en de jongere broer 3 bessen (zie figuur 1). Ze brachten de bessen naar mama, die besloot de bessen gelijk te verdelen. Hoeveel bessen heeft elk kind gekregen?
Rijst. 1. Illustratie voor het probleem
Oplossing
(Yag.) - kinderen verzamelden alles
2) Deel het totale aantal bessen door het aantal kinderen:
(Yag.) ging naar elk kind
Antwoord: Elk kind krijgt 12 bessen.
In probleem 1 is het in het antwoord verkregen getal het rekenkundig gemiddelde.
Rekenkundig gemiddelde meerdere getallen heet het quotiënt van het delen van de som van deze getallen door hun aantal.
Voorbeeld 1
We hebben twee getallen: 10 en 12. Zoek hun rekenkundig gemiddelde.
Oplossing
1) Laten we de som van deze getallen bepalen: .
2) Het aantal van deze getallen is 2, daarom is het rekenkundig gemiddelde van deze getallen: .
Antwoord: Het rekenkundig gemiddelde van de getallen 10 en 12 is het getal 11.
Voorbeeld 2
We hebben vijf getallen: 1, 2, 3, 4 en 5. Zoek hun rekenkundig gemiddelde.
Oplossing
1) De som van deze getallen is gelijk aan: .
2) Per definitie is het rekenkundig gemiddelde het quotiënt van het delen van de som van getallen door hun aantal. We hebben vijf getallen, dus het rekenkundig gemiddelde is:
Antwoord: het rekenkundig gemiddelde van de gegevens in de getallenvoorwaarde is 3.
Naast het feit dat er in de lessen voortdurend wordt gevraagd om gevonden te worden, is het vinden van het rekenkundig gemiddelde erg handig in het dagelijks leven. Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we op vakantie willen naar Griekenland. Om geschikte kleding te kiezen, kijken we naar wat de temperatuur op dit moment in dit land is. Het algehele weerbeeld zullen we echter niet kennen. Daarom is het nodig om bijvoorbeeld een week lang de luchttemperatuur in Griekenland te achterhalen en het rekenkundig gemiddelde van deze temperaturen te vinden.
Voorbeeld 3
Temperatuur in Griekenland voor de week: Maandag - ; Dinsdag - ; Woensdag - ; Donderdag - ; Vrijdag - ; Zaterdag - ; Zondag - . Bereken de gemiddelde temperatuur voor de week.
Oplossing
1) Laten we de som van de temperaturen berekenen: .
2) Deel het resulterende bedrag door het aantal dagen: .
Antwoord: Gemiddelde temperatuur voor de week is ca.
Het vermogen om het rekenkundig gemiddelde te vinden kan ook nodig zijn om de gemiddelde leeftijd van de spelers van een voetbalteam te bepalen, dat wil zeggen om te bepalen of het team ervaren is of niet. Het is noodzakelijk om de leeftijden van alle spelers op te tellen en te delen door hun aantal.
Probleem 2
De koopman verkocht appels. Aanvankelijk verkocht hij ze tegen een prijs van 85 roebel per 1 kg. Dus verkocht hij 12 kg. Vervolgens verlaagde hij de prijs tot 65 roebel en verkocht de resterende 4 kg appels. Wat was de gemiddelde prijs voor appels?
Oplossing
1) Laten we berekenen hoeveel geld de handelaar in totaal heeft verdiend. Hij verkocht 12 kilogram tegen een prijs van 85 roebel per 1 kg: 
(wrijven.).
Hij verkocht 4 kilogram tegen een prijs van 65 roebel per 1 kg: (roebel).
Daarom is het totale verdiende geldbedrag gelijk aan: (wrijven).
2) Het totaalgewicht aan verkochte appels is gelijk aan: .
3) Deel het ontvangen geldbedrag door het totale gewicht van de verkochte appels en bereken de gemiddelde prijs voor 1 kg appels: (roebel).
Antwoord: de gemiddelde prijs van 1 kg verkochte appels is 80 roebel.
Het rekenkundig gemiddelde helpt bij het evalueren van de gegevens als geheel, zonder elke waarde afzonderlijk te nemen.
Het is echter niet altijd mogelijk om het concept van het rekenkundig gemiddelde te gebruiken.
Voorbeeld 4
De schutter vuurde twee schoten af op het doel (zie figuur 2): de eerste keer raakte hij een meter boven het doel, en de tweede keer raakte hij een meter eronder. Uit het rekenkundig gemiddelde blijkt dat hij precies het midden raakte, ook al miste hij beide keren.
Rijst. 2. Illustratie bijvoorbeeld
In deze les leerden we over het concept van het rekenkundig gemiddelde. We leerden de definitie van dit concept, leerden hoe we het rekenkundig gemiddelde van verschillende getallen konden berekenen. Wij hebben ook geleerd praktische toepassing dit concept.
- N.Ya. Vilenkin. Wiskunde: leerboek. voor het 5e leerjaar. algemeen onderwijs uhr. - Ed. 17e. - M.: Mnemosyne, 2005. )
- Igor had 45 roebel bij zich, Andrey had 28 en Denis had 17.
- Met al hun geld kochten ze 3 bioscoopkaartjes. Hoeveel kostte één kaartje?
Laden...
