Zoals je weet, tellen bij het vermenigvuldigen van uitdrukkingen met machten de exponenten altijd op (a b *a c = a b+c). Deze wiskundige wet werd afgeleid door Archimedes, en later, in de 8e eeuw, creëerde de wiskundige Virasen een tabel met gehele exponenten. Zij waren het die dienden voor de verdere ontdekking van logaritmen. Voorbeelden van het gebruik van deze functie zijn bijna overal te vinden waar u lastige vermenigvuldiging moet vereenvoudigen door eenvoudig optellen. Als u dit artikel 10 minuten leest, leggen wij u uit wat logaritmen zijn en hoe u ermee kunt werken. In eenvoudige en toegankelijke taal.
Definitie in de wiskunde
Een logaritme is een uitdrukking van de volgende vorm: log a b=c, dat wil zeggen de logaritme van elk niet-negatief getal (dat wil zeggen elk positief getal) “b” tot zijn grondtal “a” wordt beschouwd als de macht “c ” Waartoe het nodig is om de basis “a” te verhogen om uiteindelijk de waarde “b” te krijgen. Laten we de logaritme analyseren met behulp van voorbeelden, laten we zeggen dat er een uitdrukking log 2 8 is. Hoe vind je het antwoord? Het is heel eenvoudig, je moet een macht vinden zodat je van 2 tot de vereiste macht 8 krijgt. Na wat berekeningen in je hoofd te hebben gedaan, krijgen we het getal 3! En dat is waar, want 2 tot de macht 3 geeft het antwoord 8.
Soorten logaritmen
Voor veel leerlingen en studenten lijkt dit onderwerp ingewikkeld en onbegrijpelijk, maar in feite zijn logaritmen niet zo eng, het belangrijkste is om hun algemene betekenis te begrijpen en hun eigenschappen en enkele regels te onthouden. Er zijn drie afzonderlijke typen logaritmische uitdrukkingen:
- Natuurlijke logaritme ln a, waarbij het grondtal het Eulergetal is (e = 2,7).
- Decimaal a, waarbij het grondtal 10 is.
- Logaritme van elk getal b met grondtal a>1.
Elk van hen wordt op een standaardmanier opgelost, inclusief vereenvoudiging, reductie en daaropvolgende reductie tot een enkele logaritme met behulp van logaritmische stellingen. Om de juiste waarden van logaritmen te verkrijgen, moet u hun eigenschappen en de volgorde van acties onthouden bij het oplossen ervan.
Regels en enkele beperkingen
In de wiskunde zijn er verschillende regels en beperkingen die als axioma worden aanvaard, dat wil zeggen dat ze niet ter discussie staan en de waarheid zijn. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om getallen door nul te delen, en het is ook onmogelijk om de even wortel van negatieve getallen te extraheren. Logaritmen hebben ook hun eigen regels, waardoor u gemakkelijk kunt leren werken, zelfs met lange en ruime logaritmische uitdrukkingen:
- De grondtal “a” moet altijd groter zijn dan nul, en niet gelijk aan 1, anders verliest de uitdrukking zijn betekenis, omdat “1” en “0” in welke mate dan ook altijd gelijk zijn aan hun waarden;
- als a > 0, dan a b >0, dan blijkt dat “c” ook groter moet zijn dan nul.
Hoe logaritmes op te lossen?
De taak wordt bijvoorbeeld gegeven om het antwoord te vinden op de vergelijking 10 x = 100. Dit is heel eenvoudig, je moet een macht kiezen door het getal tien te verhogen tot waar we 100 krijgen. Dit is natuurlijk 10 2 = 100.
Laten we deze uitdrukking nu in logaritmische vorm weergeven. We krijgen log 10 100 = 2. Bij het oplossen van logaritmen komen alle acties praktisch samen om de macht te vinden waarvoor het nodig is om de basis van de logaritme in te voeren om een bepaald getal te verkrijgen.
Om de waarde van een onbekende graad nauwkeurig te bepalen, moet je leren werken met een gradentabel. Het ziet er zo uit:
Zoals u kunt zien, kunnen sommige exponenten intuïtief worden geraden als u over een technische geest en kennis van de tafel van vermenigvuldiging beschikt. Voor grotere waarden heeft u echter een vermogenstabel nodig. Het kan zelfs worden gebruikt door mensen die helemaal niets weten over complexe wiskundige onderwerpen. De linkerkolom bevat getallen (grondtal a), de bovenste rij getallen is de waarde van de macht c waartoe het getal a wordt verheven. Op het snijpunt bevatten de cellen de getalswaarden die het antwoord vormen (a c =b). Laten we bijvoorbeeld de allereerste cel met het getal 10 nemen en deze kwadrateren, we krijgen de waarde 100, die wordt aangegeven op het snijpunt van onze twee cellen. Alles is zo eenvoudig en gemakkelijk dat zelfs de meest ware humanist het zal begrijpen!
Vergelijkingen en ongelijkheden
Het blijkt dat onder bepaalde omstandigheden de exponent de logaritme is. Daarom kunnen alle wiskundige numerieke uitdrukkingen worden geschreven als een logaritmische gelijkheid. 3 4 =81 kan bijvoorbeeld worden geschreven als de logaritme met grondtal 3 van 81 gelijk aan vier (log 3 81 = 4). Voor negatieve krachten de regels zijn hetzelfde: 2 -5 = 1/32 we schrijven het als een logaritme, we krijgen log 2 (1/32) = -5. Een van de meest fascinerende onderdelen van de wiskunde is het onderwerp ‘logaritmen’. We zullen hieronder naar voorbeelden en oplossingen van vergelijkingen kijken, onmiddellijk nadat we hun eigenschappen hebben bestudeerd. Laten we nu eens kijken hoe ongelijkheden eruit zien en hoe we ze van vergelijkingen kunnen onderscheiden.
Gegeven een uitdrukking van de volgende vorm: log 2 (x-1) > 3 - het is logaritmische ongelijkheid, aangezien de onbekende waarde "x" onder het teken van de logaritme staat. En ook in de uitdrukking worden twee grootheden vergeleken: de logaritme van het gewenste getal met grondtal twee is groter dan het getal drie.
Het belangrijkste verschil tussen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden is dat vergelijkingen met logaritmen (bijvoorbeeld de logaritme 2 x = √9) een of meer specifieke numerieke waarden in het antwoord impliceren, terwijl bij het oplossen van een ongelijkheid zowel het bereik van aanvaardbare waarden en de punten worden bepaald door deze functie te doorbreken. Als gevolg hiervan is het antwoord niet een eenvoudige reeks individuele getallen, zoals bij het antwoord op een vergelijking, maar een continue reeks of reeks getallen.
Basisstellingen over logaritmen
Bij het oplossen van primitieve taken voor het vinden van de waarden van de logaritme, zijn de eigenschappen ervan mogelijk niet bekend. Als het echter om logaritmische vergelijkingen of ongelijkheden gaat, is het allereerst noodzakelijk om alle basiseigenschappen van logaritmen duidelijk te begrijpen en in de praktijk toe te passen. We zullen later naar voorbeelden van vergelijkingen kijken; laten we eerst elke eigenschap in meer detail bekijken.
- De hoofdidentiteit ziet er als volgt uit: a logaB =B. Het is alleen van toepassing als a groter is dan 0, niet gelijk aan één, en B groter is dan nul.
- De logaritme van het product kan worden weergegeven in de volgende formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In dit geval is de verplichte voorwaarde: d, s 1 en s 2 > 0; a≠1. Je kunt een bewijs geven voor deze logaritmische formule, met voorbeelden en oplossing. Laten we log a s 1 = f 1 en log a s 2 = f 2, dan a f1 = s 1, a f2 = s 2. We verkrijgen dat s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (eigenschappen van graden ), en dan per definitie: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, en dat is wat bewezen moest worden.
- De logaritme van het quotiënt ziet er als volgt uit: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- De stelling in de vorm van een formule neemt aan volgende weergave: log a q b n = n/q log a b.
Deze formule wordt de ‘eigenschap van de mate van logaritme’ genoemd. Het lijkt op de eigenschappen van gewone graden, en dat is niet verrassend, omdat alle wiskunde gebaseerd is op natuurlijke postulaten. Laten we naar het bewijs kijken.
Laten we log a b = t, dan blijkt a t = b. Als we beide delen verheffen tot de macht m: a tn = b n ;
maar aangezien a tn = (a q) nt/q = b n, dus log a q b n = (n*t)/t, log dan a q b n = n/q log a b. De stelling is bewezen.
Voorbeelden van problemen en ongelijkheden
De meest voorkomende soorten problemen met logaritmen zijn voorbeelden van vergelijkingen en ongelijkheden. Ze zijn te vinden in bijna alle probleemboeken en zijn ook een verplicht onderdeel van wiskunde-examens. Voor toelating tot de universiteit of slagen toelatingsexamens in de wiskunde moet je weten hoe je dergelijke problemen correct kunt oplossen.
Helaas bestaat er geen enkel plan of schema voor het oplossen en bepalen van de onbekende waarde van de logaritme, maar er kunnen bepaalde regels worden toegepast op elke wiskundige ongelijkheid of logaritmische vergelijking. Allereerst moet u uitzoeken of de uitdrukking kan worden vereenvoudigd of teruggebracht tot een algemene vorm. Vereenvoudig lange logaritmische uitdrukkingen mogelijk als u hun eigenschappen correct gebruikt. Laten we ze snel leren kennen.
Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen moeten we bepalen welk type logaritme we hebben: een voorbeelduitdrukking kan een natuurlijke logaritme of een decimale logaritme bevatten.
Hier zijn voorbeelden ln100, ln1026. Hun oplossing komt neer op het feit dat ze de macht moeten bepalen waarbij het grondtal 10 respectievelijk gelijk is aan 100 en 1026. Voor oplossingen van natuurlijke logaritmen moet u een aanvraag indienen logaritmische identiteiten of hun eigenschappen. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van logaritmische problemen van verschillende typen.
Logaritmeformules gebruiken: met voorbeelden en oplossingen
Laten we dus eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van de basisstellingen over logaritmen.
- De eigenschap van de logaritme van een product kan worden gebruikt bij taken waarbij uitbreiding nodig is grote waarde getallen b in eenvoudiger factoren. Bijvoorbeeld log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Het antwoord is 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - zoals je kunt zien, zijn we er met behulp van de vierde eigenschap van de logaritmemacht in geslaagd een ogenschijnlijk complexe en onoplosbare uitdrukking op te lossen. U hoeft alleen maar de grondtal in factoren te ontbinden en vervolgens de exponentwaarden uit het teken van de logaritme te halen.
Opdrachten van het Unified State Exam
Logaritmen worden vaak aangetroffen bij toelatingsexamens, vooral veel logaritmische problemen bij het Unified State Exam (staatsexamen voor alle afgestudeerden). Doorgaans zijn deze taken niet alleen aanwezig in deel A (het gemakkelijkste testgedeelte van het examen), maar ook in deel C (de meest complexe en omvangrijke taken). Het examen vereist nauwkeurige en perfecte kennis van het onderwerp “Natuurlijke logaritmes”.
Voorbeelden en oplossingen voor problemen zijn afkomstig uit de officiële versie Unified State Exam-opties. Laten we eens kijken hoe dergelijke taken worden opgelost.
Gegeven log 2 (2x-1) = 4. Oplossing:
laten we de uitdrukking herschrijven, een beetje log 2 (2x-1) = 2 2 vereenvoudigen, door de definitie van de logaritme krijgen we dat 2x-1 = 2 4, dus 2x = 17; x = 8,5.
- Het is het beste om alle logaritmen tot hetzelfde grondtal terug te brengen, zodat de oplossing niet omslachtig en verwarrend wordt.
- Alle uitdrukkingen onder het logaritmeteken worden als positief aangegeven. Wanneer de exponent van een uitdrukking die onder het logaritmeteken staat en als grondtal als vermenigvuldiger wordt verwijderd, moet de uitdrukking die onder de logaritme overblijft dus positief zijn.
Wat is een logaritme?
Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)
Wat is een logaritme? Hoe logaritmes op te lossen? Deze vragen brengen veel afgestudeerden in verwarring. Traditioneel wordt het onderwerp logaritmen als complex, onbegrijpelijk en eng beschouwd. Vooral vergelijkingen met logaritmen.
Dit is absoluut niet waar. Absoluut! Geloof je mij niet? Prima. Nu kunt u in slechts 10 - 20 minuten:
1. Je zult het begrijpen wat is een logaritme.
2. Leer een hele klas op te lossen exponentiële vergelijkingen. Ook al heb je er niets over gehoord.
3. Leer eenvoudige logaritmen berekenen.
Bovendien hoef je hiervoor alleen de tafel van vermenigvuldiging te kennen en hoe je een getal tot een macht kunt verheffen...
Ik heb het gevoel dat je twijfelt... Nou, oké, let op de tijd! Laten we gaan!
Los eerst deze vergelijking in je hoofd op:
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.
Les en presentatie over de onderwerpen: "Natuurlijke logaritmes. De basis van de natuurlijke logaritme. De logaritme van een natuurlijk getal"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 11
Interactieve handleiding voor groep 9–11 "Trigonometrie"
Interactieve handleiding voor groep 10–11 "Logaritmen"
Wat is natuurlijke logaritme
Jongens, in de laatste les hebben we een nieuw, speciaal nummer geleerd: vandaag gaan we verder met dit nummer.We hebben logaritmes bestudeerd en we weten dat de basis van een logaritme vele getallen kan hebben die groter zijn dan 0. Vandaag zullen we ook kijken naar een logaritme waarvan het grondtal het getal e is. Zo'n logaritme wordt gewoonlijk de natuurlijke logaritme genoemd. Het heeft zijn eigen notatie: $\ln(n)$ is de natuurlijke logaritme. Deze invoer is gelijk aan de invoer: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Exponentiële en logaritmische functies zijn inverse, de natuurlijke logaritme is dan de inverse van de functie: $y=e^x$.
Inverse functies zijn symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn $y=x$.
Laten we de natuurlijke logaritme uitzetten door de exponentiële functie uit te zetten ten opzichte van de rechte lijn $y=x$.
Het is vermeldenswaard dat de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie $y=e^x$ in punt (0;1) 45° is. Dan zal de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de natuurlijke logaritme in punt (1;0) ook gelijk zijn aan 45°. Beide raaklijnen zullen evenwijdig zijn aan de lijn $y=x$. Laten we de raaklijnen diagrammen: 
Eigenschappen van de functie $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Is noch even, noch oneven.
3. Toename over het hele definitiedomein.
4. Niet beperkt van bovenaf, niet beperkt van onderaf.
5. Er is geen grootste waarde, geen minimumwaarde.
6. Continu.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convex naar boven.
9. Overal differentieerbaar.
Op de hoogte hogere wiskunde dat is bewezen de afgeleide van een inverse functie is de inverse van de afgeleide van een bepaalde functie.
Het heeft niet veel zin om dieper op het bewijs in te gaan, laten we gewoon de formule schrijven: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Voorbeeld.
Bereken de waarde van de afgeleide van de functie: $y=\ln(2x-7)$ op punt $x=4$.
Oplossing.
IN algemeen beeld onze functie wordt weergegeven door de functie $y=f(kx+m)$, we kunnen de afgeleiden van dergelijke functies berekenen.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Laten we de waarde van de afgeleide op het vereiste punt berekenen: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Antwoord: 2.
Voorbeeld.
Teken een raaklijn aan de grafiek van de functie $y=ln(x)$ in het punt $х=е$.
Oplossing.
We herinneren ons nog goed de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie in het punt $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
We berekenen achtereenvolgens de vereiste waarden.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
De raaklijnvergelijking op het punt $x=e$ is de functie $y=\frac(x)(e)$.
Laten we de natuurlijke logaritme en de raaklijn uitzetten. 
Voorbeeld.
Bestudeer de functie voor monotoniciteit en extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Oplossing.
Het definitiedomein van de functie $D(y)=(0;+∞)$.
Laten we de afgeleide van de gegeven functie vinden:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
De afgeleide bestaat voor alle x uit het definitiedomein, er zijn dan geen kritische punten. Laten we stationaire punten vinden:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Het punt $x=-1$ behoort niet tot het definitiedomein. Dan hebben we één stationair punt $x=1$. Laten we de intervallen van stijgen en dalen vinden: 
Punt $x=1$ is het minimumpunt, daarna $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Antwoord: De functie neemt af op het segment (0;1], de functie neemt toe op de straal $)
Laden...
