Het probleem van het vinden van een primitieve functie heeft niet altijd een oplossing, terwijl we elke functie kunnen differentiëren. Dit verklaart het ontbreken van een universele integratiemethode.

In dit artikel zullen we voorbeelden bekijken met gedetailleerde oplossingen basismethoden voor het vinden van de onbepaalde integraal. We zullen ook de typen integrandfuncties groeperen die kenmerkend zijn voor elke integratiemethode.

Paginanavigatie.

Directe integratie.

De belangrijkste methode om een ​​primitieve functie te vinden is ongetwijfeld directe integratie met behulp van een tabel met primitieve getallen en de eigenschappen van de onbepaalde integraal. Alle andere methoden worden alleen gebruikt om de oorspronkelijke integraal terug te brengen tot een tabelvorm.

Voorbeeld.

Zoek het setje primitieve functies.

Oplossing.

Laten we de functie in de vorm schrijven.

Sinds de integraal van de som van functies gelijk aan de som integralen dus

De numerieke coëfficiënt kan uit het integraalteken worden gehaald:

De eerste van de integralen wordt daarom gereduceerd tot tabelvorm, daarom hebben we uit de tabel met primitieven voor de exponentiële functie .

Om de tweede integraal te vinden, gebruiken we de tabel met primitieve woorden voor de machtsfunctie en de regel . Dat wil zeggen, .

Vandaar,

Waar

Integratie door middel van substitutiemethode.

De essentie van de methode is dat we een nieuwe variabele introduceren, de integrand uitdrukken via deze variabele, en als resultaat komen we tot een tabellarische (of eenvoudigere) vorm van de integraal.

Heel vaak helpt de substitutiemethode bij het integreren trigonometrische functies en functioneert met radicalen.

Voorbeeld.

Vind de onbepaalde integraal .

Oplossing.

Laten we een nieuwe variabele introduceren. Laten we x tot en met z uitdrukken:

We vervangen de resulterende uitdrukkingen door de oorspronkelijke integraal:

Uit de tabel met primitieve namen die we hebben .

Rest ons nog terug te keren naar de oorspronkelijke variabele x:

Antwoord:

Heel vaak wordt de substitutiemethode gebruikt bij het integreren van goniometrische functies. Gebruik bijvoorbeeld een universeel trigonometrische vervanging Hiermee kunt u de integrand transformeren in een fractioneel rationele vorm.

Met de substitutiemethode kunt u de integratieregel uitleggen .

We introduceren dan een nieuwe variabele

We vervangen de resulterende uitdrukkingen door de oorspronkelijke integraal:

Als we de oorspronkelijke variabele x accepteren en terugkeren, krijgen we

Het differentieelteken indienen.

De methode voor het subsumeren van het differentiaalteken is gebaseerd op het reduceren van de integrand tot de vorm . Vervolgens wordt de substitutiemethode gebruikt: er wordt een nieuwe variabele geïntroduceerd en nadat we de primitief voor de nieuwe variabele hebben gevonden, keren we terug naar de oorspronkelijke variabele, dat wil zeggen

Plaats het voor het gemak voor uw ogen in de vorm van differentiëlen om het gemakkelijker te maken de integrand te converteren, evenals een tabel met primitieve waarden om te zien in welke vorm de integrand moet worden omgezet.

Laten we bijvoorbeeld de verzameling primitieve waarden van de cotangensfunctie vinden.

Voorbeeld.

Vind de onbepaalde integraal.

Oplossing.

De integrand kan worden getransformeerd met behulp van trigonometrieformules:

Als we naar de tabel met afgeleiden kijken, concluderen we dat de uitdrukking in de teller kan worden ondergebracht onder het differentiaalteken , Daarom

Dat is .

Laat het dan zo zijn . Uit de tabel met primitieve namen zien we dat . Terugkeren naar de oorspronkelijke variabele .

Zonder uitleg wordt de oplossing als volgt geschreven:

Integratie per deel.

Gedeeltelijke integratie is gebaseerd op het voorstellen van de integrand als een product en het vervolgens toepassen van de formule. Deze methode is een zeer krachtig integratiehulpmiddel. Afhankelijk van de integrand moet de methode van partiële integratie soms meerdere keren achter elkaar worden toegepast voordat het resultaat wordt verkregen. Laten we bijvoorbeeld de verzameling primitieve waarden van de boogtangensfunctie vinden.

Voorbeeld.

Bereken de onbepaalde integraal.

Oplossing.

Laat het dan zo zijn

Opgemerkt moet worden dat bij het vinden van de functie v(x) geen willekeurige constante C moet worden toegevoegd.

Nu passen we de formule voor integratie door delen toe:

We berekenen de laatste integraal met behulp van de methode van het subsumeren van het differentiaalteken.

Sindsdien . Dat is waarom

Vandaar,

Waar .

Antwoord:

De belangrijkste problemen bij het integreren in delen komen voort uit de keuze: welk deel van de integrand moet worden genomen als de functie u(x) en welk deel als de differentiaal d(v(x)). Er zijn echter wel een aantal standaardaanbevelingen, waarmee wij u aanraden om vertrouwd te raken in de paragraaf Integratie per onderdeel.

Bij het integreren machtsuitdrukkingen, bijvoorbeeld of , gebruik terugkerende formules waarmee u de mate van stap tot stap kunt verlagen. Deze formules worden verkregen door opeenvolgende herhaalde integratie in delen. We raden u aan om vertrouwd te raken met de sectie-integratie met behulp van herhalingsformules.

Tot slot wil ik al het materiaal in dit artikel samenvatten. De basis van de fundamenten is de methode van directe integratie. De substitutiemethoden, substitutie onder het differentiaalteken en de methode van integratie in delen maken het mogelijk om de oorspronkelijke integraal terug te brengen tot een tabellarische.

Omdat we het nu alleen over de onbepaalde integraal zullen hebben, zullen we kortheidshalve de term “onbepaald” weglaten.

Om integralen te leren berekenen (of, zoals ze zeggen, functies te integreren), moet je eerst de tabel met integralen leren:

Tabel1. Tabel met integralen

2. ( ), u>0. 2a. (α=0); 2b. (a=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10.00 uur 11. 11.00 uur 12. 13. 13a.

Bovendien heb je de mogelijkheid nodig om de afgeleide van een bepaalde functie te berekenen, wat betekent dat je de differentiatieregels en de tabel met afgeleiden van elementaire basisfuncties moet onthouden:

Tabel 2. Tabel met derivaten en differentiatieregels:

6.a .

(zonde En) = cos En  En (co u) = – zonde En En

We hebben ook het vermogen nodig om het differentieel van een functie te vinden. Bedenk dat het differentieel van de functie
zoeken via formule
, d.w.z. het differentieel van een functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie en het differentieel van zijn argument. Het is nuttig om de volgende bekende relaties in gedachten te houden:

Tabel 3. Differentiële tabel

1. (B= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (B= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Bovendien kunt u deze formules gebruiken door ze van links naar rechts of van rechts naar links te lezen.

Laten we achtereenvolgens de drie belangrijkste methoden voor het berekenen van de integraal bekijken. De eerste van hen wordt genoemd via directe integratiemethode. Het is gebaseerd op het gebruik van de eigenschappen van de onbepaalde integraal en omvat twee hoofdtechnieken: uitbreiding van een integraal naar een algebraïsche som eenvoudiger en abonneren op het differentieel teken, en deze technieken kunnen zowel onafhankelijk als in combinatie worden gebruikt.

A) Laten we eens overwegen algebraïsche somexpansie– deze techniek omvat het gebruik van identieke transformaties van de integrand en de lineariteitseigenschappen van de onbepaalde integraal:
En .

Voorbeeld 1. Zoek de integralen:

A)
; B)
;

V)
G)

D)
.

Oplossing.

A)Laten we de integrand transformeren door de teller term voor term te delen:

De eigenschap van bevoegdheden wordt hier gebruikt:
.

b) Eerst transformeren we de teller van de breuk, daarna delen we de teller term voor term door de noemer:

De eigenschap graden wordt hier ook gebruikt:
.

De hier gebruikte eigenschap is:
,
.

.

Hier worden formules 2 en 5 uit tabel 1 gebruikt.

Voorbeeld 2. Zoek de integralen:

A)
; B)
;

V)
G)

D)
.

Oplossing.

A)Laten we de integrand transformeren met behulp van de trigonometrische identiteit:

.

Hier gebruiken we opnieuw de term-voor-term deling van de teller door de noemer en de formules 8 en 9 van Tabel 1.

b) We transformeren op dezelfde manier, met behulp van de identiteit
:

.

c) Deel eerst de teller term voor term door de noemer en haal de constanten uit het integraalteken, gebruik vervolgens de trigonometrische identiteit
:

d) Pas de formule toe om de graad te verminderen:

,

e) Met behulp van trigonometrische identiteiten transformeren we:

B) Laten we eens kijken naar de integratietechniek, die p wordt genoemd door het onder het differentieelteken te plaatsen. Deze techniek is gebaseerd op de invariantie-eigenschap van de onbepaalde integraal:

Als
, en vervolgens voor elke differentieerbare functie En = En(X) vindt plaats:
.

Met deze eigenschap kunnen we de tabel met eenvoudige integralen aanzienlijk uitbreiden, omdat dankzij deze eigenschap de formules in Tabel 1 niet alleen geldig zijn voor de onafhankelijke variabele En, maar ook in het geval waarin En– een differentieerbare functie van een andere variabele.

Bijvoorbeeld,
, maar ook
, En
, En
.

Of
En
, En
.

De essentie van de methode is om het differentieel van een bepaalde functie in een gegeven integrand te isoleren, zodat dit geïsoleerde differentieel, samen met de rest van de uitdrukking, een tabelformule voor deze functie vormt. Indien nodig kunnen tijdens een dergelijke conversie constanten worden toegevoegd. Bijvoorbeeld:

(in het laatste voorbeeld geschreven ln(3 + X 2) in plaats van ln|3 + X 2 | , aangezien de uitdrukking 3 + is X 2 is altijd positief).

Voorbeeld 3. Zoek de integralen:

A)
; B)
;
;

V)
G)
;
;

D)
;
.

Oplossing.

A) .

e)

En)
;

.

H)

Hier worden de formules 2a, 5a en 7a van tabel 1 gebruikt, waarvan de laatste twee precies worden verkregen door het differentiële teken samen te vatten:

.

Integreer weergavefuncties

V)

.

komt heel vaak voor in het kader van het berekenen van integralen van complexere functies. Om de hierboven beschreven stappen niet elke keer te herhalen, raden wij u aan de overeenkomstige formules in Tabel 1 te onthouden.

Hier wordt formule 3 uit tabel 1 gebruikt.

.

c) Op dezelfde manier, rekening houdend met dat, transformeren we:

Hier wordt formule 2c uit Tabel 1 gebruikt.

.

D) ; Zoek de integralen:

e)
En) ;

V)
.

Oplossing.

H)

Voorbeeld 4.

A)
:

B)

Hier worden, naast formules 2 en 8 van Tabel 1, ook de formules van Tabel 3 gebruikt:
,
.

Voorbeeld 5. Zoek de integralen:

A)
; B)

V)
;
.

Oplossing.

G)
a) Werk
kan worden aangevuld (zie formules 4 en 5 van Tabel 3) tot het differentieel van de functie , Waar A B En
– eventuele constanten,
.

. Waar vandaan inderdaad

.

Dan hebben we:
b) Met behulp van formule 6 uit tabel 3 hebben we dat gedaan
, en ook
, wat de aanwezigheid in de integrand van het product betekent
betekent een hint: onder het differentieelteken moet u de uitdrukking invoeren

. Daarom krijgen wij
c) Hetzelfde als in punt b), het product
kan worden uitgebreid tot differentiële functies

.

. Dan krijgen we:

d) Eerst gebruiken we de lineariteitseigenschappen van de integraal: Zoek de integralen:

A)
; Voorbeeld 6.
;

B)
V)
.

Oplossing.

A); G)
Gezien dat

(formule 9 van tabel 3), transformeren we:

b) Met behulp van formule 12 uit tabel 3 krijgen we:

c) Rekening houdend met formule 11 van tabel 3 transformeren we

.

d) Met behulp van formule 16 van Tabel 3 verkrijgen we: Zoek de integralen:

A)
; B)
;

V)
; V)
.

Oplossing.

A)Voorbeeld 7. Alle integralen die in dit voorbeeld worden gepresenteerd, hebben een gemeenschappelijk kenmerk

.

B)

.

: De integrand bevat een kwadratische trinominaal. Daarom zal de methode voor het berekenen van deze integralen gebaseerd zijn op dezelfde transformatie: het isoleren van het volledige vierkant in deze kwadratische trinominaal.

V)

G) En De methode voor het vervangen van een differentieel teken is een mondelinge implementatie van een meer algemene methode voor het berekenen van een integraal, de zogenaamde substitutiemethode of verandering van variabele. Elke keer dat we in Tabel 1 een geschikte formule selecteerden voor de formule die werd verkregen als resultaat van het onderbrengen van het functiedifferentiaalteken, vervingen we mentaal de letter

functie geïntroduceerd onder het differentiaalteken. Als integratie door het subsumeren van het differentiaalteken niet zo goed werkt, kunt u de variabele daarom direct wijzigen. Meer details hierover in de volgende paragraaf. Deze methode komt neer op het integreren van de differentiaalvergelijking van de gebogen as van de ligger (9.1) met de bekende wet van verandering in buigmomenten M (X). Ervan uitgaande dat de buigstijfheid van de balk constant is(EJ z

= const) en door vergelijking (9.1 sequentieel te integreren) verkrijgen we

Om de notatie te vereenvoudigen, zijn in uitdrukkingen (9.5) en hieronder de indices van de traagheidsmomenten en buigmomenten weggelaten. Uitdrukkingen (9.5) stellen ons in staat analytische wetten te verkrijgen voor veranderingen in doorbuigingen en rotatiehoeken in een straal. Integratieconstanten opgenomen in (9.5) C 1

Kinematische randvoorwaarden weerspiegelen de aard van de bevestiging (ondersteuning) van de balk en worden ingesteld ten opzichte van doorbuigingen en rotatiehoeken. Voor een eenvoudig ondersteunde balk (Fig. 9.4) karakteriseren de randvoorwaarden bijvoorbeeld de afwezigheid van doorbuigingen op de steunen: x = 0, x = /, v = 0. Voor een vrijdragende balk (Fig. 9.5) karakteriseren de randvoorwaarden de gelijkheid van de doorbuiging en de rotatiehoek in de stijve inbedding tot nul: x = 0, v= 0; gem = 0.

Er worden passende omstandigheden gesteld aan de grenzen van secties met verschillende veranderingswetten in buigmomenten. Bij afwezigheid van tussenliggende scharnieren en zogenaamde parallellogrammechanismen (glijders) bestaan ​​de paringsomstandigheden uit de gelijkheid van doorbuigingen en rotatiehoeken in de secties links en rechts van de grens van de secties, dat wil zeggen dat ze de continuïteit karakteriseren en gladheid van de gebogen as van de balk. Voor de balk in Fig. 9.4 kan worden geschreven: X = A, en = en

Onder voorbehoud van beschikbaarheid N secties met verschillende veranderingswetten in buigmomenten, zal de uitdrukking voor doorbuiging 2 bevatten N integratieconstanten. Met behulp van randvoorwaarden en voorwaarden voor het verbinden van secties kunnen we systeem 2 verkrijgen N lineaire algebraïsche vergelijkingen met betrekking tot deze constanten. Nadat alle integratieconstanten zijn bepaald, zullen de veranderingswetten u(x) en ср(х) binnen elke sectie van de balk worden vastgesteld. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het bepalen van doorbuigingen en rotatiehoeken in liggers met behulp van de directe integratiemethode.

Voorbeeld 9.1. Laten we analytische uitdrukkingen definiëren voor u(lc) en cp(x) in een vrijdragende balk die gelijkmatig wordt belast verdeelde belasting(Fig. 9.6) en bereken de waarden van deze grootheden aan het vrije uiteinde.

Het buigmoment in de balk over de gehele lengte varieert volgens de wet van een vierkante parabool:

Laten we deze uitdrukking vervangen door oplossing (9.5) en deze integreren:

Met behulp van de randvoorwaarden bepalen we de integratieconstanten:

Laten we de uiteindelijke uitdrukkingen voor doorbuigingen en rotatiehoeken in de balk opschrijven en de waarden van deze grootheden aan het vrije uiteinde bepalen:

Voorbeeld 9.2. Voor een eenvoudig ondersteunde balk die aan het uiteinde wordt belast met een geconcentreerde kracht (Fig. 9.7), definiëren we uitdrukkingen voor y(x) en (p(x) en berekenen we de waarden van deze grootheden in karakteristieke secties.

Diagram Deze methode komt neer op het integreren van de differentiaalvergelijking van de gebogen as van de ligger (9.1) met de bekende wet van verandering in buigmomenten getoond in afb. 9.7. Buigmomenten hebben verschillende veranderingswetten in de eerste en tweede secties van de balk. We integreren de differentiaalvergelijking van de gebogen as binnen elke sectie.

Eerste deel (0 2a):

Tweede deel (2 , Waar

Om de vier integratieconstanten C, C 2, Dx En D2 we stellen randvoorwaarden en voorwaarden voor het verbinden van secties:

Uit de voorwaarde voor het conjugeren van de secties verkrijgen we de gelijkheid van de integratieconstanten in de eerste en tweede sectie: C ( = D v C 2 = D T Met behulp van randvoorwaarden vinden we de waarden van de constanten:

Laten we de uiteindelijke uitdrukkingen voor u(x) en cp(x) binnen elke sectie opschrijven:

In deze uitdrukkingen komt een verticale balk met een getal onderaan overeen met de grens van elk gebied. Binnen het eerste deel v en cp worden bepaald door de functies tot aan de verticale lijn met het getal 1, en binnen de tweede sectie - tot aan de verticale lijn met het getal 2, dat wil zeggen door alle functies.

Laten we berekenen v en (p in karakteristieke delen van de balk:

Binnen het eerste gedeelte verandert het teken van de rotatiehoek naar het tegenovergestelde. Laten we de positie instellen van het gedeelte waar de rotatiehoek nul wordt:

In sectie x =x Q de afbuiging van de straal heeft een extremum. We berekenen de waarde ervan:

Ter vergelijking bepalen we de mate van doorbuiging van de balk in het midden van de overspanning:

Opgemerkt kan worden dat de extreme doorbuiging zeer weinig (2,6%) afwijkt van de doorbuiging in het midden van de overspanning.

Laten we een numerieke berekening uitvoeren op P= 20 kN en , Waar= 1,6 m. Laten we het gedeelte van de balk selecteren in de vorm van een I-balk van gewalst staal, waarbij we de betrouwbaarheidsfactor van de belasting nemen j^= 1.2, bedrijfsomstandighedencoëfficiënt y c = 1, ontwerpweerstand van het materiaal R= 210 MPa = = 21 kN/cm 2 en elasticiteitsmodulus van staal E- 2,1 10 4 kN/cm2.

Wij accepteren 120, W z = 184cm3, J= 1840 cm4.

Laten we berekenen hoogste waarden hoek van rotatie en afbuiging in de straal. Volgens SNiP voeren wij berekeningen uit op basis van het effect van standaardbelastingen.

Uit het beschouwde voorbeeld wordt duidelijk dat als er meerdere secties in de ligger zijn met verschillende veranderingswetten in buigmomenten, de directe integratiemethode omslachtig en ongemakkelijk wordt.

Er wordt een overzicht gegeven van de berekeningsmethoden onbepaalde integralen. De belangrijkste integratiemethoden worden besproken, waaronder het integreren van de som en het verschil, het plaatsen van een constante buiten het integraalteken, het vervangen van een variabele en het integreren in delen. Ook overwogen speciale methoden en technieken voor het integreren van breuken, wortels, trigonometrische en exponentiële functies.

Inhoud

Regel voor het integreren van sommen (verschillen)

De constante buiten het integraalteken verplaatsen

Laat c een constante zijn die onafhankelijk is van x.

Dan kan het uit het integraalteken worden gehaald:

Variabele vervanging
.
Laat x dan een functie zijn van de variabele t, x = φ(t).
.

Of omgekeerd, t = φ(x) ,

Met behulp van een verandering van variabele kunt u niet alleen eenvoudige integralen berekenen, maar ook de berekening van complexere integralen vereenvoudigen.

Regel voor integratie op basis van onderdelen

Laten we de notatie introduceren. Laat P k (x), Q m (x), R n (x) polynomen van respectievelijk de graden k, m, n aanduiden met betrekking tot de variabele x.

Beschouw een integraal bestaande uit een fractie polynomen (de zogenaamde rationale functie):

Als k ≥ n, dan moet je eerst het hele deel van de breuk selecteren:
.
De integraal van de polynoom Sk-n (x) wordt berekend met behulp van de tabel met integralen.

De integraal blijft:
, waar m< n .
Om het te berekenen, moet de integrand worden ontleed in eenvoudige breuken.

Om dit te doen, moet je de wortels van de vergelijking vinden:
Qn(x) = 0 .
Met behulp van de verkregen wortels moet je de noemer weergeven als een product van factoren:
Q n (x) = s (x-a) n een (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Hier is s de coëfficiënt voor x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Splits hierna de breuk op in de eenvoudigste vorm:

Door te integreren verkrijgen we een uitdrukking die bestaat uit eenvoudiger integralen.
Integralen van de vorm

worden gereduceerd tot tabellarische substitutie t = x - a.

Beschouw de integraal:

Laten we de teller transformeren:
.
Door de integrand te vervangen, verkrijgen we een uitdrukking die twee integralen omvat:
,
.
De eerste wordt door substitutie t = x 2 + ex + f gereduceerd tot een tabelvorm.
Ten tweede, volgens de reductieformule:

wordt gereduceerd tot de integraal

Laten we de noemer terugbrengen tot de som van de kwadraten:
.
Vervolgens door substitutie de integraal

wordt ook in tabelvorm weergegeven.

Integratie van irrationele functies

Laten we de notatie introduceren. Laat R(u 1, u 2, ..., u n) een rationale functie betekenen van de variabelen u 1, u 2, ..., u n.
,
Dat is

waarbij P, Q polynomen zijn in de variabelen u 1, u 2, ..., u n.

Fractionele lineaire irrationaliteit
,
Laten we integralen van de vorm bekijken:
waar zijn rationale getallen, m 1, n 1, ..., m s, ns gehele getallen. Laat n - gemeenschappelijke noemer
getallen r 1, ..., r s.
.

Vervolgens wordt de integraal door substitutie gereduceerd tot de integraal van rationale functies:

Beschouw de integraal:
,
Integralen uit differentiële binomialen
waarbij m, n, p rationale getallen zijn, a, b zijn reële getallen.

Dergelijke integralen worden in drie gevallen gereduceerd tot integralen van rationale functies.
1) Als p een geheel getal is. Vervanging x = t N, waarbij N de gemeenschappelijke noemer is van de breuken m en n.
2) Als - een geheel getal. Vervanging a x n + b = t M, waarbij M de noemer is van het getal p.

3) Als - een geheel getal. Vervanging a + b x - n = t M, waarbij M de noemer is van het getal p.

In sommige gevallen is het eerst nuttig om de integraal te reduceren tot handiger waarden m en p.
;
.

Dit kan gedaan worden met behulp van reductieformules:

Integralen die de vierkantswortel van een vierkante trinominaal bevatten
,

Hier beschouwen we integralen van de vorm:

Euler-vervangingen
Dergelijke integralen kunnen worden teruggebracht tot integralen van rationale functies van een van de drie Euler-substituties:
, voor a > 0;
, voor c > 0 ;

, waarbij x 1 de wortel is van de vergelijking a x 2 + b x + c = 0.

Als deze vergelijking echte wortels heeft.

Trigonometrische en hyperbolische substituties

Directe methoden

In de meeste gevallen resulteren Euler-substituties in langere berekeningen dan directe methoden. Met behulp van directe methoden wordt de integraal teruggebracht tot een van de onderstaande vormen.
,
Type ik

Integraal van de vorm:

waarbij Pn(x) een polynoom van graad n is.

Dergelijke integralen worden gevonden door de methode van onbepaalde coëfficiënten met behulp van de identiteit:

In de meeste gevallen resulteren Euler-substituties in langere berekeningen dan directe methoden. Met behulp van directe methoden wordt de integraal teruggebracht tot een van de onderstaande vormen.
,
Door deze vergelijking te differentiëren en de linker- en rechterkant gelijk te stellen, vinden we de coëfficiënten A i.

Type II waarbij P m (x) een polynoom van graad m is. Vervanging t =

(x - α) -1

deze integraal wordt teruggebracht tot het vorige type. Als m ≥ n, dan moet de breuk een geheel getal hebben.
.

III-type
.
Het derde en meest complexe type:
.
Hier moet u een vervanging uitvoeren:
Daarna zal de integraal de vorm aannemen:
Vervolgens moeten de constanten α, β zo worden gekozen dat de coëfficiënten voor t nul worden:
;
,
B=0, B1=0.
Vervolgens valt de integraal uiteen in de som van integralen van twee typen:
die respectievelijk zijn geïntegreerd door vervangingen:

z 2 = EEN 1 t 2 + C 1 ;

y 2 = EEN 1 + C 1 t -2 .

Algemeen geval

Integratie van transcendentale (trigonometrische en exponentiële) functies

Laten we vooraf opmerken dat de methoden die toepasbaar zijn voor trigonometrische functies ook toepasbaar zijn voor hyperbolische functies. Om deze reden zullen we de integratie van hyperbolische functies niet afzonderlijk beschouwen.
,
Integratie van rationele trigonometrische functies van cos x en sin x

Laten we integralen van trigonometrische functies van de vorm bekijken:
waarbij R een rationale functie is. Dit kunnen ook raaklijnen en cotangensen omvatten, die moeten worden omgezet met behulp van sinussen en cosinussen. Bij het integreren van dergelijke functies is het handig om drie regels in gedachten te houden: 1) als R( cos x, zonde x) vermenigvuldigd met -1 vanaf de tekenverandering vóór een van de grootheden omdat x of
zonde x Bij het integreren van dergelijke functies is het handig om drie regels in gedachten te houden:, dan is het nuttig om de andere aan te duiden met t. cos x, zonde x) En omdat x 2) als R( verandert niet als gevolg van een tekenwijziging op hetzelfde moment eerder vermenigvuldigd met -1 vanaf de tekenverandering vóór een van de grootheden , dan is het handig om te zetten.
3) substitutie leidt in alle gevallen tot de integraal van de rationale breuk. Helaas resulteert deze vervanging in langere berekeningen dan de vorige, indien van toepassing.

Product van machtsfuncties van cos x en sin x

Fractionele lineaire irrationaliteit

Als m en n rationale getallen zijn, dan is een van de substituties t = omdat x of t = cos x, zonde x) de integraal wordt gereduceerd tot de integraal van de differentiële binominale.

Als m en n gehele getallen zijn, worden de integralen berekend door partiële integratie. Dit levert de volgende reductieformules op:

;
;
;
.

Integratie per deel

Toepassing van de formule van Euler

Als de integrand lineair is ten opzichte van een van de functies
cos bijl vermenigvuldigd met -1 vanaf de tekenverandering vóór een van de grootheden sinax, dan is het handig om de formule van Euler toe te passen:
e iax = cos bijl + isin bijl(waar ik 2 = - 1 ),
deze functie vervangen door e iax en het benadrukken van de echte (bij het vervangen cos bijl) of denkbeeldig onderdeel (bij vervanging sinax) van het verkregen resultaat.

Gebruikte literatuur:
NM Günther, R.O. Kuzmin, Verzameling van problemen hogere wiskunde, "Lan", 2003.

Zie ook:

Directe integratie

Berekening van onbepaalde integralen met behulp van een tabel met integralen en hun basiseigenschappen wordt genoemd directe integratie.

Voorbeeld 1. Laten we de integraal vinden

.

Door de tweede en vijfde eigenschappen van de onbepaalde integraal toe te passen, verkrijgen we

.(*)

Gebruik vervolgens de formulesII, Sch,IV, VIIItabellen en de derde eigenschap van integralen, vinden we elk van de termen van de integralen afzonderlijk:

= ,

,

Laten we deze resultaten vervangen door (*) en, wat de som van alle constanten aangeeft(3 MET 1 +7MET 2 +4MET 3 +2MET 4 +MET 5) brief MET, krijgen we uiteindelijk:

Laten we het resultaat controleren door differentiatie. Laten we de afgeleide van de resulterende uitdrukking vinden:

We hebben de integrand verkregen, dit bewijst dat de integratie correct is uitgevoerd.

Voorbeeld 2 . Wij zullen vinden

.

De tabel met integralen toont het gevolgIIIA uit de formule III:

Om dit uitvloeisel te gebruiken, vinden we het differentieel van een functie in de exponent:

Om dit verschil te creëren, volstaat het om de noemer van de breuk onder de integraal met het getal te vermenigvuldigen 2 (om ervoor te zorgen dat de breuk niet verandert, is het uiteraard noodzakelijk om te vermenigvuldigen met 2 en teller). Nadat de constante factor buiten het integraalteken is geplaatst, is deze klaar om de tabelformule toe te passenIIIA:

.

Inspectie:

daarom is de integratie correct uitgevoerd.

Voorbeeld 3 . Wij zullen vinden

Omdat het differentieel van een kwadratische functie kan worden geconstrueerd uit de uitdrukking in de teller, moet de volgende functie in de noemer worden onderscheiden:

.

Om het verschil te creëren het is voldoende om de teller met 4 te vermenigvuldigen (we vermenigvuldigen ook de noemer met 4 en haal deze factor van de noemer uit de integraal). Als gevolg hiervan kunnen we de tabelformule gebruikenX:

Inspectie:

,

die. de integratie is correct uitgevoerd.

Voorbeeld 4 . Wij zullen vinden

Merk op dat nu de kwadratische functie waarvan het differentieel kan worden gemaakt in de teller, is een radicale uitdrukking. Daarom zou het redelijk zijn om de integrand als een machtsfunctie te schrijven om de formule te gebruikenItabellen met integralen:

Inspectie:

Conclusie: de integraal is correct gevonden.

Voorbeeld 5. Wij zullen vinden

Laten we er rekening mee houden dat de integrand bevat

functie ; en zijn differentieel. Maar de breuk is ook het differentieel van de gehele radicale uitdrukking (tot teken):

Daarom is het redelijk om de breuk in de vorm weer te geven graden:

Vervolgens krijgen we, na het vermenigvuldigen van de teller en de noemer met (-1), een machtsintegraal (tabelformuleI):

Door het resultaat te differentiëren, zorgen we ervoor dat de integratie correct wordt uitgevoerd.

Voorbeeld 6. Wij zullen vinden

Het is gemakkelijk in te zien dat in deze integraal uit de uitdrukking het differentieel van de radicaalfunctie niet kan worden verkregen met behulp van numerieke coëfficiënten. Echt,

,

Waar k -constante. Maar uit ervaring voorbeeld 3 , het is mogelijk een integraal te construeren die qua vorm identiek is aan de formuleXuit de tabel met integralen:

Voorbeeld 7. Wij zullen vinden

Laten we er op letten dat het differentieel van een derdegraadsfunctie gemakkelijk in de teller kan worden gecreëerdD(X 3 ) = 3 X 2 dx. Daarna krijgen we de mogelijkheid om de tabelformule te gebruikenVI:

Voorbeeld 8. Wij zullen vinden

Het is bekend dat de afgeleide van de functie arcsin X is een breuk

Dan

.

Dit brengt ons tot de conclusie dat de vereiste integraal de vorm heeft van een machtsintegraal: , waarinen = arcsin X, wat betekent

Voorbeeld 9 . Te vinden

laten we dezelfde tabel gebruiken formule I en het feit dat

Wij krijgen

Voorbeeld 10 . Wij zullen vinden

Omdat de uitdrukking het differentieel van de functie is, gebruik dan de formule I tabellen met integralen, krijgen we

Voorbeeld 11. Om de integraal te vinden

Laten we het opeenvolgend gebruiken: trigonometrische formule

,

door het feit dat

en formule IItabellen met integralen:

Voorbeeld 12 . Wij zullen vinden

.

Sinds de uitdrukking

is het differentieel van de functie en gebruik vervolgens dezelfde formuleII, wij krijgen

Voorbeeld 13 . Laten we de integraal vinden

Merk op dat de graad van de variabele in de teller één minder is dan in de noemer. Hierdoor kunnen we een verschil in de teller creërennoemer. Wij zullen vinden

.

Nadat we de constante factor uit het integraalteken hebben gehaald, vermenigvuldigen we de teller en de noemer van de integrand met (-7), we krijgen:

(Dezelfde formule werd hier gebruiktIIuit de tabel met integralen).

Voorbeeld 14. Laten we de integraal vinden

.

Laten we ons de teller in een andere vorm voorstellen: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+x 2 en een term-voor-term-deling uitvoeren, waarna we de vijfde eigenschap van integralen en formules gebruikenI En VIII tafels:

Voorbeeld 15. Wij zullen vinden

Laten we de constante factor voorbij het teken van de integraal nemen, aftrekken en 5 optellen bij de teller, vervolgens de teller term voor term delen door de noemer en de vijfde eigenschap van de integraal gebruiken:

Om de eerste integraal te berekenen, gebruiken we de derde eigenschap van integralen en presenteren we de tweede integraal in een vorm die handig is voor het toepassen van de formuleIX:

Voorbeeld 16. Wij zullen vinden

Merk op dat de exponent van de variabele in de teller één minder is dan in de noemer (wat typisch is voor een afgeleide), wat betekent dat het differentieel van de noemer in de teller kan worden geconstrueerd. Laten we het verschil van de uitdrukking in de noemer vinden:

D(x 2- 5)=(X 2 - 5)" dx = 2 xdx.

Om een ​​constante factor 2 te verkrijgen in de teller van het noemerverschil, moeten we de integrand vermenigvuldigen en delen door 2 en de constante factor eruit halen -

voor het integraalteken

Hier zijn we gebruiktIItafel integraal.

Laten we een soortgelijke situatie in het volgende voorbeeld bekijken.

Voorbeeld 17. Wij zullen vinden

.

Laten we het verschil van de noemer berekenen:

.

Laten we het in de teller maken met behulp van de vierde eigenschap van integralen:

=

Een meer complexe soortgelijke situatie zal worden overwogen voorbeeld 19.

Voorbeeld 18 Wij zullen vinden

.

Laten we een volledig vierkant in de noemer selecteren:

Wij krijgen

.

Nadat we het perfecte kwadraat in de noemer hadden geïsoleerd, kregen we een integrale vorm die dicht bij de formules lagVIII En IXtabellen met integralen, maar in de noemer van de formuleVIIIde termen van de volledige vierkanten hebben dezelfde tekens, en in de noemer van onze integraal zijn de tekens van de termen verschillend, hoewel ze niet samenvallen met de tekens van de negende formule. Zorg ervoor dat de tekens van de termen in de noemer volledig samenvallen met de tekens in de formuleIXis mogelijk door een coëfficiënt (-1) aan de integraal toe te voegen. Dus om de formule toe te passenIXtabellen met integralen, zullen we de volgende activiteiten uitvoeren:

1) plaats (-1) buiten de haakjes in de noemer en vervolgens buiten de integraal;

2) vind het verschil van de uitdrukking

3) creëer het gevonden verschil in de teller;

4) stel je het getal 2 voor in een vorm die handig is om de formule toe te passenIX tafels:

Dan

Gebruiken IXformule van de tabel met integralen, krijgen we

Voorbeeld 19. Wij zullen vinden

.

Gebruikmakend van de ervaring die is opgedaan bij het vinden van integralen in de vorige twee voorbeelden en de resultaten die daarin zijn verkregen, zullen we dit hebben

.

Laten we een aantal ervaringen samenvatten die zijn opgedaan als resultaat van de oplossing voorbeelden 17,18,19.

Dus als we een integraal van de vorm hebben

(voorbeeld 18 ), Dat, door het volledige kwadraat in de noemer te isoleren, kun je tot een van de tabelformules komenVIII of IX.

De integraal is van de vorm

(voorbeeld 19 ) na het creëren van de afgeleide van de noemer in de teller, splitst deze zich in twee integralen: de eerste heeft de vorm

( voorbeeld 17 ), overgenomen uit de formuleP en het tweede type

(voorbeeld 18 ), overgenomen uit een van de formulesVIII of IX.

Voorbeeld 20 . Wij zullen vinden

.

Integraal van de vorm

kan worden teruggebracht tot de vorm van tabelformulesX of XI, waarbij een volledig vierkant in de radicale uitdrukking wordt benadrukt. IN in ons geval

= .

De radicale uitdrukking heeft de vorm

Hetzelfde wordt altijd gedaan bij het berekenen van integralen van de vorm

,

als een van de exponenten een positief oneven getal is, en de tweede een willekeurig getal echt nummer (voorbeeld 23 ).

Voorbeeld 23 . Wij zullen vinden

Gebruikmakend van de ervaring van het vorige voorbeeld en de identiteit

2 zonde 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ

Als we de resulterende som vervangen door de integraal, krijgen we