Zoek de afstand tussen parallelle lijnen. Parallellogram

Er was nog geen minuut verstreken voordat ik een nieuw Verd-bestand aanmaakte en zo'n fascinerend onderwerp voortzette. Je moet momenten van een werkstemming vastleggen, dus er zal geen lyrische introductie zijn. Er zal een prozaïsche pak slaag zijn =)

Twee rechte ruimtes kunnen:

1) kruising;

2) kruisen elkaar op het punt;

3) evenwijdig zijn;

4) overeenkomen.

Zaak nr. 1 verschilt fundamenteel van andere zaken. Twee rechte lijnen snijden elkaar als ze niet in hetzelfde vlak liggen. Hef één arm op en strek de andere arm naar voren - hier is een voorbeeld van kruisende lijnen. In de punten nr. 2-4 moeten de rechte lijnen liggen in één vlak.

Hoe kun je de relatieve posities van lijnen in de ruimte achterhalen?

Beschouw twee directe ruimtes:

– een rechte lijn gedefinieerd door een punt en een richtingsvector;
– een rechte lijn gedefinieerd door een punt en een richtingsvector.

Voor beter begrip laten we het doen schematische tekening:

In de tekening zijn als voorbeeld kruisende rechte lijnen weergegeven.

Hoe om te gaan met deze rechte lijnen?

Omdat de punten bekend zijn, is het gemakkelijk om de vector te vinden.

Als het recht is kruisen, dan de vectoren niet coplanair(zie les Lineaire (niet) afhankelijkheid van vectoren. Basis van vectoren), en daarom is de determinant bestaande uit hun coördinaten niet nul. Of, wat eigenlijk hetzelfde is, het zal niet nul zijn: .

In de gevallen nr. 2-4 “valt” onze structuur in één vlak, terwijl de vectoren coplanair, en het gemengde product van lineair afhankelijke vectoren is gelijk aan nul: .

Laten we het algoritme verder uitbreiden. Laten we dat aannemen Daarom snijden de lijnen elkaar, zijn ze evenwijdig of vallen ze samen.

Als de richtingsvectoren collineair, dan zijn de lijnen evenwijdig of samenvallend. Voor de uiteindelijke spijker stel ik de volgende techniek voor: neem een ​​willekeurig punt op één lijn en vervang de coördinaten ervan in de vergelijking van de tweede lijn; als de coördinaten ‘passen’, dan vallen de lijnen samen; als ze ‘niet passen’, dan zijn de lijnen evenwijdig.

Het algoritme is eenvoudig, maar praktische voorbeelden doet nog steeds geen pijn:

Voorbeeld 11

Ontdek het relatieve positie twee rechte lijnen

Oplossing: zoals bij veel geometrieproblemen is het handig om de oplossing punt voor punt te formuleren:

1) We halen punten en richtingsvectoren uit de vergelijkingen:

2) Zoek de vector:

De vectoren zijn dus coplanair, wat betekent dat de lijnen in hetzelfde vlak liggen en elkaar kunnen snijden, evenwijdig zijn of samenvallen.

4) Laten we de richtingsvectoren controleren op collineariteit.

Laten we een systeem maken op basis van de overeenkomstige coördinaten van deze vectoren:

Van iedereen Uit vergelijkingen volgt dat het systeem daarom consistent is, dat de overeenkomstige coördinaten van de vectoren proportioneel zijn en dat de vectoren collineair zijn.

Conclusie: de lijnen zijn evenwijdig of vallen samen.

5) Ontdek of de lijnen gemeenschappelijke punten hebben. Laten we een punt nemen dat bij de eerste lijn hoort en de coördinaten ervan vervangen door de vergelijkingen van de lijn:

De lijnen hebben dus geen gemeenschappelijke punten en hebben geen andere keuze dan evenwijdig te zijn.

Antwoord:

Interessant voorbeeld Voor onafhankelijke beslissing:

Voorbeeld 12

Ontdek de relatieve posities van de lijnen

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Houd er rekening mee dat de tweede regel de letter als parameter heeft. Logisch. In het algemeen zijn dit twee verschillende lijnen, dus elke lijn heeft zijn eigen parameter.

En nogmaals verzoek ik je dringend om de voorbeelden niet over te slaan, de taken die ik voorstel zijn verre van willekeurig ;-)

Problemen met een lijn in de ruimte

In het laatste deel van de les zal ik proberen erover na te denken maximale hoeveelheid verschillende problemen met ruimtelijke lijnen. In dit geval wordt de oorspronkelijke volgorde van het verhaal in acht genomen: eerst zullen we problemen met kruisende lijnen bekijken, dan met kruisende lijnen, en aan het einde zullen we het hebben over parallelle lijnen in de ruimte. Ik moet echter zeggen dat sommige taken van deze les kunnen worden geformuleerd voor meerdere gevallen van de locatie van lijnen tegelijk, en in dit opzicht is de verdeling van de sectie in paragrafen enigszins willekeurig. Er zijn er meer eenvoudige voorbeelden, er zijn er meer complexe voorbeelden, en ik hoop dat iedereen zal vinden wat hij of zij nodig heeft.

Lijnen overschrijden

Laat me je eraan herinneren dat rechte lijnen elkaar snijden als er geen vlak is waarin ze allebei liggen. Toen ik over de oefening nadacht, kwam er een monsterprobleem in me op, en nu ben ik blij om een ​​draak met vier koppen onder je aandacht te brengen:

Voorbeeld 13

Gegeven rechte lijnen. Vereist:

a) bewijs dat lijnen elkaar snijden;

b) vind de vergelijkingen van een lijn die door een punt loodrecht op de gegeven lijnen gaat;

c) vergelijkingen opstellen van een rechte lijn die bevat gemeenschappelijke loodlijn lijnen kruisen;

d) vind de afstand tussen de lijnen.

Oplossing: Degene die loopt, zal de weg beheersen:

a) Laten we bewijzen dat lijnen elkaar snijden. Laten we de punten en richtingsvectoren van deze lijnen vinden:

Laten we de vector vinden:

Laten we berekenen gemengd product van vectoren:

De vectoren dus niet coplanair, wat betekent dat de lijnen elkaar kruisen, wat moest worden bewezen.

Waarschijnlijk heeft iedereen al lang gemerkt dat voor het overschrijden van lijnen het verificatie-algoritme het kortst is.

b) Zoek de vergelijkingen van de lijn die door het punt gaat en loodrecht op de lijnen staat. Laten we een schematische tekening maken:

Voor de verandering heb ik een direct geplaatst VOOR rechtdoor, kijk hoe het een beetje is uitgewist op de kruispunten. Kruising? Ja, over het algemeen zal de rechte lijn “de” worden gekruist met de originele rechte lijnen. Ook al zijn we niet geïnteresseerd in dit moment, we hoeven alleen maar een loodrechte lijn te construeren en dat is alles.

Wat is er bekend over de directe “de”? Het punt dat erbij hoort is bekend. Er is niet genoeg gidsvector.

Volgens de voorwaarde moet de rechte lijn loodrecht op de rechte lijnen staan, wat betekent dat de richtingsvector loodrecht op de richtingsvectoren zal staan. Laten we, al bekend uit voorbeeld nr. 9, het vectorproduct zoeken:

Laten we de vergelijkingen van de rechte lijn “de” samenstellen met behulp van een punt- en een richtingsvector:

Klaar. In principe kunt u de tekens in de noemers veranderen en het antwoord in het formulier schrijven , maar dit is niet nodig.

Om dit te controleren, moet u de coördinaten van het punt vervangen door de resulterende rechtelijnvergelijkingen en vervolgens gebruiken scalair product van vectoren zorg ervoor dat de vector echt loodrecht staat op de richtingsvectoren “pe one” en “pe two”.

Hoe vind je de vergelijkingen van een lijn met een gemeenschappelijke loodlijn?

c) Dit probleem zal moeilijker zijn. Ik raad dummies aan dit punt over te slaan, ik wil je oprechte sympathie voor analytische meetkunde niet bekoelen =) Trouwens, het is misschien beter voor meer voorbereide lezers om ook te wachten, het feit is dat in termen van complexiteit het voorbeeld moet als laatste in het artikel worden geplaatst, maar volgens de logica van de presentatie moet het hier worden geplaatst.

Je moet dus de vergelijkingen vinden van een lijn die een gemeenschappelijke loodlijn op scheve lijnen bevat.

- dit is een segment dat deze lijnen verbindt en loodrecht op deze lijnen staat:

Hier is onze knappe man: - gemeenschappelijke loodlijn van kruisende lijnen. Hij is de enige. Er is geen ander zoals deze. We moeten vergelijkingen maken voor de lijn die dit segment bevat.

Wat is er bekend over de directe ‘um’? De richtingsvector is bekend, gevonden in de vorige paragraaf. Maar helaas kennen we geen enkel punt dat tot de rechte lijn “em” behoort, noch kennen we de uiteinden van de loodlijn – de punten . Waar snijdt deze loodrechte lijn de twee oorspronkelijke lijnen? In Afrika, op Antarctica? Vanaf de eerste beoordeling en analyse van de aandoening is het helemaal niet duidelijk hoe het probleem moet worden opgelost... Maar er is een lastige truc verbonden aan het gebruik van parametrische vergelijkingen van een rechte lijn.

Wij zullen het besluit puntsgewijs formuleren:

1) Laten we de vergelijkingen van de eerste regel in parametrische vorm herschrijven:

Laten we het punt eens bekijken. We kennen de coördinaten niet. MAAR. Als een punt tot een bepaalde lijn behoort, dan komen de coördinaten ervan overeen met , laten we dit aangeven met . Vervolgens worden de coördinaten van het punt in de vorm geschreven:

Het leven wordt beter, één onbekende is nog steeds niet drie onbekenden.

2) Dezelfde verontwaardiging moet worden gepleegd op het tweede punt. Laten we de vergelijkingen van de tweede regel in parametrische vorm herschrijven:

Als een punt tot een bepaalde lijn behoort, dan met een heel specifieke betekenis de coördinaten moeten voldoen aan de parametervergelijkingen:

Of:

3) Vector zal, net als de eerder gevonden vector, de richtende vector van de rechte lijn zijn. Hoe je een vector vanuit twee punten kunt construeren, werd al sinds mensenheugenis in de klas besproken Vectoren voor dummies. Het verschil is nu dat de coördinaten van de vectoren worden geschreven met onbekende parameterwaarden. Dus wat? Niemand verbiedt het aftrekken van de overeenkomstige coördinaten van het begin van de vector van de coördinaten van het einde van de vector.

Er zijn twee punten: .

De vector vinden:

4) Omdat de richtingsvectoren collineair zijn, wordt de ene vector lineair uitgedrukt via de andere met een bepaalde evenredigheidscoëfficiënt “lambda”:

Of coördinaat per coördinaat:

Het bleek de meest gewone systeem van lineaire vergelijkingen met drie onbekenden, wat standaard oplosbaar is, bijvoorbeeld Cramers methode. Maar hier is het mogelijk om met weinig verlies weg te komen; uit de derde vergelijking zullen we “lambda” uitdrukken en dit vervangen in de eerste en tweede vergelijking:

Dus: , en we hebben geen “lambda” nodig. Dat de parameterwaarden hetzelfde bleken te zijn, is puur toeval.

5) De lucht klaart helemaal op, laten we de gevonden waarden vervangen naar onze punten:

De richtingsvector is niet bijzonder nodig, omdat zijn tegenhanger al is gevonden.

Na lange weg Het is altijd interessant om te controleren.

:

De juiste gelijkheden worden verkregen.

Laten we de coördinaten van het punt in de vergelijkingen vervangen :

De juiste gelijkheden worden verkregen.

6) Slotakkoord: laten we de vergelijkingen van een rechte lijn maken met behulp van een punt (je kunt het nemen) en een richtingsvector:

In principe kun je een “goed” punt selecteren met intacte coördinaten, maar dit is cosmetisch.

Hoe vind je de afstand tussen kruisende lijnen?

d) We snijden de vierde kop van de draak af.

Methode één. Niet eens een manier, maar een kleine speciaal geval. De afstand tussen de kruisende lijnen is gelijk aan de lengte van hun gemeenschappelijke loodlijn: .

Extreme punten van de gemeenschappelijke loodlijn gevonden in de vorige paragraaf, en de taak is elementair:

Methode twee. In de praktijk zijn de uiteinden van de gemeenschappelijke loodlijn meestal onbekend, dus wordt een andere aanpak gebruikt. Door twee elkaar snijdende rechte lijnen kunnen parallelle vlakken worden getekend, en de afstand tussen deze vlakken is gelijk aan de afstand tussen deze rechte lijnen. In het bijzonder steekt er tussen deze vlakken een gemeenschappelijke loodlijn uit.

In de loop van de analytische meetkunde wordt uit bovenstaande overwegingen een formule afgeleid voor het vinden van de afstand tussen elkaar kruisende rechte lijnen:
(in plaats van onze punten “eh één, twee” kun je willekeurige lijnpunten nemen).

Gemengd product van vectoren al gevonden in punt "a": .

Vectorproduct van vectoren gevonden in paragraaf "zijn": , laten we de lengte berekenen:

Dus:

Laten we de trofeeën trots op één rij tonen:

Antwoord:
A) , wat betekent dat rechte lijnen elkaar kruisen, wat moest worden bewezen;
B) ;
V) ;
G)

Wat kun je nog meer vertellen over het overschrijden van lijnen? Er is een gedefinieerde hoek tussen hen. Maar universele formule We zullen de hoek in de volgende paragraaf bekijken:

Snijdende rechte ruimtes liggen noodzakelijkerwijs in hetzelfde vlak:

De eerste gedachte is om met alle macht op het kruispunt te leunen. En ik dacht meteen: waarom jezelf verloochenen de juiste verlangens?! Laten we nu bovenop haar gaan zitten!

Hoe vind je het snijpunt van ruimtelijke lijnen?

Voorbeeld 14

Zoek het snijpunt van lijnen

Oplossing: Laten we de vergelijkingen van lijnen in parametrische vorm herschrijven:

Deze taak werd in detail besproken in voorbeeld nr. 7 van deze les (zie. Vergelijkingen van een lijn in de ruimte). En trouwens, ik heb de rechte lijnen zelf overgenomen uit voorbeeld nr. 12. Ik zal niet liegen, ik ben te lui om nieuwe te bedenken.

De oplossing is standaard en is al tegengekomen toen we de vergelijkingen probeerden te berekenen voor de gemeenschappelijke loodlijn van snijdende lijnen.

Het snijpunt van de lijnen behoort tot de lijn, daarom voldoen de coördinaten ervan aan de parametervergelijkingen van deze lijn en komen ermee overeen een zeer specifieke parameterwaarde:

Maar ditzelfde punt behoort ook tot de tweede regel, dus:

We stellen de overeenkomstige vergelijkingen gelijk en voeren vereenvoudigingen uit:

Een systeem van drie lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Als de lijnen elkaar kruisen (wat wordt bewezen in voorbeeld nr. 12), dan is het systeem noodzakelijkerwijs consistent en heeft het een unieke oplossing. Het kan worden opgelost Gaussische methode, maar laten we niet zondigen met dergelijk kinderfetisjisme, laten we het eenvoudiger doen: vanaf de eerste vergelijking drukken we 'te nul' uit en vervangen we dit door de tweede en derde vergelijking:

De laatste twee vergelijkingen bleken in wezen hetzelfde te zijn, en daaruit volgt dat . Dan:

Laten we de gevonden waarde van de parameter in de vergelijkingen vervangen:

Antwoord:

Om dit te controleren, vervangen we de gevonden waarde van de parameter in de vergelijkingen:
Er werden dezelfde coördinaten verkregen die moesten worden gecontroleerd. Zorgvuldige lezers kunnen de coördinaten van het punt vervangen door de originele canonieke lijnvergelijkingen.

Het was trouwens mogelijk om het tegenovergestelde te doen: zoek het punt via “es zero” en controleer het via “te zero”.

Een bekend wiskundig bijgeloof zegt: waar over het snijpunt van lijnen wordt gesproken, hangt altijd de geur van loodlijnen.

Hoe construeer je een ruimtelijn loodrecht op een gegeven lijn?

(lijnen kruisen)

Voorbeeld 15

a) Schrijf de vergelijkingen op van een lijn die door een punt loodrecht op de lijn gaat (lijnen snijden elkaar).

b) Bereken de afstand van het punt tot de lijn.

Opmerking : clausule “lijnen snijden elkaar” – significant. Door het punt
je kunt een oneindig aantal loodrechte lijnen tekenen die de rechte lijn “el” zullen snijden. De enige oplossing ontstaat wanneer, door dit punt loodrecht wordt een rechte lijn getekend twee gegeven door een rechte lijn (zie voorbeeld nr. 13, punt “b”).

A) Oplossing: We duiden de onbekende lijn aan met . Laten we een schematische tekening maken:

Wat is er bekend over de rechte lijn? Afhankelijk van de voorwaarde wordt een punt gegeven. Om de vergelijkingen van een rechte lijn samen te stellen, is het noodzakelijk om de richtingsvector te vinden. De vector is heel geschikt als zo'n vector, dus we zullen ermee omgaan. Om precies te zijn, laten we het onbekende uiteinde van de vector bij het nekvel nemen.

1) Laten we de richtingsvector uit de vergelijkingen van de rechte lijn “el” halen en de vergelijkingen zelf in parametrische vorm herschrijven:

Velen vermoedden dat de goochelaar nu voor de derde keer tijdens de les een witte zwaan uit zijn hoed zal trekken. Beschouw een punt met onbekende coördinaten. Omdat het punt is, voldoen de coördinaten ervan aan de parametervergelijkingen van de rechte lijn “el” en komen ze overeen met een specifieke parameterwaarde:

Of in één regel:

2) Volgens de voorwaarde moeten de lijnen loodrecht staan, daarom zijn hun richtingsvectoren orthogonaal. En als de vectoren orthogonaal zijn, dan is hun puntproduct is gelijk aan nul:

Wat is er gebeurd? De eenvoudigste lineaire vergelijking met één onbekende:

3) De waarde van de parameter is bekend, laten we het punt vinden:

En de richtingsvector:
.

4) Laten we de vergelijkingen van een rechte lijn opstellen met behulp van een punt- en een richtingsvector :

De noemers van de verhouding bleken breuken te zijn, en dit is precies het geval wanneer het gepast is om breuken weg te laten. Ik vermenigvuldig ze gewoon met -2:

Antwoord:

Opmerking : een rigoureuzer einde van de oplossing wordt als volgt geformaliseerd: laten we de vergelijkingen van een rechte lijn samenstellen met behulp van een punt- en een richtingsvector . Als een vector de leidende vector is van een rechte lijn, dan zal de collineaire vector uiteraard ook de leidende vector zijn van deze rechte lijn.

De verificatie bestaat uit twee fasen:

1) controleer de richtingsvectoren van de lijnen op orthogonaliteit;

2) we vervangen de coördinaten van het punt in de vergelijkingen van elke lijn, ze moeten daar en daar "passen".

Er werd veel gepraat over typische acties, dus ik controleerde een concept.

Ik vergat trouwens nog een punt: een punt “zyu” construeren, symmetrisch ten opzichte van het punt “en” ten opzichte van de rechte lijn “el”. Er is echter een goede “platte analoog”, die in het artikel te vinden is De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak. Hier zit het enige verschil in de extra “Z”-coördinaat.

Hoe vind je de afstand van een punt tot een lijn in de ruimte?

B) Oplossing: Laten we de afstand van een punt tot een lijn bepalen.

Methode één. Deze afstand is precies gelijk aan de lengte van de loodlijn: . De oplossing ligt voor de hand: als de punten bekend zijn , Dat:

Methode twee. Bij praktische problemen is de basis van de loodlijn vaak een verzegeld geheim, dus het is rationeler om een ​​kant-en-klare formule te gebruiken.

De afstand van een punt tot een lijn wordt uitgedrukt door de formule:
, waar is de richtvector van de rechte lijn “el”, en – vrij een punt dat bij een bepaalde lijn hoort.

1) Uit de vergelijkingen van de lijn we halen de richtingsvector en het meest toegankelijke punt eruit.

2) Het punt is bekend uit de voorwaarde, verscherp de vector:

3) Laten we zoeken vectorproduct en bereken de lengte:

4) Bereken de lengte van de gidsvector:

5) Dus de afstand van een punt tot een lijn:

Deze videoles is nuttig voor degenen die zelfstandig het onderwerp 'Afstand van een punt tot een lijn' willen bestuderen. Afstand tussen parallelle lijnen." Tijdens de les leer je hoe je de afstand van een punt tot een lijn berekent. Vervolgens zal de leraar de definitie geven van de afstand tussen parallelle lijnen.

In deze les maken we kennis met het concept "afstand" algemeen. Wij specificeren ook dit begrip bij berekening afstanden tussen twee punten, een punt en een lijn, evenwijdige lijnen

Laten we naar figuur 1 kijken. Hier worden twee punten A en B weergegeven. De afstand tussen twee punten A en B is een segment met uiteinden op gegeven punten, dat wil zeggen segment AB

Rijst. 1. AB - afstand tussen punten

Het is opmerkelijk dat afstand niet kan worden beschouwd als een curve of een onderbroken lijn die twee punten verbindt. Afstand- dit is het kortste pad van het ene punt naar het andere. Het lijnstuk AB is de kleinste van alle mogelijke lijnen die de punten A en B verbinden

Beschouw figuur 2, waarin de rechte lijn wordt weergegeven A, en punt A, dat niet tot deze lijn behoort. Afstand vanaf punt A naar een rechte lijn zal de lengte zijn van de loodlijn AN.

Rijst. 2. AN - afstand tussen een punt en een lijn

Het is belangrijk op te merken dat AN de kortste afstand is, aangezien in de driehoek AMN dit segment een been is, en een willekeurig ander segment dat punt A en de lijn verbindt A(in dit geval is het AM) zal de hypotenusa zijn. Zoals je weet is het been altijd kleiner dan de hypotenusa

Afstandsaanduiding:

Laten we eens overwegen parallelle lijnen a en b getoond in figuur 3

Rijst. 3. Evenwijdige lijnen a en b

Laten we twee punten op een rechte lijn vaststellen A en laat de loodlijnen ervan vallen op een lijn evenwijdig daaraan B. Laten we bewijzen dat als

Laten we segment AM tekenen voor het bewijsgemak. Laten we de resulterende driehoeken AVM en ANM bekijken. Sinds , en , toen . Insgelijks, . Deze rechthoekige driehoeken () hebben een gemeenschappelijke zijde AM. Het is de hypotenusa in beide driehoeken. Hoeken AMN en AMB zijn interne kruishoeken met parallelle rechte lijnen AB en NM en secans AM. Volgens het bekende pand, .

Uit al het bovenstaande volgt dat . Uit de gelijkheid van driehoeken volgt dat AN = BM

We hebben dus bewezen dat in Figuur 3 de segmenten AN en BM gelijk zijn. Dit betekent dat afstand tussen parallelle lijnen is de lengte van hun gemeenschappelijke loodlijn, en de keuze van de loodlijn kan willekeurig zijn. Dus,

Het omgekeerde is ook waar: een reeks punten die zich op dezelfde afstand van een bepaalde lijn bevinden, vormen een lijn evenwijdig aan de gegeven lijn.

Laten we onze kennis consolideren en verschillende problemen oplossen

Voorbeeld 1: Opgave 272 uit het leerboek “Geometrie 7-9”. Auteur - Atanasyan L.S.

In een gelijkzijdige driehoek ABC is de bissectrice AD ​​getekend. De afstand van punt D tot rechte lijn AC is 6 cm. Bereken de afstand van punt A tot rechte lijn BC

Rijst. 4. Tekening bijvoorbeeld 1

Oplossing:

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke zijden (en dus drie gelijke hoeken, dat wil zeggen elk 60 0). Gelijkzijdige driehoek is een speciaal geval van een gelijkbenige driehoek, daarom zijn alle eigenschappen die inherent zijn aan een gelijkbenige driehoek ook van toepassing op een gelijkzijdige driehoek. Daarom is AD niet alleen een bissectrice, maar ook een hoogte, dus AD ⊥BC

Omdat de afstand van punt D tot lijn AC de lengte is van de loodlijn getrokken van punt D naar lijn AC, is DH deze afstand. Beschouw de driehoek AND. Daarin is de hoek H = 90 0, aangezien DH loodrecht staat op AC (per definitie van de afstand van een punt tot een rechte lijn). Bovendien, binnen gegeven driehoek been DH ligt tegenover de hoek, dus AD = (cm) (volgens eigenschap)

De afstand van punt A tot rechte lijn BC is de lengte van de loodlijn die op rechte lijn BC valt. Volgens de bewezen AD ⊥BC betekent dit .

Antwoord: 12cm.

Voorbeeld 2: Opgave 277 uit het leerboek “Geometrie 7-9”. Auteur - Atanasyan L.S.

De afstand tussen evenwijdige lijnen a en b is 3 cm, en de afstand tussen evenwijdige lijnen a en c is 5 cm. Bereken de afstand tussen evenwijdige lijnen b en c

Oplossing:

Rijst. 5. Tekening voorbeeld 2 (eerste geval)

Sinds , dan = 5 - 3 = 2 (cm).

Dit antwoord is echter onvolledig. Er is nog een andere optie om rechte lijnen in een vlak te lokaliseren:

Rijst. 6. Tekening voorbeeld 2 (tweede geval)

In dit geval.

1. Uniforme verzameling digitale leermiddelen ().
2. Wiskundeleraar ().

1. Nr. 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V.F., Kadomtsev S. B., Poznyak E.G., Yudina I.I., onder redactie van Tikhonov A.N. Geometrieklassen 7-9. M.: Verlichting. 2010
2. De som van de hypotenusa CE en been CK van de rechthoekige driehoek SKE is 31 cm, en hun verschil is 3 cm. Bereken de afstand van hoekpunt C tot rechte lijn KE
3. Gebaseerd op AB van de gelijkbenige driehoek ABC, wordt punt M genomen, op gelijke afstand van de zijkanten. Bewijs dat CM de hoogte is van driehoek ABC
4. Bewijs dat alle punten van het vlak die zich aan één kant van een gegeven lijn bevinden en op gelijke afstand daarvan liggen, op een lijn liggen die evenwijdig is aan de gegeven lijn

Afstand

van punt tot lijn

Afstand tussen parallelle lijnen

Meetkunde, 7e leerjaar

Naar het leerboek van L.S. Atanasyan

wiskundeleraar van de hoogste categorie

Gemeentelijke onderwijsinstelling "Upshinskaya middelbare school"

Orsha-district van de Republiek Mari El

Loodrechte lengte getrokken van een punt naar een lijn, genaamd afstand vanaf dit punt tot direct.

EEN ⏊ A

M є a, M is anders dan N

Loodrecht , getekend van een punt naar een lijn, minder elk van plan , getrokken vanuit hetzelfde punt naar deze lijn.

BEN – van plan, getrokken van punt A naar lijn a

EEN BEN

EEN - van plan

EEN EEN

EEN AK

AK - van plan

Afstand van punt tot lijn

M

De afstand van punt M tot rechte lijn c is...

N

De afstand van punt N tot lijn c is...

Met

De afstand van punt K tot lijn c is...

K

De afstand van punt F tot rechte lijn c is...

F

Afstand van punt tot lijn

EEN ⏊ A

EEN= 5,2 cm

VK ⏊ A

VK= 2,8 cm

Stelling.

Alle punten van elk van de twee evenwijdige lijnen liggen op gelijke afstand van de andere lijn

Gegeven: een ǁ B

EEN є een, B є een,

Bewijs: de afstanden van de punten A en B tot lijn a zijn gelijk.

EEN ⏊ b,BK ⏊ B,

Bewijs: AH = BK

Δ ANK = AVKA(Waarom?)

Uit de gelijkheid van driehoeken volgt AN = BK

De afstand van een willekeurig punt van een van de evenwijdige lijnen tot een andere lijn wordt de afstand tussen deze lijnen genoemd.

Omgekeerde stelling.

Alle punten van het vlak die zich aan één kant van een gegeven lijn bevinden en op gelijke afstand daarvan liggen, liggen op een lijn evenwijdig aan de gegeven lijn.

EEN ⏊ b,BK ⏊ B,

АH = BK

Bewijs: AB ǁ B

Δ ANK = AKVA(Waarom?)

Uit de gelijkheid van driehoeken volgt het … , maar dit zijn interne kruishoeken die worden gevormd … , betekent AB ǁ NK

Wat is de afstand tussen de lijnen b en c, als de afstand tussen de lijnen is A en b is gelijk aan 4, en tussen de lijnen A en c is gelijk aan 5?

A ǁ B ǁ C

Wat is de afstand tussen de lijnen b en a, als de afstand tussen de lijnen b en c 7 is, en tussen de lijnen A en c is gelijk aan 2?

Wat is de afstand tussen de lijnen A en c, als de afstand tussen de lijnen b en c 10 is, en tussen de lijnen B En A gelijk aan 6?

Wat is de verzameling van alle punten in een vlak die op gelijke afstand liggen van twee gegeven parallelle lijnen?

A ǁ B

Antwoord: Een lijn evenwijdig aan deze lijnen en zich op gelijke afstanden ervan.

Wat is de verzameling van alle punten op een vlak die zich op een bepaalde afstand van een bepaalde lijn bevinden?

Antwoord: Twee lijnen evenwijdig aan een bepaalde lijn en op een bepaalde afstand aan weerszijden ervan.

Hiermee online rekenmachine je kunt de afstand tussen rechte lijnen in de ruimte vinden. Gegeven gedetailleerde oplossing met uitleg. Om de afstand tussen lijnen in de ruimte te berekenen, stelt u het type lijnvergelijking in ("canoniek" of "parametrisch"), voert u de coëfficiënten van de lijnvergelijkingen in de cellen in en klikt u op de knop "Oplossen".

×

Waarschuwing

Alle cellen wissen?

Sluiten Wissen

Instructies voor gegevensinvoer. Getallen worden ingevoerd als gehele getallen (bijvoorbeeld: 487, 5, -7623, enz.), decimalen (bijvoorbeeld 67., 102,54, enz.) of breuken. De breuk moet worden ingevoerd in de vorm a/b, waarbij a en b (b>0) gehele getallen of decimalen zijn. Voorbeelden 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, enz.

Afstand tussen lijnen in de ruimte - theorie, voorbeelden en oplossingen

Laat het een cartesiaans zijn rechthoekig systeem coördinaten Oxyz L 1 en L 2:

.

(1)

,

(2)

Waar M 1 (X 1 , j 1 , z 1) en M 2 (X 2 , j 2 , z 2) − punten die op rechte lijnen liggen L 1 en L 2, een Q 1 ={M 1 , P 1 , l 1) en Q 2 ={M 2 , P 2 , l 2 ) – richtingsvectoren van rechte lijnen L 1 en L 2, respectievelijk.

Lijnen (1) en (2) in de ruimte kunnen samenvallen, evenwijdig zijn, elkaar snijden of elkaar snijden. Als lijnen in de ruimte elkaar snijden of samenvallen, is de afstand daartussen nul. We zullen twee gevallen bekijken. De eerste is dat de lijnen evenwijdig zijn, en de tweede is dat de lijnen elkaar snijden. De rest zijn gewone gevallen. Als we bij het berekenen van de afstand tussen parallelle lijnen de afstand gelijk aan nul krijgen, betekent dit dat deze lijnen samenvallen. Als de afstand tussen elkaar kruisende lijnen nul is, snijden deze lijnen elkaar.

1. Afstand tussen parallelle lijnen in de ruimte

Laten we twee methoden bekijken voor het berekenen van de afstand tussen lijnen.

Methode 1. Vanuit een punt M 1 recht L 1 teken een vlak α , loodrecht op de lijn L 2. Een punt vinden M 3 (X 3 , j 3 , j 3) vlakkruisingen α en recht L 3. In wezen vinden we de projectie van het punt M 1 recht L 2. Hoe je de projectie van een punt op een lijn kunt vinden, kijk. Vervolgens berekenen we de afstand tussen de punten M 1 (X 1 , j 1 , z 1) en M 3 (X 3 , j 3 , z 3):

Voorbeeld 1. Zoek de afstand tussen lijnen L 1 en L 2:

Direct L 2 gaat door het punt M 2 (X 2 , j 2 , z 2)=M

Waarden vervangen M 2 , P 2 , l 2 , X 1 , j 1 , z 1 op (5) krijgen we:

Laten we het snijpunt van de lijn vinden L 2 en vliegtuig α Hiervoor construeren we een parametrische vergelijking van de rechte lijn L 2 .

Om het snijpunt van een lijn te vinden L 2 en vliegtuig α , vervang de waarden van de variabelen X, j, z van (7) tot (6):

De resulterende waarde vervangen T in (7) verkrijgen we het snijpunt van de rechte lijn L 2 en vliegtuig α :

Het blijft om de afstand tussen de punten te vinden M 1 en M 3:

L 1 en L 2 gelijken D=7.2506.

Methode 2. Zoek de afstand tussen lijnen L 1 en L 2 (vergelijkingen (1) en (2)). Eerst controleren we de parallelliteit van de lijnen L 1 en L 2. Als de richtingsvectoren van rechte lijnen L 1 en L 2 zijn collineair, d.w.z. als er een getal λ is zodat de gelijkheid Q 1 =λ Q 2, dan rechtdoor L 1 en L 2 zijn parallel.

Deze methode voor het berekenen van de afstand tussen parallelle vectoren is gebaseerd op het concept vectorproduct vectoren. Het is bekend dat de norm van het vectorproduct van vectoren en Q 1 geeft de oppervlakte van het parallellogram gevormd door deze vectoren (Fig. 2). Als je eenmaal de oppervlakte van een parallellogram kent, kun je het hoekpunt van het parallellogram vinden D, waarbij het gebied wordt gedeeld door de basis Q 1 parallellogram.

Q 1:

.

Afstand tussen lijnen L 1 en L 2 is gelijk aan:

,

,

Voorbeeld 2. Laten we voorbeeld 1 oplossen met methode 2. Zoek de afstand tussen lijnen

Direct L 2 gaat door het punt M 2 (X 2 , j 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) en heeft een richtingsvector

Q 2 ={M 2 , P 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vectoren Q 1 en Q 2 zijn collineair. Daarom rechtdoor L 1 en L 2 zijn parallel. Om de afstand tussen parallelle lijnen te berekenen, gebruiken we het vectorproduct van vectoren.

Laten we een vector bouwen =( X 2 −X 1 , j 2 −j 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Laten we het vectorproduct van vectoren en berekenen Q 1. Om dit te doen, creëren we een 3×3-matrix, waarvan de eerste rij de basisvectoren zijn ik, j, k, en de overige regels zijn gevuld met elementen van vectoren en Q 1:

Dus het resultaat van het vectorproduct van vectoren en Q 1 zal een vector zijn:

Antwoord: Afstand tussen lijnen L 1 en L 2 gelijken D=7.25061.

2. Afstand tussen kruisende lijnen in de ruimte

Laat een Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem gegeven worden Oxyz en laat in dit coördinatensysteem rechte lijnen worden gegeven L 1 en L 2 (vergelijkingen (1) en (2)).

Laat rechtdoor L 1 en L 2 zijn niet evenwijdig (we hebben parallelle lijnen in de vorige paragraaf besproken). Om de afstand tussen lijnen te vinden L 1 en L 2 moet je parallelle vlakken bouwen α 1 en α 2 zodat deze recht is L 1 lag in een vliegtuig α 1 een rechte lijn L 2 - in het vliegtuig α 2. Dan de afstand tussen de lijnen L 1 en L 2 is gelijk aan de afstand tussen de vlakken L 1 en L 2 (Afb. 3).

Waar N 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − normaalvector van het vlak α 1. Om het vliegtuig te halen α 1 ging door een rechte lijn L 1, normaalvector N 1 moet orthogonaal zijn op de richtingsvector Q 1 recht L 1, d.w.z. het scalaire product van deze vectoren moet gelijk zijn aan nul:

Het systeem van lineaire vergelijkingen (27)−(29) oplossen, met drie vergelijkingen en vier onbekenden A 1 , B 1 , C 1 , D 1, en vervangen in de vergelijking

Vliegtuigen α 1 en α 2 zijn evenwijdig, dus de resulterende normaalvectoren N 1 ={A 1 , B 1 , C 1) en N 2 ={A 2 , B 2 , C 2) deze vlakken zijn collineair. Als deze vectoren niet gelijk zijn, kunnen we (31) met een bepaald getal vermenigvuldigen, zodat de resulterende normaalvector N 2 viel samen met de normaalvector van vergelijking (30).

Vervolgens wordt de afstand tussen evenwijdige vlakken berekend met de formule:

(33)

Oplossing. Direct L 1 gaat door het punt M 1 (X 1 , j 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) en heeft een richtingsvector Q 1 ={M 1 , P 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Direct L 2 gaat door het punt M 2 (X 2 , j 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) en heeft een richtingsvector Q 2 ={M 2 , P 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Laten we een vliegtuig bouwen α 1 die door de lijn gaat L 1, evenwijdig aan de rechte lijn L 2 .

Sinds het vliegtuig α 1 gaat door de lijn L 1, dan gaat het ook door het punt M 1 (X 1 , j 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) en normaalvector N 1 ={M 1 , P 1 , l 1) vliegtuig α 1 loodrecht op de richtingsvector Q 1 recht L 1. Dan moet de vergelijking van het vlak aan de voorwaarde voldoen:

Sinds het vliegtuig α 1 moet evenwijdig zijn aan de lijn L 2, dan moet aan de volgende voorwaarde zijn voldaan:

Laten we deze vergelijkingen in matrixvorm weergeven:

(40)

Laten we het stelsel van lineaire vergelijkingen (40) oplossen met betrekking tot A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Oh-oh-oh-oh-oh... nou ja, het is moeilijk, alsof hij een zin voor zichzelf aan het voorlezen is =) Maar ontspanning zal later helpen, vooral omdat ik vandaag de juiste accessoires heb gekocht. Laten we daarom doorgaan naar het eerste gedeelte. Ik hoop dat ik aan het einde van het artikel een opgewekte stemming zal behouden.

De relatieve positie van twee rechte lijnen

Dit is het geval wanneer het publiek in koor meezingt. Twee rechte lijnen kunnen:

1) wedstrijd;

2) evenwijdig zijn: ;

3) of snijden elkaar op één punt: .

Hulp voor dummies : Onthoud het wiskundige kruispuntteken, dit zal heel vaak verschijnen. De notatie betekent dat de lijn de lijn in punt snijdt.

Hoe bepaal ik de relatieve positie van twee lijnen?

Laten we beginnen met het eerste geval:

Twee lijnen vallen samen als en slechts als hun overeenkomstige coëfficiënten proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is een aantal “lambda” zodat aan de gelijkheden is voldaan

Laten we de rechte lijnen bekijken en drie vergelijkingen maken op basis van de overeenkomstige coëfficiënten: Uit elke vergelijking volgt dat deze lijnen daarom samenvallen.

Inderdaad, als alle coëfficiënten van de vergelijking vermenigvuldig met –1 (verander tekens) en alle coëfficiënten van de vergelijking gesneden door 2, krijg je dezelfde vergelijking: .

Het tweede geval, wanneer de lijnen evenwijdig zijn:

Twee lijnen zijn evenwijdig als en slechts als hun coëfficiënten van de variabelen proportioneel zijn: , Maar.

Beschouw als voorbeeld twee rechte lijnen. We controleren de evenredigheid van de overeenkomstige coëfficiënten voor de variabelen:

Het is echter heel duidelijk dat.

En het derde geval, wanneer de lijnen elkaar kruisen:

Twee lijnen snijden elkaar als en slechts als hun coëfficiënten van de variabelen NIET proportioneel zijn, dat wil zeggen, er is GEEN dergelijke waarde van “lambda” dat aan de gelijkheden wordt voldaan

Dus voor rechte lijnen zullen we een systeem maken:

Uit de eerste vergelijking volgt dat , en uit de tweede vergelijking: , wat betekent het systeem is inconsistent(geen oplossingen). De coëfficiënten van de variabelen zijn dus niet proportioneel.

Conclusie: lijnen snijden elkaar

Bij praktische problemen kun je gebruik maken van het zojuist besproken oplossingsschema. Het doet overigens erg denken aan het algoritme voor het controleren van vectoren op collineariteit, waar we in de klas naar hebben gekeken Het concept van lineaire (on)afhankelijkheid van vectoren. Basis van vectoren. Maar er is een meer beschaafde verpakking:

Voorbeeld 1

Ontdek de relatieve positie van de lijnen:

Oplossing gebaseerd op de studie van richtvectoren van rechte lijnen:

a) Uit de vergelijkingen vinden we de richtingsvectoren van de lijnen: .

, wat betekent dat de vectoren niet collineair zijn en dat de lijnen elkaar snijden.

Voor het geval dat, zal ik een steen met bordjes op het kruispunt plaatsen:

De rest springt over de steen en volgt verder, rechtstreeks naar Kashchei de Onsterfelijke =)

b) Vind de richtingsvectoren van de lijnen:

De lijnen hebben dezelfde richtingsvector, wat betekent dat ze evenwijdig of samenvallend zijn. Het is niet nodig om de determinant hier te tellen.

Het is duidelijk dat de coëfficiënten van de onbekenden proportioneel zijn, en .

Laten we eens kijken of de gelijkheid waar is:

Dus,

c) Vind de richtingsvectoren van de lijnen:

Laten we de determinant berekenen die bestaat uit de coördinaten van deze vectoren:
Daarom zijn de richtingsvectoren collineair. De lijnen zijn parallel of vallen samen.

De evenredigheidscoëfficiënt “lambda” is gemakkelijk direct af te lezen uit de verhouding van collineaire richtingsvectoren. Het kan echter ook worden gevonden via de coëfficiënten van de vergelijkingen zelf: .

Laten we nu eens kijken of de gelijkheid waar is. Beide vrije termen zijn nul, dus:

De resulterende waarde voldoet aan deze vergelijking (elk getal voldoet er in het algemeen aan).

De lijnen vallen dus samen.

Antwoord:

Al snel leer je (of heb je al geleerd) om het besproken probleem letterlijk in enkele seconden letterlijk op te lossen. In dit opzicht zie ik geen enkel nut om iets aan te bieden voor een onafhankelijke oplossing; het is beter om er nog een te bedenken belangrijke baksteen in een geometrische basis:

Hoe construeer je een lijn evenwijdig aan een gegeven lijn?

Uit onwetendheid hierover eenvoudigste taak Nightingale the Robber straft zwaar.

Voorbeeld 2

De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking. Schrijf een vergelijking voor een evenwijdige lijn die door het punt gaat.

Oplossing: Laten we de onbekende regel aanduiden met de letter . Wat zegt de aandoening over haar? De rechte lijn gaat door het punt. En als de lijnen evenwijdig zijn, dan is het duidelijk dat de richtingsvector van de rechte lijn “tse” ook geschikt is om de rechte lijn “de” te construeren.

We halen de richtingsvector uit de vergelijking:

Antwoord:

De voorbeeldgeometrie ziet er eenvoudig uit:

Analytisch testen bestaat uit de volgende stappen:

1) We controleren of de lijnen dezelfde richtingsvector hebben (als de vergelijking van de lijn niet goed vereenvoudigd is, zullen de vectoren collineair zijn).

2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking.

In de meeste gevallen kunnen analytische tests eenvoudig mondeling worden uitgevoerd. Kijk naar de twee vergelijkingen en velen van jullie zullen snel de parallelliteit van de lijnen bepalen zonder enige tekening.

Voorbeelden voor onafhankelijke oplossingen van vandaag zullen creatief zijn. Omdat je nog steeds zult moeten concurreren met Baba Yaga, en zij is, weet je, een liefhebber van allerlei raadsels.

Voorbeeld 3

Schrijf een vergelijking voor een lijn die door een punt evenwijdig aan de lijn if gaat

Er is een rationele en niet zo rationele manier om het op te lossen. De kortste weg is aan het einde van de les.

We hebben een beetje met parallelle lijnen gewerkt en komen er later op terug. Het geval van samenvallende lijnen is van weinig belang, dus laten we eens kijken naar een probleem dat je heel bekend voorkomt uit het schoolcurriculum:

Hoe vind je het snijpunt van twee lijnen?

Als het recht is snijden in punt , dan zijn de coördinaten de oplossing systemen van lineaire vergelijkingen

Hoe vind je het snijpunt van lijnen? Los het systeem op.

Alsjeblieft geometrische betekenis systemen van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden- dit zijn twee kruisende (meestal) lijnen in een vlak.

Voorbeeld 4

Zoek het snijpunt van lijnen

Oplossing: Er zijn twee manieren om op te lossen: grafisch en analytisch.

Grafische methode is om eenvoudigweg de gegeven lijnen te tekenen en het snijpunt rechtstreeks uit de tekening te achterhalen:

Dit is ons punt: . Om dit te controleren, moet je de coördinaten ervan in elke vergelijking van de lijn vervangen; ze moeten zowel daar als daar passen; Met andere woorden: de coördinaten van een punt zijn een oplossing voor het systeem. In wezen hebben we gekeken naar een grafische oplossing systemen van lineaire vergelijkingen met twee vergelijkingen, twee onbekenden.

De grafische methode is uiteraard niet slecht, maar er zijn merkbare nadelen. Nee, het punt is niet dat zevendeklassers op deze manier beslissen, het punt is dat het tijd zal kosten om een ​​correcte en NAUWKEURIGE tekening te maken. Bovendien zijn sommige rechte lijnen niet zo eenvoudig te construeren, en het snijpunt zelf kan zich ergens in het dertigste koninkrijk buiten het notitieboekje bevinden.

Daarom is het handiger om het snijpunt te zoeken met behulp van een analytische methode. Laten we het systeem oplossen:

Om het systeem op te lossen, werd de methode van term-voor-term optelling van vergelijkingen gebruikt. Volg een les om relevante vaardigheden te ontwikkelen Hoe los je een stelsel vergelijkingen op?

Antwoord:

De controle is triviaal: de coördinaten van het snijpunt moeten aan elke vergelijking van het systeem voldoen.

Voorbeeld 5

Zoek het snijpunt van de lijnen als ze elkaar kruisen.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Het is handig om de taak in verschillende fasen te verdelen. Analyse van de aandoening suggereert dat het noodzakelijk is:
1) Schrijf de vergelijking van de rechte lijn op.
2) Schrijf de vergelijking van de rechte lijn op.
3) Ontdek de relatieve positie van de lijnen.
4) Als de lijnen elkaar kruisen, zoek dan het snijpunt.

Het ontwikkelen van een actie-algoritme is voor velen typerend geometrische problemen, en ik zal hier herhaaldelijk op focussen.

Volledige oplossing en het antwoord aan het einde van de les:

Er was nog geen paar schoenen versleten voordat we bij het tweede deel van de les kwamen:

Loodrechte lijnen. Afstand van een punt tot een lijn.
Hoek tussen rechte lijnen

Laten we beginnen met een typische en zeer belangrijke taak. In het eerste deel hebben we geleerd hoe we een rechte lijn parallel aan deze kunnen bouwen, en nu zal de hut op kippenpoten 90 graden draaien:

Hoe construeer je een lijn loodrecht op een gegeven lijn?

Voorbeeld 6

De rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking. Schrijf een vergelijking loodrecht op de lijn die door het punt gaat.

Oplossing: Op voorwaarde is bekend dat . Het zou leuk zijn om de richtvector van de lijn te vinden. Omdat de lijnen loodrecht staan, is de truc eenvoudig:

Uit de vergelijking “verwijderen” we de normaalvector: , die de richtende vector van de rechte lijn zal zijn.

Laten we de vergelijking van een rechte lijn opstellen met behulp van een punt- en een richtingsvector:

Antwoord:

Laten we de geometrische schets uitbreiden:

Hmmm... Oranje lucht, oranje zee, oranje kameel.

Analytische verificatie van de oplossing:

1) We halen de richtingsvectoren uit de vergelijkingen en met de hulp scalair product van vectoren komen we tot de conclusie dat de lijnen inderdaad loodrecht staan: .

Je kunt trouwens normale vectoren gebruiken, het is nog eenvoudiger.

2) Controleer of het punt voldoet aan de resulterende vergelijking .

De test is wederom eenvoudig mondeling uit te voeren.

Voorbeeld 7

Zoek het snijpunt van loodrechte lijnen als de vergelijking bekend is en periode.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Er zijn verschillende acties in het probleem, dus het is handig om de oplossing punt voor punt te formuleren.

Onze spannende reis gaat verder:

Afstand van punt tot lijn

We hebben een rechte strook rivier voor ons en het is onze taak om daar via de kortste route te komen. Er zijn geen obstakels en de meest optimale route is om langs de loodlijn te bewegen. Dat wil zeggen, de afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodrechte segment.

Afstand in de meetkunde wordt traditioneel aangegeven met de Griekse letter “rho”, bijvoorbeeld: – de afstand van het punt “em” tot de rechte lijn “de”.

Afstand van punt tot lijn uitgedrukt door de formule

Voorbeeld 8

Bereken de afstand van een punt tot een lijn

Oplossing: het enige wat u hoeft te doen is de getallen zorgvuldig in de formule te vervangen en de berekeningen uit te voeren:

Antwoord:

Laten we de tekening maken:

De gevonden afstand van het punt tot de lijn is precies de lengte van het rode segment. Als je een tekening maakt op geruit papier op een schaal van 1 eenheid. = 1 cm (2 cellen), dan kan de afstand worden gemeten met een gewone liniaal.

Laten we een andere taak overwegen, gebaseerd op dezelfde tekening:

De taak is om de coördinaten te vinden van een punt dat symmetrisch is ten opzichte van het punt ten opzichte van de rechte lijn . Ik stel voor om de stappen zelf uit te voeren, maar ik zal het oplossingsalgoritme schetsen met tussenresultaten:

1) Zoek een lijn die loodrecht op de lijn staat.

2) Zoek het snijpunt van de lijnen: .

Beide acties worden in deze les uitgebreid besproken.

3) Het punt is het middelpunt van het segment. We kennen de coördinaten van het midden en een van de uiteinden. Door formules voor de coördinaten van het middelpunt van een segment wij vinden.

Het zou een goed idee zijn om te controleren of de afstand ook 2,2 eenheden is.

Hier kunnen zich moeilijkheden voordoen bij het berekenen, maar een microcalculator is een grote hulp in de toren, waarmee u kunt berekenen gewone breuken. Ik heb je al vaker geadviseerd en zal je nog een keer aanbevelen.

Hoe vind je de afstand tussen twee evenwijdige lijnen?

Voorbeeld 9

Bereken de afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Dit is nog een voorbeeld dat u zelf kunt beslissen. Ik zal je een kleine hint geven: er zijn oneindig veel manieren om dit op te lossen. Nabespreking aan het einde van de les, maar het is beter om zelf te raden, ik denk dat je vindingrijkheid goed ontwikkeld is.

Hoek tussen twee rechte lijnen

Elke hoek is een stijl:


In de meetkunde wordt de hoek tussen twee rechte lijnen als de KLEINERE hoek beschouwd, waaruit automatisch volgt dat deze niet stomp kan zijn. In de figuur wordt de hoek aangegeven door de rode boog niet beschouwd als de hoek tussen elkaar kruisende lijnen. En zijn “groene” buurman of tegengesteld georiënteerd"frambozen" hoek.

Als de lijnen loodrecht staan, kan elk van de vier hoeken als hoek ertussen worden genomen.

Hoe verschillen de hoeken? Oriëntatie. Ten eerste is de richting waarin de hoek wordt “gescrolld” van fundamenteel belang. Ten tweede wordt een negatief georiënteerde hoek geschreven met een minteken, bijvoorbeeld als .

Waarom heb ik je dit verteld? Het lijkt erop dat we kunnen rondkomen met het gebruikelijke concept van een hoek. Feit is dat de formules waarmee we hoeken zullen vinden gemakkelijk tot een negatief resultaat kunnen leiden, en dit zou je niet moeten verbazen. Een hoek met een minteken is niet slechter en heeft een heel specifieke geometrische betekenis. Zorg ervoor dat u in de tekening voor een negatieve hoek de richting ervan aangeeft met een pijl (met de klok mee).

Hoe vind je de hoek tussen twee rechte lijnen? Er zijn twee werkformules:

Voorbeeld 10

Zoek de hoek tussen lijnen

Oplossing En Methode één

Beschouw twee rechte lijnen gegeven door de vergelijkingen in algemeen beeld:

Als het recht is niet loodrecht, Dat georiënteerd De hoek ertussen kan worden berekend met behulp van de formule:

Laten we goed letten op de noemer - dit is precies puntproduct richtende vectoren van rechte lijnen:

Als , dan wordt de noemer van de formule nul en zijn de vectoren orthogonaal en staan ​​de lijnen loodrecht. Daarom is in de formulering een voorbehoud gemaakt bij de niet-loodrechtheid van rechte lijnen.

Op basis van het bovenstaande is het handig om de oplossing in twee stappen te formaliseren:

1) Laten we het scalaire product van de richtingsvectoren van de lijnen berekenen:
, wat betekent dat de lijnen niet loodrecht staan.

2) Vind de hoek tussen rechte lijnen met behulp van de formule:

Door te gebruiken omgekeerde functie Het is gemakkelijk om de hoek zelf te vinden. In dit geval gebruiken we de eigenaardigheid van de boogtangens (zie. Grafieken en eigenschappen van elementaire functies):

Antwoord:

In het antwoord geven we de exacte waarde aan, evenals een geschatte waarde (bij voorkeur in graden en radialen), berekend met een rekenmachine.

Nou ja, min, min, geen probleem. Hier is een geometrische illustratie:

Het is niet verrassend dat de hoek een negatieve oriëntatie bleek te hebben, omdat in de probleemstelling het eerste getal een rechte lijn is en het "losschroeven" van de hoek precies daarmee begon.

Als je echt een positieve hoek wilt krijgen, moet je de lijnen verwisselen, dat wil zeggen, de coëfficiënten uit de tweede vergelijking nemen en neem de coëfficiënten uit de eerste vergelijking. Kortom, u moet beginnen met een direct .