Vind primitieve functies x 1 x. Antiderivaat van functie

Een van de bewerkingen van differentiatie is het vinden van de afgeleide (differentieel) en deze toepassen op de studie van functies.

Het omgekeerde probleem is niet minder belangrijk. Als het gedrag van een functie in de buurt van elk punt van zijn definitie bekend is, hoe kan men dan de functie als geheel reconstrueren, d.w.z. binnen de gehele reikwijdte van de definitie ervan. Dit probleem is het onderwerp van studie van de zogenaamde integraalrekening.

Integratie is de omgekeerde werking van differentiatie. Of het herstellen van de functie f(x) uit een gegeven afgeleide f`(x). Het Latijnse woord ‘integro’ betekent herstel.

Voorbeeld nr. 1.

Stel (f(x))’ = 3x 2. Laten we f(x) vinden.

Oplossing:

Op basis van de differentiatieregel is het niet moeilijk te raden dat f(x) = x 3, omdat

(x 3)’ = 3x 2 Je merkt echter gemakkelijk dat f(x) niet uniek wordt gevonden. Als f(x) kun je f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 nemen, enz.

Omdat de afgeleide van elk van hen is 3x 2. (De afgeleide van een constante is 0). Al deze functies verschillen van elkaar door een constante term. Dat is waarom algemene oplossing het probleem kan worden geschreven in de vorm f(x)= x 3 +C, waarbij C een constant reëel getal is.

Elk van de gevonden functies f(x) wordt aangeroepen primitief voor de functie F`(x)= 3x 2

Definitie.

Een functie F(x) wordt primitief genoemd voor een functie f(x) op een gegeven interval J als voor alle x uit dit interval F`(x)= f(x). De functie F(x)=x 3 is dus primitief voor f(x)=3x 2 op (- ∞ ; ∞). Omdat voor alle x ~R de gelijkheid geldt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Zoals we al hebben opgemerkt, heeft deze functie een oneindig aantal primitieve waarden.

Voorbeeld nr. 2.

De functie is primitief voor iedereen op het interval (0; +∞), omdat voor alle h uit dit interval geldt gelijkheid.

De taak van integratie is om alle primitieve woorden voor een bepaalde functie te vinden. Bij het oplossen van dit probleem speelt de volgende verklaring een belangrijke rol:

Een teken van standvastigheid van de functie. Als F"(x) = 0 op een bepaald interval I, dan is de functie F constant op dit interval.

Bewijs.

Laten we x 0 uit het interval I bepalen. Vervolgens kunnen we voor elk getal x uit zo'n interval, op grond van de Lagrange-formule, een getal c aangeven dat zich tussen x en x 0 bevindt, zodat

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Op voorwaarde, F’ (c) = 0, aangezien c ∈1, daarom

F(x) - F(x0) = 0.

Dus voor alle x uit het interval I

dat wil zeggen, de functie F behoudt een constante waarde.

Alle primitieve functies f kunnen worden geschreven met behulp van één formule, die wordt genoemd algemene vorm van primitieve woorden voor de functie F. De volgende stelling is waar ( belangrijkste eigenschap van antiderivatieven):

Stelling. Elke primitieve voor een functie f op het interval I kan in de vorm worden geschreven

F(x) + C, (1) waarbij F (x) een van de primitieve waarden is voor de functie f (x) op het interval I, en C een willekeurige constante is.

Laten we deze bewering uitleggen, waarin twee eigenschappen van de primitief kort worden geformuleerd:

1. Welk getal we ook in uitdrukking (1) invoeren in plaats van C, we verkrijgen de primitieve voor f op het interval I;
2. ongeacht welke primitieve Ф voor f op het interval I wordt genomen, het is mogelijk een getal C te selecteren zodat voor alle x uit het interval I de gelijkheid

Bewijs.

1. Per voorwaarde is de functie F een primitieve afgeleide voor f op het interval I. Bijgevolg is F"(x)= f (x) voor elke x∈1, dus (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), d.w.z. F(x) + C is de primitieve vorm voor de functie f.
2. Laat Ф (x) een van de primitieve waarden zijn voor de functie f op hetzelfde interval I, d.w.z. Ф "(x) = f (х) voor alle x∈I.

Dan is (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Vanaf hier volgt c. de kracht van het teken van constantheid van de functie, dat het verschil Ф(х) - F(х) een functie is die een constante waarde C aanneemt op het interval I.

Dus voor alle x uit het interval I is de gelijkheid Ф(x) - F(x)=С waar, en dat is wat bewezen moest worden. De belangrijkste eigenschap van het primitief kan worden gegeven geometrische betekenis: grafieken van twee primitieve waarden voor de functie f worden van elkaar verkregen door parallelle translatie langs de Oy-as

Vragen voor notities

De functie F(x) is een primitieve afgeleide van de functie f(x). Vind F(1) als f(x)=9x2 - 6x + 1 en F(-1) = 2.

Zoek alle primitieve woorden voor de functie

Zoek voor de functie (x) = cos2 * sin2x de primitief van F(x) als F(0) = 0.

Zoek voor een functie een primitief waarvan de grafiek door het punt gaat

Antiderivaat.

Het primitief is gemakkelijk te begrijpen met een voorbeeld.

Laten we de functie nemen y = x 3. Zoals we uit de vorige paragrafen weten, is de afgeleide van X 3 is 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Daarom vanuit de functie y = x 3 krijgen we een nieuwe functie: bij = 3X 2 .
Figuurlijk gesproken de functie bij = X 3 geproduceerde functie bij = 3X 2 en is de “ouder” ervan. In de wiskunde bestaat het woord ‘ouder’ niet, maar er is wel een verwant concept: primitief.

Dat wil zeggen: functie y = x 3 is een primitief van de functie bij = 3X 2 .

Definitie van primitief:

In ons voorbeeld ( X 3)" = 3X 2 daarom y = x 3 – primitief voor bij = 3X 2 .

Integratie.

Zoals je weet wordt het proces van het vinden van de afgeleide van een bepaalde functie differentiatie genoemd. En de omgekeerde operatie wordt integratie genoemd.

Voorbeeld-uitleg:

bij = 3X 2 + zonde X.

Oplossing :

We weten dat de primitief voor 3 X 2 is X 3 .

Antiderivaat voor zonde X is –cos X.

We voegen twee primitieve woorden toe en krijgen het primitief voor de gegeven functie:

y = x 3 + (–cos X),

y = x 3 – cos X.

Antwoord :
voor functie bij = 3X 2 + zonde X y = x 3 – cos X.

Voorbeeld-uitleg:

Laten we een primitief voor de functie vinden bij= 2 zonde X.

Oplossing :

We merken op dat k = 2. De primitief voor zonde X is –cos X.

Daarom voor de functie bij= 2 zonde X het primitief is de functie bij= –2cos X.
Coëfficiënt 2 in de functie y = 2 sin X komt overeen met de coëfficiënt van de primitieve waaruit deze functie is gevormd.

Voorbeeld-uitleg:

Laten we een primitief voor de functie vinden j= zonde 2 X.

Oplossing :

Dat merken wij k= 2. Antiderivaat voor zonde X is –cos X.

We passen onze formule toe om de primitief van de functie te vinden j= cos 2 X:

1
j= - · (–cos 2 X),
2

cos 2 X
j = – ----
2

cos 2 X
Antwoord: voor een functie j= zonde 2 X het primitief is de functie j = – ----
2

(4)

Voorbeeld-uitleg.

Laten we de functie uit het vorige voorbeeld nemen: j= zonde 2 X.

Voor deze functie hebben alle primitieve woorden de vorm:

cos 2 X
j = – ---- + C.
2

Uitleg.

Laten we de eerste regel nemen. Het luidt als volgt: als de functie y = f( X) is 0, dan is de primitief 1. Waarom? Omdat de afgeleide van eenheid nul is: 1" = 0.

De overige regels worden in dezelfde volgorde gelezen.

Hoe schrijf ik gegevens uit een tabel? Laten we regel acht nemen:

(-cos X)" = zonde X

We schrijven het tweede deel met het afgeleide teken, vervolgens het gelijkteken en de afgeleide.

We lezen: primitief voor de functie sin X is -cos-functie X.

Of: functie -cos X is primitief voor de functie sin X.

Eerder, volgens een bepaalde functie, geleid door verschillende formules en regels, vond zijn afgeleide. De afgeleide heeft talloze toepassingen: het is de bewegingssnelheid (of, algemener, de snelheid van welk proces dan ook); helling rakend aan de grafiek van een functie; met behulp van de afgeleide kun je een functie onderzoeken op monotoniciteit en extrema; het helpt bij het oplossen van optimalisatieproblemen.

Maar naast het probleem van het vinden van de snelheid volgens een bekende bewegingswet, is er ook een omgekeerd probleem: het probleem van het herstellen van de bewegingswet volgens een bekende snelheid. Laten we een van deze problemen eens bekijken.

Voorbeeld 1. Een materieel punt beweegt in een rechte lijn, de snelheid van zijn beweging op tijdstip t wordt gegeven door de formule v=gt. Vind de wet van beweging.
Oplossing. Laat s = s(t) de gewenste bewegingswet zijn. Het is bekend dat s"(t) = v(t). Dit betekent dat je om het probleem op te lossen een functie s = s(t) moet selecteren, waarvan de afgeleide gelijk is aan gt. Het is niet moeilijk om te raden dat \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Antwoord: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Laten we meteen opmerken dat het voorbeeld correct, maar onvolledig is opgelost. We hebben \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). In feite heeft het probleem oneindig veel oplossingen: elke functie van de vorm \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), waarbij C een willekeurige constante is, kan dienen als een wet van beweging, aangezien \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Om het probleem specifieker te maken, moesten we de beginsituatie vaststellen: geef de coördinaat aan van een bewegend punt op een bepaald moment, bijvoorbeeld op t = 0. Als bijvoorbeeld s(0) = s 0, dan gelijkheid s(t) = (gt 2)/2 + C krijgen we: s(0) = 0 + C, d.w.z. C = s 0. Nu is de bewegingswet op unieke wijze gedefinieerd: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

In de wiskunde worden wederkerige bewerkingen toegewezen verschillende namen, bedenk speciale notaties, bijvoorbeeld: kwadrateren (x 2) en extraheren vierkantswortel(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) en boogsinus (arcsin x), enz. Het proces van het vinden van de afgeleide van een bepaalde functie wordt genoemd differentiatie, en de inverse bewerking, dat wil zeggen het proces van het vinden van een functie uit een gegeven afgeleide, is integratie.

De term ‘afgeleide’ zelf kan worden gerechtvaardigd ‘in alledaagse termen’: de functie y = f(x) ‘brengt geboorte’ aan een nieuwe functie y" = f"(x). De functie y = f(x) gedraagt ​​zich alsof het een “ouder” is, maar wiskundigen noemen het uiteraard geen “ouder” of “producent”; ze zeggen dat dit het geval is, in relatie tot de functie y" = f"(x) , primaire afbeelding of primitief.

Definitie. De functie y = F(x) heet primitieve voor de functie y = f(x) op het interval X als de gelijkheid F"(x) = f(x) geldt voor \(x \in X\)

In de praktijk wordt het interval X meestal niet gespecificeerd, maar geïmpliceerd (als het natuurlijke domein van de definitie van de functie).

Laten we voorbeelden geven.
1) De functie y = x 2 is primitief voor de functie y = 2x, aangezien voor elke x de gelijkheid (x 2)" = 2x waar is
2) De functie y = x 3 is primitief voor de functie y = 3x 2, aangezien voor elke x de gelijkheid (x 3)" = 3x 2 waar is
3) De functie y = sin(x) is primitief voor de functie y = cos(x), aangezien voor elke x de gelijkheid (sin(x))" = cos(x) waar is

Bij het vinden van primitieve waarden, evenals derivaten, worden niet alleen formules gebruikt, maar ook enkele regels. Ze houden rechtstreeks verband met de overeenkomstige regels voor de berekening van derivaten.

We weten dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van zijn afgeleiden. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 1. De primitief van een som is gelijk aan de som van de primitieven.

We weten dat de constante factor uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 2. Als F(x) een primitief is voor f(x), dan is kF(x) een primitief voor kf(x).

Stelling 1. Als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x), dan is de primitief voor de functie y = f(kx + m) de functie \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Stelling 2. Als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x) op het interval X, dan heeft de functie y = f(x) oneindig veel primitieve woorden, en ze hebben allemaal de vorm y = F(x) + C.

Integratiemethoden

Variabele vervangingsmethode (substitutiemethode)

De methode van integratie door substitutie omvat de introductie van een nieuwe integratievariabele (dat wil zeggen substitutie). In dit geval wordt de gegeven integraal gereduceerd tot een nieuwe integraal, die in tabelvorm of herleidbaar is. Gemeenschappelijke methoden er is geen selectie van vervangingen. Het vermogen om vervanging correct te bepalen, wordt verworven door oefening.
Laat het nodig zijn om de integraal \(\textstyle \int F(x)dx \). Laten we de substitutie \(x= \varphi(t) \) maken waarbij \(\varphi(t) \) een functie is die een continue afgeleide heeft.
Dan \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) en gebaseerd op de invariantie-eigenschap van de integratieformule voor de onbepaalde integraal, verkrijgen we de integratieformule door substitutie:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integratie van uitdrukkingen van de vorm \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Als m oneven is, m > 0, dan is het handiger om de substitutie sin x = t te maken.
Als n oneven is, n > 0, dan is het handiger om de substitutie cos x = t te maken.
Als n en m even zijn, is het handiger om de substitutie tg x = t te maken.

Integratie per deel

Gedeeltelijke integratie - toepassing van de volgende formule voor integratie:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
of:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel met onbepaalde integralen (antiderivatieven) van sommige functies

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Onbepaalde integraal

De belangrijkste taak van differentiaalrekening was het berekenen van de afgeleide of het differentieel van een bepaalde functie. Integrale calculus, met de studie waarvan we verder gaan, lost het omgekeerde probleem op, namelijk het vinden van de functie zelf op basis van zijn afgeleide of differentiaal. Dat wil zeggen: hebben dF(x)=f(x)d (7.1) of F′(x)= f(x),

Waar f(x)- bekende functie, moet de functie vinden F(x).

Definitie:De functie F(x) wordt aangeroepen primitief functie f(x) op het segment als de gelijkheid op alle punten van dit segment geldt: F′(x) = f(x) of dF(x)=f(x)d.

Bijvoorbeeld, een van de primitieve functies voor de functie f(x)=3x2 zullen F(x)=x3, omdat ( x 3)′=3x 2. Maar een prototype voor de functie f(x)=3x2 er zullen ook functies en zijn, sindsdien .

Deze functie dus f(x)=3x2 heeft een oneindig aantal primitieven, die elk slechts met een constante term verschillen. Laten we aantonen dat dit resultaat ook in het algemene geval geldt.

Stelling Twee verschillende primitieve woorden van dezelfde functie gedefinieerd in een bepaald interval verschillen op dit interval van elkaar met een constante term.

Bewijs

Laat de functie f(x) gedefinieerd op het interval (a¸b) En F 1 (x) En F2 (x) - primitieve middelen, d.w.z. F 1 ′(x)= f(x) en F 2 ′(x)= f(x).

Dan F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Vanaf hier, F2 (x) = F1 (x) + C

Waar MET - constant (hier wordt een uitvloeisel van de stelling van Lagrange gebruikt).

De stelling is dus bewezen.

Geometrische illustratie. Als bij = F 1 (x) En bij = F2 (x) – primitieve woorden van dezelfde functie f(x), dan de raaklijn aan hun grafieken op punten met een gemeenschappelijke abscis X evenwijdig aan elkaar (Fig. 7.1).

In dit geval de afstand tussen deze curven langs de as Oh blijft constant F 2 (x) - F 1 (x) = C , dat wil zeggen, deze curven naar binnen enig begrip‘parallel’ aan elkaar.

Gevolg .

Toevoeging aan een primitief F(x) voor deze functie f(x), gedefinieerd op het interval X, alle mogelijke constanten MET, krijgen we alle mogelijke primitieve waarden voor de functie f(x).

Dus de uitdrukking F(x)+C , waar , en F(x) – een primitief van een functie f(x) omvat alle mogelijke primitieve woorden voor f(x).

Voorbeeld 1. Controleer of de functies dat zijn primitieve woorden van de functie

Oplossing:

Antwoord: primitieve woorden voor een functie er zullen functies zijn En

Definitie: Als de functie F(x) een primitief is van de functie f(x), dan wordt de verzameling van alle primitieve getallen F(x)+ C genoemd onbepaalde integraal van f(x) en geef aan:

∫f(х)dх.

Per definitie:

f(x) - integrandfunctie,

f(х)dх - integrand-expressie

Hieruit volgt dat de onbepaalde integraal een functie is algemeen beeld, waarvan het differentieel gelijk is aan de integrand, en waarvan de afgeleide met betrekking tot de variabele X is op alle punten gelijk aan de integrand.

Vanuit geometrisch oogpunt een onbepaalde integraal is een familie van krommen, die elk worden verkregen door een van de krommen evenwijdig aan zichzelf naar boven of naar beneden te verschuiven, dat wil zeggen langs de as Oh(Afb. 7.2).

De bewerking voor het berekenen van de onbepaalde integraal van een bepaalde functie wordt genoemd integratie deze functie.

Merk op dat als de afgeleide van een elementaire functie altijd een elementaire functie is, de primitief van een elementaire functie mogelijk niet wordt weergegeven door een eindig aantal elementaire functies.

Laten we nu eens overwegen eigenschappen van de onbepaalde integraal.

Uit definitie 2 volgt:

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand, dat wil zeggen als F′(x) = f(x) , Dat

2. De differentiaal van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand

. (7.4)

Uit de definitie van differentieel en eigenschap (7.3)

3. De onbepaalde integraal van het differentieel van een functie is gelijk aan deze functie tot een constante term, dat wil zeggen (7.5)

Het oplossen van integralen is een gemakkelijke taak, maar slechts voor een select groepje. Dit artikel is bedoeld voor degenen die integralen willen leren begrijpen, maar er niets of bijna niets van weten. Integraal... Waarom is het nodig? Hoe het berekenen? Wat zijn bepaalde en onbepaalde integralen? Als het enige gebruik dat je kent voor een integraal het gebruik van een haaknaald in de vorm van een integraalpictogram is om iets nuttigs uit te halen moeilijk bereikbare plaatsen, dan welkom! Ontdek hoe je integralen oplost en waarom je niet zonder kunt.

We bestuderen het concept van "integraal"

Integratie was al bekend Het oude Egypte. Natuurlijk niet erin moderne vorm, maar toch. Sindsdien hebben wiskundigen veel boeken over dit onderwerp geschreven. Bijzonder onderscheidend Newton En Leibniz , maar de essentie van de dingen is niet veranderd. Hoe integralen helemaal opnieuw begrijpen? Echt niet! Om dit onderwerp te begrijpen, heb je nog steeds een basiskennis van de basisprincipes van wiskundige analyse nodig. Het is deze fundamentele informatie die u op onze blog kunt vinden.

Onbepaalde integraal

Laten we een functie hebben f(x) .

Onbepaalde integrale functie f(x) deze functie heet F(x) , waarvan de afgeleide gelijk is aan de functie f(x) .

Met andere woorden, een integraal is een omgekeerde afgeleide of een primitief. Lees trouwens hoe in ons artikel.

Er bestaat een primitief voor alle continue functies. Ook wordt vaak een constant teken aan de primitief toegevoegd, omdat de afgeleiden van functies die met een constante verschillen samenvallen. Het proces van het vinden van de integraal wordt integratie genoemd.

Eenvoudig voorbeeld:

Om niet voortdurend primitieve waarden van elementaire functies te berekenen, is het handig om ze in een tabel te plaatsen en kant-en-klare waarden te gebruiken:

Bepaalde integraal

Als we te maken hebben met het concept van een integraal, hebben we te maken met oneindig kleine hoeveelheden. De integraal helpt bij het berekenen van de oppervlakte van een figuur, de massa van een niet-uniform lichaam, de afgelegde afstand tijdens ongelijkmatige beweging en nog veel meer. Houd er rekening mee dat een integraal een oneindige som is grote hoeveelheid oneindig kleine termen.

Stel je bijvoorbeeld een grafiek voor van een bepaalde functie. Hoe vind je de oppervlakte van een figuur die wordt begrensd door de grafiek van een functie?

Een integraal gebruiken! Laten we de kromlijnige trapezium, begrensd door de coördinaatassen en de grafiek van de functie, verdelen in oneindig kleine segmenten. Op deze manier wordt de figuur in dunne kolommen verdeeld. De som van de gebieden van de kolommen is het gebied van de trapezium. Maar onthoud dat een dergelijke berekening een benaderend resultaat zal opleveren. Hoe kleiner en smaller de segmenten, hoe nauwkeuriger de berekening zal zijn. Als we ze zo ver verkleinen dat de lengte naar nul neigt, zal de som van de gebieden van de segmenten naar het gebied van de figuur neigen. Dit is een bepaalde integraal, die als volgt wordt geschreven:

Punten a en b worden integratiegrenzen genoemd.

Bari Alibasov en de groep "Integral"

Trouwens! Voor onze lezers geldt er nu 10% korting op

Regels voor het berekenen van integralen voor dummies

Eigenschappen van de onbepaalde integraal

Hoe los je een onbepaalde integraal op? Hier zullen we kijken naar de eigenschappen van de onbepaalde integraal, wat nuttig zal zijn bij het oplossen van voorbeelden.

• De afgeleide van de integraal is gelijk aan de integrand:

• De constante kan onder het integraalteken vandaan worden gehaald:

• Integraal van de som gelijk aan de som integralen. Dit geldt ook voor het verschil:

Eigenschappen van een bepaalde integraal

• Lineariteit:

• Het teken van de integraal verandert als de grenzen van integratie worden verwisseld:

• Bij elk punten A, B En Met:

We hebben al ontdekt dat een bepaalde integraal de limiet van een som is. Maar hoe krijg je een specifieke waarde bij het oplossen van een voorbeeld? Hiervoor is er de Newton-Leibniz-formule:

Voorbeelden van het oplossen van integralen

Hieronder zullen we enkele voorbeelden van bevinding bekijken onbepaalde integralen. We nodigen u uit om zelf de fijne kneepjes van de oplossing te achterhalen en als iets onduidelijk is, kunt u vragen stellen in de opmerkingen.

Om het materiaal te versterken, bekijk een video over hoe integralen in de praktijk worden opgelost. Wanhoop niet als de integraal niet meteen wordt gegeven. Vraag ernaar en zij zullen u alles vertellen wat zij weten over het berekenen van integralen. Met onze hulp ligt elke drievoudige of kromlijnige integraal over een gesloten oppervlak binnen uw macht.