Renovatie van huis Als we 497 door 4 moeten delen, zullen we bij het delen zien dat 497 niet gelijkmatig deelbaar is door 4, d.w.z. de rest van de divisie blijft bestaan. In dergelijke gevallen wordt gezegd dat het is voltooid deling met de rest
, en de oplossing wordt als volgt geschreven:
497: 4 = 124 (1 restant). De delingscomponenten aan de linkerkant van de gelijkheid worden hetzelfde genoemd als bij deling zonder rest: 497 -, 4 - dividend scheidingslijn . Het resultaat van deling wanneer gedeeld met een rest wordt genoemd onvolledig privé . In ons geval is dit het getal 124. En ten slotte is het laatste onderdeel, dat geen gewone deling is, rest . In gevallen waarin er geen rest is, wordt gezegd dat het ene getal door het andere wordt gedeeld spoorloos, of geheel
. Er wordt aangenomen dat bij een dergelijke deling de rest nul is. In ons geval is de rest 1.
De rest is altijd kleiner dan de deler.
Deling kan worden gecontroleerd door vermenigvuldiging. Als er bijvoorbeeld een gelijkheid 64 is: 32 = 2, dan kan de controle als volgt worden uitgevoerd: 64 = 32 * 2.
In gevallen waarin deling met een rest wordt uitgevoerd, is het vaak handig om de gelijkheid te gebruiken
een = b * n + r,
waarbij a het deeltal is, b de deler, n het onvolledige quotiënt is en r de rest.
Het quotiënt van natuurlijke getallen kan als breuk worden geschreven.
De teller van een breuk is het deeltal, en de noemer is de deler. Omdat de teller van een breuk het deeltal is en de noemer de deler, geloven dat de lijn van een breuk de actie van deling betekent
. Soms is het handig om deling als een breuk te schrijven zonder het :-teken te gebruiken.
Het quotiënt van de deling van natuurlijke getallen m en n kan worden geschreven als een breuk \(\frac(m)(n) \), waarbij de teller m het deeltal is en de noemer n de deler:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Om de breuk \(\frac(m)(n)\) te krijgen, moet je de eenheid in n gelijke delen (aandelen) verdelen en m zulke delen nemen.
Om de breuk \(\frac(m)(n)\) te krijgen, moet je het getal m delen door het getal n.
Om een deel van een geheel te vinden, moet je het getal dat overeenkomt met het geheel delen door de noemer en het resultaat vermenigvuldigen met de teller van de breuk die dit deel uitdrukt.
Om een geheel uit zijn deel te vinden, moet je het getal dat met dit deel overeenkomt, delen door de teller en het resultaat vermenigvuldigen met de noemer van de breuk die dit deel uitdrukt.
Als zowel de teller als de noemer van een breuk met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd (behalve nul), verandert de waarde van de breuk niet:
\(\groot \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Als zowel de teller als de noemer van een breuk door hetzelfde getal worden gedeeld (behalve nul), verandert de waarde van de breuk niet:
\(\groot \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Deze eigenschap heet hoofdeigenschap van een breuk.
De laatste twee transformaties worden aangeroepen een fractie verminderen.
Als breuken moeten worden weergegeven als breuken met dezelfde noemer, wordt deze actie aangeroepen breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.
Juiste en onechte breuken. Gemengde cijfers
Je weet al dat je een breuk kunt verkrijgen door een geheel in gelijke delen te verdelen en er meerdere van zulke delen te nemen. De breuk \(\frac(3)(4)\) betekent bijvoorbeeld driekwart van één. In veel problemen van de vorige paragraaf gewone breuken gebruikt om een deel van een geheel aan te duiden. Gezond verstand suggereert dat het deel altijd kleiner moet zijn dan het geheel, maar hoe zit het dan met breuken zoals bijvoorbeeld \(\frac(5)(5)\) of \(\frac(8)(5)\)? Het is duidelijk dat dit geen deel meer uitmaakt van de eenheid. Dit is waarschijnlijk de reden waarom breuken waarvan de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer, worden genoemd onechte breuken. De overige breuken, d.w.z. breuken waarvan de teller kleiner is dan de noemer, worden genoemd juiste breuken.
Zoals u weet, kan elke gewone breuk, zowel de juiste als de oneigenlijke, worden gezien als het resultaat van het delen van de teller door de noemer. Daarom betekent de term ‘onjuiste breuk’ in de wiskunde, in tegenstelling tot de gewone taal, niet dat we iets verkeerd hebben gedaan, maar alleen dat de teller van deze breuk groter is dan of gelijk is aan de noemer.
Als een getal bestaat uit een geheel getal en een breuk, dan breuken worden gemengd genoemd.
Bijvoorbeeld:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 is het gehele deel, en \(\frac(2)(3) \) is het breukdeel.
Als de teller van de breuk \(\frac(a)(b)\) deelbaar is door natuurlijk getal n, en om deze breuk door n te delen, moet je de teller delen door dit getal:
\(\groot \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Als de teller van de breuk \(\frac(a)(b) \) niet deelbaar is door een natuurlijk getal n, dan moet je, om deze breuk door n te delen, de noemer met dit getal vermenigvuldigen:
\(\groot \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Merk op dat de tweede regel ook geldt als de teller deelbaar is door n. Daarom kunnen we het gebruiken als het op het eerste gezicht moeilijk is om te bepalen of de teller van een breuk deelbaar is door n of niet.
Acties met breuken. Breuken optellen.
Je kunt rekenkundige bewerkingen uitvoeren met breuken, net als met natuurlijke getallen. Laten we eerst eens kijken naar het optellen van breuken. Het is gemakkelijk om breuken met gelijke noemers op te tellen. Laten we bijvoorbeeld de som vinden van \(\frac(2)(7)\) en \(\frac(3)(7)\). Het is gemakkelijk te begrijpen dat \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer hetzelfde laten.
Met behulp van letters kan de regel voor het optellen van breuken met gelijke noemers als volgt worden geschreven:
\(\groot \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Als u breuken wilt optellen met verschillende noemers, dan moeten ze eerst tot een gemeenschappelijke noemer worden gebracht. Bijvoorbeeld:
\(\groot \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Voor breuken zijn, net als voor natuurlijke getallen, de commutatieve en associatieve eigenschappen van optelling geldig.
Gemengde breuken toevoegen
Notaties zoals \(2\frac(2)(3)\) worden aangeroepen gemengde fracties. In dit geval wordt nummer 2 gebeld hele deel gemengde breuk, en het getal \(\frac(2)(3)\) is zijn fractioneel deel. De invoer \(2\frac(2)(3)\) wordt als volgt gelezen: “twee en twee derde.”
Als je het getal 8 deelt door het getal 3, krijg je twee antwoorden: \(\frac(8)(3)\) en \(2\frac(2)(3)\). Ze drukken hetzelfde breukgetal uit, d.w.z. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
De onechte breuk \(\frac(8)(3)\) wordt dus weergegeven als een gemengde breuk \(2\frac(2)(3)\). In zulke gevallen zeggen ze dat vanuit een onechte breuk benadrukte het hele deel.
Breuken aftrekken (breuken)
Het aftrekken van breuken wordt, net als natuurlijke getallen, bepaald op basis van de actie van optellen: het aftrekken van een ander getal van het ene getal betekent het vinden van een getal dat, wanneer het wordt opgeteld bij het tweede, het eerste oplevert. Bijvoorbeeld:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sinds \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
De regel voor het aftrekken van breuken met gelijke noemers is vergelijkbaar met de regel voor het optellen van zulke breuken:
Om het verschil te vinden tussen breuken met dezelfde noemers, moet je de teller van de tweede aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer hetzelfde laten.
Met letters wordt deze regel als volgt geschreven:
\(\groot \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Breuken vermenigvuldigen
Om een breuk met een breuk te vermenigvuldigen, moet je de tellers en noemers ervan vermenigvuldigen en het eerste product als teller schrijven, en het tweede als noemer.
Met letters kan de regel voor het vermenigvuldigen van breuken als volgt worden geschreven:
\(\groot \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Met behulp van de geformuleerde regel kun je een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, met een gemengde breuk, en ook vermenigvuldigen gemengde fracties. Om dit te doen, moet je een natuurlijk getal schrijven als een breuk met de noemer 1, en een gemengde breuk als een onechte breuk.
Het resultaat van de vermenigvuldiging moet worden vereenvoudigd (indien mogelijk) door de breuk te verkleinen en het hele deel van de onechte breuk te isoleren.
Voor breuken zijn, net als voor natuurlijke getallen, de commutatieve en combinatieve eigenschappen van vermenigvuldiging, evenals de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging ten opzichte van optelling, geldig.
Deling van breuken
Laten we de breuk \(\frac(2)(3)\) nemen en deze omdraaien, waarbij we de teller en de noemer verwisselen. We krijgen de breuk \(\frac(3)(2)\). Deze breuk wordt genoemd achteruit breuken \(\frac(2)(3)\).
Als we nu de breuk \(\frac(3)(2)\) “omkeren”, krijgen we de oorspronkelijke breuk \(\frac(2)(3)\). Daarom worden breuken zoals \(\frac(2)(3)\) en \(\frac(3)(2)\) genoemd onderling omgekeerd.
Bijvoorbeeld de breuken \(\frac(6)(5) \) en \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) en \(\frac (18 )(7)\).
Met letters kunnen wederkerige breuken als volgt worden geschreven: \(\frac(a)(b) \) en \(\frac(b)(a) \)
Dat is duidelijk het product van wederkerige breuken is gelijk aan 1. Bijvoorbeeld: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Met behulp van wederkerige breuken kunt u de deling van breuken reduceren tot vermenigvuldiging.
De regel voor het delen van een breuk door een breuk is:
Om de ene breuk door de andere te delen, moet je het deeltal vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.
Met behulp van letters kan de regel voor het delen van breuken als volgt worden geschreven:
\(\groot \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Als het deeltal of de deler een natuurlijk getal of een gemengde breuk is, moet het eerst als een onechte breuk worden weergegeven om de regel voor het delen van breuken te kunnen gebruiken.
Het verkleinen van breuken is nodig om de breuk terug te brengen naar een eenvoudiger vorm, bijvoorbeeld in het antwoord dat wordt verkregen als resultaat van het oplossen van een uitdrukking.
Breuken reduceren, definitie en formule.
Wat is breuken verkleinen? Wat betekent het om een breuk te verkleinen?
Definitie:
Breuken verkleinen- dit is de deling van de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde positieve getal dat niet gelijk is aan nul en één. Als resultaat van de reductie wordt een breuk met een kleinere teller en noemer verkregen, gelijk aan de vorige breuk volgens.
Formule voor het verkleinen van breuken basiseigenschappen van rationale getallen.
\(\frac(p \tijden n)(q \tijden n)=\frac(p)(q)\)
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Verklein de breuk \(\frac(9)(15)\)
Oplossing:
We kunnen een breuk ontbinden in priemfactoren en gemeenschappelijke factoren opheffen.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \kleur(rood) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Antwoord: na reductie kregen we de breuk \(\frac(3)(5)\). Volgens de basiseigenschap van rationale getallen zijn de oorspronkelijke en de resulterende breuken gelijk.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Hoe breuken verkleinen? Een breuk terugbrengen tot zijn onherleidbare vorm.
Om als resultaat een onherleidbare fractie te krijgen, hebben we nodig vind de grootste gemene deler (GCD) voor de teller en de noemer van de breuk.
Er zijn verschillende manieren om GCD te vinden; in het voorbeeld zullen we de ontleding van getallen in priemfactoren gebruiken.
Bereken de onherleidbare breuk \(\frac(48)(136)\).
Oplossing:
Laten we GCD(48, 136) zoeken. Laten we de getallen 48 en 136 in priemfactoren schrijven.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\kleur(rood) (2 \tijden 2 \tijden 2) \tijden 2 \tijden 3)(\kleur(rood) (2 \tijden 2 \tijden 2) \times 17)=\frac(\kleur(rood) (6) \times 2 \times 3)(\kleur(rood) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
De regel voor het reduceren van een breuk tot een onherleidbare vorm.
- We moeten de grootste gemene deler vinden voor de teller en de noemer.
- Je moet de teller en de noemer delen door de grootste gemene deler om als resultaat van de deling een onherleidbare breuk te verkrijgen.
Voorbeeld:
Verklein de breuk \(\frac(152)(168)\).
Oplossing:
Laten we GCD(152, 168) zoeken. Laten we de getallen 152 en 168 in priemfactoren schrijven.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\kleur(rood) (6) \times 19)(\kleur(rood) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Antwoord: \(\frac(19)(21)\) is een onherleidbare breuk.
Het verminderen van onechte breuken.
Hoe een onechte breuk verkleinen?
De regels voor het verkleinen van breuken zijn hetzelfde voor juiste en onechte breuken.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Verklein de onechte breuk \(\frac(44)(32)\).
Oplossing:
Laten we de teller en de noemer in eenvoudige factoren schrijven. En dan zullen we de gemeenschappelijke factoren verminderen.
\(\frac(44)(32)=\frac(\kleur(rood) (2 \times 2 ) \times 11)(\kleur(rood) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \tijden 2 \tijden 2)=\frac(11)(8)\)
Het verminderen van gemengde fracties.
Gemengde breuken volgen dezelfde regels als gewone breuken. Het enige verschil is dat wij dat kunnen raak niet het hele deel aan, maar verklein het fractionele deel of Converteer de gemengde breuk naar een onechte breuk, verklein deze en converteer deze terug naar een echte breuk.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Annuleer de gemengde breuk \(2\frac(30)(45)\).
Oplossing:
Laten we het op twee manieren oplossen:
Eerste manier:
Laten we het fractionele deel in eenvoudige factoren omschrijven, maar we zullen niet op het hele deel ingaan.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(rood) (5 \times 3))(3 \times \color(rood) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Tweede manier:
Laten we het eerst omzetten in een onechte breuk, en het dan in priemfactoren schrijven en reduceren. Laten we de resulterende onechte breuk omzetten in een juiste breuk.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \kleur(rood) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(rood) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Gerelateerde vragen:
Kun je breuken verkleinen bij het optellen of aftrekken?
Antwoord: nee, je moet eerst breuken optellen of aftrekken volgens de regels, en pas daarna verkleinen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
Evalueer de uitdrukking \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Oplossing:
Ze maken vaak de fout om dezelfde getallen in de teller en de noemer te verminderen, in ons geval het getal 20, maar ze kunnen pas worden verminderd als je het optellen en aftrekken hebt voltooid.
\(\frac(50+\kleur(rood) (20)-10)(\kleur(rood) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Met welke getallen kun je een breuk verkleinen?
Antwoord: Je kunt een breuk verkleinen met de grootste gemene deler of de gemene deler van de teller en de noemer. Bijvoorbeeld de breuk \(\frac(100)(150)\).
Laten we de getallen 100 en 150 in priemfactoren schrijven.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
De grootste gemene deler is het getal ggd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \tijden 50)(3 \tijden 50)=\frac(2)(3)\)
We hebben de onherleidbare breuk \(\frac(2)(3)\).
Maar het is niet nodig om altijd door ggd te delen; een onherleidbare breuk is niet altijd nodig; je kunt de breuk verkleinen door een eenvoudige deler van de teller en de noemer. Het getal 100 en 150 hebben bijvoorbeeld een gemeenschappelijke deler van 2. Laten we de breuk \(\frac(100)(150)\) met 2 verminderen.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \tijden 50)(2 \tijden 75)=\frac(50)(75)\)
We hebben de reduceerbare breuk \(\frac(50)(75)\).
Welke fracties kunnen worden verminderd?
Antwoord: Je kunt breuken reduceren waarin de teller en de noemer een gemeenschappelijke deler hebben. Bijvoorbeeld de breuk \(\frac(4)(8)\). Het getal 4 en 8 hebben een getal waardoor ze beide deelbaar zijn: het getal 2. Daarom kan zo'n breuk worden verminderd met het getal 2.
Voorbeeld:
Vergelijk de twee breuken \(\frac(2)(3)\) en \(\frac(8)(12)\).
Deze twee breuken zijn gelijk. Laten we de breuk \(\frac(8)(12)\) eens nader bekijken:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\maal 1=\frac(2)(3)\)
Vanaf hier krijgen we: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Twee breuken zijn gelijk als en slechts als één ervan wordt verkregen door de andere breuk te verminderen met de gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer.
Voorbeeld:
Verklein indien mogelijk de volgende breuken: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Oplossing:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \kleur(rood) (5) \times 3 \times 3)(\kleur(rood) (5) \times 13)=\frac (2 \tijden 3 \tijden 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\kleur(rood) (3 \times 3) \times 3)(\kleur(rood) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) onherleidbare breuk
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\kleur(rood) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(rood) (2 \times 5 \times 5) \ maal 5)=\frac(2)(5)\)
Divisie en de teller en de noemer van de breuk op hun gemeenschappelijke deler, verschillend van één, wordt genoemd een fractie verminderen.
Om een gemeenschappelijke breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door hetzelfde natuurlijke getal.
Dit getal is de grootste gemene deler van de teller en de noemer van de gegeven breuk.
Het volgende is mogelijk formulieren voor het vastleggen van besluiten Voorbeelden voor het verkleinen van gewone breuken.
De student heeft het recht om elke vorm van opname te kiezen.
Voorbeelden. Vereenvoudig breuken.
Verklein de breuk met 3 (deel de teller door 3;
deel de noemer door 3).
Verklein de breuk met 7.
We voeren de aangegeven acties uit in de teller en noemer van de breuk.
De resulterende fractie wordt met 5 verminderd.
Laten we deze fractie verkleinen 4)
op 5·7³- de grootste gemene deler (GGD) van de teller en de noemer, die bestaat uit de gemeenschappelijke factoren van de teller en de noemer, herleid tot de macht met de kleinste exponent.
Laten we de teller en de noemer van deze breuk ontbinden in priemfactoren.
Wij krijgen: 756=2²·3³·7 En 1176=2³·3·7².
Bepaal de GCD (grootste gemene deler) van de teller en de noemer van de breuk 5) .
Dit is het product van gemeenschappelijke factoren genomen met de laagste exponenten.
ggd(756, 1176)= 2²·3·7.
We delen de teller en de noemer van deze breuk door hun ggd, d.w.z. door 2²·3·7 we krijgen een onherleidbare breuk 9/14
.
Of het was mogelijk om de ontbinding van de teller en de noemer te schrijven in de vorm van een product van priemfactoren, zonder het concept van macht te gebruiken, en vervolgens de breuk te verkleinen door dezelfde factoren in de teller en de noemer door te strepen. Als er geen identieke factoren meer zijn, vermenigvuldigen we de overige factoren afzonderlijk in de teller en afzonderlijk in de noemer en schrijven we de resulterende breuk uit 9/14 .
En ten slotte was het mogelijk om deze fractie te verkleinen 5) geleidelijk, door tekenen van delende getallen toe te passen op zowel de teller als de noemer van de breuk. Laten we als volgt denken: cijfers 756 En 1176 eindigen op een even getal, wat betekent dat beide deelbaar zijn door 2 . We verkleinen de breuk met 2 . De teller en de noemer van de nieuwe breuk zijn getallen 378 En 588 ook verdeeld in 2 . We verkleinen de breuk met 2 . We merken dat het aantal 294 - zelfs, en 189 is vreemd, en reductie met 2 is niet langer mogelijk. Laten we de deelbaarheid van getallen controleren 189 En 294 op 3 .
(1+8+9)=18 is deelbaar door 3 en (2+9+4)=15 is deelbaar door 3, vandaar de getallen zelf 189 En 294 zijn verdeeld in 3 . We verkleinen de breuk met 3 . Volgende, 63 is deelbaar door 3 en 98 - Nee. Laten we eens kijken naar andere belangrijke factoren. Beide getallen zijn deelbaar door 7 . We verkleinen de breuk met 7 en we krijgen de onherleidbare fractie 9/14 .
Kinderen op school leren in groep 6 de regels voor het verkleinen van breuken. In dit artikel vertellen we je eerst wat deze actie betekent, daarna leggen we uit hoe je een reduceerbare breuk omzet in een onherleidbare breuk. Het volgende punt zijn de regels voor het verkleinen van breuken, en dan komen we geleidelijk bij de voorbeelden.
Wat betekent het om ‘een fractie te verkleinen’?
We weten dus allemaal dat gewone breuken in twee groepen zijn verdeeld: reduceerbaar en onherleidbaar. Uit de namen kun je al opmaken dat degenen die contracteerbaar zijn, gecontracteerd zijn, en degenen die onherleidbaar zijn, niet gecontracteerd zijn.
- Een breuk verkleinen betekent dat je de noemer en de teller deelt door hun (anders dan één) positieve deler. Het resultaat is natuurlijk een nieuwe breuk met een kleinere noemer en teller. De resulterende breuk zal gelijk zijn aan de oorspronkelijke breuk.
Het is vermeldenswaard dat dit in wiskundeboeken met de taak 'een breuk reduceren' betekent dat je de oorspronkelijke breuk moet reduceren tot deze onherleidbare vorm. Als we praten in eenvoudige woorden, dan is het delen van de noemer en de teller door hun grootste gemene deler een reductie.
Hoe een breuk te verkleinen. Regels voor het verkleinen van breuken (graad 6)
Er zijn hier dus maar twee regels.
- De eerste regel voor het verkleinen van breuken is om eerst de grootste gemene deler van de noemer en teller van je breuk te vinden.
- De tweede regel: deel de noemer en de teller door de grootste gemene deler, waardoor je uiteindelijk een onherleidbare breuk krijgt.
Hoe een onechte breuk verkleinen?
De regels voor het verkleinen van breuken zijn identiek aan de regels voor het verkleinen van onechte breuken.
Om een onechte breuk te verkleinen, moet je eerst de noemer en de teller in priemfactoren ontbinden, en pas daarna de gemeenschappelijke factoren reduceren.
Het verminderen van gemengde fracties
De regels voor het verkleinen van fracties gelden ook voor het verkleinen van gemengde fracties. Er is slechts een klein verschil: we kunnen niet het hele deel aanraken, maar de breuk verkleinen of de gemengde breuk omzetten in een onechte breuk, deze vervolgens verkleinen en opnieuw omzetten in een zuivere breuk.
Er zijn twee manieren om gemengde fracties te verminderen.
Ten eerste: schrijf het fractionele deel in priemfactoren en laat het hele deel met rust.
De tweede manier: converteer het eerst naar een onechte breuk, schrijf het in gewone factoren en verklein vervolgens de breuk. Converteer de reeds verkregen onechte breuk naar een zuivere breuk.
Voorbeelden zijn te zien op de foto hierboven.
We hopen echt dat we u en uw kinderen hebben kunnen helpen. Ze zijn immers vaak onoplettend in de klas, waardoor ze thuis intensiever alleen moeten studeren.
Dit artikel vervolgt het thema transformatie algebraïsche breuken: beschouw een dergelijke actie als het verminderen van algebraïsche breuken. Laten we de term zelf definiëren, een reductieregel formuleren en praktische voorbeelden analyseren.
Yandex.RTB R-A-339285-1
De betekenis van het verkleinen van een algebraïsche breuk
In materialen over gewone breuken hebben we gekeken naar de reductie ervan. We hebben het reduceren van een breuk gedefinieerd als het delen van de teller en de noemer door een gemeenschappelijke deler.
Het verkleinen van een algebraïsche breuk is een soortgelijke bewerking.
Definitie 1
Een algebraïsche breuk verkleinen is de deling van de teller en de noemer door een gemeenschappelijke factor. In dit geval kan, in tegenstelling tot de reductie van een gewone breuk (de gemeenschappelijke noemer kan alleen een getal zijn), de gemeenschappelijke factor van de teller en de noemer van een algebraïsche breuk een polynoom zijn, in het bijzonder een monomiaal of een getal.
De algebraïsche breuk 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 kan bijvoorbeeld worden verminderd met het getal 3, wat resulteert in: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. We kunnen dezelfde breuk verkleinen met de variabele x, en dit geeft ons de uitdrukking 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Het is ook mogelijk om een bepaalde fractie met een monomiaal te reduceren 3 x of een van de polynomen x + 2 j, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y of 3 x 2 + 6 x j.
Het uiteindelijke doel van het verkleinen van een algebraïsche breuk is een breuk groter dan eenvoudig soort, V beste scenario– onherleidbare breuk.
Zijn alle algebraïsche breuken onderhevig aan reductie?
Nogmaals, uit materialen op gewone fracties weten we dat er reduceerbare en onherleidbare fracties zijn. Onherleidbare breuken zijn breuken die geen andere gemeenschappelijke teller- en noemerfactoren hebben dan 1.
Hetzelfde geldt voor algebraïsche breuken: ze kunnen gemeenschappelijke factoren hebben in de teller en de noemer, of misschien niet. Door de aanwezigheid van gemeenschappelijke factoren kunt u de oorspronkelijke breuk vereenvoudigen door middel van reductie. Als er geen gemeenschappelijke factoren zijn, is het onmogelijk om een bepaalde fractie te optimaliseren met behulp van de reductiemethode.
In algemene gevallen is het, gezien het type fractie, vrij moeilijk om te begrijpen of deze kan worden verminderd. Natuurlijk is in sommige gevallen de aanwezigheid van een gemeenschappelijke factor tussen de teller en de noemer duidelijk. In de algebraïsche breuk 3 x 2 3 y is het bijvoorbeeld duidelijk dat de gemeenschappelijke deler het getal 3 is.
In de breuk - x · y 5 · x · y · z 3 begrijpen we ook meteen dat deze kan worden verminderd met x, of y, of x · y. En toch zijn er veel vaker voorbeelden van algebraïsche breuken, waarbij de gemeenschappelijke factor van de teller en de noemer niet zo gemakkelijk te zien is, en nog vaker is deze eenvoudigweg afwezig.
We kunnen bijvoorbeeld de breuk x 3 - 1 x 2 - 1 verkleinen met x - 1, terwijl de opgegeven gemeenschappelijke deler niet aanwezig is in de invoer. Maar de breuk x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan niet worden gereduceerd, omdat de teller en de noemer geen gemeenschappelijke deler hebben.
De kwestie van het bepalen van de reduceerbaarheid van een algebraïsche breuk is dus niet zo eenvoudig, en het is vaak gemakkelijker om met een breuk van een bepaalde vorm te werken dan te proberen erachter te komen of deze reduceerbaar is. In dit geval vinden dergelijke transformaties plaats die het in bepaalde gevallen mogelijk maken om de gemeenschappelijke factor van de teller en de noemer te bepalen of om een conclusie te trekken over de onherleidbaarheid van een breuk. We zullen dit probleem in detail onderzoeken in de volgende paragraaf van het artikel.
Regel voor het reduceren van algebraïsche breuken
Regel voor het reduceren van algebraïsche breuken bestaat uit twee opeenvolgende acties:
- het vinden van gemeenschappelijke factoren van de teller en de noemer;
- als deze worden gevonden, wordt de reductie van de fractie direct uitgevoerd.
De handigste methode om gemeenschappelijke noemers te vinden, is door de polynomen die aanwezig zijn in de teller en de noemer van een gegeven algebraïsche breuk in factoren te ontbinden. Hierdoor kunt u direct duidelijk de aan- of afwezigheid van gemeenschappelijke factoren zien.
De werking van het verkleinen van een algebraïsche breuk is gebaseerd op de hoofdeigenschap van een algebraïsche breuk, uitgedrukt door de gelijkheid ongedefinieerd, waarbij a, b, c enkele polynomen zijn, en b en c niet nul zijn. De eerste stap is het reduceren van de breuk tot de vorm a · c b · c, waarbij we meteen de gemeenschappelijke factor c opmerken. De tweede stap is het uitvoeren van een reductie, d.w.z. overgang naar een breuk van de vorm a b .
Typische voorbeelden
Ondanks enige voor de hand liggende duidelijkheid, laten we er duidelijkheid over geven speciaal geval wanneer de teller en de noemer van een algebraïsche breuk gelijk zijn. Soortgelijke breuken zijn identiek gelijk aan 1 op de gehele ODZ van de variabelen van deze breuk:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2x3 - 3, 2x3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Omdat gewone breuken een speciaal geval zijn van algebraïsche breuken, laten we ons herinneren hoe ze worden gereduceerd. De natuurlijke getallen die in de teller en de noemer zijn geschreven, worden verwerkt in priemfactoren, waarna de gemeenschappelijke factoren worden geannuleerd (indien aanwezig).
Bijvoorbeeld 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Het product van eenvoudige identieke factoren kan worden geschreven als machten, en bij het verkleinen van een breuk kunt u de eigenschap gebruiken om machten te delen met op dezelfde gronden. Dan zou bovenstaande oplossing zijn:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(teller en noemer gedeeld door een gemeenschappelijke deler 2 2 3). Of voor de duidelijkheid, gebaseerd op de eigenschappen van vermenigvuldigen en delen, geven we de oplossing de volgende vorm:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Naar analogie wordt de reductie van algebraïsche breuken uitgevoerd, waarbij de teller en de noemer monomialen hebben met gehele coëfficiënten.
Voorbeeld 1
De algebraïsche breuk wordt gegeven - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Het moet worden verminderd.
Oplossing
Het is mogelijk om de teller en de noemer van een gegeven breuk te schrijven als een product van eenvoudige factoren en variabelen, en vervolgens de reductie uit te voeren:
27 · een 5 · b 2 · c · z 6 · een 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · een · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 een 3 2 c 6
Een rationeler manier zou echter zijn om de oplossing te schrijven als een uitdrukking met machten:
27 · een 5 · b 2 · c · z 6 · een 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · een 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · een 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · een 5 een 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · een 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · een 3 2 · c 6 = · - 9 · een 3 2 · c 6 .
Antwoord:- 27 een 5 b 2 c z 6 een 2 b 2 c 7 z = - 9 een 3 2 c 6
Wanneer de teller en de noemer van een algebraïsche breuk fractionele numerieke coëfficiënten bevatten, zijn er twee mogelijke manieren om verder te handelen: deel deze fractionele coëfficiënten afzonderlijk, of verwijder eerst de fractionele coëfficiënten door de teller en de noemer met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen. De laatste transformatie wordt uitgevoerd vanwege de basiseigenschap van een algebraïsche breuk (je kunt hierover lezen in het artikel "Een algebraïsche breuk herleiden tot een nieuwe noemer").
Voorbeeld 2
De gegeven breuk is 2 5 x 0, 3 x 3. Het moet worden verminderd.
Oplossing
Het is mogelijk om de fractie op deze manier te verkleinen:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Laten we proberen het probleem op een andere manier op te lossen, nadat we eerst de fractionele coëfficiënten hebben verwijderd - vermenigvuldig de teller en de noemer met het kleinste gemene veelvoud van de noemers van deze coëfficiënten, d.w.z. op LCM (5, 10) = 10. Dan krijgen we:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Antwoord: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Wanneer we algebraïsche breuken reduceren algemeen beeld, waarin de tellers en noemers monomialen of polynomen kunnen zijn, kan er een probleem zijn als de gemeenschappelijke factor niet altijd onmiddellijk zichtbaar is. Of sterker nog, het bestaat simpelweg niet. Om vervolgens de gemeenschappelijke factor te bepalen of het feit van de afwezigheid ervan vast te leggen, worden de teller en de noemer van de algebraïsche breuk in factoren meegenomen.
Voorbeeld 3
De rationale breuk 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 wordt gegeven. Het moet worden verminderd.
Oplossing
Laten we de polynomen ontbinden in de teller en de noemer. Laten we het tussen haakjes zetten:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
We zien dat de uitdrukking tussen haakjes kan worden geconverteerd met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Het is duidelijk te zien dat het mogelijk is een breuk te reduceren met een gemeenschappelijke factor b2 (a+7). Laten we een reductie maken:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Laten we een korte oplossing zonder uitleg schrijven als een keten van gelijkheden:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Antwoord: 2 een 2 b 2 + 28 een b 2 + 98 b 2 een 2 b 3 - 49 b 3 = 2 een + 14 een b - 7 b.
Het komt voor dat gemeenschappelijke factoren verborgen zijn door numerieke coëfficiënten. Vervolgens is het bij het verkleinen van breuken optimaal om de numerieke factoren met hogere machten van de teller en de noemer tussen haakjes te plaatsen.
Voorbeeld 4
Gegeven de algebraïsche breuk 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Het is noodzakelijk om dit indien mogelijk te verminderen.
Oplossing
Op het eerste gezicht bestaan de teller en de noemer niet gemeenschappelijke noemer. Laten we echter proberen de gegeven breuk om te rekenen. Laten we de factor x uit de teller halen:
1 5 x - 2 7 x 3 j 5 x 2 j - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 j 5 x 2 j - 3 1 2
Nu kun je enige gelijkenis zien tussen de uitdrukking tussen haakjes en de uitdrukking in de noemer vanwege x 2 y . Laten we de numerieke coëfficiënten van de hogere machten van deze polynomen eruit halen:
x 1 5 - 2 7 x 2 j 5 x 2 j - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 j 5 x 2 j - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 j 5 x 2 j - 7 10
Nu de gemeenschappelijke factor zichtbaar wordt, voeren we de reductie uit:
2 7 x - 7 10 + x 2 j 5 x 2 j - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Antwoord: 1 5 x - 2 7 x 3 j 5 x 2 j - 3 1 2 = - 2 35 x .
Laten we benadrukken dat de vaardigheid om rationale breuken te reduceren afhangt van het vermogen om polynomen in factoren te ontbinden.
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
Laden...
