Hoe logaritmes met gelijke basen op te lossen. Logaritmen: voorbeelden en oplossingen

Wat is een logaritme?

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)

Wat is een logaritme? Hoe logaritmes op te lossen? Deze vragen brengen veel afgestudeerden in verwarring. Traditioneel wordt het onderwerp logaritmen als complex, onbegrijpelijk en eng beschouwd. Vooral vergelijkingen met logaritmen.

Dit is absoluut niet waar. Absoluut! Geloof je mij niet? Prima. Nu kunt u in slechts 10 - 20 minuten:

1. Je zult het begrijpen wat is een logaritme.

2. Leer een hele klas op te lossen exponentiële vergelijkingen. Ook al heb je er niets over gehoord.

3. Leer eenvoudige logaritmen berekenen.

Bovendien hoef je hiervoor alleen de tafel van vermenigvuldiging te kennen en hoe je een getal tot een macht kunt verheffen...

Ik heb het gevoel dat je twijfelt... Nou, oké, let op de tijd! Laten we gaan!

Los eerst deze vergelijking in je hoofd op:

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Logaritmen kunnen, net als alle andere getallen, op elke manier worden opgeteld, afgetrokken en getransformeerd. Maar aangezien logaritmen niet bepaald gewone getallen zijn, zijn er hier regels die worden genoemd belangrijkste eigenschappen.

Je moet deze regels zeker kennen - zonder deze regels kan geen enkel ernstig logaritmisch probleem worden opgelost. Bovendien zijn er maar heel weinig - je kunt alles op één dag leren. Dus laten we aan de slag gaan.

Logaritmen optellen en aftrekken

Beschouw twee logaritmen met dezelfde grondtallen: log A X en loggen A j. Vervolgens kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

1. loggen A X+ logboek A j= loggen A (X · j);
2. loggen A X− logboek A j= loggen A (X : j).

De som van de logaritmen is dus gelijk aan de logaritme van het product, en het verschil is gelijk aan de logaritme van het quotiënt. Let op: sleutelpunt Hier - identieke gronden. Als de redenen verschillend zijn, werken deze regels niet!

Deze formules helpen u bij het berekenen logaritmische uitdrukking zelfs als de afzonderlijke delen ervan niet worden meegeteld (zie les “Wat is een logaritme”). Bekijk de voorbeelden en zie:

Stam 6 4 + stam 6 9.

Omdat logaritmen dezelfde grondtal hebben, gebruiken we de somformule:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 2 48 − log 2 3.

De bases zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 3 135 − log 3 5.

Opnieuw zijn de bases hetzelfde, dus we hebben:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan ​​de oorspronkelijke uitdrukkingen uit ‘slechte’ logaritmen, die niet afzonderlijk worden berekend. Maar na de transformaties worden volledig normale getallen verkregen. Veel tests zijn op dit feit gebaseerd. Ja, testachtige uitdrukkingen worden in alle ernst aangeboden (soms met vrijwel geen wijzigingen) op het Unified State Examination.

De exponent uit de logaritme halen

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Wat als de grondtal of het argument van een logaritme een macht is? Vervolgens kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Het is gemakkelijk in te zien dat de laatste regel de eerste twee volgt. Maar het is toch beter om het te onthouden - in sommige gevallen zal het het aantal berekeningen aanzienlijk verminderen.

Natuurlijk zijn al deze regels zinvol als de ODZ van de logaritme in acht wordt genomen: A > 0, A ≠ 1, X> 0. En nog één ding: leer alle formules niet alleen van links naar rechts toe te passen, maar ook andersom, d.w.z. U kunt de getallen vóór het logaritmeteken in de logaritme zelf invoeren. Dit is wat het vaakst nodig is.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 7 49 6 .

Laten we de graad in het argument verwijderen met behulp van de eerste formule:
logboek 7 49 6 = 6 logboek 7 49 = 6 2 = 12

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat de noemer een logaritme bevat, waarvan de basis en het argument exacte machten zijn: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wij hebben:

[Onderschrift voor de foto]

Ik denk dat het laatste voorbeeld enige verduidelijking behoeft. Waar zijn logaritmes gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer. We presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van machten en haalden de exponenten eruit - we kregen een breuk van "drie verdiepingen".

Laten we nu naar de hoofdbreuk kijken. De teller en de noemer bevatten hetzelfde getal: log 2 7. Omdat log 2 7 ≠ 0 kunnen we de breuk verkleinen - 2/4 blijft in de noemer. Volgens de rekenregels kunnen de vier worden overgedragen naar de teller, en dat is ook gebeurd. Het resultaat was het antwoord: 2.

Overgang naar een nieuwe stichting

Sprekend over de regels voor het optellen en aftrekken van logaritmen, heb ik specifiek benadrukt dat ze alleen met dezelfde grondtallen werken. Wat als de redenen verschillend zijn? Wat als het geen exacte machten van hetzelfde getal zijn?

Formules voor de overgang naar een nieuwe stichting komen te hulp. Laten we ze formuleren in de vorm van een stelling:

Laat het logaritmelogboek worden gegeven A X. Dan voor welk nummer dan ook C zodanig dat C> 0 en C≠ 1, de gelijkheid is waar:

[Onderschrift voor de foto]

In het bijzonder, als we zetten C = X, wij krijgen:

[Onderschrift voor de foto]

Uit de tweede formule volgt dat de basis en het argument van de logaritme kunnen worden verwisseld, maar in dit geval wordt de hele uitdrukking “omgedraaid”, d.w.z. de logaritme verschijnt in de noemer.

Deze formules worden zelden aangetroffen in conventionele producten numerieke uitdrukkingen. Het is alleen mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter problemen die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door naar een nieuwe stichting te verhuizen. Laten we er een paar bekijken:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 5 16 log 2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte machten bevatten. Laten we de indicatoren eruit halen: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; logboek 2 25 = logboek 2 5 2 = 2 logboek 2 5;

Laten we nu de tweede logaritme “omkeren”:

[Onderschrift voor de foto]

Omdat het product niet verandert bij het herschikken van factoren, hebben we rustig vier en twee vermenigvuldigd en vervolgens met logaritmen gewerkt.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we dit opschrijven en de indicatoren verwijderen:

[Onderschrift voor de foto]

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

[Onderschrift voor de foto]

Fundamentele logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossingsproces nodig om een ​​getal weer te geven als een logaritme met een gegeven grondtal. In dit geval zullen de volgende formules ons helpen:

In het eerste geval het nummer N wordt een indicator van de mate waarin het argument staat. Nummer N kan absoluut alles zijn, omdat het slechts een logaritmewaarde is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Zo heet het: basic logaritmische identiteit.

Wat zal er eigenlijk gebeuren als het nummer B verheffen tot een zodanige macht dat het getal B aan deze macht geeft het getal A? Dat klopt: u krijgt hetzelfde nummer A. Lees deze paragraaf nog eens aandachtig door - veel mensen blijven erin hangen.

Net als formules om naar een nieuwe basis te gaan, is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat log 25 64 = log 5 8 - simpelweg het kwadraat van de basis en het argument van de logaritme heeft overgenomen. Rekening houdend met de regels voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, krijgen we:

[Onderschrift voor de foto]

Als iemand het niet weet: dit was een echte taak van het Unified State Exam :)

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

Tot slot zal ik twee identiteiten geven die nauwelijks eigenschappen kunnen worden genoemd; het zijn eerder gevolgen van de definitie van de logaritme. Ze verschijnen voortdurend in problemen en creëren, verrassend genoeg, zelfs voor ‘gevorderde’ studenten problemen.

1. loggen A A= 1 is een logaritmische eenheid. Onthoud voor eens en voor altijd: logaritme met elk grondtal A vanaf deze basis is gelijk aan één.
2. loggen A 1 = 0 is logaritmisch nul. Baseren A kan van alles zijn, maar als het argument er één bevat, is de logaritme gelijk aan nul! Omdat A 0 = 1 is een direct gevolg van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je oefent om ze in de praktijk te brengen! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

1. Controleer of er negatieve getallen staan ​​of één onder het logaritmeteken. Deze methode van toepassing op uitdrukkingen van de vorm log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\ Displaystyle (\ frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a)))). Het is echter niet geschikt voor bepaalde speciale gevallen:

   • De logaritme van een negatief getal is in geen enkel grondtal gedefinieerd (bijvoorbeeld log ⁡ (- 3) (\ Displaystyle \ log (-3)) of log 4 ⁡ (- 5) (\ Displaystyle \ log _ (4) (-5))). Schrijf in dit geval "geen oplossing".
   • De logaritme van nul tot een grondtal is ook niet gedefinieerd. Als je gepakt wordt ln ⁡ (0) (\ Displaystyle \ ln (0)), noteer "geen oplossing".
   • Logaritme van één tot een willekeurig grondtal ( logboek ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) is altijd nul, omdat x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) voor alle waarden X. Schrijf 1 in plaats van deze logaritme en gebruik niet de onderstaande methode.
   • Als logaritmen hebben verschillende redenen, Bijvoorbeeld l O g 3 (x) l O g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), en niet worden gereduceerd tot gehele getallen, kan de waarde van de expressie niet handmatig worden gevonden.

2. Converteer de uitdrukking naar één logaritme. Als de uitdrukking niet van toepassing is op de bovenstaande speciale gevallen, kan deze worden uitgedrukt als een enkele logaritme. Gebruik hiervoor de volgende formule: logboek b ⁡ (x) logboek b ⁡ (a) = logboek een ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Voorbeeld 1: Beschouw de uitdrukking logboek ⁡ 16 logboek ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Laten we eerst de uitdrukking weergeven als een enkele logaritme met behulp van de bovenstaande formule: logboek ⁡ 16 logboek ⁡ 2 = logboek 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Deze formule voor het “vervangen van de basis” van een logaritme is afgeleid van de basiseigenschappen van logaritmes.

3. Evalueer indien mogelijk de waarde van de expressie handmatig. Te vinden log een ⁡ (x) (\ Displaystyle \ log _ (a) (x)) Stel je de uitdrukking voor " A? = x (\displaystyle a^(?)=x)", dat wil zeggen, stel de volgende vraag: "Tot welke macht moet je verheffen A te krijgen X Voor het beantwoorden van deze vraag heb je misschien een rekenmachine nodig, maar als je geluk hebt, kun je deze misschien handmatig vinden.

   • Voorbeeld 1 (vervolg): Herschrijf als 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). U moet uitzoeken welk nummer op de plaats van het "?"-teken moet staan. Dit kan met vallen en opstaan ​​worden gedaan:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Het getal dat we zoeken is dus 4: logboek 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Laat uw antwoord in logaritmische vorm achter als u het niet kunt vereenvoudigen. Veel logaritmen zijn erg moeilijk met de hand te berekenen. In dit geval heeft u een rekenmachine nodig om een ​​nauwkeurig antwoord te krijgen. Als je echter een probleem in de klas oplost, zal de leraar hoogstwaarschijnlijk tevreden zijn met het antwoord in logaritmische vorm. De hieronder besproken methode wordt gebruikt om een ​​complexer voorbeeld op te lossen:

   • voorbeeld 2: wat is gelijk logboek 3 ⁡ (58) logboek 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Laten we deze uitdrukking omzetten in één logaritme: logboek 3 ⁡ (58) logboek 3 ⁡ (7) = logboek 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Merk op dat het grondtal 3 dat beide logaritmes gemeen hebben, verdwijnt; dit is om welke reden dan ook waar.
   • Laten we de uitdrukking in het formulier herschrijven 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) en laten we proberen de waarde te vinden?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Omdat 58 tussen deze twee getallen ligt, wordt het niet als een geheel getal uitgedrukt.
   • We laten het antwoord in logaritmische vorm achter: logboek 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

De focus van dit artikel is logaritme. Hier zullen we een definitie van een logaritme geven, de geaccepteerde notatie laten zien, voorbeelden van logaritmen geven en praten over natuurlijke en decimale logaritmen. Hierna zullen we de fundamentele logaritmische identiteit beschouwen.

Paginanavigatie.

Definitie van logaritme

Het concept van een logaritme ontstaat bij het oplossen van een probleem in zekere zin omgekeerd, wanneer u de exponent moet vinden met behulp van een bekende exponentwaarde en een bekende basis.

Maar genoeg inleidingen, het is tijd om de vraag “wat is een logaritme” te beantwoorden? Laten we de bijbehorende definitie geven.

Definitie.

Logaritme van b met grondtal a, waarbij a>0, a≠1 en b>0 de exponent is waarmee je het getal a moet verhogen om als resultaat b te krijgen.

In dit stadium merken we op dat het gesproken woord ‘logaritme’ onmiddellijk twee vervolgvragen zou moeten oproepen: ‘welk getal’ en ‘op welke basis’. Met andere woorden: er bestaat eenvoudigweg geen logaritme, maar alleen de logaritme van een getal tot een bepaald grondtal.

Laten we meteen naar binnen gaan logaritme notatie: de logaritme van een getal b met grondtal a wordt gewoonlijk aangegeven als log a b. De logaritme van een getal b met grondtal e en de logaritme met grondtal 10 hebben hun eigen speciale aanduidingen lnb en logb, dat wil zeggen dat ze niet log e b schrijven, maar lnb, en niet log 10 b, maar lgb.

Nu kunnen we geven: .
En de dossiers heeft geen zin, omdat er in de eerste van hen onder het teken van de logaritme staat negatief getal, in de tweede staat een negatief getal in de basis, en in de derde staat een negatief getal onder het logaritmeteken en een eenheid in de basis.

Laten we er nu over praten regels voor het lezen van logaritmen. Log a b wordt gelezen als "de logaritme van b met grondtal a". Log 2 3 is bijvoorbeeld de logaritme van drie met grondtal 2, en is de logaritme van twee komma twee derde met grondtal 2 vierkantswortel van de vijf. De logaritme met grondtal e wordt genoemd natuurlijke logaritme, en de notatie lnb luidt "natuurlijke logaritme van b". ln7 is bijvoorbeeld de natuurlijke logaritme van zeven, en we zullen dit lezen als de natuurlijke logaritme van pi. De logaritme met grondtal 10 heeft ook een speciale naam: decimale logaritme, en lgb wordt gelezen als "decimaal logaritme van b". LG1 is bijvoorbeeld de decimale logaritme van één, en LG2,75 is de decimale logaritme van twee komma zeven vijfhonderdsten.

Het is de moeite waard om apart stil te staan ​​bij de voorwaarden a>0, a≠1 en b>0, waaronder de definitie van de logaritme wordt gegeven. Laten we uitleggen waar deze beperkingen vandaan komen. Een gelijkheid van de vorm genaamd , die direct volgt uit de hierboven gegeven definitie van logaritme, zal ons hierbij helpen.

Laten we beginnen met a≠1. Omdat één tot elke macht gelijk is aan één, kan de gelijkheid alleen waar zijn als b=1, maar log 1 1 kan elk zijn echt nummer. Om deze dubbelzinnigheid te vermijden, wordt a≠1 aangenomen.

Laten we de opportuniteit van de voorwaarde a>0 rechtvaardigen. Met a=0 zouden we, volgens de definitie van een logaritme, gelijkheid hebben, wat alleen mogelijk is met b=0. Maar dan kan log 0 0 elk reëel getal niet nul zijn, aangezien nul tot elke macht die niet nul is, nul is. De voorwaarde a≠0 stelt ons in staat deze dubbelzinnigheid te vermijden. En wanneer een<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Ten slotte volgt de voorwaarde b>0 uit de ongelijkheid a>0, aangezien , en de waarde van een macht met een positieve grondtal a altijd positief is.

Om dit punt af te ronden, laten we zeggen dat de aangegeven definitie van de logaritme u in staat stelt onmiddellijk de waarde van de logaritme aan te geven wanneer het getal onder het logaritmeteken een bepaalde macht van de basis is. De definitie van een logaritme stelt ons in staat te stellen dat als b=a p, de logaritme van het getal b met grondtal a gelijk is aan p. Dat wil zeggen dat de gelijkheidslog a a p =p waar is. We weten bijvoorbeeld dat 2 3 =8, en loggen dan 2 8=3. We zullen hier meer over vertellen in het artikel.

Laten we beginnen met eigenschappen van de logaritme van één. De formulering is als volgt: de logaritme van eenheid is gelijk aan nul, dat wil zeggen: log een 1=0 voor elke a>0, a≠1. Het bewijs is niet moeilijk: aangezien a 0 =1 voor elke a die voldoet aan de bovenstaande voorwaarden a>0 en a≠1, volgt de te bewijzen gelijkheidslog a 1=0 onmiddellijk uit de definitie van de logaritme.

Laten we voorbeelden geven van de toepassing van de beschouwde eigenschap: log 3 1=0, log1=0 en .

Laten we verder gaan naar naar het volgende pand: de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal is gelijk aan één, dat wil zeggen, log een a = 1 voor a>0, a≠1. Aangezien a 1 =a voor elke a, dan per definitie logaritme log een een=1.

Voorbeelden van het gebruik van deze eigenschap van logaritmen zijn de gelijkheden log 5 5=1, log 5,6 5,6 en lne=1.

Bijvoorbeeld log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 en .

Logaritme van het product van twee positieve getallen x en y is gelijk aan het product van de logaritmen van deze getallen: log a (xy)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Laten we de eigenschap van de logaritme van een product bewijzen. Vanwege de eigenschappen van de graad een log a x+log a y =een log a x ·een log a y, en aangezien volgens de logaritmische hoofdidentiteit een log a x =x en een log a y =y, dan een log a x ·a log a y =x·y. Dus een log a x+log a y =x·y, waaruit, door de definitie van een logaritme, de bewezen gelijkheid volgt.

Laten we voorbeelden tonen van het gebruik van de eigenschap van de logaritme van een product: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 en .

De eigenschap van de logaritme van een product kan worden gegeneraliseerd naar het product van een eindig getal n van positieve getallen x 1 , x 2 , …, x n als log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Deze gelijkheid kan zonder problemen worden bewezen.

De natuurlijke logaritme van een product kan bijvoorbeeld worden vervangen door de som van drie natuurlijke logaritmes nummers 4 , e en .

Logaritme van het quotiënt van twee positieve getallen x en y is gelijk aan het verschil tussen de logaritmen van deze getallen. De eigenschap van de logaritme van een quotiënt komt overeen met een formule van de vorm , waarbij a>0, a≠1, x en y enkele positieve getallen zijn. De geldigheid van deze formule is bewezen, evenals de formule voor de logaritme van een product: sindsdien , dan per definitie van een logaritme.

Hier is een voorbeeld van het gebruik van deze eigenschap van de logaritme: .

Laten we verder gaan naar eigenschap van de logaritme van de macht. De logaritme van een graad is gelijk aan het product van de exponent en de logaritme van de modulus van de basis van deze graad. Laten we deze eigenschap van de logaritme van een macht als formule schrijven: log a b p =p·log a |b|, waarbij a>0, a≠1, b en p zodanige getallen zijn dat de mate bp zinvol is en bp >0.

Eerst bewijzen we deze eigenschap voor positief b. De logaritmische basisidentiteit stelt ons in staat het getal b voor te stellen als een log a b , en dan b p =(a log a b) p , en de resulterende uitdrukking is, vanwege de eigenschap van macht, gelijk aan a p·log a b . We komen dus tot de gelijkheid b p =a p·log a b, waaruit we, door de definitie van een logaritme, concluderen dat log a b p =p·log a b.

Rest ons nog deze eigenschap te bewijzen voor negatief b. Hier merken we op dat de uitdrukking log a bp voor negatieve b alleen zinvol is voor de even exponenten p (aangezien de waarde van de graad bp groter moet zijn dan nul, anders is de logaritme niet logisch), en in dit geval b p =|b| P. Dan bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, vanwaar log a b p =p·log a |b| .

Bijvoorbeeld, en ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Het volgt uit het vorige pand eigenschap van de logaritme vanaf de wortel: de logaritme van de n-de wortel is gelijk aan het product van de breuk 1/n door de logaritme van de worteluitdrukking, dat wil zeggen: , waarbij a>0, a≠1, n – natuurlijk getal, groter dan één, b>0.

Het bewijs is gebaseerd op de gelijkheid (zie), die geldig is voor elke positieve b, en de eigenschap van de logaritme van de macht: .

Hier is een voorbeeld van het gebruik van deze eigenschap: .

Laten we het nu bewijzen formule om naar een nieuwe logaritmebasis te gaan vriendelijk . Om dit te doen is het voldoende om de geldigheid van de gelijkheidslog c b=log a b·log c a te bewijzen. De logaritmische basisidentiteit stelt ons in staat het getal b voor te stellen als een log a b , en dan log c b=log c a log a b . Het blijft de eigenschap van de logaritme van de graad gebruiken: log c a log a b =log a blog log c a. Dit bewijst de gelijkheid log c b=log a b·log ca, wat betekent dat de formule voor de overgang naar een nieuw grondtal van de logaritme ook bewezen is.

Laten we een paar voorbeelden laten zien van het gebruik van deze eigenschap van logaritmen: en .

Met de formule voor het overstappen naar een nieuwe basis kunt u verdergaan met het werken met logaritmen met een "handige" basis. Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om naar natuurlijke of decimale logaritmen te gaan, zodat u de waarde van een logaritme kunt berekenen op basis van een tabel met logaritmen. De formule voor het overstappen naar een nieuwe logaritmebasis maakt het in sommige gevallen ook mogelijk om de waarde van een gegeven logaritme te vinden wanneer de waarden van sommige logaritmes met andere bases bekend zijn.

Vaak gebruikt speciaal geval formules voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme met c=b van de vorm . Dit laat zien dat log a b en log b a – . Bijvoorbeeld, .

De formule wordt ook vaak gebruikt , wat handig is voor het vinden van logaritmewaarden. Om onze woorden te bevestigen, zullen we laten zien hoe het kan worden gebruikt om de waarde van een logaritme van de vorm te berekenen. Wij hebben . Om de formule te bewijzen het volstaat om de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme a te gebruiken: .

Het blijft nodig om de eigenschappen van de vergelijking van logaritmen te bewijzen.

Laten we bewijzen dat voor alle positieve getallen b 1 en b 2, b 1 log a b 2 , en voor a>1 – de ongelijkheid log a b 1

Ten slotte moet nog de laatste van de genoemde eigenschappen van logaritmen worden bewezen. Laten we ons beperken tot het bewijs van het eerste deel, dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat als a 1 >1, a 2 >1 en a 1 1 is waar log a 1 b>log a 2 b . De overige uitspraken over deze eigenschap van logaritmen worden volgens een soortgelijk principe bewezen.

Laten we de tegenovergestelde methode gebruiken. Stel dat voor een 1 >1, een 2 >1 en een 1 1 is waar log a 1 b≤log a 2 b . Op basis van de eigenschappen van logaritmen kunnen deze ongelijkheden worden herschreven als En respectievelijk, en daaruit volgt dat respectievelijk log b a 1 ≤ log b a 2 en log b a 1 ≥ log b a 2. Vervolgens moeten, volgens de eigenschappen van machten met dezelfde bases, de gelijkheden b log b a 1 ≥b log b a 2 en b log b a 1 ≥b log b a 2 gelden, dat wil zeggen a 1 ≥a 2 . We kwamen dus tot een tegenspraak met de voorwaarde a 1

Referenties.

• Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. en anderen. Algebra en het begin van analyse: leerboek voor de groepen 10 - 11 van instellingen voor algemeen onderwijs.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan).