Hoe complexe primitieve woorden te vinden. Antiderivaat van functie

Laten we de beweging van een punt langs een rechte lijn bekijken. Laat het tijd kosten T vanaf het begin van de beweging heeft het punt een afstand afgelegd s(t). Dan de momentane snelheid v(t) gelijk aan de afgeleide van de functie s(t), dat is v(t) = s"(t).

In de praktijk komen we het omgekeerde probleem tegen: gegeven de bewegingssnelheid van een punt v(t) vind het pad dat ze heeft gevolgd s(t), dat wil zeggen: zoek een dergelijke functie s(t), waarvan de afgeleide gelijk is aan v(t). Functie s(t), zodanig dat s"(t) = v(t), wordt de primitief van de functie genoemd v(t).

Bijvoorbeeld als v(t) = at, Waar A een gegeven getal is, dan de functie
s(t) = (bij 2) / 2v(t), omdat
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Functie F(x) heet de primitief van de functie f(x) met enige tussenpozen, als dat voor altijd het geval is X uit deze kloof F"(x) = f(x).

De functie bijvoorbeeld F(x) = zonde x is de primitief van de functie f(x) = cos x, omdat (zonde x)" = cos x; functie F(x) = x4/4 is de primitief van de functie f(x) = x3, omdat (x4/4)" = x3.

Laten we het probleem eens bekijken.

Taak.

Bewijs dat de functies x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 primitieve afgeleiden zijn van dezelfde functie f(x) = x 2.

Oplossing.

1) Laten we F 1 (x) = x 3 /3 aanduiden, en dan F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Over het algemeen is elke functie x 3/3 + C, waarbij C een constante is, een primitieve afgeleide van de functie x 2. Dit volgt uit het feit dat de afgeleide van de constante nul is. Dit voorbeeld laat zien dat voor een bepaalde functie de primitief ervan dubbelzinnig wordt bepaald.

Laat F 1 (x) en F 2 (x) twee primitieve woorden zijn van dezelfde functie f(x).

Dan F 1 "(x) = f(x) en F" 2 (x) = f(x).

De afgeleide van hun verschil g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) is gelijk aan nul, aangezien g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f(x) = 0.

Als g"(x) = 0 op een bepaald interval, dan is de raaklijn aan de grafiek van de functie y = g(x) op elk punt van dit interval evenwijdig aan de Ox-as. Daarom is de grafiek van de functie y = g(x) is een rechte lijn evenwijdig aan de Ox-as, d.w.z. g(x) = C, waarbij C een constante is. – F 2 (x) Hieruit volgt dat F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Dus als de functie F(x) een primitieve functie is van de functie f(x) op een bepaald interval, dan worden alle primitieve functies f(x) geschreven in de vorm F(x) + C, waarbij C een willekeurige constante is .

Laten we de grafieken van alle primitieve functies van een gegeven functie f(x) bekijken. Als F(x) een van de primitieve waarden is van de functie f(x), dan wordt elke primitieve van deze functie verkregen door aan F(x) een constante toe te voegen: F(x) + C. Grafieken van functies y = F( x) + C worden verkregen uit de grafiek y = F(x) door verschuiving langs de Oy-as. Door C te kiezen, kun je ervoor zorgen dat de grafiek van de primitief door een bepaald punt gaat.

Laten we aandacht besteden aan de regels voor het vinden van primitieve woorden.

Bedenk dat de bewerking voor het vinden van de afgeleide voor een bepaalde functie wordt genoemd differentiatie. De omgekeerde bewerking van het vinden van de primitief voor een bepaalde functie wordt genoemd integratie(van het Latijnse woord "herstellen").

Tabel met primitieve namen voor sommige functies kan het worden samengesteld met behulp van een tabel met afgeleiden. Dat weten bijvoorbeeld (cos x)" = -zonde x, wij krijgen (-cos x)" = zonde x, waaruit volgt dat alle primitieve functies zonde x zijn in de vorm geschreven -cos x + C, Waar MET– constant.

Laten we eens kijken naar enkele betekenissen van primitieve woorden.

1) Functie: x p, p ≠ -1. primitief: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Functie: 1/x, x > 0. primitief: ln x + C.

3) Functie: x p, p ≠ -1. primitief: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Functie: ex. primitief: e x + C.

5) Functie: zonde x. primitief: -cos x + C.

6) Functie: (kx + b) p, ð ≠ -1, k ≠ 0. primitief: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Functie: 1/(kx + b), k ≠ 0. primitief: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Functie: e kx + b, k ≠ 0. primitief: (1/k) e kx + b + C.

9) Functie: zonde (kx + b), k ≠ 0. primitief: (-1/k) cos (kx + b).

10) Functie: cos (kx + b), k ≠ 0. primitief: (1/k) zonde (kx + b).

Integratie regels kan worden verkregen met behulp van differentiatie regels. Laten we eens naar enkele regels kijken.

Laten F(x) En G(x)– respectievelijk primitieve functies van functies f(x) En g(x) met een bepaalde tussenpoos. Dan:

1) functie F(x) ±G(x) is de primitief van de functie f(x) ± g(x);

2) functie àF(x) is de primitief van de functie f(x).

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Tabel met primitieve namen

Definitie. De functie F(x) op een gegeven interval wordt primitief genoemd voor de functie f(x) , voor alle x uit dit interval, als F"(x)=f(x) .

De bewerking van het vinden van een primitief voor een functie wordt genoemd integratie. Het is het omgekeerde van de differentiatieoperatie.

Stelling. Elke functie (x) continu op een interval heeft een primitief op hetzelfde interval.

Stelling (de belangrijkste eigenschap van het primitief). Als op een bepaald interval de functie F(x) een primitieve afgeleide is van de functie f(x), dan zal op dit interval de functie F(x)+C ook een primitief zijn van f(x), waarbij C een willekeurige constante is .

Uit deze stelling volgt dat wanneer f(x) een primitievenfunctie F(x) heeft op een bepaald interval, er veel van deze primitieven zijn. Door C willekeurige numerieke waarden te geven, verkrijgen we elke keer een primitieve functie.

Gebruik om primitieve namen te vinden tabel met primitieven. Het wordt verkregen uit de afgeleide tabel.

Het concept van een onbepaalde integraal

Definitie. De verzameling van alle primitieve functies voor de functie f(x) wordt aangeroepen onbepaalde integraal en wordt aangewezen.

In dit geval wordt f(x) aangeroepen integrand-functie, en f(x) dx - integrand.

Daarom, als F(x) primitief is van f(x), dan .

Eigenschappen van de onbepaalde integraal

Het concept van een bepaalde integraal

Laten we eens overwegen plat figuur, begrensd door een continue en niet-negatieve grafiek op het interval [a; b] functie f(x) , segment [a; b] , en rechte lijnen x=a en x=b .

Het resulterende cijfer wordt genoemd gebogen trapezium. Laten we de oppervlakte berekenen.

Om dit te doen, verdelen we het segment [a; b] in n gelijke segmenten.

De lengtes van elk segment zijn gelijk aan Δx.
Dit is een dynamische GeoGebra-tekening.

Rode elementen kunnen worden gewijzigd

Rijst. 1. Het concept van een bepaalde integraal

Op elk segment zullen we rechthoeken construeren met hoogte f(x k-1) (Fig. 1).

Het gebied van elke dergelijke rechthoek is gelijk aan S k = f(x k-1)Δx k. .

Het gebied van al deze rechthoeken is gelijk aan Dit bedrag wordt genoemd integrale som

voor de functie f(x) .

Als n → ∞ dan zal het oppervlak van de op deze manier geconstrueerde figuur steeds minder verschillen van het oppervlak van het kromlijnige trapezium. Definitie. De grens van de integrale som wanneer n → ∞ wordt aangeroepen bepaalde integraal .

, en wordt als volgt geschreven: luidt:

"integraal van a tot b f van xdx"

Het getal a wordt de ondergrens van integratie genoemd, b is de bovengrens van integratie, het segment [a; b] – integratie-interval.

Eigenschappen van een bepaalde integraal

Newton-Leibniz-formule De bepaalde integraal is nauw verwant aan de primitieve en onbepaalde integraal

.

Newton-Leibniz-formule

Het gebruik van de Integraal

Berekening van volumes van lichamen

Laat er een functie worden gegeven die het dwarsdoorsnedeoppervlak van het lichaam specificeert, afhankelijk van een variabele S = s(x), x[a; B] . Vervolgens kan het volume van een bepaald lichaam worden gevonden door deze functie binnen de juiste grenzen te integreren.
Als we een lichaam krijgen dat wordt verkregen door een kromlijnig trapezium rond de Ox-as te draaien, beperkt door een functie f(x), x [a; B] . (Afb. 3). Dat plein dwarsdoorsneden kan worden berekend met de bekende formule S = π f 2 (x). Daarom is de formule voor het volume van zo’n revolutielichaam:

Doel:

• Vorming van het concept van primitief.
• Voorbereiding op de perceptie van de integraal.
• Vorming van computervaardigheden.
• Het cultiveren van een gevoel voor schoonheid (het vermogen om schoonheid in het ongewone te zien).

Wiskundige analyse is een reeks takken van de wiskunde die zich toeleggen op de studie van functies en hun generalisaties met behulp van de methoden van differentiaal- en integraalrekening.

Tot nu toe hebben we een tak van de wiskundige analyse bestudeerd die differentiaalrekening wordt genoemd en waarvan de essentie de studie is van een functie in het ‘kleine’.

Die. studie van een functie in voldoende kleine buurten van elk definitiepunt. Een van de bewerkingen van differentiatie is het vinden van de afgeleide (differentieel) en deze toepassen op de studie van functies.

Het omgekeerde probleem is niet minder belangrijk. Als het gedrag van een functie in de buurt van elk punt van zijn definitie bekend is, hoe kan men dan de functie als geheel reconstrueren, d.w.z. binnen de gehele reikwijdte van de definitie ervan. Dit probleem is het onderwerp van studie van de zogenaamde integraalrekening.

Integratie is de omgekeerde werking van differentiatie. Of het herstellen van de functie f(x) uit een gegeven afgeleide f`(x). Het Latijnse woord ‘integro’ betekent herstel.

Voorbeeld nr. 1.

Stel (x)`=3x 2.
Laten we f(x) vinden.

Oplossing:

Op basis van de differentiatieregel is het niet moeilijk te raden dat f(x) = x 3, omdat (x 3)` = 3x 2
Het valt echter gemakkelijk op dat f(x) niet uniek wordt gevonden.
Als f(x) kunnen we nemen
f(x)=x3+1
f(x)=x3+2
f(x)= x 3 -3, enz.

Omdat de afgeleide van elk van hen gelijk is aan 3x 2. (De afgeleide van een constante is 0). Al deze functies verschillen van elkaar door een constante term. Dat is waarom algemene oplossing het probleem kan worden geschreven in de vorm f(x)= x 3 +C, waarbij C een constant reëel getal is.

Elk van de gevonden functies f(x) wordt aangeroepen PRIMODIUM voor de functie F`(x)= 3x 2

Definitie. Een functie F(x) wordt primitief genoemd voor een functie f(x) op een gegeven interval J als voor alle x uit dit interval F`(x)= f(x). De functie F(x)=x 3 is dus primitief voor f(x)=3x 2 op (- ∞ ; ∞).
Omdat voor alle x ~R de gelijkheid geldt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Zoals we al hebben opgemerkt, heeft deze functie een oneindig aantal primitieve waarden (zie voorbeeld nr. 1).

Voorbeeld nr. 2. De functie F(x)=x is primitief voor alle f(x)= 1/x op het interval (0; +), omdat voor alle x uit dit interval geldt gelijkheid.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Voorbeeld nr. 3. De functie F(x)=tg3x is een primitieve voor f(x)=3/cos3x op het interval (-n/ 2; P/ 2),
omdat F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Voorbeeld nr. 4. De functie F(x)=3sin4x+1/x-2 is een primitieve afgeleide voor f(x)=12cos4x-1/x 2 op het interval (0;∞)
omdat F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Lezing 2.

Onderwerp: Antiderivaat. De belangrijkste eigenschap van een primitieve functie.

Bij het bestuderen van de primitief zullen we ons baseren op de volgende verklaring. Teken van constantheid van een functie: Als op het interval J de afgeleide Ψ(x) van de functie gelijk is aan 0, dan is op dit interval de functie Ψ(x) constant.

Deze bewering kan geometrisch worden aangetoond.

Het is bekend dat Ψ`(x)=tgα, γde α de hellingshoek is van de raaklijn aan de grafiek van de functie Ψ(x) in het punt met de abscis x 0. Als Ψ`(υ)=0 op enig punt in het interval J, dan is tanα=0 δvoor elke raaklijn aan de grafiek van de functie Ψ(x). Dit betekent dat de raaklijn aan de grafiek van de functie op elk punt evenwijdig is aan de abscis-as. Daarom valt op het aangegeven interval de grafiek van de functie Ψ(x) samen met het rechte lijnsegment y=C.

De functie f(x)=c is dus constant op het interval J als f`(x)=0 op dit interval.

Voor een willekeurige x 1 en x 2 uit het interval J kunnen we, met behulp van de stelling over de gemiddelde waarde van een functie, schrijven:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), omdat f`(c)=0, dan f(x 2)= f(x 1)

Stelling: (De belangrijkste eigenschap van de primitieve functie)

Als F(x) een van de primitieve getallen is voor de functie f(x) op het interval J, dan heeft de verzameling van alle primitieve getallen van deze functie de vorm: F(x) + C, waarbij C een willekeurig reëel getal is.

Bewijs:

Zij F`(x) = f (x), dan (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), voor x Є J.
Stel dat er Φ(x) bestaat - een andere primitieve voor f (x) op het interval J, d.w.z. Φ`(x) = f(x),
dan (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, voor x Є J.
Dit betekent dat Φ(x) - F(x) constant is op het interval J.
Daarom geldt Φ(x) - F(x) = C.
Vanaf waar Φ(x)= F(x)+C.
Dit betekent dat als F(x) een primitief is voor een functie f (x) op het interval J, de verzameling van alle primitieve getallen van deze functie de vorm heeft: F(x)+C, waarbij C een willekeurig reëel getal is.
Bijgevolg verschillen elke twee primitieve functies van een bepaalde functie van elkaar met een constante term.

Voorbeeld: Zoek de verzameling primitieve woorden van de functie f (x) = cos x. Teken grafieken van de eerste drie.

Oplossing: Sin x is een van de primitieve waarden voor de functie f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – de verzameling van alle primitieve getallen.

F 1 (x) = Zonde x-1
F 2 (x) = Zonde x
F3 (x) = Zonde x+1

Geometrische illustratie: De grafiek van elke primitieve F(x)+C kan worden verkregen uit de grafiek van de primitieve F(x) met behulp van parallelle overdracht r (0;c).

Voorbeeld: Zoek voor de functie f (x) = 2x een primitief waarvan de grafiek door t.M (1;4) gaat

Oplossing: F(x)=x 2 +C – de verzameling van alle primitieve getallen, F(1)=4 - volgens de voorwaarden van het probleem.
Daarom 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x2+3

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x) (een onderbroken lijn bestaande uit drie rechte segmenten). Bereken met behulp van de figuur F(9)-F(5), waarbij F(x) een van de primitieve functies van de functie f(x) is.

Toon oplossing

Oplossing

Volgens de formule van Newton-Leibniz is het verschil F(9)-F(5), waarbij F(x) een van de primitieve waarden is van de functie f(x), gelijk aan de oppervlakte van het kromlijnige trapezium beperkt door de grafiek van de functie y=f(x), rechte lijnen y=0 , x=9 en x=5.

Uit de grafiek bepalen we dat het aangegeven gebogen trapezium een ​​trapezium is met basis gelijk aan 4 en 3 en hoogte 3. De oppervlakte is gelijk

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

Antwoord

Toon oplossing

Oplossing

De figuur toont een grafiek van de functie y=F(x) - een van de primitieve waarden van een functie f(x) gedefinieerd op het interval (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Bepaal met behulp van de figuur het aantal oplossingen voor de vergelijking f(x)=0 op het segment [-3; 4]. Volgens de definitie van een primitief geldt: F"(x)=f(x). Daarom kan de vergelijking f(x)=0 geschreven worden als F"(x)=0. Omdat de figuur de grafiek van de functie y=F(x) toont, moeten we die punten in het interval [-3; 4], waarin de afgeleide van de functie F(x) gelijk is aan nul. Uit de figuur blijkt duidelijk dat dit de abscis zijn van de uiterste punten (maximum of minimum) van de F(x)-grafiek.

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

Er zijn er precies 7 in het aangegeven interval (vier minimumpunten en drie maximumpunten).

Toon oplossing

Oplossing

Bron: “Wiskunde. Voorbereiding op het Unified State Exam 2017.

Uit de grafiek bepalen we dat het aangegeven gebogen trapezium een ​​trapezium is met basis gelijk aan 4 en 3 en hoogte 3. \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Bron: “Wiskunde. Voorbereiding op het Unified State Exam 2017. Profielniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

De figuur toont een grafiek van de functie y=F(x) - een van de primitieve functies van een functie f(x), gedefinieerd op het interval (-5; 4).

Toon oplossing

Oplossing

Bepaal met behulp van de figuur het aantal oplossingen voor de vergelijking f (x) = 0 op het segment (-3; 3).

Volgens de definitie van een primitief geldt: F"(x)=f(x). Daarom kan de vergelijking f(x)=0 geschreven worden als F"(x)=0.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Bron: “Wiskunde. Voorbereiding op het Unified State Exam 2017. Profielniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

Omdat de figuur de grafiek van de functie y=F(x) toont, moeten we die punten in het interval [-3; 3], waarin de afgeleide van de functie F(x) gelijk is aan nul.

Uit de figuur blijkt duidelijk dat dit de abscis zijn van de uiterste punten (maximum of minimum) van de F(x)-grafiek.

Toon oplossing

Oplossing

Er zijn er precies 5 in het aangegeven interval (twee minimumpunten en drie maximumpunten). De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x). De functie F(x)=-x^3+4,5x^2-7 is een van de primitieve waarden van de functie f(x). Zoek het gebied van de gearceerde figuur. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Bron: “Wiskunde. Voorbereiding op het Unified State Exam 2017. Profielniveau." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Soort baan: 7
Onderwerp: primitief van functie

Voorwaarde

De gearceerde figuur is een kromlijnig trapezium dat van bovenaf wordt begrensd door de grafiek van de functie y=f(x), rechte lijnen y=0, x=1 en x=3.

Functie Volgens de formule van Newton-Leibniz is de oppervlakte S gelijk aan het verschil F(3)-F(1), waarbij F(x) de primitieve afgeleide is van de functie f(x) gespecificeerd in de voorwaarde.Dat is waarom ) S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom) De functie F(x)=x^3+6x^2+13x-5 is een van de primitieve vormen van de functie f(x). Zoek het gebied van de gearceerde figuur. F(

XDat is waarom ) = genaamd(Dat is waarom ) .

primitief voor functie 2 De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom ) = 2X F(

op een bepaald interval, als dat voor iedereen geldt 2 )" = 2X ◄

vanaf dit interval geldt de gelijkheid

F"( F(x) F f(x) De functie bijvoorbeeld f(x) F(x) = x , omdat, Waar F"(x) = (x x = f(x).

De belangrijkste eigenschap van het primitief Als - primitief van een functie 2 + 1 op een gegeven interval, dan de functie De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom ) = 2X , omdat heeft oneindig veel primitieve woorden, en al deze primitieve woorden kunnen in de vorm worden geschreven 1 )" = 2 F(x) + C; functie - primitief van een functie 2 - 1 op een gegeven interval, dan de functie De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom ) = 2X MET op een bepaald interval, als dat voor iedereen geldt 2 - 1)" = 2F(x) + C ; functie voor functie 2 - 3 is een willekeurige constante. De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom) = 2X MET op een bepaald interval, als dat voor iedereen geldt 2 - 3)" = 2 Bijvoorbeeld.; Functie voor functie 2 + MET , Waar F"(x) = (x F(x) = x De figuur toont een grafiek van een functie y=f(x).Dat is waarom) = 2X . ◄

is een primitief van de functie

1. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , omdat is een primitief van de functie x = f(x) elke functie - een willekeurige constante, en alleen zo'n functie is een primitief van de functie Regels voor het berekenen van primitieve woorden F(x) - primitief voor f(x) , A G(x) .
2. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , omdat - primitief voor g(x) , Dat g(x) · F"(x) = (x 2 + - primitief voor g(x) · F(x) + G(x) , A - primitief voor .
3. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , omdat - primitief voor g(x),f(x) + g(x). Met andere woorden, de primitief van de som is gelijk aan de som van de primitieven 0 Regels voor het berekenen van primitieve woorden 1 / , En k- constant dus f(x) de constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald ) - primitief voor B(g(x) - constant, en k ≠) .

k

Onbepaalde integraal vanuit functie , omdat expressie genoemd , omdat, dat wil zeggen, de verzameling van alle primitieve waarden van een bepaalde functie F(x) + G(x) . De onbepaalde integraal wordt als volgt aangegeven:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- ze bellen integrand-functie ;

f(x) dx- ze bellen integrand ;

Dat is waarom - ze bellen integratievariabele ;

F"(x) = (x 2 + - een van de primitieve functies , omdat ;

F"(x) = (x x = f(x).

Bijvoorbeeld, ∫ 2 x dx =X 2 + MET , ∫ wantx dx = zonde X + MET enzovoort. ◄

Het woord ‘integraal’ komt van het Latijnse woord geheel getal , wat 'hersteld' betekent. Gezien de onbepaalde integraal van 2 Dat is waarom, het lijkt erop dat we de functie herstellen X 2 , waarvan de afgeleide gelijk is aan 2 Dat is waarom. Het herstellen van een functie uit zijn afgeleide, of, wat hetzelfde is, het vinden van een onbepaalde integraal over een gegeven integrand, wordt genoemd integratie deze functie. Integratie is de omgekeerde bewerking van differentiatie. Om te controleren of de integratie correct is uitgevoerd, volstaat het om het resultaat te differentiëren en de integrand te verkrijgen.

Basiseigenschappen van de onbepaalde integraal

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. De constante factor van de integrand kan uit het integraalteken worden gehaald:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integraal van de som (verschil) van functies gelijk aan de som(verschillen) van integralen van deze functies:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. F"( g(x),f(x) + g(x). Met andere woorden, de primitief van de som is gelijk aan de som van de primitieven 0 , Dat

∫ F ( g(x) - constant, en k ≠) dx = 1 / , En k- constant dus f(x) de constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald ) + C .

Tabel met primitieve waarden en onbepaalde integralen

	F(x) + G(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\intkdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\zonde x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sinx+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\boog in x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
De primitieve en onbepaalde integralen die in deze tabel worden gegeven, worden gewoonlijk genoemd tabellarische primitieve woorden En tabel integralen .

Bepaalde integraal

Tussendoor laten [A; B] er wordt een continue functie gegeven y = f(x) , Dan bepaalde integraal van a naar b functies F(x) + G(x) wordt de increment van het primitief genoemd F"(x) = (x 2 + deze functie, dat is

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Nummers A En de constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald worden dienovereenkomstig genoemd lager En bovenkant grenzen van de integratie.

Basisregels voor het berekenen van een bepaalde integraal

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) waarbij g(x) - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), waarbij , omdat — gelijkmatige functie;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), waarbij F(x) + G(x) is een vreemde functie.

Opmerking . In alle gevallen wordt aangenomen dat de integranden integreerbaar zijn op numerieke intervallen, waarvan de grenzen de integratiegrenzen zijn.

Geometrische en fysieke betekenis van de bepaalde integraal

Geometrische betekenis bepaalde integraal	Fysieke betekenis bepaalde integraal
Vierkant S kromlijnig trapezium (een figuur beperkt door de grafiek van een continu positief op het interval [A; B] functies F(x) + G(x) , as Os en recht x=een , x=b ) wordt berekend met de formule $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pad S, die het materiële punt heeft overwonnen, rechtlijnig bewegend met een snelheid die varieert volgens de wet v(t) , voor een bepaalde tijd a ; B] , dan het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de grafieken van deze functies en rechte lijnen x = een , x = b , berekend met de formule $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Bijvoorbeeld. Laten we het gebied van de figuur berekenen dat wordt begrensd door lijnen y = x 2 En j= 2-X . Laten we de grafieken van deze functies schematisch weergeven en in een andere kleur de figuur markeren waarvan het gebied moet worden gevonden. Om de grenzen van integratie te vinden, lossen we de vergelijking op: Dat is waarom 2 = 2-X ; Dat is waarom 2 + X- 2 = 0 ; Dat is waarom 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volume van een rotatielichaam

	Als een lichaam wordt verkregen als resultaat van rotatie om een ​​as Os kromlijnig trapezium begrensd door een continue en niet-negatieve grafiek op het interval [A; B] functies y = f(x) en recht x = een En x = b , dan heet het lichaam van rotatie . Het volume van een rotatielichaam wordt berekend met de formule $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Als een omwentelingslichaam wordt verkregen als resultaat van de rotatie van een figuur die boven en onder wordt begrensd door grafieken van functies y = f(x) En y = g(x) , dienovereenkomstig dan $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Bijvoorbeeld. Laten we het volume van een kegel met straal berekenen R en hoogte H . Laten we de kegel plaatsen rechthoekig systeem coördinaten zodat de as ervan samenvalt met de as Os , en het midden van de basis bevond zich in de oorsprong. Rotatie van de generator AB definieert een kegel. Sinds de vergelijking AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
en voor het volume van de kegel die we hebben $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄