Deelbaarheidscriteria voor natuurlijke getallen.
Getallen die deelbaar zijn door 2 zonder rest worden genoemdzelfs .
Getallen die niet deelbaar zijn door 2 worden genoemdvreemd .
Test op deelbaarheid door 2
Als een natuurlijk getal eindigt op een even cijfer, dan is dit getal zonder rest deelbaar door 2, en eindigt een getal op een oneven cijfer, dan is dit getal niet deelbaar door 2.
Bijvoorbeeld de cijfers 60 , 30 8 , 8 4 zijn deelbaar door 2 zonder rest, en de getallen zijn 51 , 8 5 , 16 7 zijn niet deelbaar door 2 zonder rest.
Test op deelbaarheid door 3
Als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 3, dan is het getal deelbaar door 3; Als de som van de cijfers van een getal niet deelbaar is door 3, dan is het getal ook niet deelbaar door 3.
Laten we bijvoorbeeld eens kijken of het getal 2772825 deelbaar is door 3. Om dit te doen, berekenen we de som van de cijfers van dit getal: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - deelbaar door 3. Dit betekent dat het getal 2772825 deelbaar is door 3.
Deelbaarheidstest door 5
Als het record van een natuurlijk getal eindigt met het cijfer 0 of 5, dan is dit getal zonder rest deelbaar door 5. Als het record van een getal eindigt met een ander cijfer, dan is het getal niet deelbaar door 5 zonder rest.
Bijvoorbeeld de cijfers 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 zijn deelbaar door 5 zonder rest, en de getallen zijn 17 , 37 8 , 9 1 deel niet.
Deelbaarheidstest door 9
Als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 9, dan is het getal deelbaar door 9; Als de som van de cijfers van een getal niet deelbaar is door 9, dan is het getal ook niet deelbaar door 9.
Laten we bijvoorbeeld eens kijken of het getal 5402070 deelbaar is door 9. Om dit te doen, berekenen we de som van de cijfers van dit getal: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - niet deelbaar door 9 Dit betekent dat het getal 5402070 niet deelbaar is door 9.
Deelbaarheidstest door 10
Als een natuurlijk getal eindigt met het cijfer 0, dan is dit getal zonder rest deelbaar door 10. Als een natuurlijk getal eindigt met een ander cijfer, dan is het niet deelbaar door 10.
Bijvoorbeeld de cijfers 40 , 17 0 , 1409 0 zijn deelbaar door 10 zonder rest, en de getallen 17 , 9 3 , 1430 7 - deel niet.
De regel voor het vinden van de grootste gemene deler (GCD).
Om de grootste te vinden gemeenschappelijke deler verschillende natuurlijke getallen, je hebt nodig:
2) van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van deze getallen, schrapt u de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van andere getallen;
3) vind het product van de overige factoren.
Voorbeeld. Laten we GCD (48;36) vinden. Laten we de regel gebruiken.
1. Laten we de getallen 48 en 36 ontbinden in priemfactoren.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van het getal 48, verwijderen we de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van het getal 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
De overige factoren zijn 2, 2 en 3.
3. Vermenigvuldig de overige factoren en krijg 12. Dit getal is de grootste gemene deler van de getallen 48 en 36.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
De regel voor het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM).
Om het kleinste gemene veelvoud van verschillende natuurlijke getallen te vinden, moet je:
1) factoreer ze in primaire factoren;
2) noteer de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen;
3) voeg daaraan de ontbrekende factoren toe uit de uitbreidingen van de resterende getallen;
4) vind het product van de resulterende factoren.
Voorbeeld. Laten we de LOC (75;60) vinden. Laten we de regel gebruiken.
1. Laten we de getallen 75 en 60 ontbinden in priemfactoren.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Laten we de factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van het getal 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Voeg daarbij de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het getal 60, d.w.z. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Zoek het product van de resulterende factoren
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Definitie. Het grootste natuurlijke getal dat zonder rest kan worden gedeeld door de getallen a en b, wordt genoemd grootste gemene deler (GCD) deze cijfers.
Laten we de grootste gemene deler van de getallen 24 en 35 vinden.
De delers van 24 zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, en de delers van 35 zijn de getallen 1, 5, 7, 35.
We zien dat de getallen 24 en 35 slechts één gemeenschappelijke deler hebben: het getal 1. Dergelijke getallen worden genoemd onderling prima.
Definitie. Natuurlijke getallen worden genoemd onderling prima, als hun grootste gemene deler (GCD) 1 is.
Grootste gemene deler (GCD) kan worden gevonden zonder alle delers van de gegeven getallen op te schrijven.
Als we de getallen 48 en 36 ontbinden, krijgen we:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, schrappen we de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van het tweede getal (dat wil zeggen twee tweeën).
De resterende factoren zijn 2 * 2 * 3. Hun product is gelijk aan 12. Dit getal is de grootste gemene deler van de getallen 48 en 36. De grootste gemene deler van drie of meer getallen wordt ook gevonden.
Te vinden grootste gemene deler
2) van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van deze getallen, schrapt u de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van andere getallen;
3) vind het product van de overige factoren.
Als alle gegeven getallen deelbaar zijn door één ervan, dan is dit getal dat ook grootste gemene deler gegeven cijfers.
De grootste gemene deler van de getallen 15, 45, 75 en 180 is bijvoorbeeld het getal 15, aangezien alle andere getallen erdoor deelbaar zijn: 45, 75 en 180.
Kleinste gemene veelvoud (LCM)
Definitie. Kleinste gemene veelvoud (LCM) Natuurlijke getallen a en b zijn het kleinste natuurlijke getal dat een veelvoud is van zowel a als b. Het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de getallen 75 en 60 kun je vinden zonder de veelvouden van deze getallen op een rij te schrijven. Om dit te doen, ontbinden we 75 en 60 in priemfactoren: 75 = 3 * 5 * 5, en 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Laten we de factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, en daaraan de ontbrekende factoren 2 en 2 toevoegen uit de uitbreiding van het tweede getal (dat wil zeggen, we combineren de factoren).
We krijgen vijf factoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, waarvan het product 300 is. Dit getal is het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 60.
Ze vinden ook het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen.
Naar vind het kleinste gemene veelvoud verschillende natuurlijke getallen, je hebt nodig:
1) factoreer ze in primaire factoren;
2) noteer de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen;
3) voeg daaraan de ontbrekende factoren toe uit de uitbreidingen van de resterende getallen;
4) vind het product van de resulterende factoren.
Merk op dat als een van deze getallen deelbaar is door alle andere getallen, dit getal het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is.
Het kleinste gemene veelvoud van de getallen 12, 15, 20 en 60 is bijvoorbeeld 60, omdat het deelbaar is door al die getallen.
Pythagoras (VI eeuw voor Christus) en zijn studenten bestudeerden de kwestie van de deelbaarheid van getallen. Nummer, gelijk aan de som Ze noemden al zijn delers (zonder het getal zelf) een perfect getal. De getallen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) zijn bijvoorbeeld perfect. De volgende perfecte getallen zijn 496, 8128, 33.550.336. De Pythagoreeërs kenden alleen de eerste drie perfecte getallen. De vierde - 8128 - werd bekend in de 1e eeuw. N. e. De vijfde – 33.550.336 – werd gevonden in de 15e eeuw. In 1983 waren er al 27 perfecte getallen bekend. Maar wetenschappers weten nog steeds niet of er oneven perfecte getallen zijn of dat er een grootste perfecte getallen zijn.
De belangstelling van oude wiskundigen voor priemgetallen is te danken aan het feit dat elk getal een priemgetal is of kan worden weergegeven als een product van priemgetallen, dat wil zeggen dat priemgetallen als stenen zijn waaruit de rest van de natuurlijke getallen zijn opgebouwd.
Je hebt waarschijnlijk gemerkt dat priemgetallen in de reeks natuurlijke getallen ongelijkmatig voorkomen - in sommige delen van de reeks zijn er meer, in andere minder. Maar hoe verder we in de getallenreeks komen, hoe minder vaak priemgetallen voorkomen. De vraag rijst: bestaat er een laatste (grootste) priemgetal? De oude Griekse wiskundige Euclides (3e eeuw voor Christus) bewees in zijn boek ‘Elements’, dat tweeduizend jaar lang het belangrijkste wiskundeboek was, dat er oneindig veel priemgetallen zijn, dat wil zeggen dat er achter elk priemgetal een nog groter priemgetal staat. nummer.
Om priemgetallen te vinden, bedacht een andere Griekse wiskundige uit dezelfde tijd, Eratosthenes, deze methode. Hij schreef alle getallen van 1 tot een bepaald getal op en streepte er vervolgens één door, wat noch een priemgetal, noch een samengesteld getal is, en vervolgens doorstreepte hij alle getallen die na 2 komen (getallen die veelvouden zijn van 2, d.w.z. 4, 6, 8, enz.). Het eerste overgebleven getal na 2 was 3. Vervolgens werden na twee alle getallen die na 3 kwamen (getallen die een veelvoud van 3 waren, d.w.z. 6, 9, 12, etc.) doorgestreept. uiteindelijk bleven alleen de priemgetallen ongekruist.
Het grootste natuurlijke getal waardoor de getallen a en b zonder rest worden gedeeld, wordt genoemd grootste gemene deler deze cijfers. Geef GCD(a, b) aan.
Laten we eens kijken naar het vinden van GCD met behulp van het voorbeeld van twee natuurlijke getallen 18 en 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 En 432
Laten we de getallen omzetten in priemfactoren:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Als we het eerste getal doorstrepen waarvan de factoren niet in het tweede en derde getal staan, krijgen we:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Als gevolg hiervan wordt GCD( 324 , 111 , 432 )=3
GCD vinden met behulp van het Euclidische algoritme
De tweede manier om de grootste gemene deler te vinden is met behulp van Euclidisch algoritme. Het Euclides-algoritme is het meest op een efficiënte manier vinden GCD Als je het gebruikt, moet je constant de rest van de delende getallen vinden en toepassen herhalingsformule.
Herhalingsformule voor GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), waarbij a mod b de rest is van a gedeeld door b.
Het algoritme van Euclides
Voorbeeld Zoek de grootste gemene deler van getallen 7920 En 594
Laten we GCD( 7920 , 594 ) met behulp van het Euclidische algoritme, zullen we de rest van de deling berekenen met behulp van een rekenmachine.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Als resultaat krijgen we GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kleinste gemene veelvoud
Om te vinden gemeenschappelijke noemer bij het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers Je moet het weten en kunnen berekenen kleinste gemene veelvoud(NOK).
Een veelvoud van het getal ‘a’ is een getal dat zelf deelbaar is door het getal ‘a’, zonder rest.
Getallen die een veelvoud zijn van 8 (dat wil zeggen: deze getallen zijn deelbaar door 8 zonder rest): dit zijn de getallen 16, 24, 32...
Veelvouden van 9: 18, 27, 36, 45…
Er zijn oneindig veel veelvouden van een bepaald getal a, in tegenstelling tot de delers van hetzelfde getal. Er is een eindig aantal delers.
Het gemeenschappelijke veelvoud van twee natuurlijke getallen is een getal dat deelbaar is door beide getallen..
Kleinste gemene veelvoud(LCM) van twee of meer natuurlijke getallen is het kleinste natuurlijke getal dat zelf deelbaar is door elk van deze getallen.
Hoe vindt u NOC
LCM kan op twee manieren worden gevonden en geschreven.
De eerste manier om de LOC te vinden
Deze methode wordt meestal gebruikt voor kleine aantallen.
- We schrijven de veelvouden voor elk getal op een regel totdat we een veelvoud vinden dat voor beide getallen hetzelfde is.
- Het veelvoud van het getal “a” wordt aangegeven met de hoofdletter “K”.
Voorbeeld. Zoek LCM 6 en 8.
De tweede manier om de LOC te vinden
Deze methode is handig om te gebruiken om de LCM voor drie of meer getallen te vinden.
Het aantal identieke factoren bij de ontbinding van getallen kan verschillend zijn.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Antwoord: LCM (24, 60) = 120
U kunt het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM) ook als volgt formaliseren. Laten we de LOC vinden (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Zoals we uit de ontleding van getallen zien, zijn alle factoren van 12 inbegrepen in de ontleding van 24 (het grootste van de getallen), dus voegen we slechts één 2 uit de ontleding van het getal 16 toe aan de LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Antwoord: LCM (12, 16, 24) = 48
Speciale gevallen van het vinden van een NPL
LCM (60, 15) = 60
Omdat coprime-getallen geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben, is hun kleinste gemene veelvoud gelijk aan het product van deze getallen.
Op onze website kunt u ook een speciale rekenmachine gebruiken om online het kleinste gemene veelvoud te vinden en zo uw berekeningen te controleren.
Als een natuurlijk getal alleen deelbaar is door 1 en zichzelf, heet het een priemgetal.
Elk natuurlijk getal is altijd deelbaar door 1 en zichzelf.
Het getal 2 is het kleinste priemgetal. Dit is het enige even priemgetal, de rest van de priemgetallen zijn oneven.
Er zijn veel priemgetallen, en de eerste daarvan is het getal 2. Er bestaat echter geen laatste priemgetal. In de sectie “For Study” kunt u een tabel met priemgetallen tot en met 997 downloaden.
Maar veel natuurlijke getallen zijn ook deelbaar door andere natuurlijke getallen.
- het getal 12 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12;
- Het getal 36 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12, door 18, door 36.
- de delers van getallen ontleden in priemfactoren;
De getallen waardoor het getal deelbaar is door een geheel (voor 12 zijn dit 1, 2, 3, 4, 6 en 12) worden delers van het getal genoemd.
De deler van een natuurlijk getal a is een natuurlijk getal dat het gegeven getal “a” deelt zonder rest.
Een natuurlijk getal dat meer dan twee delers heeft, wordt samengesteld genoemd.
Houd er rekening mee dat de nummers 12 en 36 gemeenschappelijke factoren hebben. Deze cijfers zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 12. De grootste deler van deze getallen is 12.
De gemeenschappelijke deler van twee gegeven getallen “a” en “b” is het getal waardoor beide gegeven getallen “a” en “b” zonder rest worden gedeeld.
Grootste gemene deler(GCD) van twee gegeven getallen “a” en “b” is grootste aantal, waardoor beide getallen “a” en “b” worden gedeeld zonder rest.
In het kort wordt de grootste gemene deler van de getallen “a” en “b” als volgt geschreven::
Voorbeeld: ggd (12; 36) = 12.
Delers van getallen in de oplossingsnotatie worden aangegeven met de hoofdletter “D”.
De getallen 7 en 9 hebben slechts één gemeenschappelijke deler: het getal 1. Dergelijke nummers worden gebeld coprime-nummers.
Coprime-nummers- dit zijn natuurlijke getallen die slechts één gemeenschappelijke deler hebben: het getal 1. Hun ggd is 1.
Hoe de grootste gemene deler te vinden
Om de ggd van twee of meer natuurlijke getallen te vinden, heb je het volgende nodig:
Het is handig om berekeningen te schrijven met behulp van een verticale balk. Aan de linkerkant van de regel noteren we eerst het deeltal, aan de rechterkant - de deler. Vervolgens noteren we in de linkerkolom de waarden van de quotiënten.
Laten we het meteen uitleggen met een voorbeeld. Laten we de getallen 28 en 64 ontbinden in priemfactoren.
- We benadrukken in beide getallen dezelfde priemfactoren.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Zoek het product van identieke priemfactoren en noteer het antwoord;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Antwoord: GCD (28; 64) = 4
U kunt de locatie van de GCD op twee manieren formaliseren: in een kolom (zoals hierboven gedaan) of “op een rij”.
De eerste manier om ggd te schrijven
Zoek ggd 48 en 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
De tweede manier om ggd te schrijven
Laten we nu de oplossing voor de GCD-zoekopdracht op een regel opschrijven. Zoek ggd 10 en 15.
Op onze informatiesite kunt u ook de online helper Grootste Gemene Deler gebruiken om uw berekeningen te controleren.
Het vinden van het kleinste gemene veelvoud, methoden, voorbeelden van het vinden van de LCM.
Het hieronder gepresenteerde materiaal is een logische voortzetting van de theorie uit het artikel getiteld LCM - kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden, verband tussen LCM en GCD. Hier zullen we over praten het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM), En speciale aandacht Laten we ons concentreren op het oplossen van voorbeelden. Eerst zullen we laten zien hoe de LCM van twee getallen wordt berekend met behulp van de GCD van deze getallen. Vervolgens gaan we kijken naar het vinden van het kleinste gemene veelvoud door getallen in priemfactoren te ontbinden. Hierna zullen we ons concentreren op het vinden van de LCM van drie of meer getallen, en ook aandacht besteden aan het berekenen van de LCM van negatieve getallen.
Paginanavigatie.
Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via GCD
Eén manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden is gebaseerd op de relatie tussen LCM en GCD. De bestaande verbinding tussen LCM en GCD stelt ons in staat het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen te berekenen via een bekende grootste gemene deler. De bijbehorende formule is LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Laten we voorbeelden bekijken van het vinden van de LCM met behulp van de gegeven formule.
Zoek het kleinste gemene veelvoud van twee getallen 126 en 70.
In dit voorbeeld a=126 , b=70 . Laten we de verbinding tussen LCM en GCD gebruiken, uitgedrukt door de formule LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Dat wil zeggen dat we eerst de grootste gemene deler van de getallen 70 en 126 moeten vinden, waarna we de LCM van deze getallen kunnen berekenen met behulp van de geschreven formule.
Laten we GCD(126, 70) vinden met behulp van het Euclidische algoritme: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dus GCD(126, 70)=14.
Nu vinden we het vereiste kleinste gemene veelvoud: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Waar is LCM(68, 34) gelijk aan?
Omdat 68 deelbaar is door 34, is GCD(68, 34)=34. Nu berekenen we het kleinste gemene veelvoud: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Merk op dat het vorige voorbeeld voldoet aan de volgende regel voor het vinden van de LCM voor positieve gehele getallen a en b: als a deelbaar is door b, dan is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen a.
Het vinden van de LCM door getallen in priemfactoren te ontbinden
Een andere manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden is gebaseerd op het ontbinden van getallen in priemfactoren. Als je een product samenstelt uit alle priemfactoren van gegeven getallen, en vervolgens van dit product alle gemeenschappelijke priemfactoren uitsluit die aanwezig zijn in de uitbreidingen van de gegeven getallen, dan zal het resulterende product gelijk zijn aan het kleinste gemene veelvoud van de gegeven getallen .
De gestelde regel voor het vinden van de LCM volgt uit de gelijkheid LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Het product van de getallen a en b is inderdaad gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreiding van de getallen a en b. Op zijn beurt is GCD(a, b) gelijk aan het product van alle priemfactoren die tegelijkertijd aanwezig zijn in de uitbreidingen van getallen a en b (zoals beschreven in de sectie over het vinden van GCD met behulp van de uitbreiding van getallen naar priemfactoren).
Laten we een voorbeeld geven. Laat ons weten dat 75=3·5·5 en 210=2·3·5·7. Laten we het product samenstellen uit alle factoren van deze uitbreidingen: 2·3·3·5·5·5·7 . Nu sluiten we van dit product alle factoren uit die aanwezig zijn in zowel de uitbreiding van het getal 75 als de uitbreiding van het getal 210 (deze factoren zijn 3 en 5), dan zal het product de vorm aannemen 2·3·5·5·7 . De waarde van dit product is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 210, dat wil zeggen LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Factor de getallen 441 en 700 in priemfactoren en vind het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.
Laten we de getallen 441 en 700 ontbinden in priemfactoren: 
We krijgen 441=3·3·7·7 en 700=2·2·5·5·7.
Laten we nu een product samenstellen uit alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreiding van deze getallen: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Laten we van dit product alle factoren uitsluiten die gelijktijdig aanwezig zijn in beide uitbreidingen (er is maar één zo'n factor - dit is het getal 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Dus LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
De regel voor het vinden van de LCM met behulp van factorisatie van getallen in priemfactoren kan iets anders worden geformuleerd. Als de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van getal b worden opgeteld bij de factoren uit de uitbreiding van getal a, dan is de waarde van het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b.
Laten we bijvoorbeeld dezelfde getallen 75 en 210 nemen; hun ontbinding in priemfactoren is als volgt: 75=3·5·5 en 210=2·3·5·7. Aan de factoren 3, 5 en 5 uit de uitbreiding van het getal 75 voegen we de ontbrekende factoren 2 en 7 toe uit de uitbreiding van het getal 210, we verkrijgen het product 2·3·5·5·7, waarvan de waarde is gelijk aan LCM(75, 210).
Vind het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.
We verkrijgen eerst de ontbindingen van de getallen 84 en 648 in priemfactoren. Ze zien eruit als 84=2·2·3·7 en 648=2·2·2·3·3·3·3. Aan de factoren 2, 2, 3 en 7 uit de uitbreiding van het getal 84 voegen we de ontbrekende factoren 2, 3, 3 en 3 toe uit de uitbreiding van het getal 648, we verkrijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7, wat gelijk is aan 4 536 . Het gewenste kleinste gemene veelvoud van 84 en 648 is dus 4.536.
Het vinden van de LCM van drie of meer getallen
Het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen kan worden gevonden door achtereenvolgens de LCM van twee getallen te vinden. Laten we ons de overeenkomstige stelling herinneren, die een manier biedt om de LCM van drie of meer getallen te vinden.
Laten we positieve gehele getallen a 1 , a 2 , …, a k geven, het kleinste gemene veelvoud m k van deze getallen wordt gevonden door opeenvolgend te berekenen m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Laten we de toepassing van deze stelling bekijken aan de hand van het voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud van vier getallen.
Zoek de LCM van vier nummers 140, 9, 54 en 250.
Eerst vinden we m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Om dit te doen, bepalen we met behulp van het Euclidische algoritme GCD(140, 9), we hebben 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, daarom GCD(140, 9)=1, waarvan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Dat wil zeggen, m 2 = 1 260.
Nu vinden we m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Laten we het berekenen met GCD(1 260, 54), wat we ook bepalen met behulp van het Euclidische algoritme: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Dan ggd(1.260, 54)=18, waarvan ggd(1.260, 54)= 1.260·54:ggd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Dat wil zeggen, m 3 =3 780.
Rest ons nog om m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250) te vinden. Om dit te doen vinden we GCD(3,780, 250) met behulp van het Euclidische algoritme: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Daarom is GCD(3.780, 250)=10, waarvan GCD(3.780, 250)= 3.780·250:GCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Dat wil zeggen, m4 =94.500.
Het kleinste gemene veelvoud van de oorspronkelijke vier getallen is dus 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
In veel gevallen is het handig om het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen te vinden met behulp van priemfactorisaties van de gegeven getallen. In dit geval moet u zich aan de volgende regel houden. Het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen is gelijk aan het product, dat als volgt is samengesteld: de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het tweede getal worden opgeteld bij alle factoren uit de uitbreiding van het eerste getal, de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het derde getal wordt opgeteld bij de resulterende factoren, enzovoort.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud met behulp van priemfactorisatie.
Zoek het kleinste gemene veelvoud van de vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143.
Eerst krijgen we decomposities van deze getallen in priemfactoren: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 is een priemgetal, het valt samen met de ontleding ervan in priemfactoren) en 143=11·13.
Om de LCM van deze getallen te vinden, naast de factoren van het eerste getal 84 (ze zijn 2, 2, 3 en 7), moet je de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het tweede getal 6 optellen. De ontleding van het getal 6 bevat geen ontbrekende factoren, aangezien zowel 2 als 3 al aanwezig zijn in de ontleding van het eerste getal 84. Vervolgens voegen we aan de factoren 2, 2, 3 en 7 de ontbrekende factoren 2 en 2 toe uit de uitbreiding van het derde getal 48, we krijgen een reeks factoren 2, 2, 2, 2, 3 en 7. Het is niet nodig om in de volgende stap vermenigvuldigers aan deze set toe te voegen, aangezien 7 er al in zit. Tenslotte voegen we aan de factoren 2, 2, 2, 2, 3 en 7 de ontbrekende factoren 11 en 13 toe uit de uitbreiding van het getal 143. We krijgen het product 2·2·2·2·3·7·11·13, wat gelijk is aan 48.048.
Daarom LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.
Het vinden van het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen
Soms zijn er taken waarbij je het kleinste gemene veelvoud van getallen moet vinden, waaronder één, meerdere of alle getallen negatief zijn. In deze gevallen alles negatieve getallen je moet ze vervangen door hun tegengestelde getallen, en dan de LCM van positieve getallen vinden. Dit is de manier om de LCM van negatieve getallen te vinden. Bijvoorbeeld LCM(54, −34) = LCM(54, 34) en LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
We kunnen dit doen omdat de verzameling veelvouden van a hetzelfde is als de verzameling veelvouden van −a (a en −a zijn tegengestelde getallen). Als b een veelvoud is van a, dan is b deelbaar door a, en het concept van deelbaarheid stelt het bestaan van een geheel getal q zodanig dat b=a·q. Maar de gelijkheid b=(−a)·(−q) zal ook waar zijn, wat, vanwege hetzelfde concept van deelbaarheid, betekent dat b deelbaar is door −a, dat wil zeggen dat b een veelvoud is van −a. Het omgekeerde geldt ook: als b een veelvoud is van −a, dan is b ook een veelvoud van a.
Zoek het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen −145 en −45.
Laten we de negatieve getallen −145 en −45 vervangen door hun tegengestelde getallen 145 en 45. We hebben LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Nadat we GCD(145, 45)=5 hebben bepaald (bijvoorbeeld met behulp van het Euclidische algoritme), berekenen we GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Het kleinste gemene veelvoud van de negatieve gehele getallen −145 en −45 is dus 1.305.
www.cleverstudents.ru
We blijven de deling bestuderen. In deze les gaan we kijken naar begrippen als GCD En NOC.
GCD is de grootste gemene deler.
NOC is het kleinste gemene veelvoud.
Het onderwerp is behoorlijk saai, maar je moet het zeker begrijpen. Zonder dit onderwerp te begrijpen, kun je niet effectief werken met breuken, die een echt obstakel vormen in de wiskunde.
Grootste gemene deler
Definitie. Grootste gemene deler van getallen A En B A En B verdeeld zonder rest.
Laten we, om deze definitie goed te begrijpen, de variabelen vervangen A En B bijvoorbeeld twee willekeurige getallen in plaats van een variabele A Laten we het getal 12 vervangen, en in plaats van de variabele B nummer 9. Laten we nu proberen deze definitie te lezen:
Grootste gemene deler van getallen 12 En 9 wordt het grootste getal genoemd waarmee 12 En 9 verdeeld zonder rest.
Uit de definitie blijkt duidelijk dat we het hebben over de gemeenschappelijke deler van de getallen 12 en 9, en deze deler is de grootste van alle bestaande delers. Deze grootste gemene deler (GCD) moet gevonden worden.
Om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden, worden drie methoden gebruikt. De eerste methode is behoorlijk arbeidsintensief, maar stelt je in staat de essentie van het onderwerp duidelijk te begrijpen en de volledige betekenis ervan te voelen.
De tweede en derde methode zijn vrij eenvoudig en maken het mogelijk om snel een GCD te vinden. We zullen alle drie de methoden bekijken. En welke u in de praktijk wilt gebruiken, is aan u om te kiezen.
De eerste methode is om alle mogelijke delers van twee getallen te vinden en de grootste te kiezen. Laten we deze methode bekijken aan de hand van het volgende voorbeeld: vind de grootste gemene deler van de getallen 12 en 9.
Eerst zullen we alle mogelijke delers van het getal 12 vinden. Om dit te doen, zullen we 12 delen door alle delers in het bereik van 1 tot 12. Als de deler ons in staat stelt 12 te delen zonder een rest, dan zullen we dit markeren in blauw en geef tussen haakjes een passende uitleg.
12: 1 = 12
(12 wordt gedeeld door 1 zonder rest, wat betekent dat 1 een deler is van het getal 12)
12: 2 = 6
(12 wordt gedeeld door 2 zonder rest, wat betekent dat 2 een deler is van het getal 12)
12: 3 = 4
(12 wordt gedeeld door 3 zonder rest, wat betekent dat 3 een deler is van het getal 12)
12: 4 = 3
(12 wordt gedeeld door 4 zonder rest, wat betekent dat 4 een deler is van het getal 12)
12: 5 = 2 (2 overgebleven)
(12 wordt niet gedeeld door 5 zonder rest, wat betekent dat 5 geen deler is van het getal 12)
12: 6 = 2
(12 wordt gedeeld door 6 zonder rest, wat betekent dat 6 een deler is van het getal 12)
12: 7 = 1 (5 overgebleven)
(12 wordt niet gedeeld door 7 zonder rest, wat betekent dat 7 geen deler is van het getal 12)
12: 8 = 1 (4 overgebleven)
(12 wordt niet gedeeld door 8 zonder rest, wat betekent dat 8 geen deler is van het getal 12)
12: 9 = 1 (3 overgebleven)
(12 wordt niet gedeeld door 9 zonder rest, wat betekent dat 9 geen deler is van het getal 12)
12: 10 = 1 (2 overgebleven)
(12 wordt niet gedeeld door 10 zonder rest, wat betekent dat 10 geen deler is van het getal 12)
12: 11 = 1 (1 restje)
(12 wordt niet gedeeld door 11 zonder rest, wat betekent dat 11 geen deler van 12 is)
12: 12 = 1
(12 wordt gedeeld door 12 zonder rest, wat betekent dat 12 een deler is van het getal 12)
Laten we nu de delers van het getal 9 vinden. Controleer hiervoor alle delers van 1 tot 9
9: 1 = 9
(9 wordt gedeeld door 1 zonder rest, wat betekent dat 1 een deler is van het getal 9)
9: 2 = 4 (1 restje)
(9 wordt niet gedeeld door 2 zonder rest, wat betekent dat 2 geen deler is van het getal 9)
9: 3 = 3
(9 wordt gedeeld door 3 zonder rest, wat betekent dat 3 een deler is van het getal 9)
9: 4 = 2 (1 restje)
(9 wordt niet gedeeld door 4 zonder rest, wat betekent dat 4 geen deler is van het getal 9)
9: 5 = 1 (4 overgebleven)
(9 wordt niet gedeeld door 5 zonder rest, wat betekent dat 5 geen deler is van het getal 9)
9: 6 = 1 (3 overgebleven)
(9 wordt niet gedeeld door 6 zonder rest, wat betekent dat 6 geen deler is van het getal 9)
9: 7 = 1 (2 overgebleven)
(9 wordt niet gedeeld door 7 zonder rest, wat betekent dat 7 geen deler is van het getal 9)
9: 8 = 1 (1 restje)
(9 wordt niet gedeeld door 8 zonder rest, wat betekent dat 8 geen deler is van het getal 9)
9: 9 = 1
(9 wordt gedeeld door 9 zonder rest, wat betekent dat 9 een deler is van het getal 9)
Laten we nu de delers van beide getallen opschrijven. De blauw gemarkeerde getallen zijn delers. Laten we ze opschrijven:
Nadat u de delers heeft uitgeschreven, kunt u onmiddellijk bepalen welke de grootste en meest voorkomende is.
Per definitie is de grootste gemene deler van de getallen 12 en 9 het getal dat 12 en 9 deelt zonder rest. De grootste en gemeenschappelijke deler van de getallen 12 en 9 is het getal 3
Zowel het getal 12 als het getal 9 zijn deelbaar door 3 zonder rest:
Dus ggd (12 en 9) = 3
De tweede manier om GCD te vinden
Laten we nu eens kijken naar de tweede methode om de grootste gemene deler te vinden. De essentie deze methode is om beide getallen in priemfactoren te ontbinden en de gemeenschappelijke factoren te vermenigvuldigen.
Voorbeeld 1. Zoek de ggd van de nummers 24 en 18
Laten we eerst beide getallen omzetten in priemfactoren:
Laten we nu hun gemeenschappelijke factoren vermenigvuldigen. Om verwarring te voorkomen, kunnen gemeenschappelijke factoren worden benadrukt.
We kijken naar de uitbreiding van het getal 24. De eerste factor is 2. We zoeken naar dezelfde factor in de uitbreiding van het getal 18 en zien dat die er ook is. Wij benadrukken beide twee:
We kijken opnieuw naar de uitbreiding van het getal 24. De tweede factor is ook 2. We zoeken dezelfde factor in de uitbreiding van het getal 18 en zien dat deze er voor de tweede keer niet meer is. Dan benadrukken we niets.
De volgende twee in de uitbreiding van het getal 24 ontbreken ook in de uitbreiding van het getal 18.
Laten we verder gaan met de laatste factor in de uitbreiding van het getal 24. Dit is factor 3. We zoeken naar dezelfde factor in de uitbreiding van het getal 18 en zien dat die er ook is. We benadrukken beide drie:
De gemeenschappelijke factoren van de getallen 24 en 18 zijn dus de factoren 2 en 3. Om GCD te krijgen, moeten deze factoren worden vermenigvuldigd:
Dus ggd (24 en 18) = 6
De derde manier om GCD te vinden
Laten we nu eens kijken naar de derde manier om de grootste gemene deler te vinden. De essentie van deze methode is dat de getallen die voor de grootste gemene deler moeten worden gevonden, worden ontleed in priemfactoren. Vervolgens worden vanaf de uitbreiding van het eerste getal factoren doorgestreept die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van het tweede getal. De resterende getallen in de eerste uitbreiding worden vermenigvuldigd en verkrijgen GCD.
Laten we bijvoorbeeld GCD vinden voor de getallen 28 en 16 met behulp van deze methode. Allereerst ontleden we deze getallen in priemfactoren:
We hebben twee uitbreidingen verkregen: en
Nu zullen we vanaf de ontleding van het eerste getal de factoren verwijderen die niet zijn opgenomen in de ontleding van het tweede getal. De uitbreiding van het tweede getal omvat geen zeven. Laten we het doorstrepen vanaf de eerste uitbreiding:
Nu vermenigvuldigen we de resterende factoren en krijgen GCD:
Het getal 4 is de grootste gemene deler van de getallen 28 en 16. Beide getallen zijn deelbaar door 4 zonder rest:
Voorbeeld 2. Zoek de ggd van de getallen 100 en 40
Het getal 100 ontbinden in factoren
Het getal 40 ontbinden in factoren
We hebben twee uitbreidingen:
Nu zullen we vanaf de ontleding van het eerste getal de factoren verwijderen die niet zijn opgenomen in de ontleding van het tweede getal. De uitbreiding van het tweede getal omvat niet één vijf (er is slechts één vijf). Laten we het doorstrepen vanaf de eerste uitbreiding
Laten we de resterende getallen vermenigvuldigen:
We kregen het antwoord 20. Dit betekent dat het getal 20 de grootste gemene deler is van de getallen 100 en 40. Deze twee getallen zijn deelbaar door 20 zonder rest:
GCD (100 en 40) = 20.
Voorbeeld 3. Zoek de ggd van de nummers 72 en 128
Het getal 72 ontbinden in factoren
Het getal 128 ontbinden in factoren
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Nu zullen we vanaf de ontleding van het eerste getal de factoren verwijderen die niet zijn opgenomen in de ontleding van het tweede getal. De uitbreiding van het tweede getal omvat niet twee drielingen (ze zijn er helemaal niet). Laten we ze uit de eerste uitbreiding doorstrepen:
Wij kregen het antwoord 8. Dit betekent dat het getal 8 de grootste gemene deler is van de getallen 72 en 128. Deze twee getallen zijn zonder rest deelbaar door 8:
GCD (72 en 128) = 8
GCD zoeken voor verschillende nummers
De grootste gemene deler kun je vinden voor meerdere getallen, niet slechts voor twee. Om dit te doen, worden de getallen die voor de grootste gemene deler gevonden moeten worden, ontleed in priemfactoren. Vervolgens wordt het product van de gemeenschappelijke priemfactoren van deze getallen gevonden.
Laten we bijvoorbeeld GCD zoeken voor de getallen 18, 24 en 36
Laten we het getal 18 ontbinden in factoren
Laten we het getal 24 ontbinden in factoren
Laten we het getal 36 ontbinden in factoren
We hebben drie uitbreidingen:
Laten we nu de gemeenschappelijke factoren in deze cijfers benadrukken en onderstrepen. Gemeenschappelijke factoren moeten in alle drie de getallen voorkomen:
We zien dat de gemeenschappelijke factoren voor de getallen 18, 24 en 36 de factoren 2 en 3 zijn. Door deze factoren te vermenigvuldigen, krijgen we de ggd die we zoeken:
Wij kregen het antwoord 6. Dit betekent dat het getal 6 de grootste gemene deler is van de getallen 18, 24 en 36. Deze drie getallen zijn zonder rest deelbaar door 6:
GCD (18, 24 en 36) = 6
Voorbeeld 2. Zoek GCD voor de nummers 12, 24, 36 en 42
Laten we elk getal ontbinden in priemfactoren. Vervolgens vinden we het product van de gemeenschappelijke factoren van deze getallen.
Ontbind het getal 12 in factoren
Laten we het getal 42 ontbinden in factoren
We hebben vier uitbreidingen:
Laten we nu de gemeenschappelijke factoren in deze cijfers benadrukken en onderstrepen. Gemeenschappelijke factoren moeten in alle vier de getallen voorkomen:
We zien dat de gemeenschappelijke factoren voor de getallen 12, 24, 36 en 42 de factoren van 2 en 3 zijn. Door deze factoren met elkaar te vermenigvuldigen, krijgen we de ggd waarnaar we op zoek zijn:
Wij kregen het antwoord 6. Dit betekent dat het getal 6 de grootste gemene deler is van de getallen 12, 24, 36 en 42. Deze getallen zijn zonder rest deelbaar door 6:
GCD (12, 24, 36 en 42) = 6
Uit de vorige les weten we dat als een getal wordt gedeeld door een ander getal zonder rest, dit een veelvoud van dit getal wordt genoemd.
Het blijkt dat meerdere getallen een gemeenschappelijk veelvoud kunnen hebben. En nu zullen we geïnteresseerd zijn in het veelvoud van twee getallen, en dit moet zo klein mogelijk zijn.
Definitie. Kleinste gemene veelvoud (LCM) van getallen A En B- A En B A en nummer B.
Definitie bevat twee variabelen A En B. Laten we twee willekeurige getallen vervangen in plaats van deze variabelen. Bijvoorbeeld in plaats van een variabele A Laten we het getal 9 vervangen, en in plaats van de variabele B Laten we het getal 12 vervangen. Laten we nu proberen de definitie te lezen:
Kleinste gemene veelvoud (LCM) van getallen 9 En 12 - is het kleinste getal dat een veelvoud is van 9 En 12 . Met andere woorden: dit is zo'n klein getal dat zonder rest deelbaar is door het getal 9 en op nummer 12 .
Uit de definitie blijkt duidelijk dat de LCM het kleinste getal is dat deelbaar is door 9 en 12 zonder rest. Deze LCM moet worden gevonden.
Om het kleinste gemene veelvoud (LCM) te vinden, kunt u twee methoden gebruiken. De eerste manier is dat u de eerste veelvouden van twee getallen kunt opschrijven en vervolgens uit deze veelvouden een getal kunt kiezen dat gemeenschappelijk is voor zowel getallen als klein. Laten we deze methode gebruiken.
Laten we eerst de eerste veelvouden van het getal 9 vinden. Om de veelvouden van 9 te vinden, moet je deze negen één voor één vermenigvuldigen met getallen van 1 tot en met 9. De resulterende antwoorden zijn veelvouden van het getal 9. Dus, laten we beginnen. We zullen veelvouden rood markeren:
Nu vinden we de veelvouden van het getal 12. Om dit te doen, vermenigvuldigen we 12 één voor één met alle getallen 1 tot en met 12.
GCD is de grootste gemene deler.
Om de grootste gemene deler van verschillende getallen te vinden, heb je het volgende nodig:
- bepaal de factoren die beide getallen gemeen hebben;
- vind het product van gemeenschappelijke factoren.
Een voorbeeld van het vinden van GCD:
Laten we de ggd van de nummers 315 en 245 zoeken.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Laten we de factoren opschrijven die beide getallen gemeen hebben:
3. Vind het product van gemeenschappelijke factoren:
GCD(315, 245) = 5 * 7 = 35.
Antwoord: GCD(315, 245) = 35.
Het NOC vinden
LCM is het kleinste gemene veelvoud.
Om het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen te vinden, heb je het volgende nodig:
- getallen omzetten in priemfactoren;
- noteer de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen;
- Laten we daar de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het tweede getal aan toevoegen;
- vind het product van de resulterende factoren.
Een voorbeeld van het vinden van de LOC:
Laten we de LCM van de nummers 236 en 328 vinden:
1. Laten we de getallen omzetten in priemfactoren:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Laten we de factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen en de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het tweede getal daaraan toevoegen:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Zoek het product van de resulterende factoren:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Antwoord: LCM(236, 328) = 19352.
Om de GCD (grootste gemene deler) van twee getallen te vinden, moet je:
2. Zoek (onderstreep) alle gemeenschappelijke priemfactoren in de resulterende uitbreidingen.
3. Vind het product van gemeenschappelijke priemfactoren.
Om de LCM (minste gemene veelvoud) van twee getallen te vinden, heb je nodig:
1. Verdeel de gegeven getallen in priemfactoren.
2. De uitbreiding van een van hen wordt aangevuld met die factoren van de uitbreiding van het andere getal die niet in de uitbreiding van het eerste voorkomen.
3. Bereken het product van de resulterende factoren.
Om te leren hoe je de grootste gemene deler van twee of meer getallen kunt vinden, moet je begrijpen wat natuurlijke, priemgetallen en complexe getallen zijn.
Een natuurlijk getal is elk getal dat wordt gebruikt om hele objecten te tellen.
Als een natuurlijk getal alleen in zichzelf en één kan worden verdeeld, wordt het een priemgetal genoemd.
Alle natuurlijke getallen kunnen door zichzelf en één gedeeld worden, maar het enige even priemgetal is 2, alle andere kunnen door twee gedeeld worden. Daarom kunnen alleen oneven getallen een priemgetal zijn.
Er zijn veel priemgetallen volledige lijst ze bestaan niet. Om GCD te vinden is het handig om speciale tabellen met dergelijke nummers te gebruiken.
De meeste natuurlijke getallen kunnen niet alleen door één getal zelf worden gedeeld, maar ook door andere getallen. Het getal 15 kan bijvoorbeeld worden gedeeld door nog eens 3 en 5. Ze worden allemaal delers van het getal 15 genoemd.
De deler van elke A is dus het getal waardoor deze kan worden gedeeld zonder een rest. Als een getal meer dan twee natuurlijke factoren heeft, wordt het samengesteld genoemd.
Het getal 30 kan delers hebben zoals 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Je zult merken dat 15 en 30 dezelfde delers 1, 3, 5, 15 hebben. De grootste gemene deler van deze twee getallen is 15.
De gemeenschappelijke deler van de getallen A en B is dus het getal waarmee ze volledig kunnen worden gedeeld. De grootste kan als het maximum worden beschouwd totaal aantal, waarin ze kunnen worden verdeeld.
Om problemen op te lossen, wordt de volgende verkorte inscriptie gebruikt:
GCD (A; B).
Bijvoorbeeld ggd (15; 30) = 30.
Om alle delers van een natuurlijk getal op te schrijven, gebruik je de notatie:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
In dit voorbeeld hebben de natuurlijke getallen slechts één gemeenschappelijke deler. Ze worden relatief priem genoemd, dus eenheid is hun grootste gemene deler.
Hoe de grootste gemene deler van getallen te vinden
Om de ggd van verschillende getallen te vinden, hebt u het volgende nodig:
Vind alle delers van elk natuurlijk getal afzonderlijk, dat wil zeggen, ontbind ze in factoren (priemgetallen);
Selecteer alle identieke factoren van gegeven getallen;
Vermenigvuldig ze met elkaar.
Om bijvoorbeeld de grootste gemene deler van de getallen 30 en 56 te berekenen, schrijf je het volgende:
Om verwarring te voorkomen is het handig om factoren in verticale kolommen op te schrijven. Aan de linkerkant van de lijn moet je het deeltal plaatsen, en aan de rechterkant - de deler. Onder het deeltal moet u het resulterende quotiënt aangeven.
In de rechterkolom staan dus alle factoren die nodig zijn voor de oplossing.
Identieke delers (gevonden factoren) kunnen voor het gemak worden onderstreept. Ze moeten worden herschreven en vermenigvuldigd en de grootste gemene deler moet worden opgeschreven.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Zo eenvoudig is het eigenlijk om de grootste gemene deler van getallen te vinden. Als je een beetje oefent, kun je dit bijna automatisch doen.
Laden...
