Eerder hebben we andere functies bestudeerd, bijvoorbeeld lineair, laten we ons de standaardvorm herinneren:
vandaar het voor de hand liggende fundamentele verschil - in lineaire functie X staat in de eerste graad, en in de nieuwe functie die we beginnen te bestuderen, X staat tot de tweede macht.
Bedenk dat de grafiek van een lineaire functie een rechte lijn is, en de grafiek van een functie, zoals we zullen zien, een curve is die een parabool wordt genoemd.
Laten we beginnen met uit te zoeken waar de formule vandaan komt. De verklaring is deze: als we een vierkant met zijde krijgen A, dan kunnen we de oppervlakte als volgt berekenen:
Als we de lengte van de zijde van een vierkant veranderen, verandert de oppervlakte ervan.
Dit is dus een van de redenen waarom de functie wordt bestudeerd
Bedenk dat de variabele X- dit is een onafhankelijke variabele of argument in een fysieke interpretatie, dit kan bijvoorbeeld tijd zijn. Afstand is daarentegen een afhankelijke variabele; het hangt af van de tijd. De afhankelijke variabele of functie is een variabele bij.
Dit is de wet van correspondentie, volgens welke elke waarde X Er wordt één enkele waarde toegekend bij.
Elke correspondentiewet moet voldoen aan de eis van uniciteit, van argument tot functie. In een fysische interpretatie ziet dit er vrij duidelijk uit op basis van het voorbeeld van de afhankelijkheid van afstand van tijd: op elk moment bevinden we ons op een bepaalde afstand van het startpunt, en het is tegelijkertijd onmogelijk om op tijdstip t te zijn zowel 10 als 20 kilometer vanaf het begin van de reis.
Tegelijkertijd kan elke functiewaarde met meerdere argumentwaarden worden bereikt.
We moeten dus een grafiek van de functie bouwen, hiervoor moeten we een tabel maken. Bestudeer vervolgens de functie en zijn eigenschappen met behulp van de grafiek. Maar zelfs voordat we een grafiek construeren op basis van het type functie, kunnen we iets zeggen over de eigenschappen ervan: dat is duidelijk bij kan sindsdien geen negatieve waarden aannemen
Laten we dus een tabel maken:
Rijst. 1
Uit de grafiek is het gemakkelijk om de volgende eigenschappen op te merken:
As bij- dit is de symmetrieas van de grafiek;
Het hoekpunt van de parabool is punt (0; 0);
We zien dat de functie alleen niet-negatieve waarden accepteert;
In het interval waar 
de functie neemt af, en op het interval waar de functie toeneemt;
De functie krijgt de kleinste waarde op het hoekpunt, 
;
Er is geen grootste waarde van een functie;
Voorbeeld 1
Voorwaarde:
Oplossing:
Sinds X door voorwaardewijzigingen op een specifiek interval kunnen we over de functie zeggen dat deze toeneemt en verandert op het interval. De functie heeft een minimumwaarde en een maximumwaarde op dit interval
Rijst. 2. Grafiek van de functie y = x 2 , x ∈
Voorbeeld 2
Voorwaarde: Vind de grootste en kleinste waarde van een functie:
Oplossing:
X verandert over het interval, wat betekent bij neemt af met het interval while en neemt toe met het interval while .
Dus de grenzen van verandering X en de grenzen van verandering bij, en daarom is er op een bepaald interval zowel een minimumwaarde van de functie als een maximum
Rijst. 3. Grafiek van de functie y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Laten we illustreren dat dezelfde functiewaarde kan worden bereikt met verschillende argumentwaarden.
Zoals de praktijk laat zien, veroorzaken taken met betrekking tot de eigenschappen en grafieken van een kwadratische functie ernstige problemen. Dit is nogal vreemd, omdat ze de kwadratische functie in groep 8 bestuderen, en vervolgens gedurende het eerste kwart van groep 9 de eigenschappen van de parabool 'kwellen' en de grafieken ervan voor verschillende parameters bouwen.
Dit komt door het feit dat wanneer studenten worden gedwongen parabolen te construeren, ze praktisch geen tijd besteden aan het "lezen" van de grafieken, dat wil zeggen dat ze niet oefenen met het begrijpen van de informatie die ze uit de afbeelding ontvangen. Kennelijk wordt aangenomen dat een slimme student, na het construeren van een tiental grafieken, zelf de relatie tussen de coëfficiënten in de formule en de relatie tussen de coëfficiënten in de formule zal ontdekken en formuleren. verschijning afbeeldingen. In de praktijk werkt dit niet. Voor een dergelijke generalisatie is serieuze ervaring met wiskundig mini-onderzoek vereist, die de meeste negendeklassers uiteraard niet bezitten. Ondertussen stelt de Staatsinspectie voor om de tekens van de coëfficiënten te bepalen met behulp van het schema.
We zullen niet het onmogelijke van schoolkinderen eisen en eenvoudigweg een van de algoritmen aanbieden om dergelijke problemen op te lossen.
Een functie van de vorm dus y = bijl 2 + bx + c kwadratisch genoemd, de grafiek is een parabool. Zoals de naam al doet vermoeden, is de hoofdterm bijl 2. Dat is A mag niet gelijk zijn aan nul, de overige coëfficiënten ( B En Met) kan gelijk zijn aan nul.
Laten we eens kijken hoe de tekens van de coëfficiënten het uiterlijk van een parabool beïnvloeden.
De eenvoudigste afhankelijkheid voor de coëfficiënt A. De meeste schoolkinderen antwoorden vol vertrouwen: “als A> 0, dan zijn de takken van de parabool naar boven gericht, en als A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
In dit geval A = 0,5
En nu voor A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
In dit geval A = - 0,5
Impact van de coëfficiënt Met Het is ook vrij eenvoudig te volgen. Laten we ons voorstellen dat we de waarde van een functie op een bepaald punt willen vinden X= 0. Vervang nul in de formule:
j = A 0 2 + B 0 + C = C. Dat blijkt y = c. Dat is Met is de ordinaat van het snijpunt van de parabool met de y-as. Normaal gesproken is dit punt gemakkelijk te vinden in de grafiek. En bepaal of het boven nul of onder nul ligt. Dat is Met> 0 of Met < 0.
Met > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Met < 0
y = x 2 + 4x - 3
Dienovereenkomstig, als Met= 0, dan zal de parabool noodzakelijkerwijs door de oorsprong gaan:
y = x 2 + 4x
Moeilijker met de parameter B. Het punt waarop we het zullen vinden, hangt niet alleen af van B maar ook van A. Dit is de bovenkant van de parabool. De abscis (ascoördinaat X) wordt gevonden door de formule xin = - b/(2a). Dus, b = - 2ax in. Dat wil zeggen, we gaan als volgt te werk: we vinden het hoekpunt van de parabool in de grafiek, bepalen het teken van de abscis, dat wil zeggen, we kijken rechts van nul ( x-in> 0) of naar links ( x-in < 0) она лежит.
Maar dat is niet alles. We moeten ook letten op het teken van de coëfficiënt A. Dat wil zeggen, kijk waar de takken van de parabool naartoe zijn gericht. En pas daarna, volgens de formule b = - 2ax in bepaal het teken B.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld:
De takken zijn naar boven gericht, dat wil zeggen A> 0, de parabool snijdt de as bij onder nul, dus Met < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x-in> 0. Dus b = - 2ax in = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Met < 0.
Eerder hebben we andere functies bestudeerd, bijvoorbeeld lineair, laten we ons de standaardvorm herinneren:
vandaar het voor de hand liggende fundamentele verschil - in de lineaire functie X staat in de eerste graad, en in de nieuwe functie die we beginnen te bestuderen, X staat tot de tweede macht.
Bedenk dat de grafiek van een lineaire functie een rechte lijn is, en de grafiek van een functie, zoals we zullen zien, een curve is die een parabool wordt genoemd.
Laten we beginnen met uit te zoeken waar de formule vandaan komt. De verklaring is deze: als we een vierkant met zijde krijgen A, dan kunnen we de oppervlakte als volgt berekenen:
Als we de lengte van de zijde van een vierkant veranderen, verandert de oppervlakte ervan.
Dit is dus een van de redenen waarom de functie wordt bestudeerd
Bedenk dat de variabele X- dit is een onafhankelijke variabele of argument in een fysieke interpretatie, dit kan bijvoorbeeld tijd zijn. Afstand is daarentegen een afhankelijke variabele; het hangt af van de tijd. De afhankelijke variabele of functie is een variabele bij.
Dit is de wet van correspondentie, volgens welke elke waarde X Er wordt één enkele waarde toegekend bij.
Elke correspondentiewet moet voldoen aan de eis van uniciteit, van argument tot functie. In een fysische interpretatie ziet dit er vrij duidelijk uit op basis van het voorbeeld van de afhankelijkheid van afstand van tijd: op elk moment bevinden we ons op een bepaalde afstand van het startpunt, en het is tegelijkertijd onmogelijk om op tijdstip t te zijn zowel 10 als 20 kilometer vanaf het begin van de reis.
Tegelijkertijd kan elke functiewaarde met meerdere argumentwaarden worden bereikt.
We moeten dus een grafiek van de functie bouwen, hiervoor moeten we een tabel maken. Bestudeer vervolgens de functie en zijn eigenschappen met behulp van de grafiek. Maar zelfs voordat we een grafiek construeren op basis van het type functie, kunnen we iets zeggen over de eigenschappen ervan: dat is duidelijk bij kan sindsdien geen negatieve waarden aannemen
Laten we dus een tabel maken:
Rijst. 1
Uit de grafiek is het gemakkelijk om de volgende eigenschappen op te merken:
As bij- dit is de symmetrieas van de grafiek;
Het hoekpunt van de parabool is punt (0; 0);
We zien dat de functie alleen niet-negatieve waarden accepteert;
In het interval waar de functie neemt af, en op het interval waar de functie toeneemt;
De functie krijgt de kleinste waarde op het hoekpunt, ;
Er is geen grootste waarde van een functie;
Voorbeeld 1
Voorwaarde:
Oplossing:
Sinds X door voorwaardewijzigingen op een specifiek interval kunnen we over de functie zeggen dat deze toeneemt en verandert op het interval. De functie heeft een minimumwaarde en een maximumwaarde op dit interval
Rijst. 2. Grafiek van de functie y = x 2 , x ∈
Voorbeeld 2
Voorwaarde: Vind de grootste en kleinste waarde van een functie:
Oplossing:
X verandert over het interval, wat betekent bij neemt af met het interval while en neemt toe met het interval while .
Dus de grenzen van verandering X en de grenzen van verandering bij, en daarom is er op een bepaald interval zowel een minimumwaarde van de functie als een maximum
Rijst. 3. Grafiek van de functie y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Laten we illustreren dat dezelfde functiewaarde kan worden bereikt met verschillende argumentwaarden.
De functie y=x^2 wordt een kwadratische functie genoemd. De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. Algemeen beeld De parabool wordt weergegeven in de onderstaande figuur.
Kwadratische functie
Fig 1. Algemeen beeld van de parabool
Zoals uit de grafiek blijkt, is deze symmetrisch rond de Oy-as. De Oy-as wordt de symmetrieas van de parabool genoemd. Dit betekent dat als je een rechte lijn op de grafiek tekent evenwijdig aan de Ox-as boven deze as. Vervolgens snijdt het de parabool op twee punten. De afstand van deze punten tot de Oy-as zal hetzelfde zijn.
De symmetrieas verdeelt de grafiek van een parabool in twee delen. Deze delen worden takken van de parabool genoemd. En het punt van een parabool dat op de symmetrieas ligt, wordt het hoekpunt van de parabool genoemd. Dat wil zeggen, de symmetrieas loopt door de top van de parabool. De coördinaten van dit punt zijn (0;0).
Basiseigenschappen van een kwadratische functie
1. Bij x =0, y=0, en y>0 bij x0
2. De kwadratische functie bereikt zijn minimumwaarde bij het hoekpunt. Ymin bij x=0; Er moet ook worden opgemerkt dat de functie geen maximale waarde heeft.
3. De functie neemt af op het interval (-∞;0] en neemt toe op het interval - met deze waarden van x, bewegend langs de parabool van links naar rechts, gaan we "de heuvel af" (zie Fig. 55) De functie y = x 2 neemt toe op de straal;
b) op het segment [- 3, - 1,5];
c) op het segment [- 3, 2].
Oplossing,
a) Laten we een parabool y = x 2 construeren en dat deel ervan selecteren dat overeenkomt met de waarden van de variabele x uit het segment (Fig. 56). Voor het geselecteerde deel van de grafiek vinden we bij de naam. = 1 (bij x = 1), ymax. = 9 (bij x = 3).
b) Laten we een parabool y = x 2 construeren en dat deel ervan selecteren dat overeenkomt met de waarden van de variabele x uit het segment [-3, -1,5] (Fig. 57). Voor het geselecteerde deel van de grafiek vinden we y-naam. = 2,25 (bij x = - 1,5), ymax. = 9 (bij x = - 3).
c) Laten we een parabool y = x 2 construeren en dat deel ervan selecteren dat overeenkomt met de waarden van de variabele x uit het segment [-3, 2] (Fig. 58). Voor het geselecteerde deel van de grafiek vinden we y max = 0 (bij x = 0), y max. = 9 (bij x = - 3).
Advies. Om te voorkomen dat de functie y - x 2 elke keer punt voor punt wordt geplot, knipt u een paraboolsjabloon uit dik papier. Met zijn hulp teken je heel snel een parabool.
Opmerking. Door u uit te nodigen een paraboolsjabloon te maken, lijken we de rechten van de functie y = x 2 en lineaire functie y = kx + m. De grafiek van een lineaire functie is immers een rechte lijn, en om een rechte lijn weer te geven wordt een gewone liniaal gebruikt - dit is het sjabloon voor de grafiek van de functie y = kx + m. Laten we dus een sjabloon hebben voor de grafiek van de functie y = x 2.
Voorbeeld 2. Zoek de snijpunten van de parabool y = x 2 en de rechte lijn y - x + 2.
Oplossing. Laten we in één coördinatensysteem de parabool y = x 2 en de rechte lijn y = x + 2 construeren (Fig. 59). Ze snijden elkaar in de punten A en B, en op basis van de tekening is het niet moeilijk om de coördinaten van deze punten A en B te vinden: voor punt A hebben we: x = - 1, y = 1, en voor punt B hebben we: x - 2, y = 4.
Antwoord: de parabool y = x 2 en de rechte lijn y = x + 2 snijden elkaar in twee punten: A (-1; 1) en B (2; 4).
Belangrijke opmerking. Tot nu toe zijn we vrij stoutmoedig geweest in het trekken van conclusies aan de hand van de tekening. Wiskundigen vertrouwen tekeningen echter niet al te veel. Nadat hij in Figuur 59 twee snijpunten van een parabool en een rechte lijn heeft ontdekt en de coördinaten van deze punten heeft bepaald met behulp van de tekening, controleert de wiskundige gewoonlijk zichzelf: of het punt (-1; 1) daadwerkelijk op zowel de rechte lijn als de rechte lijn ligt en de parabool; ligt het punt (2; 4) werkelijk zowel op een rechte lijn als op een parabool?
Om dit te doen, moet je de coördinaten van de punten A en B vervangen in de vergelijking van de rechte lijn en in de vergelijking van de parabool, en er vervolgens voor zorgen dat in beide gevallen de juiste gelijkheid wordt verkregen. In voorbeeld 2 zullen de gelijkheden in beide gevallen waar zijn. Deze controle wordt vooral vaak uitgevoerd als er twijfel bestaat over de juistheid van de tekening.
Concluderend merken we een interessante eigenschap van de parabool op, die gezamenlijk is ontdekt en bewezen door natuurkundigen en wiskundigen.
Als we de parabool y = x 2 beschouwen als een scherm, als een reflecterend oppervlak, en een lichtbron op dat punt plaatsen, dan vormen de stralen, gereflecteerd door de parabool van het scherm, een parallelle lichtbundel (Fig. 60) . Het punt wordt het brandpunt van de parabool genoemd. Dit idee wordt gebruikt in auto's: het reflecterende oppervlak van de koplamp heeft een parabolische vorm en de gloeilamp wordt in het brandpunt geplaatst - dan verspreidt het licht van de koplamp zich ver genoeg.
Kalender-thematische planning in de wiskunde, video in wiskunde online, Wiskunde op school downloaden
A. V. Pogorelov, Geometrie voor groep 7-11, leerboek voor onderwijsinstellingen
Inhoud van de les lesaantekeningen ondersteunende frameleinteractieve technologieën Oefening taken en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, diagrammen, humor, anekdotes, grappen, strips, gelijkenissen, gezegden, kruiswoordraadsels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen trucs voor nieuwsgierigen kribben leerboeken basis- en aanvullend woordenboek met termen overige Verbetering van leerboeken en lessenhet corrigeren van fouten in het leerboek het bijwerken van een fragment in een leerboek, elementen van innovatie in de les, het vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar methodologische aanbevelingen discussie programma's Geïntegreerde lessen
Laden...
