Geometrische definitie van voorbeelden van eigenschapswaarschijnlijkheid. Geometrische waarschijnlijkheden

Een ander schema voor het beschrijven van experimenten met dubbelzinnig voorspelde uitkomsten, dat het mogelijk maakt om heel eenvoudig een kwantitatief kenmerk van de haalbaarheid van een bepaalde gebeurtenis te introduceren, is het schema van geometrische waarschijnlijkheden, dat, net als het hierboven besproken schema van gevallen, gebruik maakt van het idee van gelijkwaardigheid van de uitkomsten van het experiment. Vergelijkbaar met de manier waarop dit in het casusdiagram werd gedaan, wordt een kwantitatief kenmerk van de haalbaarheid van een gebeurtenis – de waarschijnlijkheid ervan – gedefinieerd als een op de een of andere manier genormaliseerde waarde, evenredig aan de voorraad uitkomsten die gunstig zijn voor het plaatsvinden van de gebeurtenis. Stel dat de reeks uitkomsten van het onderzochte experiment kan worden beschreven als een reeks P-punten van een of ander ‘geometrisch continuüm’ – elke uitkomst komt overeen met een bepaald punt en elk punt komt overeen met een bepaalde uitkomst. Het “geometrische continuüm” Q kan een segment op een rechte lijn zijn, een boog van een rectificeerbare kromme op een vlak of in de ruimte, een kwadratische verzameling op een vlak (driehoek, rechthoek, cirkel, ellips, enz.) of een deel van een vierkant oppervlak, een bepaald volume in de ruimte (veelvlak - prisma, piramide, bal, ellipsoïde, enz.). Een gebeurtenis is elke vierkante deelverzameling van een verzameling. In het schema van gevallen bestaat een gebeurtenis echter uit punten en convergenties. geen enkele reeks uitkomsten vormt een gebeurtenis, maar slechts één waarvan we de maat (lengte, oppervlakte, volume) kunnen meten. Laten we, uitgaande van een gelijke waarschijnlijkheid van uitkomsten, de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A een getal noemen dat evenredig is aan de maatstaf van deelverzameling A van verzameling P: Geometrische waarschijnlijkheden Als 0 een gebeurtenis is die onmogelijk is in een bepaald experiment, en Q betrouwbaar is, dan stellen we P(0) = O, = 1. De waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis A wordt geconcludeerd tussen nul - de waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis, en één - de waarschijnlijkheid van een betrouwbare gebeurtenis4*. De normalisatievoorwaarde stelt ons in staat de constante k te vinden - de evenredigheidscoëfficiënt die de waarschijnlijkheid specificeert. Het blijkt gelijk te zijn. In het schema van geometrische waarschijnlijkheden wordt de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis dus gedefinieerd als de verhouding tussen de maat van de deelverzameling A die de gebeurtenis beschrijft en de maat van de verzameling il die het experiment als geheel beschrijft. : Laten we enkele eigenschappen van deze gedefinieerde waarschijnlijkheid opmerken: De eigenschap volgt duidelijk uit het feit dat de verzameling, wat zich in een andere bevindt, niet groter kan zijn dan de laatste. Net als in het schema van gevallen kunnen gebeurtenissen in het schema van geometrische waarschijnlijkheden worden verenigd, gecombineerd en op basis daarvan kunnen de tegenovergestelde worden gebouwd - in dit geval zullen in het algemeen gebeurtenissen worden verkregen die verschillen van de oorspronkelijke. Volgende eigendom heel belangrijk. 3. Als gebeurtenissen onverenigbaar zijn, dan is vooral het complementariteitsbeginsel geldig: deze eigenschap, gewoonlijk de regel van de optelling van waarschijnlijkheden genoemd, volgt uiteraard uit de additiviteit van de maat5*. Concluderend merken we op dat de waarschijnlijkheid dat een uitkomst zich voordoet in het schema van geometrische waarschijnlijkheden altijd gelijk is aan nul, net zoals de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis beschreven door een “magere” reeks punten gelijk is aan nul, d.w.z. een verzameling waarvan de maat (respectievelijk lengte, oppervlakte, volume) nul is. Laten we een paar voorbeelden bekijken om de berekening van kansen in het geometrische waarschijnlijkheidsschema te illustreren. Voorbeeld 1. Het experiment bestaat uit het willekeurig selecteren van een punt uit het segment [a, 6|. Bereken de waarschijnlijkheid dat een punt wordt geselecteerd dat in de linkerhelft van het beschouwde segment ligt.