4.1. RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN
In de topografie worden rechthoekige coördinaten het meest gebruikt. Laten we twee onderling loodrechte lijnen in het vlak nemen - OX En OJ. Deze lijnen worden coördinaatassen genoemd, en hun snijpunt ( O) - de oorsprong van coördinaten.
Rijst. 4.1. Rechthoekige coördinaten
De positie van elk punt op het vlak kan eenvoudig worden bepaald door de kortste afstanden van de coördinaatassen tot het gegeven punt op te geven. De kortste afstanden zijn loodlijnen. De loodrechte afstanden van de coördinaatassen tot een bepaald punt worden de rechthoekige coördinaten van dit punt genoemd.
Lijnen evenwijdig aan de as X, worden coördinaten genoemd XA
en parallelle assen Y- coördinaten bijA
.
Kwartalen rechthoekig systeem coördinaten zijn genummerd. Ze worden met de klok mee geteld vanuit de positieve richting van de abscis-as - I, II, III, IV (Fig. 4.1).
De besproken rechthoekige coördinaten worden op een vlak gebruikt. Hier hebben ze hun naam vandaan platte rechthoekige coördinaten.
Dit coördinatensysteem wordt gebruikt op kleine gebieden terrein als vlak beschouwd.
4.2. ZONAAL SYSTEEM VAN RECHTHOEKIGE GAUSSISCHE COÖRDINATEN
Bij het beschouwen van de kwestie "Projectie van topografische kaarten" werd opgemerkt dat het aardoppervlak wordt geprojecteerd op het oppervlak van een cilinder, die het aardoppervlak langs de axiale meridiaan raakt. In dit geval wordt niet het gehele aardoppervlak op de cilinder geprojecteerd, maar slechts een deel ervan, begrensd door 3° lengtegraad naar het westen en 3° naar het oosten vanaf de axiale meridiaan. Omdat elk van de Gaussiaanse projecties slechts een fragment van het aardoppervlak naar het vlak overbrengt, begrensd door meridianen over een lengtegraad van 6°, moeten in totaal 60 projecties (60 zones) op het aardoppervlak worden samengesteld. In elk van de 60 projecties wordt a apart systeem rechthoekige coördinaten.
In elke zone de as X is de gemiddelde (axiale) meridiaan van de zone, gelegen 500 km ten westen van de werkelijke positie, en de as Y- evenaar (Fig. 4.2).
Rijst. 4.2. Rechthoekig coördinatensysteem
op topografische kaarten
Het snijpunt van de verlengde axiale meridiaan met de evenaar zal de oorsprong zijn van coördinaten: x = 0, y = 0. Het snijpunt van de evenaar en de feitelijke centrale meridiaan heeft de coördinaten : x = 0, y = 500 km.
Elke zone heeft zijn eigen oorsprong. De zones worden geteld vanaf de meridiaan van Greenwich naar het oosten. De eerste zesgradenzone ligt tussen de meridiaan van Greenwich en de meridiaan met oostelijke lengtegraad 6º (axiale meridiaan 3º). De tweede zone ligt op 6º oost. - 12º E (axiale meridiaan 9º). Derde zone - 12º oost. - 18º oost (axiale meridiaan 15º). Vierde zone - 18º oost. - 24º oost (axiale meridiaan 21º), etc.
Het zonenummer wordt aangegeven in de coördinaat bij eerste cijfer. Opnemen bijvoorbeeld bij = 4 525 340
betekent dat het gegeven punt zich op afstand in de vierde zone (eerste cijfer) bevindt 525 340 m van de axiale meridiaan van de zone, gelegen ten westen van 500 km.
Om het zonenummer te bepalen op basis van geografische coördinaten, moet je 6 optellen bij de lengtegraad uitgedrukt in gehele graden en het resulterende bedrag delen door 6. Als resultaat van de deling laten we alleen een geheel getal over.
Voorbeeld. Bepaal het nummer van de Gaussische zone voor een punt met een oostelijke lengtegraad van 18º10".
Oplossing. Bij het gehele aantal lengtegraden 18 tellen we 6 op en delen we de som door 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Onze kaart bevindt zich in de vierde zone.
Moeilijkheden bij het gebruik van het zonale coördinatensysteem doen zich voor in gevallen waarin topografisch en geodetisch werk wordt uitgevoerd in grensgebieden in twee aangrenzende (aangrenzende) zones. De coördinaatlijnen van dergelijke zones bevinden zich onder een hoek ten opzichte van elkaar (Figuur 4.3).
Om opkomende complicaties te elimineren, moet a zone-overlapstrook
, waarin de coördinaten van punten in twee aangrenzende systemen kunnen worden berekend. De breedte van de overlapstrook bedraagt 4°, 2° per zone.
Een extra raster op de kaart wordt alleen toegepast in de vorm van uitgangen van de lijnen tussen het minuut- en buitenframe. De digitalisering ervan is een voortzetting van de digitalisering van de rasterlijnen van de aangrenzende zone. Extra rasterlijnen worden buiten het buitenste frame van het vel getekend. Bijgevolg wordt op een kaartblad dat zich in de oostelijke zone bevindt, bij het aansluiten van de gelijknamige uitgangen van het extra netwerk, een kilometerraster van de westelijke zone verkregen. Met dit raster kunt u bijvoorbeeld de rechthoekige coördinaten van een punt bepalen IN in het rechthoekige coördinatensysteem van de westelijke zone, d.w.z. rechthoekige coördinaten van punten A En IN wordt verkregen in één coördinatensysteem van de westelijke zone.
Rijst. 4.3. Extra kilometerlijnen aan de grenzen van zones
Op een kaart op schaal 1:10.000 wordt het extra raster alleen verdeeld over die bladen waarin de oostelijke of westelijke meridiaan van het binnenste frame (trapeziumvormige frame) de grens van de zone is. Op topografische plannen wordt geen aanvullend raster toegepast.
4.3. BEPALEN VAN RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN MET BEHULP VAN EEN KOMPASMETER
Een belangrijk element topografische kaart(plattegrond) is een rechthoekig raster. Op alle platen van deze 6 graden zone is het raster aangebracht in de vorm van rijen lijnen, evenwijdig aan de axiale meridiaan en de evenaar(Afb. 4.2). De verticale rasterlijnen lopen evenwijdig aan de axiale meridiaan van de zone, en de horizontale lijnen lopen evenwijdig aan de evenaar. Horizontale kilometerlijnen worden van onder naar boven geteld, en verticale kilometerlijnen - van links naar rechts.
.
De afstanden tussen de lijnen op kaarten met schaal 1:200.000 - 1:50.000 zijn 2 cm, 1:25.000 - 4 cm, 1:10.000 - 10 cm, wat overeenkomt met een geheel aantal kilometers op de grond. Daarom wordt een rechthoekig gaas ook wel genoemd kilometer, en de lijnen zijn kilometer.
De kilometerlijnen die zich het dichtst bij de hoeken van het frame van het kaartblad bevinden, zijn ondertekend met het volledige aantal kilometers, de rest - met de laatste twee cijfers. Inscriptie 60
65 (zie Fig. 4.4) op een van de horizontale lijnen betekent dat deze lijn 6065 km verwijderd is van de evenaar (noord): inscriptie 43
07 op de verticale lijn betekent dat het zich in de vierde zone bevindt en 307 km ten oosten van het begin van de ordinaattelling. Als er in de buurt van de verticale kilometerlijn een getal van drie cijfers in kleine cijfers wordt geschreven, geven de eerste twee het zonenummer aan.
Voorbeeld. Het is noodzakelijk om op de kaart de rechthoekige coördinaten van een terreinpunt te bepalen, bijvoorbeeld een punt van het staatsgeodetische netwerk (GGS) met markering 214.3 (Fig. 4.4). Noteer eerst (in kilometers) de abscis van de zuidkant van het vierkant waarin dit punt zich bevindt (dus 6065). Bepaal vervolgens met behulp van een meetkompas en een lineaire schaal de lengte van de loodlijn Δх= 550 m, behaard vanaf gegeven punt naar deze lijn. De resulterende waarde (in dit geval 550 m) wordt opgeteld bij de abscis van de lijn. Het getal 6.065.550 is de abscis X
GGS-punt.
De ordinaat van het GGS-punt is gelijk aan de ordinaat van de westelijke zijde van hetzelfde vierkant (4307 km), opgeteld bij de lengte van de loodlijn Δу= 250 m, gemeten op de kaart. Het getal 4.307.250 is de ordinaat van hetzelfde punt.
Bij het ontbreken van een meetkompas worden afstanden gemeten met een liniaal of strookje papier.
X = 6065550, bij= 4307250
Rijst. 4.4. Rechthoekige coördinaten definiëren met behulp van een lineaire schaal
4.4. BEPALEN VAN RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN MET BEHULP VAN EEN COORDINATOMETER
Coördinator
- een klein vierkant met twee loodrechte zijden. Langs de binnenranden van de linialen bevinden zich schalen, waarvan de lengte gelijk is aan de lengte van de zijkant van de coördinaatcellen van de kaart van een bepaalde schaal. De verdelingen op de coördinatenmeter worden overgebracht van de lineaire schaal van de kaart.
De horizontale schaal is uitgelijnd met de onderste lijn van het vierkant (waarin het punt zich bevindt) en de verticale schaal moet er doorheen gaan dit punt. De schalen bepalen de afstanden van het punt tot de kilometerlijnen.
x EEN = 6135.350 en EEN = 5577.710
Rijst. 4.5. Bepalen van rechthoekige coördinaten met behulp van een coördinatenmeter
4.5. PUNTEN OP DE KAART PLAATSEN OP GESPECIFICEERDE RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN
Om een punt op een kaart te plotten volgens bepaalde rechthoekige coördinaten, gaat u als volgt te werk: in het coördinatenrecord worden tweecijferige getallen gevonden die de lijnen van het rechthoekige raster afkorten. Met behulp van het eerste getal wordt een horizontale rasterlijn op de kaart gevonden en met behulp van het tweede getal een verticale rasterlijn. Hun snijpunt vormt de zuidwestelijke hoek van het plein waarin het gewenste punt ligt. Aan de oost- en westzijde van het plein worden vanaf de zuidkant twee gelijke segmenten gelegd, die op de kaartschaal overeenkomen met het aantal meters in de abscis X . De uiteinden van de segmenten zijn verbonden door een rechte lijn en daarop, vanaf de westelijke kant van het plein, is op de kaartschaal een segment uitgezet dat overeenkomt met het aantal meters in de ordinaat; het einde van dit segment is het gewenste punt.
4.6. BEREKENING VAN VLAK RECHTHOEKIGE GAUSSiaanse COÖRDINATEN DOOR GEOGRAFISCHE COÖRDINATEN
Vlakke rechthoekige Gauss-coördinaten X
En bij
zeer moeilijk in verband te brengen met geografische coördinaten φ
(breedtegraad) en λ
(lengtegraad) punten aardoppervlak. Stel dat dat een bepaald punt is A heeft geografische coördinaten φ
En λ
.
Aangezien het verschil in de lengtegraden van de grensmeridianen van de zone 6° bedraagt, is het dienovereenkomstig voor elk van de zones mogelijk om de lengtegraden van de uiterste meridianen te verkrijgen: 1e zone (0° - 6°), 2e zone (6° - 12°), 3e zone (12° - 18°), enz. Dus volgens geografische lengtegraad punten A u kunt het nummer van de zone bepalen waarin dit punt zich bevindt. Tegelijkertijd de lengtegraad λ
De as van de axiale meridiaan van de zone wordt bepaald door de formule
λ
Besturingssysteem
= (6°n - 3°),
waarin N- zonenummer.
Om rechthoekige vlakcoördinaten te definiëren X En bij op geografische coördinaten φ En λ Laten we de formules gebruiken die zijn afgeleid voor Krasovsky's referentie-ellipsoïde (de referentie-ellipsoïde is een figuur die zo dicht mogelijk bij de figuur van de aarde ligt in het deel waarop deze zich bevindt deze staat, of een groep staten):
X = 6367558,4969 (φ
blij
) − (een 0
− l 2 N)zondeφ
wantφ
(4.1)
bij(l) = lNcosφ
(4.2)
Formules (4.1) en (4.2) gebruiken de volgende notatie:
j(l) - afstand van het punt tot de axiale meridiaan van de zone;
l= (λ - λ
Besturingssysteem
) - het verschil tussen de lengtegraden van het bepaalde punt en de axiale meridiaan van de zone);
φ
blij
- breedtegraad van een punt, uitgedrukt in radialen;
N = 6399698,902 -
cos 2φ;
A 0
= 32140,404 -
want 2
φ;
A 3
= (0,3333333 + 0,001123
want 2
φ)
cos 2φ - 0,1666667;
A 4
= (0,25 + 0,00252
cos 2φ)
cos 2φ - 0,04166;
A 5
= 0,0083 -
cos 2φ;
A 6
= (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
y" - afstand vanaf de axiale meridiaan ten westen van 500 km.
Volgens formule (4.1), de coördinaatwaarde j(l) worden verkregen ten opzichte van de axiale meridiaan van de zone, d.w.z. het kan blijken met “plus”-borden voor het oostelijke deel van de zone of “min”-borden voor het westelijke deel van de zone. Om coördinaten vast te leggen j in het zonale coördinatensysteem is het noodzakelijk om de afstand te berekenen tot een punt vanaf de axiale meridiaan van de zone, gelegen 500 km naar het westen (j"in de tafel )
en schrijf het zonenummer vóór de resulterende waarde. De ontvangen waarde is bijvoorbeeld
j(l)= -303678,774 m in zone 47.
Dan
bij= 47 (500000,000 - 303678,774) = 47196321,226 m.
Voor berekeningen maken wij gebruik van spreadsheets MicrosoftXL
.
Voorbeeld. Bereken de rechthoekige coördinaten van een punt met geografische coördinaten:
φ = 47º02"15,0543"N; λ = 65º01"38,2456" oost.
Naar de tafel MicrosoftXL voer de initiële gegevens en formules in (tabel 4.1).
Tabel 4.1.
D |
E |
F |
||||
Parameter |
Berekeningen |
hagel |
||||
φ (graden) |
D2+E2/60+F2/3600 |
|||||
φ (rad) |
RADIANEN(C3) |
|||||
Cos 2φ |
||||||
Zonenr. |
GEHEEL GEHEEL((D8+6)/6) |
|||||
λos (graden) |
||||||
ik (graden) |
D11+E11/60+F11/3600 |
|||||
ik (rad) |
RADIANEN(C12) |
|||||
6399698,902-((21562,267- |
||||||
A 0 |
32140,404-((135,3302- |
|||||
A 4 |
=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166 |
|||||
A 6 |
=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2 |
|||||
A 3 |
=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667 |
|||||
A 5 |
0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2 |
|||||
6367558.4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20)) *C20*C14)))*C5*C6) |
||||||
=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6 |
||||||
ROND((500000+C23);3) |
||||||
CONCATENAAT(C9;C24) |
Weergave van de tabel na berekeningen (Tabel 4.2).
Tabel 4.2.
Parameter |
Berekeningen |
hagel |
||||
φ (graden, min, sec) |
||||||
φ (graden) |
||||||
φ (radialen) |
||||||
Cos 2φ |
||||||
λ (graden, min, sec) |
||||||
Zonenummer |
||||||
λos (graden) |
||||||
l (min, sec) |
||||||
l (graden) |
||||||
l (radialen) |
||||||
A 0 |
||||||
A 4 |
||||||
A 6 |
||||||
A 3 |
||||||
A 5 |
||||||
4.7. BEREKENING VAN GEOGRAFISCHE COÖRDINATEN MET BEHULP VAN VLAK RECHTHOEKIGE GAUSSiaanse COÖRDINATEN
Om dit probleem op te lossen, worden ook herberekeningsformules gebruikt die zijn verkregen voor Krasovsky's referentie-ellipsoïde.
Stel dat we geografische coördinaten moeten berekenen φ
En λ
punten A door zijn platte rechthoekige coördinaten X En bij, gespecificeerd in het zonale coördinatensysteem. In dit geval de coördinaatwaarde bij opgeschreven met vermelding van het zonenummer en rekening houdend met de overdracht van de axiale meridiaan van de zone naar het westen met 500 km.
Pre-by-waarde bij zoek het nummer van de zone waarin het te bepalen punt zich bevindt, en gebruik het zonenummer om de lengtegraad te bepalen λ
o de axiale meridiaan en door de afstand van het punt tot de axiale meridiaan naar het westen, vind de afstand j(l) van een punt naar de axiale meridiaan van de zone (deze laatste kan een plus- of minteken hebben).
Geografische coördinaatwaarden φ
En λ
op platte rechthoekige coördinaten X En bij gevonden met behulp van de formules:
φ = φ X
- z 2 b 2
ρ″ (4,3)
λ = λ 0
+ l (4,4)
l = zρ″ (4,5)
In formules (4.3) en (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062″ - aantal seconden in één radiaal
z = У(L) / (Nx сos φx);
N x = 6399698,902 - cos 2 φ x;
b 2 = (0,5 + 0,003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b3 = 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 = 0,2 - (0,1667 - 0,0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.
Voor berekeningen maken wij gebruik van spreadsheets MicrosoftXL
.
Voorbeeld. Bereken de geografische coördinaten van een punt met behulp van rechthoekige coördinaten:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.
Naar de tafel MicrosoftXL voer de initiële gegevens en formules in (Tabel 4.3).
Tabel 4.3.
|
Weergave van de tabel na berekeningen (Tabel 4.4).
Tabel 4.4.
Parameter |
Berekening |
Hagel. |
||||
Zonenummer* |
||||||
Zonenummer |
||||||
oos (graden) |
||||||
jij" |
||||||
βrad |
||||||
Cos 2β |
||||||
φ X " |
||||||
φ X blij |
||||||
φ X |
||||||
Cosφ X |
||||||
Cos 2φ X |
||||||
N X |
||||||
Ν X Cosφ X |
||||||
z 2 |
||||||
B 4 |
||||||
B 2 |
||||||
B 3 |
||||||
B 5 |
||||||
φ |
||||||
l 0 |
||||||
λ |
Als de berekeningen correct zijn uitgevoerd, kopieert u beide tabellen op één blad, verbergt u de regels met tussenberekeningen en de kolom nr. en laat u alleen de regels over voor het invoeren van de initiële gegevens en berekeningsresultaten. Wij formatteren de tabel en passen de namen van kolommen en kolommen naar eigen inzicht aan.
Werkbladen kunnen er zo uitzienTabel 4.5.
Opmerkingen.
1. Afhankelijk van de vereiste nauwkeurigheid kunt u de bitdiepte vergroten of verkleinen.
2. Het aantal rijen in de tabel kan worden verminderd door berekeningen te combineren. Bereken de radialen van een hoek bijvoorbeeld niet afzonderlijk, maar schrijf ze meteen in de formule =SIN(RADIANS(C3)).
3. Afronding in paragraaf 23 van de tabel. 4.1. Wij produceren voor “koppeling”. Aantal cijfers bij afronding 3.
4. Als u de opmaak van de cellen in de kolommen "Grad" en "Min" niet wijzigt, staan er geen nullen vóór de cijfers. De formaatwijziging hier wordt alleen gemaakt voor visuele perceptie (naar goeddunken van de auteur) en heeft geen invloed op de berekeningsresultaten.
5. Om te voorkomen dat formules per ongeluk worden beschadigd, moet u de tafel beschermen: Service / Protect-blad. Voordat u gaat beveiligen, selecteert u de cellen waarin u de originele gegevens wilt invoeren en vervolgens: Celformaat / Beveiliging / Beschermde cel - schakel het selectievakje uit.
4.8. RELATIE VAN PLATTE RECHTHOEKIGE EN POLARE COÖRDINATENSYSTEMEN
De eenvoud van het poolcoördinatensysteem en de mogelijkheid om het te construeren ten opzichte van elk punt in het terrein dat als pool wordt beschouwd, leidden tot het wijdverbreide gebruik ervan in de topografie. Om de polaire systemen van individuele terreinpunten met elkaar te verbinden, is het noodzakelijk om over te gaan tot het bepalen van de positie van deze laatste in een rechthoekig coördinatensysteem, dat kan worden uitgebreid tot een veel groter gebied. De verbinding tussen de twee systemen komt tot stand door het oplossen van directe en inverse geodetische problemen.
Direct geodetisch probleem
bestaat uit het bepalen van de coördinaten van het eindpunt IN
(Afb. 4.4) lijnen AB langs zijn lengte G horizontale indelingD
, richtingα
en coördinaten van het startpunt XA
,
bijA
.
Rijst. 4.6. Het oplossen van directe en inverse geodetische problemen
Dus als we het punt accepteren A(Fig. 4.4) voorbij de pool van het poolcoördinatensysteem en de rechte lijn AB- voorbij de poolas evenwijdig aan de as OH en vervolgens de poolcoördinaten van het punt IN zullen D En α . Het is noodzakelijk om de rechthoekige coördinaten van dit punt in het systeem te berekenen HOU.
Vanaf afb. 3.4 Dat is duidelijk XIN verschillend van XA per bedrag ( XIN - XA ) = Δ XAB , A bijIN verschillend van bijA per bedrag ( bijIN - bijA ) = Δ bijAB . Laatste coördinaatverschillen IN en primair A lijn punten AB Δ X en Δ bij genaamd coördinaatverhogingen . Coördinaatverhogingen zijn orthogonale projecties van de lijn AB op de coördinatenas. Coördinaten XIN En bijIN kan worden berekend met behulp van de formules:
XIN
= XA
+ Δ XAB
(4.1)
bijIN
= bijA
+ Δ bijAB
(4.2)
Δ XAB
=Dwant α
(4.3)
Δ bijAB
= Dzonde α
(4.4)
Het teken van de coördinaatverhogingen is afhankelijk van de positiehoek.
Tabel 4.1.
Vervanging van de waarde van stappen Δ XAB en Δ bijAB in formules (3.1 en 3.2) verkrijgen we formules voor het oplossen van het directe geodetische probleem:
XIN
= XA
+ Dwant α
(4.5)
bijIN
= bijA
+ Dzonde α
(4.6)
Invers geodetisch probleem bestaat uit het bepalen van de lengte van de horizontale ruimteDen de richting α van lijn AB volgens de gegeven coördinaten van het startpunt A (xA, yA) en het eindpunt B (xB, yB). De richtingshoek wordt berekend met behulp van de benen van een rechthoekige driehoek:
bruin α = 
(4.7)
Horizontale indeling D, bepaald door de formule:
D = 
(4.8)
Om directe en inverse geodetische problemen op te lossen, kunt u spreadsheets gebruiken Microsoft Excel .
Voorbeeld.
Punt gegeven A met coördinaten: XA
= 6068318,25; bijA
= 4313450,37. Horizontale indeling (D) tussen punt A en punt IN is gelijk aan 5248,36 m. De hoek tussen de noordelijke richting van de as OH en richting naar het punt IN(positiehoek - α
) is gelijk aan 30º.
Brongegevens en formules invoeren in spreadsheets MicrosoftExcel (Tabel 4.2).
Tabel 4.2.
Initiële gegevens |
||
XA |
||
bijA |
||
Berekeningen |
||
Δ XAB =d cos α |
B4*COS(RADIANEN(B5)) |
|
Δ bijAB = d zonde α |
B4*ZONDE(RADIANEN(B5)) |
|
XIN |
||
bijIN |
||
Tabel 4.3.
Initiële gegevens |
||
XA |
||
bijA |
||
Berekeningen |
||
Δ XAB =d cos α |
||
Δ bijAB = d zonde α |
||
XIN |
||
bijIN |
||
Voorbeeld.
Punten gespecificeerd A En IN met coördinaten:
XA
= 6068318,25; bijA
= 4313450,37;
XIN
= 6072863,46; bijIN
= 4313450,37.
Bereken de horizontale afstand D tussen punt A en punt IN, en ook de hoek α
tussen de noordelijke richting van de as OH en richting naar het punt IN.
Brongegevens en formules invoeren in spreadsheets MicrosoftExcel
(Tabel 4.4).
Tabel 4.4.
Initiële gegevens |
||
XA |
||
bijA |
||
XIN |
||
bijIN |
||
Berekeningen |
||
ΔхAB |
||
ΔуAB |
||
SQRT(B7^2+B8^2) |
||
Raaklijn |
||
Boogtangens |
||
Graden |
GRADEN(B11) |
|
Keuze |
ALS(B12<0;B12+180;B12) |
|
Positiehoek (graden) |
ALS(B8<0;B13+180;B13) |
|
Tabel 4.5.
Initiële gegevens |
||
XA |
||
bijA |
||
XIN |
||
bijIN |
||
Berekeningen |
||
ΔхAB |
||
ΔуAB |
||
Raaklijn |
||
Boogtangens |
||
Graden |
||
Keuze |
||
Positiehoek (graden) |
||
Als uw berekeningen overeenkomen met die in de tutorial, verberg dan de tussenliggende berekeningen, formatteer en beveilig de tabel.
Video
Rechthoekige coördinaten
Vragen en taken voor zelfbeheersing
- Welke grootheden worden rechthoekige coördinaten genoemd?
- Op welk oppervlak worden rechthoekige coördinaten gebruikt?
- Wat is de essentie van het zonale rechthoekige coördinatensysteem?
- Wat is het nummer van de zesgradenzone waarin de stad Loegansk ligt met coördinaten: 48°35′ N. 39°20′ OL
- Bereken de lengtegraad van de axiale meridiaan van de zesgradenzone waarin Loegansk zich bevindt.
- Hoe worden x- en y-coördinaten berekend in het rechthoekige Gaussiaanse coördinatensysteem?
- Leg de procedure uit voor het bepalen van rechthoekige coördinaten op een topografische kaart met behulp van een meetkompas.
- Leg de procedure uit voor het bepalen van rechthoekige coördinaten op een topografische kaart met behulp van een coördinatenmeter.
- Wat is de essentie van een direct geodetisch probleem?
- Wat is de essentie van het inverse geodetische probleem?
- Welke grootheid wordt de coördinaatverhoging genoemd?
- Definieer sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een hoek.
- Hoe kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen op de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek in de topografie?
Rechthoekig coördinatensysteem- een rechtlijnig coördinatensysteem met onderling loodrechte assen in een vlak of in de ruimte. Het eenvoudigste en daarom meest gebruikte coördinatensysteem. Het is heel gemakkelijk en duidelijk te generaliseren naar ruimtes van elke afmeting, wat ook bijdraagt aan de brede toepassing ervan.
Gerelateerde termen: Cartesisch gewoonlijk een rechthoekig coördinatensysteem genoemd met gelijke schalen langs de assen (zo genoemd naar Rene Descartes), en algemeen cartesiaans coördinatensysteem een affien coördinatensysteem genoemd (niet rechthoekig).
Encyclopedisch YouTube
-
1 / 5
Een rechthoekig coördinatensysteem op een vlak wordt gevormd door twee onderling loodrechte coördinatenassen en O (\ displaystyle O), wat de oorsprong van coördinaten wordt genoemd, wordt op elke as de positieve richting gekozen.
Punt positie EEN (\ Displaystyle A) in het vlak wordt bepaald door twee coördinaten x (\displaystyle x) En y (\ displaystyle y). Coördineren x (\displaystyle x) gelijk aan de lengte van het segment O B, coördineren y (\ displaystyle y)- lengte van het segment O C (\ Displaystyle OC) O B En O C (\ Displaystyle OC) worden bepaald door lijnen die vanuit het punt worden getrokken EEN (\ Displaystyle A) evenwijdig aan de assen Y ′ Y (\displaystyle Y"Y) En X ′ X (\displaystyle X"X) respectievelijk.
Op dit coördinaat x (\displaystyle x) B (\ Displaystyle B) ligt op de straal (en niet op de straal O X (\ Displaystyle OX), zoals in de figuur). Coördineren y (\ displaystyle y) er wordt een minteken toegewezen als het punt C (\ Displaystyle C) ligt op de balk. Dus, O X ′ (\displaystyle OX") En O Y '(\displaystyle OY") zijn de negatieve richtingen van de coördinaatassen (elke coördinatenas wordt beschouwd als een getallenas).
As x (\displaystyle x) wordt de abscis-as genoemd, en de as y (\ displaystyle y)- ordinaatas. Coördineren x (\displaystyle x) genaamd abscis punten EEN (\ Displaystyle A), coördineren y (\ displaystyle y) - ordinaat punten EEN (\ Displaystyle A).
EEN (X, Y) (\ Displaystyle A (x, \; y)) EEN = (X, Y) (\displaystyle A=(x,\;y))of geef aan dat de coördinaten bij een specifiek punt horen met behulp van een index:
x EEN, x B (\displaystyle x_(A),x_(B))Rechthoekig coördinatensysteem in de ruimte(in deze paragraaf bedoelen we de driedimensionale ruimte, over meer multidimensionale ruimtes - zie hieronder) wordt gevormd door drie onderling loodrechte coördinaatassen O X (\ Displaystyle OX), O Y (\ displaystyle OY) En OZ (\ Displaystyle OZ). De coördinaatassen snijden elkaar in het punt O (\ displaystyle O), wat de oorsprong van coördinaten wordt genoemd, wordt op elke as een positieve richting geselecteerd, aangegeven door pijlen, en een maateenheid voor de segmenten op de assen. De meeteenheden zijn meestal (niet noodzakelijkerwijs) voor alle assen hetzelfde. O X (\ Displaystyle OX)- abscis-as, O Y (\ displaystyle OY)- ordinaatas, OZ (\ Displaystyle OZ)- applicatoras.
Punt positie EEN (\ Displaystyle A) in de ruimte wordt bepaald door drie coördinaten x (\displaystyle x), y (\ displaystyle y) En z (\displaystyle z). Coördineren x (\displaystyle x) gelijk aan de lengte van het segment O B, coördineren y (\ displaystyle y)- lengte van het segment O C (\ Displaystyle OC), coördineren z (\displaystyle z)- lengte van het segment O D (\ Displaystyle OD) in geselecteerde meeteenheden. Segmenten O B, O C (\ Displaystyle OC) En O D (\ Displaystyle OD) worden bepaald door vlakken die vanuit het punt worden getrokken EEN (\ Displaystyle A) evenwijdig aan de vlakken Y O Z (\ Displaystyle YOZ), X O Z (\ displaystyle XOZ) En X O Y (\ displaystyle XOY) respectievelijk.
Coördineren x (\displaystyle x) de abscis van het punt genoemd EEN (\ Displaystyle A), coördineren y (\ displaystyle y)- ordinaat van het punt EEN (\ Displaystyle A), coördineren z (\displaystyle z)- toepassingspunt EEN (\ Displaystyle A).
Symbolisch wordt het als volgt geschreven:
EEN (X, Y, z) (\ Displaystyle A (x, \; y, \; z)) EEN = (X, Y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))of koppel een coördinatenrecord aan een specifiek punt met behulp van een index:
x EEN , y EEN , z EEN (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))Elke as wordt beschouwd als een getallenlijn, d.w.z. hij heeft een positieve richting, en punten die op een negatieve straal liggen, krijgen negatieve coördinaatwaarden toegewezen (de afstand wordt genomen met een minteken). Dat wil zeggen, als het bijvoorbeeld punt is B (\ Displaystyle B) lag niet zoals op de foto - op de balk O X (\ Displaystyle OX), en over de voortzetting ervan in de tegenovergestelde richting van het punt O (\ displaystyle O)(op het negatieve deel van de as O X (\ Displaystyle OX)), en vervolgens de abscis x (\displaystyle x) punten EEN (\ Displaystyle A) negatief zou zijn (minus de afstand O B). Hetzelfde geldt voor de andere twee assen.
Alle rechthoekige coördinatensystemen in de driedimensionale ruimte zijn verdeeld in twee klassen: rechten(termen worden ook gebruikt positief, standaard) En links. Meestal proberen ze standaard rechtshandige coördinatensystemen te gebruiken, en wanneer ze deze grafisch weergeven, plaatsen ze ze, indien mogelijk, ook in een van de vele gebruikelijke (traditionele) posities. (Figuur 2 toont een rechtshandig coördinatensysteem.) Het is onmogelijk om de rechter en linker coördinatensystemen door rotatie te combineren, zodat de overeenkomstige assen (en hun richtingen) samenvallen. Het is mogelijk om te bepalen tot welke klasse een bepaald coördinatensysteem behoort met behulp van de rechterhandregel, de schroefregel, enz. (de positieve richting van de assen wordt zo gekozen dat wanneer de as wordt geroteerd O X (\ Displaystyle OX) tegen de klok in, 90°, valt de positieve richting ervan samen met de positieve richting van de as O Y (\ displaystyle OY), als deze rotatie wordt waargenomen vanuit de positieve richting van de as OZ (\ Displaystyle OZ)).
Rechthoekig coördinatensysteem in multidimensionale ruimte
Het rechthoekige coördinatensysteem kan worden gebruikt in een ruimte met elke eindige afmeting, op dezelfde manier als voor de driedimensionale ruimte. Het aantal coördinaatassen is gelijk aan de dimensie van de ruimte (in deze sectie zullen we dit aangeven N).
Om coördinaten aan te duiden, gebruiken ze meestal geen verschillende letters, maar dezelfde letter met een numerieke index. Meestal is dit:
x 1, x 2, x 3, … x n.(\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).) Om willekeurig aan te duiden i
De th-coördinaten uit deze set gebruiken een letterindex: en vaak de aanduiding X ik , (\displaystyle x_(i),) wordt ook gebruikt om de hele set aan te duiden, wat impliceert dat de index door de hele set waarden loopt:.
ik = 1, 2, 3, ... n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n)
In elke dimensie van de ruimte zijn rechthoekige coördinatensystemen verdeeld in twee klassen, rechts en links (of positief en negatief). Voor multidimensionale ruimtes wordt een van de coördinatensystemen willekeurig (conventioneel) rechtshandig genoemd, en de rest is rechtshandig of linkshandig, afhankelijk van of ze dezelfde oriëntatie hebben of niet.
Rechthoekige vectorcoördinaten Om rechthoekig te definiëren vectorcoördinaten
(van toepassing op het weergeven van vectoren van elke dimensie) kunnen we uitgaan van het feit dat de coördinaten van een vector (gericht segment), waarvan het begin aan de oorsprong van de coördinaten ligt, samenvallen met de coördinaten van zijn einde.
- Voor vectoren (gerichte segmenten) waarvan de oorsprong niet samenvalt met de oorsprong van coördinaten, kunnen rechthoekige coördinaten op twee manieren worden bepaald:
- De vector kan zo worden verplaatst dat zijn oorsprong samenvalt met de oorsprong van coördinaten). Vervolgens worden de coördinaten bepaald op de manier die aan het begin van de paragraaf is beschreven: de coördinaten van een vector die zo is vertaald dat zijn oorsprong samenvalt met de oorsprong van de coördinaten, zijn de coördinaten van zijn einde.
- In plaats daarvan kunt u eenvoudigweg de coördinaten van het begin aftrekken van de coördinaten van het einde van de vector (gericht segment).
Voor rechthoekige coördinaten valt het concept van een vectorcoördinaat samen met het concept van een orthogonale projectie van een vector op de richting van de overeenkomstige coördinatenas.
- Alle bewerkingen op vectoren zijn heel eenvoudig geschreven in rechthoekige coördinaten:
(een λ) ik = een ik λ . N(\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda)).)
(Dit geldt voor elke dimensie en zelfs, vergelijkbaar met rechthoekige, voor schuine coördinaten).een ⋅ b = een 1 b 1 + een 2 b 2 + een 3 b 3 + ⋯ + een n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\punten +a_(n)b_(n))
- een ⋅ b = ∑ ik = 1 n een ik b ik , (\ Displaystyle \ mathbf (a) \ cdot \ mathbf (b) = \ som \ limieten _ (i = 1) ^ (n) a_ (i) b_ (i),)
- een | = een ⋅ een (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a))))
en de hoek tussen de vectoren, ∠ (een, b) = een r c o s een ⋅ b | En een |.
⋅ | b |, (\displaystyle \hoek ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b))(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |))) En En k (\ Displaystyle \ mathbf (k) ) e X (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (x)), e y (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (y)) En e z (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (z)) Pijlsymbolen (
ik → (\displaystyle (\vec (i)))
Voor dimensies groter dan 3 (of voor het algemene geval, wanneer de dimensie willekeurig kan zijn), meestal voor eenheidsvectoren, wordt in plaats daarvan notatie met numerieke indices gebruikt. Vaak is dit
e 1 , e 2 , e 3 , ... e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)Waar N- dimensie van de ruimte.
Een vector van welke dimensie dan ook wordt uitgebreid volgens zijn basis (de coördinaten dienen als uitzettingscoëfficiënten):
een = een 1 e 1 + een 2 e 2 + een 3 e 3 + ⋯ + een n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) een = ∑ ik = 1 n een ik e ik , (\displaystyle \mathbf (a) =\som \limieten _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat zijn werken werden echter voor het eerst gepubliceerd na zijn dood. Descartes en Fermat gebruikten de coördinatenmethode alleen op het vlak.De coördinatenmethode voor de driedimensionale ruimte werd al in de 18e eeuw voor het eerst gebruikt door Leonhard Euler. Het gebruik van orts dateert blijkbaar uit
Als u zich op een nulpunt bevindt en erover nadenkt hoeveel afstandseenheden u rechtdoor moet gaan en dan rechtdoor naar rechts om op een ander punt te komen, dan gebruikt u al een rechthoekig cartesiaans coördinatensysteem in het vlak. En als het punt zich boven het vlak bevindt waarop u zich bevindt, en u voegt aan uw berekeningen een stijging toe aan het punt langs de trap, strikt naar boven, ook met een bepaald aantal afstandseenheden, dan gebruikt u al een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem in ruimte.
Een geordend systeem van twee of drie elkaar snijdende assen loodrecht op elkaar met een gemeenschappelijke oorsprong (oorsprong van coördinaten) en een gemeenschappelijke lengte-eenheid wordt genoemd rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem .
De naam van de Franse wiskundige René Descartes (1596-1662) wordt vooral geassocieerd met een coördinatensysteem waarin op alle assen een gemeenschappelijke lengte-eenheid wordt gemeten en de assen recht zijn. Naast de rechthoekige is er algemeen cartesiaans coördinatensysteem (affiene coördinatensysteem). Het kan ook assen omvatten die niet noodzakelijkerwijs loodrecht staan. Als de assen loodrecht staan, is het coördinatensysteem rechthoekig.
Rechthoekig cartesiaans coördinatensysteem op een vlak heeft twee assen en rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem in de ruimte - drie assen. Elk punt op een vlak of in de ruimte wordt gedefinieerd door een geordende reeks coördinaten - getallen die overeenkomen met de lengte-eenheid van het coördinatensysteem.
Merk op dat er, zoals uit de definitie volgt, een Cartesisch coördinatensysteem bestaat op een rechte lijn, dat wil zeggen in één dimensie. De introductie van cartesiaanse coördinaten op een lijn is een van de manieren waarop elk punt op een lijn wordt geassocieerd met een goed gedefinieerd reëel getal, dat wil zeggen een coördinaat.
De coördinatenmethode, die ontstond in de werken van René Descartes, markeerde een revolutionaire herstructurering van alle wiskunde. Het werd mogelijk om algebraïsche vergelijkingen (of ongelijkheden) te interpreteren in de vorm van geometrische afbeeldingen (grafieken) en, omgekeerd, om oplossingen voor geometrische problemen te zoeken met behulp van analytische formules en stelsels van vergelijkingen. Ja, ongelijkheid z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOj en bevindt zich boven dit vlak met 3 eenheden.
Met behulp van het Cartesiaanse coördinatensysteem komt het lidmaatschap van een punt op een bepaalde curve overeen met het feit dat de getallen X En j aan een bepaalde vergelijking voldoen. Dus de coördinaten van een punt op een cirkel met een middelpunt op een bepaald punt ( A; B) voldoen aan de vergelijking (X - A)² + ( j - B)² = R² .
Rechthoekig cartesiaans coördinatensysteem op een vlak
Twee loodrechte assen op een vlak met een gemeenschappelijke oorsprong en dezelfde schaaleenheidsvorm Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem op het vlak . Eén van deze assen wordt de as genoemd Os, of x-as , de andere - de as Oei, of y-as . Deze assen worden ook wel coördinaatassen genoemd. Laten we aanduiden met MX En Mj respectievelijk de projectie van een willekeurig punt M op de as Os En Oei. Hoe projecties verkrijgen? Laten we het punt doornemen M Os. Deze rechte lijn snijdt de as Os op het punt MX. Laten we het punt doornemen M rechte lijn loodrecht op de as Oei. Deze rechte lijn snijdt de as Oei op het punt Mj. Dit wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.
X En j punten M we zullen de waarden van de gerichte segmenten dienovereenkomstig noemen OMX En OMj. De waarden van deze gerichte segmenten worden dienovereenkomstig berekend als X = X0 - 0 En j = j0 - 0 . Cartesische coördinaten X En j punten M abscis En ordinaat . Het feit dat het punt M heeft coördinaten X En j, wordt als volgt aangegeven: M(X, j) .
Coördinaatassen verdelen het vlak in vier kwadrant , waarvan de nummering wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding. Het toont ook de rangschikking van tekens voor de coördinaten van punten, afhankelijk van hun locatie in een bepaald kwadrant.
Naast cartesiaanse rechthoekige coördinaten op een vlak wordt ook vaak gekeken naar het polaire coördinatensysteem. Over de methode van overgang van het ene coördinatensysteem naar het andere - in de les polair coördinatensysteem .
Rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem in de ruimte
Cartesiaanse coördinaten in de ruimte worden geïntroduceerd in volledige analogie met Cartesiaanse coördinaten in het vlak.
Drie onderling loodrechte assen in de ruimte (coördinaatassen) met een gemeenschappelijke oorsprong O en met dezelfde schaaleenheid vormen ze Cartesisch rechthoekig coördinatensysteem in de ruimte .
Eén van deze assen wordt een as genoemd Os, of x-as , de andere - de as Oei, of y-as , de derde - as Oz, of as van toepassing . Laten MX, Mj Mz- projecties van een willekeurig punt M ruimte op de as Os , Oei een | Oz respectievelijk.
Laten we het punt doornemen M OsOs op het punt MX. Laten we het punt doornemen M vlak loodrecht op de as Oei. Dit vlak snijdt de as Oei op het punt Mj. Laten we het punt doornemen M vlak loodrecht op de as Oz. Dit vlak snijdt de as Oz op het punt Mz.
Cartesische rechthoekige coördinaten X , j een | z punten M we zullen de waarden van de gerichte segmenten dienovereenkomstig noemen OMX, OMj En OMz. De waarden van deze gerichte segmenten worden dienovereenkomstig berekend als X = X0 - 0 , j = j0 - 0 En z = z0 - 0 .
Cartesische coördinaten X , j een | z punten M worden dienovereenkomstig genoemd abscis , ordinaat En toepassen .
Coördinaatassen die in paren zijn genomen, bevinden zich in coördinaatvlakken xOj , jOz een | zOx .
Problemen met punten in een cartesiaans coördinatensysteem
Voorbeeld 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Zoek de coördinaten van de projecties van deze punten op de abscis-as.
Oplossing. Zoals uit het theoretische deel van deze les volgt, bevindt de projectie van een punt op de abscis-as zich op de abscis-as zelf, dat wil zeggen de as Os, en heeft daarom een abscis die gelijk is aan de abscis van het punt zelf, en een ordinaat (coördinaat op de as Oei, die de x-as snijdt in punt 0), wat gelijk is aan nul. We krijgen dus de volgende coördinaten van deze punten op de x-as:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Voorbeeld 2. In het Cartesiaanse coördinatensysteem worden punten op het vlak gegeven
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Zoek de coördinaten van de projecties van deze punten op de ordinaat.
Oplossing. Zoals uit het theoretische deel van deze les volgt, bevindt de projectie van een punt op de ordinaat-as zich op de ordinaat-as zelf, dat wil zeggen de as Oei, en heeft daarom een ordinaat gelijk aan de ordinaat van het punt zelf, en een abscis (coördinaat op de as Os, die de ordinaat-as snijdt in punt 0), wat gelijk is aan nul. We krijgen dus de volgende coördinaten van deze punten op de ordinaatas:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Voorbeeld 3. In het Cartesiaanse coördinatensysteem worden punten op het vlak gegeven
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Os .
Os Os Os, zal dezelfde abscis hebben als het gegeven punt, en een ordinaat die in absolute waarde gelijk is aan de ordinaat van het gegeven punt, en tegengesteld van teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de as Os :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Voorbeeld 4. Bepaal in welke kwadranten (kwartieren, tekenen met kwadranten - aan het einde van de paragraaf “Rechthoekig Cartesiaans coördinatensysteem op een vlak”) een punt kan liggen M(X; j) , Als
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − j = 0 ;
4) X + j = 0 ;
5) X + j > 0 ;
6) X + j < 0 ;
7) X − j > 0 ;
8) X − j < 0 .
Voorbeeld 5. In het Cartesiaanse coördinatensysteem worden punten op het vlak gegeven
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(A; B) .
Zoek de coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de as Oei .
Laten we samen problemen blijven oplossen
Voorbeeld 6. In het Cartesiaanse coördinatensysteem worden punten op het vlak gegeven
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Zoek de coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de as Oei .
Oplossing. Draai 180 graden rond de as Oei richtingssegment vanaf de as Oei tot op dit punt. In de figuur, waar de kwadranten van het vlak zijn aangegeven, zien we dat het punt symmetrisch is ten opzichte van het gegeven punt ten opzichte van de as Oei, zal dezelfde ordinaat hebben als het gegeven punt, en een abscis die in absolute waarde gelijk is aan de abscis van het gegeven punt en tegengesteld van teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de as Oei :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Voorbeeld 7. In het Cartesiaanse coördinatensysteem worden punten op het vlak gegeven
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Zoek de coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de oorsprong.
Oplossing. We roteren het gerichte segment dat van de oorsprong naar het gegeven punt gaat, 180 graden rond de oorsprong. In de figuur, waar de kwadranten van het vlak zijn aangegeven, zien we dat een punt dat symmetrisch is met het gegeven punt ten opzichte van de oorsprong van de coördinaten een abscis en ordinaat zal hebben die in absolute waarde gelijk zijn aan de abscis en ordinaat van het gegeven punt, maar tegenovergesteld in teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van deze punten ten opzichte van de oorsprong:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Voorbeeld 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Zoek de coördinaten van de projecties van deze punten:
1) in een vliegtuig Oxy ;
2) in een vliegtuig Oxz ;
3) naar het vliegtuig Oez ;
4) op de abscis-as;
5) op de ordinaat;
6) op de toepassingsas.
1) Projectie van een punt op een vlak Oxy bevindt zich op dit vlak zelf, en heeft daarom een abscis en ordinaat gelijk aan de abscis en ordinaat van een bepaald punt, en een toepassing gelijk aan nul. We krijgen dus de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projectie van een punt op een vlak Oxz bevindt zich op dit vlak zelf, en heeft daarom een abscis en toepassing die gelijk is aan de abscis en toepassing van een bepaald punt, en een ordinaat gelijk aan nul. We krijgen dus de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Projectie van een punt op een vlak Oez bevindt zich op dit vlak zelf, en heeft daarom een ordinaat en toepassing gelijk aan de ordinaat en toepassing van een bepaald punt, en een abscis gelijk aan nul. We krijgen dus de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op Oez :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Zoals uit het theoretische deel van deze les volgt, bevindt de projectie van een punt op de abscis-as zich op de abscis-as zelf, dat wil zeggen de as Os, en heeft daarom een abscis die gelijk is aan de abscis van het punt zelf, en de ordinaat en applicate van de projectie zijn gelijk aan nul (aangezien de ordinaat- en applicate-as de abscis snijden op punt 0). We verkrijgen de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op de abscis-as:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) De projectie van een punt op de ordinaat-as bevindt zich op de ordinaat-as zelf, dat wil zeggen de as Oei, en heeft daarom een ordinaat gelijk aan de ordinaat van het punt zelf, en de abscis en applicate van de projectie zijn gelijk aan nul (aangezien de abscis en applicate-assen de ordinaatas snijden op punt 0). We verkrijgen de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op de ordinaat:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) De projectie van een punt op de applicatie-as bevindt zich op de applicatie-as zelf, dat wil zeggen de as Oz, en heeft daarom een toepassing die gelijk is aan de toepassing van het punt zelf, en de abscis en de ordinaat van de projectie zijn gelijk aan nul (aangezien de abscis en de ordinaat-assen de toepassingsas snijden op punt 0). We verkrijgen de volgende coördinaten van de projecties van deze punten op de toepassingsas:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Voorbeeld 9. In het cartesiaanse coördinatensysteem worden punten in de ruimte gegeven
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Vind de coördinaten van punten die symmetrisch zijn met deze punten ten opzichte van:
1) vliegtuig Oxy ;
2) vliegtuigen Oxz ;
3) vliegtuigen Oez ;
4) abscis-assen;
5) ordinaatassen;
6) toepassingsassen;
7) oorsprong van coördinaten.
1) “Verplaats” het punt naar de andere kant van de as Oxy Oxy, zal een abscis en ordinaat hebben die gelijk zijn aan de abscis en ordinaat van een bepaald punt, en een applicaat dat in grootte gelijk is aan het aplicate van een bepaald punt, maar tegengesteld van teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van het vlak Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) “Verplaats” het punt naar de andere kant van de as Oxz naar dezelfde afstand. Uit de figuur die de coördinatenruimte weergeeft, zien we dat een punt symmetrisch is ten opzichte van een gegeven punt ten opzichte van de as Oxz, zal een abscis en toepassing hebben die gelijk is aan de abscis en toepassing van een bepaald punt, en een ordinaat die in grootte gelijk is aan de ordinaat van een bepaald punt, maar tegengesteld van teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van het vlak Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) “Verplaats” het punt naar de andere kant van de as Oez naar dezelfde afstand. Uit de figuur die de coördinatenruimte weergeeft, zien we dat een punt symmetrisch is ten opzichte van een gegeven punt ten opzichte van de as Oez, zal een ordinaat en een aplicate hebben die gelijk zijn aan de ordinaat en een aplicate van een bepaald punt, en een abscis die in waarde gelijk is aan de abscis van een bepaald punt, maar tegengesteld van teken. We krijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van het vlak Oez :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Naar analogie met symmetrische punten op een vlak en punten in de ruimte die symmetrisch zijn ten opzichte van gegevens ten opzichte van vlakken, merken we op dat in het geval van symmetrie ten opzichte van een as van het cartesiaanse coördinatensysteem in de ruimte, de coördinaat op de as ten opzichte van waarvan de symmetrie is gegeven, zal zijn teken behouden, en de coördinaten op de andere twee assen zullen in absolute waarde hetzelfde zijn als de coördinaten van een bepaald punt, maar tegengesteld in teken.
4) De abscis behoudt zijn teken, maar de ordinaat en applicate zullen van teken veranderen. We verkrijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van de abscis-as:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) De ordinaat behoudt zijn teken, maar de abscis en applicate veranderen van teken. We verkrijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van de ordinaatas:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) De applicatie behoudt zijn teken, maar de abscis en ordinaat zullen van teken veranderen. We verkrijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van de toegepaste as:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Naar analogie met symmetrie in het geval van punten op een vlak, in het geval van symmetrie rond de oorsprong van coördinaten, zullen alle coördinaten van een punt dat symmetrisch is met een gegeven punt in absolute waarde gelijk zijn aan de coördinaten van een bepaald punt, maar tegengesteld in teken. We verkrijgen dus de volgende coördinaten van punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de gegevens ten opzichte van de oorsprong.
Het bepalen van de positie van een punt in de ruimte
De positie van een punt in de ruimte kan dus alleen worden bepaald in relatie tot enkele andere punten. Het punt ten opzichte waarvan de positie van andere punten wordt beschouwd, wordt genoemd referentiepunt . We zullen ook een andere naam gebruiken voor het referentiepunt - observatiepunt . Meestal wordt er een referentiepunt (of een observatiepunt) aan gekoppeld coördinatensysteem , die wordt genoemd referentiesysteem. In het geselecteerde referentiesysteem wordt de positie van ELK punt bepaald door DRIE coördinaten.
Rechts Cartesiaans (of rechthoekig) coördinatensysteem
Dit coördinatensysteem bestaat uit drie onderling loodrecht gerichte lijnen, ook wel genoemd coördinaatassen , die elkaar op één punt kruisen (oorsprong). Het oorsprongspunt wordt meestal aangegeven met de letter O.
De coördinaatassen heten:
1. Abcis-as – aangeduid als OX;
2. Y-as – aangegeven als OY;
3. Toepassingsas – aangeduid als OZ
Laten we nu uitleggen waarom dit coördinatensysteem rechtshandig wordt genoemd. Laten we het XOY-vlak bekijken vanuit de positieve richting van de OZ-as, bijvoorbeeld vanuit punt A, zoals weergegeven in de afbeelding.
Laten we aannemen dat we de OX-as rond punt O beginnen te draaien. Dus - het juiste coördinatensysteem heeft zo'n eigenschap dat als je vanuit elk punt op de positieve halve as OZ naar het XOY-vlak kijkt (voor ons is dit punt A) Wanneer dan de OX-as 90 graden tegen de klok in wordt gedraaid, zal de positieve richting ervan samenvallen met de positieve richting van de OY-as.
Deze beslissing is genomen in de wetenschappelijke wereld, maar we kunnen het alleen maar accepteren zoals het is.
Dus nadat we het referentiesysteem hebben gekozen (in ons geval het rechter Cartesiaanse coördinatensysteem), wordt de positie van elk punt beschreven door de waarden van zijn coördinaten of, met andere woorden, door de waarden van de projecties van dit punt op de coördinaatassen.
Het wordt als volgt geschreven: A(x, y, z), waarbij x, y, z de coördinaten zijn van punt A.
Een rechthoekig coördinatensysteem kan worden gezien als de snijlijnen van drie onderling loodrechte vlakken.
Opgemerkt moet worden dat u een rechthoekig coördinatensysteem op elke gewenste manier in de ruimte kunt oriënteren, en dat er aan slechts één voorwaarde moet worden voldaan: de oorsprong van de coördinaten moet samenvallen met het referentiecentrum (of observatiepunt).
Sferisch coördinatensysteem
De positie van een punt in de ruimte kan op een andere manier worden beschreven. Laten we aannemen dat we een gebied in de ruimte hebben gekozen waarin het referentiepunt O (of observatiepunt) zich bevindt, en we weten ook de afstand van het referentiepunt tot een bepaald punt A. Laten we deze twee punten verbinden met een rechte lijn OA . Deze lijn heet straal vector en wordt aangeduid als R. Alle punten met dezelfde straalvectorwaarde liggen op een bol, waarvan het middelpunt zich op het referentiepunt (of observatiepunt) bevindt, en de straal van deze bol is respectievelijk gelijk aan de straalvector.
Het wordt ons dus duidelijk dat het kennen van de waarde van de straalvector ons geen ondubbelzinnig antwoord geeft over de positie van het voor ons interessante punt. Je hebt nog TWEE coördinaten nodig, want om de locatie van een punt ondubbelzinnig te bepalen, moet het aantal coördinaten DRIE zijn.
Vervolgens gaan we als volgt te werk: we construeren twee onderling loodrechte vlakken, die uiteraard een snijlijn opleveren, en deze lijn zal oneindig zijn, omdat de vlakken zelf door niets worden beperkt. Laten we een punt op deze lijn plaatsen en dit bijvoorbeeld punt O1 noemen. Laten we nu dit punt O1 combineren met het middelpunt van de bol – punt O, en kijken wat er gebeurt?
En het blijkt een heel interessant beeld:
· Zowel het ene als het andere vliegtuig zal dat zijn centraal vliegtuigen.
· Het snijpunt van deze vlakken met het oppervlak van de bol wordt aangegeven met groot cirkels
· Een van deze cirkels - willekeurig zullen we bellen EVENAAR, dan wordt de andere cirkel gebeld HOOFDMERIDIAAN.
· De snijlijn van twee vlakken zal op unieke wijze de richting bepalen LIJNEN VAN DE HOOFDMERIDIAAN.
De snijpunten van de lijn van de hoofdmeridiaan met het oppervlak van de bol duiden we aan als M1 en M2
Door het middelpunt van de bol, punt O in het vlak van de hoofdmeridiaan, trekken we een rechte lijn loodrecht op de lijn van de hoofdmeridiaan. Deze rechte lijn wordt genoemd POLAIRE AS.
De poolas zal het oppervlak van de bol snijden op twee punten POLEN VAN HET GEBIED. Laten we deze punten aanduiden als P1 en P2.
Het bepalen van de coördinaten van een punt in de ruimte
Laten we nu eens kijken naar het proces van het bepalen van de coördinaten van een punt in de ruimte, en ook een naam geven aan deze coördinaten. Om het beeld compleet te maken, geven we bij het bepalen van de positie van een punt de hoofdrichtingen aan van waaruit de coördinaten worden geteld, evenals de positieve richting bij het tellen.
1. Stel de positie in de ruimte van het referentiepunt (of observatiepunt) in. Laten we dit punt aanduiden met de letter O.
2. Construeer een bol waarvan de straal gelijk is aan de lengte van de straalvector van punt A. (De straalvector van punt A is de afstand tussen de punten O en A). Het middelpunt van de bol bevindt zich op het referentiepunt O.
3. We bepalen de positie in de ruimte van het EQUATOR-vlak, en dienovereenkomstig het vlak van de HOOFDMERIDIAAN. Er moet aan worden herinnerd dat deze vlakken onderling loodrecht staan en centraal staan.
4. Het snijpunt van deze vlakken met het oppervlak van de bol bepaalt voor ons de positie van de cirkel van de evenaar, de cirkel van de hoofdmeridiaan, evenals de richting van de lijn van de hoofdmeridiaan en de poolas.
5. Bepaal de positie van de polen van de poolas en de polen van de hoofdmeridiaanlijn. (De polen van de poolas zijn de snijpunten van de poolas met het oppervlak van de bol. De polen van de lijn van de hoofdmeridiaan zijn de snijpunten van de lijn van de hoofdmeridiaan met het oppervlak van de bol ).
6. Door punt A en de poolas construeren we een vlak, dat we het vlak van de meridiaan van punt A zullen noemen. Wanneer dit vlak het oppervlak van de bol snijdt, ontstaat een grote cirkel, die we de MERIDIAN van punt A.
7. De meridiaan van punt A zal op een gegeven moment de cirkel van de EQUATOR snijden, die we zullen aanduiden als E1
8. De positie van punt E1 op de equatoriale cirkel wordt bepaald door de lengte van de boog tussen de punten M1 en E1. Het aftellen is tegen de klok in. De boog van de equatoriale cirkel, ingesloten tussen de punten M1 en E1, wordt de LENGTEGRAAD van punt A genoemd. De lengtegraad wordt aangegeven met de letter .
Laten we de tussenresultaten samenvatten. Op dit moment kennen we TWEE van de DRIE coördinaten die de positie van punt A in de ruimte beschrijven - dit zijn de straalvector (r) en de lengtegraad (). Nu gaan we de derde coördinaat bepalen. Deze coördinaat wordt bepaald door de positie van punt A op zijn meridiaan. Maar de positie van het startpunt van waaruit het tellen plaatsvindt, is niet duidelijk gedefinieerd: we kunnen beginnen met tellen zowel vanaf de pool van de bol (punt P1) als vanaf punt E1, dat wil zeggen vanaf het snijpunt van de meridiaanlijnen van punt A en de evenaar (of met andere woorden - vanaf de evenaarlijn).
In het eerste geval wordt de positie van punt A op de meridiaan POLAR DISTANCE genoemd (aangeduid als R) en wordt bepaald door de lengte van de boog tussen punt P1 (of het poolpunt van de bol) en punt A. Het tellen wordt uitgevoerd langs de meridiaanlijn van punt P1 naar punt A.
In het tweede geval, wanneer wordt afgeteld vanaf de evenaarlijn, wordt de positie van punt A op de meridiaanlijn LATITUDE genoemd (aangeduid als en wordt bepaald door de lengte van de boog tussen punt E1 en punt A.
Nu kunnen we eindelijk zeggen dat de positie van punt A in een bolvormig coördinatensysteem wordt bepaald door:
· bolradiuslengte (r),
lengte van de lengteboog (),
booglengte van polaire afstand (p)
In dit geval worden de coördinaten van punt A als volgt geschreven: A(r, , p)
Als we een ander referentiesysteem gebruiken, wordt de positie van punt A in het bolcoördinatensysteem bepaald door:
· bolradiuslengte (r),
lengte van de lengteboog (),
· booglengte van de breedtegraad ()
In dit geval worden de coördinaten van punt A als volgt geschreven: A(r, , )
Methoden voor het meten van bogen
De vraag rijst: hoe meten we deze bogen? De eenvoudigste en meest natuurlijke manier is om de lengtes van de bogen rechtstreeks te meten met een flexibele liniaal, en dit is mogelijk als de grootte van de bol vergelijkbaar is met de grootte van een persoon. Maar wat te doen als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan?
In dit geval zullen we onze toevlucht nemen tot het meten van de RELATIEVE booglengte. Wij nemen de omtrek als standaard, deel dat is de boog waarin we geïnteresseerd zijn. Hoe kan dit gedaan worden?
Om te bepalen De posities van punten in de geodesie gebruiken ruimtelijke rechthoekige, geodetische en vlakke rechthoekige coördinaten.
Ruimtelijke rechthoekige coördinaten. De oorsprong van het coördinatensysteem bevindt zich in het midden O ellipsoïde van de aarde(Afb. 2.2).
As Z gericht langs de rotatieas van de ellipsoïde naar het noorden. As X ligt op het snijpunt van het equatoriale vlak met de initiële meridiaan van Greenwich. As Y loodrecht op de assen gericht Z En X naar het oosten.
Geodetische coördinaten. De geodetische coördinaten van een punt zijn de breedtegraad, lengtegraad en hoogte (Fig. 2.2).
Geodetische breedtegraad punten M een hoek genoemd IN, gevormd door de normaal op het oppervlak van de ellipsoïde die door een bepaald punt en het equatoriale vlak gaat.
De breedtegraad wordt gemeten vanaf de evenaar, noord en zuid, van 0° tot 90°, en wordt noord of zuid genoemd. De noordelijke breedtegraad wordt als positief beschouwd en de zuidelijke breedtegraad als negatief.
Doorsnedevlakken van een ellipsoïde die door de as gaan OZ, worden genoemd geodetische meridianen.
Geodetische lengtegraad punten M tweevlakshoek genoemd L, gevormd door de vlakken van de initiële (Greenwich) geodetische meridiaan en de geodetische meridiaan van een bepaald punt.
Lengtegraden worden gemeten vanaf de nulmeridiaan in het bereik van 0° tot 360° oost, of van 0° tot 180° oost (positief) en van 0° tot 180° west (negatief).
Geodetische hoogte punten M is de hoogte N boven het oppervlak van de ellipsoïde van de aarde.
Geodetische coördinaten en ruimtelijke rechthoekige coördinaten zijn gerelateerd aan de formules
X=(N+H) omdat B want L,
J=(N+H) omdat B zonde L,
Z=[(1- e2)N+H]zonde B,
Waar e- eerste excentriciteit van de meridiaan-ellips en N-krommingsstraal van de eerste verticaal. In dit geval N=a/(1 - e 2 zonde 2 B) 1/2 .
Geodetisch en ruimtelijk rechthoekige coördinaten van punten worden bepaald met behulp van satellietmetingen, maar ook door ze te koppelen met geodetische metingen aan punten met bekende coördinaten.
Merk op dat samen met Naast geodeten zijn er ook astronomische lengte- en breedtegraden. Astronomische breedtegraad j is de hoek die de loodlijn op een bepaald punt maakt met het vlak van de evenaar. Astronomische lengtegraad l is de hoek tussen de vlakken van de meridiaan van Greenwich en de astronomische meridiaan die op een bepaald punt door het loodlijn gaat. Astronomische coördinaten worden op de grond bepaald op basis van astronomische waarnemingen.
Astronomische coördinaten verschillen van geodeten omdat de richtingen van de loodlijnen niet samenvallen met de richtingen van de normalen naar het oppervlak van de ellipsoïde. De hoek tussen de richting van de normaal op het oppervlak van de ellipsoïde en het loodlijn op een bepaald punt op het aardoppervlak wordt genoemd afwijking van de loodlijn.
Een generalisatie van geodetische en astronomische coördinaten is de term - geografische coördinaten.
Vlakke rechthoekige coördinaten. Om problemen van technische geodesie op te lossen, gaan ze van ruimtelijke en geodetische coördinaten naar eenvoudigere - platte coördinaten, die het mogelijk maken om het terrein in een vlak weer te geven en de positie van punten te bepalen met behulp van twee coördinaten X En bij.
Sinds het bolle oppervlak van de aarde kan niet op een vlak worden afgebeeld zonder vervorming; het invoeren van vlakcoördinaten is alleen mogelijk in beperkte gebieden waar de vervormingen zo klein zijn dat ze kunnen worden verwaarloosd. In Rusland is een systeem van rechthoekige coördinaten aangenomen, waarvan de basis een gelijkhoekige transversale cilindrische is Gaussische projectie. Het oppervlak van een ellipsoïde wordt in een vlak weergegeven in delen die zones worden genoemd. De zones zijn bolvormige driehoeken, begrensd door meridianen, en strekken zich uit van de noordpool naar het zuiden (Fig. 2.3). De grootte van de zone in lengtegraad is 6°. De centrale meridiaan van elke zone wordt de axiale meridiaan genoemd. De zones zijn genummerd van Greenwich naar het oosten.
De lengtegraad van de axiale meridiaan van de zone met nummer N is gelijk aan:
l0 = 6°× N - 3°.
De axiale meridiaan van de zone en de evenaar worden in het vlak weergegeven door rechte lijnen (Fig. 2.4). De axiale meridiaan wordt als de abscis-as genomen X, en de evenaar bevindt zich achter de ordinaat j. Hun snijpunt (punt O) dient als de oorsprong van de coördinaten voor deze zone.
Om te vermijden negatieve ordinaatwaarden worden de snijpuntcoördinaten gelijk genomen X 0 = 0, j 0 = 500 km, wat overeenkomt met asverplaatsing X 500 km westwaarts.
Zodat men aan de hand van de rechthoekige coördinaten van een punt kan beoordelen in welke zone het zich bevindt, tot aan de ordinaat j het nummer van de coördinatenzone wordt aan de linkerkant toegewezen.
Laten we bijvoorbeeld de coördinaten van een punt noemen A hebben de vorm:
x EEN= 6.276.427 meter
y A= 12.428.566 meter
Deze coördinaten geven aan dat is het punt A ligt op een afstand van 6276427 m van de evenaar, in het westelijke deel ( j < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
Voor ruimtelijke rechthoekig, geodetische en platte rechthoekige coördinaten in Rusland, is een verenigd coördinatensysteem SK-95 aangenomen, op de grond vastgelegd door punten van het geodetische staatsnetwerk en gebouwd volgens satelliet- en grondmetingen vanaf 1995.
Lokale rechthoekige coördinatensystemen. Tijdens de constructie van verschillende objecten wordt vaak gebruik gemaakt van lokale (voorwaardelijke) coördinatensystemen, waarbij de richtingen van de assen en de oorsprong van coördinaten worden toegewezen op basis van het gebruiksgemak ervan tijdens de constructie en de daaropvolgende bediening van het object.
Dus, bij het fotograferen as van het treinstation bij zijn gericht langs de as van de hoofdspoorlijn in de richting van toenemende piketage, en de as X- langs de as van het passagiersstationgebouw.
Tijdens de bouw brug kruisende as X meestal gecombineerd met de as van de brug en de as j gaat in een loodrechte richting.
Tijdens de bouw grote industriële en civiele Axis-faciliteiten X En j parallel gericht aan de assen van gebouwen in aanbouw.
Laden...
