Een van de concepten in de algebra van groep 7 zijn numerieke uitdrukkingen. Ze worden gebruikt om problemen op te lossen. Wat zijn numerieke uitdrukkingen en hoe gebruik je ze?
Definitie van het concept
Welke uitdrukking is een getaluitdrukking in de algebra? Dit is hoe ze een record aanduiden dat bestaat uit cijfers, haakjes en tekens voor aftrekken, vermenigvuldigen, delen en optellen.
Het concept van een numerieke uitdrukking is alleen toegestaan als de invoer een semantische lading heeft. De invoer 4-) is bijvoorbeeld geen numerieke uitdrukking omdat deze betekenisloos is.
Voorbeelden numerieke uitdrukkingen:
- 25x13;
- 32-4+8;
- 12x(25-5).
Kenmerken van het concept
Een numerieke uitdrukking heeft verschillende eigenschappen die worden gebruikt bij het oplossen van voorbeelden en problemen. Laten we deze eigenschappen in meer detail bekijken. Laten we hiervoor het volgende voorbeeld nemen: 45+21-(6x2).
Betekenis
Omdat een numerieke uitdrukking tekens van verschillende rekenkundige bewerkingen bevat, kunnen deze worden uitgevoerd en zal het resultaat een getal zijn. Dit wordt de waarde van een numerieke uitdrukking genoemd. Hoe worden de waarden van een numerieke uitdrukking berekend? Het komt overeen met de regels voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen:
- voer in uitdrukkingen zonder haakjes acties uit vanaf de hoogste niveaus: vermenigvuldigen, delen, optellen, aftrekken;
- als er meerdere identieke acties zijn, worden deze van links naar rechts uitgevoerd;
- als er haakjes zijn, voer dan eerst acties daarin uit;
- Wanneer u breuken berekent, voert u eerst de bewerkingen in de teller en de noemer uit en deelt u vervolgens de teller door de noemer.
Laten we deze regels op ons voorbeeld toepassen.
- Laten we eerst de waarde tussen haakjes vinden: 6x2=12.
- Dan doen we de optelling: 45+21=66.
- De laatste stap is het vinden van het verschil: 66-12=54.
Het getal 54 zal dus de waarde zijn van de uitdrukking 45+21-(6x2).
Om een numerieke uitdrukking correct te kunnen lezen, moet u bepalen welke actie de laatste zal zijn in de berekeningen. In de uitdrukking 45+21-(6x2) was de laatste actie aftrekken. Dienovereenkomstig zou deze uitdrukking “verschil” moeten worden genoemd. Als er in plaats van het “-” teken een “+” teken zou staan, zou de uitdrukking een som worden genoemd.
Als een uitdrukking niet kan worden geteld, wordt er gezegd dat deze geen betekenis heeft. De volgende uitdrukking is bijvoorbeeld niet logisch: 12:(4-4). Tussen haakjes is het verschil nul. Maar volgens de regels van de wiskunde kun je niet door nul delen. Dit betekent dat het onmogelijk is om de betekenis van de uitdrukking te achterhalen.
Gelijkwaardigheid
Dit is de naam die wordt gegeven aan een record waarin twee numerieke uitdrukkingen worden gescheiden door het teken “=”. Bijvoorbeeld 45+21-(6x2)=66-12. Beide delen van de plaat zijn gelijk aan het getal 54, wat betekent dat ze gelijk zijn aan elkaar. Een dergelijke gelijkheid wordt waar genoemd.
Als je 45+21-(6x2)=35+12 schrijft, is deze gelijkheid onjuist. Aan de linkerkant van de gelijkheid is de waarde van de uitdrukking 54 en aan de rechterkant - 57. Deze getallen zijn niet gelijk aan elkaar, wat betekent dat de gelijkheid onjuist is.
Voorbeeld taak
Laten we, om het onderwerp beter te begrijpen, eens kijken naar een voorbeeld van het oplossen van een probleem. Hoe los je een probleem op met behulp van een numerieke uitdrukking?
Gegeven: twee auto's vertrekken van het ene punt naar het andere. Ze zullen verschillende wegen nemen. De ene auto moet 35 km afleggen, de andere 42 km. De eerste auto rijdt met een snelheid van 70 km/u en de tweede met een snelheid van 84 km/u. Komen ze tegelijkertijd op hun bestemming aan?
Oplossing: U moet twee numerieke uitdrukkingen maken om de reistijd voor elke auto te vinden. Als ze hetzelfde blijken te zijn, betekent dit dat de auto’s tegelijkertijd op de eindbestemming aankomen. Om de tijd te vinden, moet je de afstand delen door de snelheid. 35 km: 70 km/u=0,5 u 42 km: 84 km/u=0,5 u.
Beide auto’s waren dus binnen een half uur op hun eindbestemming.
Wat hebben we geleerd?
Uit het algebra-onderwerp dat we in groep 7 bestudeerden, hebben we geleerd dat een numerieke uitdrukking een notatie is die bestaat uit getallen en tekens van rekenkundige bewerkingen. Je kunt problemen oplossen met numerieke uitdrukkingen. Als de laatste actie in een numerieke uitdrukking aftrekken was, wordt dit 'verschil' genoemd. Als er in plaats van het “-” teken een “+” teken staat, wordt de uitdrukking een som genoemd.
In de wiskunde is het gebruikelijk om je eigen notatie te gebruiken. Het vastleggen van de omstandigheden van problemen door ze te gebruiken leidt tot het verschijnen van zogenaamde wiskundige uitdrukkingen. We kunnen over cijfers praten, letterlijke uitdrukkingen en wiskundige uitdrukkingen met variabelen. Gemakshalve worden één, de tweede en de derde eenvoudigweg uitdrukkingen genoemd. In dit artikel zullen we elk type wiskundige uitdrukking in volgorde definiëren en beschouwen.
Numerieke expressies
Vanaf de allereerste wiskundelessen beginnen schoolkinderen vertrouwd te raken met numerieke uitdrukkingen. De uitdrukking bevat getallen en bewerkingen op deze getallen. Laten we de eenvoudigste voorbeelden van tellen nemen: 5 + 2; 3 - 8; 1 + 1 . Dit zijn allemaal numerieke uitdrukkingen. Als u de acties uitvoert die in de expressie zijn gespecificeerd, krijgt u de waarde ervan.
Natuurlijk bevatten numerieke uitdrukkingen meer dan alleen plus- en mintekens. Ze kunnen betrekking hebben op delen en vermenigvuldigen, haakjes, machten, wortels, logaritmen bevatten en uit verschillende bewerkingen bestaan.
Laten we, rekening houdend met alles wat er is gezegd, een definitie geven. Wat is een numerieke uitdrukking?
Definitie. Numerieke expressie
Numerieke uitdrukkingen zijn een combinatie van getallen, rekenkundige bewerkingen, breuktekens, wortels, logaritmen, trigonometrische en andere functies, evenals haakjes en andere wiskundige symbolen.
Alleen een combinatie die is samengesteld rekening houdend met wiskundige regels, wordt als een numerieke uitdrukking beschouwd.
Laten we deze definitie uitleggen.
Eerst de cijfers. Een wiskundige uitdrukking kan elk getal bevatten. Dit betekent dat je in een wiskundige uitdrukking het volgende kunt vinden:
- natuurlijke getallen: 6, 173, 9,
- gehele getallen: 18, 0, 64,
- rationale getallen:
gewone breuken 1 3, 3 4,
gemengde cijfers 6 1 8 , 89 5 7 ,
periodiek en niet-periodiek decimalen 9 , 78 , 8 , 556 - irrationele getallen: π, e,
- complexe getallen: ik = - 1 .
Ten tweede, rekenkundige bewerkingen. dan bij ons bekend uit de cursus basisschool optellen, vermenigvuldigen, aftrekken en delen. De tekens " + " , " - " , " · " en " ÷ " kunnen meerdere keren voorkomen in een uitdrukking. Hier is een voorbeeld van zo'n numerieke uitdrukking: 12 + 4 - 3 + 3 ÷ 1 · 8 · 6 ÷ 2.
deling in uitdrukkingen kan aanwezig zijn in de vorm van een teken of in de vorm van een breuklijn.
Haakjes in numerieke expressies
- geef de volgorde van acties aan: 5 - 2, 5 + 5 * 0, 25;
- gebruikt voor opname negatieve getallen: 5 + (- 2) ;
- scheid het argument van de functie: sin π 2 - π 3 ;
- scheid de exponent: 2 - 1, 3 2
Er zijn ook speciale betekenissen voor het schrijven van haakjes. De notatie 1, 75 + 2 betekent bijvoorbeeld dat het getal 2 wordt opgeteld bij het gehele deel van het getal 1, 75.
Numerieke uitdrukkingen kunnen per definitie machten, wortels, logaritmen, trigonometrische en inverse trigonometrische functies bevatten. Hier is een voorbeeld van zo'n numerieke uitdrukking:
Als voorbeeld van het gebruik van speciale tekens in numerieke uitdrukkingen kunnen we het modulusteken geven.
2 2 5 6 + - 5 - 8 2
Letterlijke uitdrukkingen
Nadat u vertrouwd bent geraakt met numerieke uitdrukkingen, kunt u het concept van letterlijke uitdrukkingen introduceren. Intuïtief gebruiken ze letters in plaats van cijfers. Maar eerst dingen eerst.
Laten we een numerieke uitdrukking opschrijven, maar in plaats van één getal laten we een leeg vierkant achter.
We kunnen elk getal in het vierkant invoeren. Bijvoorbeeld 2 of 1032.
3 + 2 ; 3 + 1032 .
Als we ermee instemmen om de letter a te schrijven in plaats van een getal in een vierkant, wat dit getal betekent, dan krijgen we een letterlijke uitdrukking:
Definitie. Letterlijke uitdrukking
Een uitdrukking waarin letters enkele cijfers vervangen, wordt een letterlijke uitdrukking genoemd. Een letterlijke uitdrukking moet minimaal één letter bevatten.
Het fundamentele verschil tussen numerieke en letterlijke uitdrukkingen is dat de eerste geen letters kan bevatten. In letteruitdrukkingen worden meestal kleine letters van het Latijnse alfabet a, b, c gebruikt. . of kleine Griekse letters α, β, γ. . enz.
Laten we een voorbeeld geven van een complexe letterlijke uitdrukking.
x 3 + 2 - 4 x 5 + 4 x y + 8 y 2 3 8 - 4 x 2 a r c cos α + 1 3 x 2 + 2 y - 1
Expressies met variabelen
In de hierboven besproken letterlijke uitdrukkingen duidde de letter een specifieke numerieke waarde aan. Een grootheid die een aantal verschillende waarden kan aannemen, wordt een variabele genoemd. Een expressie met een dergelijke waarde wordt daarom een expressie met een variabele genoemd.
Definitie. Expressies met variabelen
Een uitdrukking met een variabele is een uitdrukking waarin alle of sommige letters hoeveelheden aanduiden die verschillende waarden aannemen.
Laat de variabele x nemen natuurlijke waarden uit het bereik van 0 tot 10. Dan zijn de uitdrukkingen x 2 - 1 een uitdrukking met een variabele, en x is een variabele in deze uitdrukking.
Een expressie kan meer dan één variabele bevatten. Gegeven de variabelen x en y is de uitdrukking x 3 · y + y 2 2 - 1 bijvoorbeeld een uitdrukking met twee variabelen.
Over het algemeen kunt u met letterlijke uitdrukkingen en uitdrukkingen met variabelen naar het probleem kijken buiten de context van specifieke getallen, dat wil zeggen in bredere zin. Ze worden veel gebruikt bij wiskundige analyses voor formuleringen en bewijzen.
Door het verschijnen van een letterlijke uitdrukking kan men niet weten of de letters die erin zijn opgenomen variabelen zijn of niet. Om dit te doen, moet u de voorwaarden kennen van de specifieke taak die door de uitdrukking wordt beschreven. Buiten de context verhindert niets dat de letters in de uitdrukking als variabelen worden beschouwd. Het verschil tussen de concepten ‘letterlijke expressie’ en ‘expressie met variabelen’ wordt dus genivelleerd.
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
In dit artikel wordt besproken hoe u de waarden van wiskundige uitdrukkingen kunt vinden. Laten we beginnen met eenvoudige numerieke uitdrukkingen en vervolgens gevallen bekijken naarmate hun complexiteit toeneemt. Aan het einde presenteren we een uitdrukking met lettersymbolen, haakjes, wortels, speciale wiskundige symbolen, machten, functies, enz. Traditiegetrouw zullen we de hele theorie voorzien van overvloedige en gedetailleerde voorbeelden.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hoe vind je de waarde van een numerieke uitdrukking?
Numerieke uitdrukkingen helpen onder meer om de toestand van een probleem in wiskundige taal te beschrijven. Over het algemeen kunnen wiskundige uitdrukkingen heel eenvoudig zijn, bestaande uit een paar getallen en rekenkundige symbolen, of zeer complex, met functies, machten, wortels, haakjes, enz. Als onderdeel van een taak is het vaak nodig om de betekenis van een bepaalde uitdrukking te vinden. Hoe u dit kunt doen, wordt hieronder besproken.
De eenvoudigste gevallen
Dit zijn gevallen waarin de uitdrukking niets anders bevat dan getallen en rekenkundige bewerkingen. Om de waarden van dergelijke uitdrukkingen met succes te vinden, hebt u kennis nodig van de volgorde van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen zonder haakjes, evenals de mogelijkheid om bewerkingen met verschillende getallen uit te voeren.
Als de uitdrukking alleen cijfers en rekenkundige tekens " + " , " · " , " - " , " ÷ " bevat, worden de acties van links naar rechts uitgevoerd in de volgende volgorde: eerst vermenigvuldigen en delen, dan optellen en aftrekken. Laten we voorbeelden geven.
Voorbeeld 1: de waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarden van de uitdrukking 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 vinden.
Laten we eerst de vermenigvuldiging en deling doen. Wij krijgen:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Nu voeren we de aftrekking uit en krijgen het eindresultaat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Voorbeeld 2: De waarde van een numerieke expressie
Laten we berekenen: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Eerst voeren we breukconversie, deling en vermenigvuldiging uit:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Laten we nu wat optellen en aftrekken doen. Laten we de breuken groeperen en ze onder een gemeenschappelijke noemer brengen:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
De vereiste waarde is gevonden.
Uitdrukkingen met haakjes
Als een expressie haakjes bevat, definiëren deze de volgorde van de bewerkingen in die expressie. De acties tussen haakjes worden eerst uitgevoerd en daarna alle andere. Laten we dit met een voorbeeld laten zien.
Voorbeeld 3: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde van de uitdrukking 0,5 · (0,76 - 0,06) vinden.
De uitdrukking bevat haakjes, dus we voeren eerst de aftrekkingsbewerking tussen haakjes uit en pas daarna de vermenigvuldiging.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
De betekenis van uitdrukkingen die haakjes tussen haakjes bevatten, wordt volgens hetzelfde principe gevonden.
Voorbeeld 4: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 berekenen.
We zullen acties uitvoeren vanaf de binnenste haakjes en naar de buitenste haakjes gaan.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Bij het vinden van de betekenis van uitdrukkingen tussen haakjes is het belangrijkste om de volgorde van acties te volgen.
Uitdrukkingen met wortels
Wiskundige uitdrukkingen waarvan we de waarden moeten vinden, kunnen grondtekens bevatten. Bovendien kan de uitdrukking zelf onder het wortelteken staan. Wat te doen in dit geval? Eerst moet je de waarde van de uitdrukking onder de wortel vinden en vervolgens de wortel extraheren uit het getal dat als resultaat wordt verkregen. Indien mogelijk is het beter om wortels in numerieke uitdrukkingen te verwijderen en deze te vervangen door numerieke waarden.
Voorbeeld 5: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen met wortels - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Eerst berekenen we de radicale uitdrukkingen.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Nu kunt u de waarde van de gehele uitdrukking berekenen.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Vaak vereist het vinden van de betekenis van een uitdrukking met wortels vaak eerst het transformeren van de oorspronkelijke uitdrukking. Laten we dit uitleggen met nog een voorbeeld.
Voorbeeld 6: De waarde van een numerieke expressie
Wat is 3 + 1 3 - 1 - 1
Zoals u kunt zien, hebben we niet de mogelijkheid om de wortel te vervangen door een exacte waarde, wat het telproces bemoeilijkt. In dit geval kunt u echter de verkorte vermenigvuldigingsformule toepassen.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Dus:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Uitdrukkingen met bevoegdheden
Als een uitdrukking machten bevat, moeten hun waarden worden berekend voordat verder wordt gegaan met alle andere acties. Het komt voor dat de exponent of de basis van de graad zelf uitdrukkingen zijn. In dit geval wordt eerst de waarde van deze uitdrukkingen berekend en vervolgens de waarde van de graad.
Voorbeeld 7: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde vinden van de uitdrukking 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Laten we beginnen met rekenen in de juiste volgorde.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Het enige dat overblijft is om de optelbewerking uit te voeren en de betekenis van de uitdrukking te achterhalen:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Vaak is het ook raadzaam om een uitdrukking te vereenvoudigen met behulp van de eigenschappen van een graad.
Voorbeeld 8: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde van de volgende uitdrukking berekenen: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
De exponenten zijn opnieuw zodanig dat hun exacte numerieke waarden niet kunnen worden verkregen. Laten we de oorspronkelijke expressie vereenvoudigen om de waarde ervan te vinden.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Uitdrukkingen met breuken
Als een uitdrukking breuken bevat, moeten bij het berekenen van een dergelijke uitdrukking alle breuken daarin in het formulier worden weergegeven gewone breuken en bereken hun waarden.
Als de teller en de noemer van een breuk uitdrukkingen bevatten, worden eerst de waarden van deze uitdrukkingen berekend en wordt de uiteindelijke waarde van de breuk zelf opgeschreven. Rekenkundige bewerkingen worden in de standaardvolgorde uitgevoerd. Laten we eens kijken naar de voorbeeldoplossing.
Voorbeeld 9: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde vinden van de uitdrukking die breuken bevat: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Zoals je kunt zien, zijn er drie breuken in de oorspronkelijke uitdrukking. Laten we eerst hun waarden berekenen.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Laten we onze uitdrukking herschrijven en de waarde ervan berekenen:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Vaak is het bij het vinden van de betekenis van uitdrukkingen handig om breuken te verkleinen. Bestaat onuitgesproken regel: voordat u de waarde ervan vindt, kunt u het beste elke uitdrukking tot het maximum vereenvoudigen en alle berekeningen terugbrengen tot de eenvoudigste gevallen.
Voorbeeld 10: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de uitdrukking 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 berekenen.
We kunnen de wortel van vijf niet volledig extraheren, maar we kunnen de oorspronkelijke uitdrukking wel vereenvoudigen door middel van transformaties.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
De oorspronkelijke uitdrukking heeft de vorm:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Laten we de waarde van deze uitdrukking berekenen:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Uitdrukkingen met logaritmen
Als er logaritmen in een uitdrukking voorkomen, wordt hun waarde indien mogelijk vanaf het begin berekend. In de uitdrukking log 2 4 + 2 · 4 kunt u bijvoorbeeld onmiddellijk de waarde van deze logaritme opschrijven in plaats van log 2 4, en vervolgens alle acties uitvoeren. We krijgen: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Numerieke uitdrukkingen zijn ook te vinden onder het logaritmeteken zelf en aan de basis ervan. In dit geval is het eerste wat u moet doen het vinden van hun betekenissen. Laten we de uitdrukking log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 nemen. Wij hebben:
logboek 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = logboek 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Als het onmogelijk is om de exacte waarde van de logaritme te berekenen, helpt het vereenvoudigen van de uitdrukking om de waarde ervan te vinden.
Voorbeeld 11: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde vinden van de uitdrukking log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
logboek 2 logboek 2 256 = logboek 2 8 = 3 .
Door de eigenschap van logaritmen:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Als we opnieuw de eigenschappen van logaritmen gebruiken, krijgen we voor de laatste breuk in de uitdrukking:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Nu kunt u doorgaan met het berekenen van de waarde van de oorspronkelijke uitdrukking.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Uitdrukkingen met goniometrische functies
Het komt voor dat de uitdrukking de trigonometrische functies van sinus, cosinus, tangens en cotangens bevat, evenals hun inverse functies. De waarde wordt berekend voordat alle andere rekenkundige bewerkingen zijn uitgevoerd. Anders wordt de uitdrukking vereenvoudigd.
Voorbeeld 12: De waarde van een numerieke expressie
Zoek de waarde van de uitdrukking: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Eerst berekenen we de waarden van de trigonometrische functies die in de uitdrukking zijn opgenomen.
zonde - 5 π 2 = - 1
We vervangen de waarden in de uitdrukking en berekenen de waarde ervan:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
De expressiewaarde is gevonden.
Vaak om de betekenis van een uitdrukking te achterhalen trigonometrische functies, moet deze eerst worden omgezet. Laten we het uitleggen met een voorbeeld.
Voorbeeld 13: De waarde van een numerieke expressie
We moeten de waarde vinden van de uitdrukking cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Voor conversie zullen we gebruiken trigonometrische formules cosinus van de dubbele hoek en cosinus van de som.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Algemeen geval van een numerieke uitdrukking
Over het algemeen kan een trigonometrische uitdrukking alle hierboven beschreven elementen bevatten: haakjes, machten, wortels, logaritmen, functies. Laten we formuleren algemene regel het vinden van de betekenis van dergelijke uitdrukkingen.
Hoe u de waarde van een uitdrukking kunt vinden
- Wortels, machten, logaritmen, enz. worden vervangen door hun waarden.
- De acties tussen haakjes worden uitgevoerd.
- De overige acties worden in volgorde van links naar rechts uitgevoerd. Eerst - vermenigvuldigen en delen, dan - optellen en aftrekken.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld.
Voorbeeld 14: De waarde van een numerieke expressie
Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
De uitdrukking is behoorlijk complex en omslachtig. Het was geen toeval dat we precies zo'n voorbeeld kozen, nadat we hadden geprobeerd alle hierboven beschreven gevallen erin te passen. Hoe vind je de betekenis van een dergelijke uitdrukking?
Het is bekend dat bij het berekenen van de waarde van een complexe breukvorm de waarden van de teller en de noemer van de breuk eerst afzonderlijk worden gevonden. We zullen deze uitdrukking achtereenvolgens transformeren en vereenvoudigen.
Laten we eerst de waarde berekenen van de worteluitdrukking 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Om dit te doen, moet je de waarde van de sinus en de uitdrukking vinden die het argument is van de trigonometrische functie.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Nu kun je de waarde van de sinus achterhalen:
zonde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = zonde π 6 + 2 π = zonde π 6 = 1 2.
We berekenen de waarde van de radicale uitdrukking:
2 zonde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · zonde π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Met de noemer van de breuk is alles eenvoudiger:
Nu kunnen we de waarde van de hele breuk schrijven:
2 · zonde π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Hiermee rekening houdend, schrijven we de hele uitdrukking:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Eindresultaat:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
In dit geval konden we de exacte waarden van wortels, logaritmen, sinussen, enz. berekenen. Als dit niet mogelijk is, kun je proberen ze kwijt te raken door middel van wiskundige transformaties.
Expressiewaarden berekenen met behulp van rationele methoden
Numerieke waarden moeten consistent en nauwkeurig worden berekend. Dit proces kan worden gestroomlijnd en versneld met behulp van diverse eigendommen acties met cijfers. Het is bijvoorbeeld bekend dat een product gelijk is aan nul als ten minste één van de factoren gelijk is aan nul. Als we deze eigenschap in aanmerking nemen, kunnen we meteen zeggen dat de uitdrukking 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 gelijk is aan nul. Tegelijkertijd is het helemaal niet nodig om de acties uit te voeren in de volgorde die in het bovenstaande artikel wordt beschreven.
Het is ook handig om de eigenschap van het aftrekken van gelijke getallen te gebruiken. Zonder enige actie uit te voeren, kunt u bestellen dat de waarde van de uitdrukking 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 ook nul is.
Een andere techniek om het proces te versnellen is het gebruik van identiteitstransformaties, zoals het groeperen van termen en factoren en het plaatsen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes. Een rationele benadering voor het berekenen van uitdrukkingen met breuken is het reduceren van dezelfde uitdrukkingen in de teller en de noemer.
Neem bijvoorbeeld de uitdrukking 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Zonder de bewerkingen tussen haakjes uit te voeren, maar door de breuk te verkleinen, kunnen we zeggen dat de waarde van de uitdrukking 1 3 is.
De waarden van expressies met variabelen vinden
De waarde van een letterlijke uitdrukking en een uitdrukking met variabelen wordt gevonden voor specifieke gegeven waarden van letters en variabelen.
De waarden vinden van uitdrukkingen met variabelen
Om de waarde van een letterlijke uitdrukking en een uitdrukking met variabelen te vinden, moet u de gegeven waarden van letters en variabelen in de oorspronkelijke uitdrukking vervangen en vervolgens de waarde van de resulterende numerieke uitdrukking berekenen.
Voorbeeld 15: Waarde van een expressie met variabelen
Bereken de waarde van de uitdrukking 0, 5 x - y gegeven x = 2, 4 en y = 5.
We vervangen de waarden van de variabelen in de uitdrukking en berekenen:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Soms kun je een uitdrukking zo transformeren dat je de waarde ervan krijgt, ongeacht de waarden van de letters en variabelen die erin zijn opgenomen. Om dit te doen, moet u, indien mogelijk, letters en variabelen in de uitdrukking verwijderen met behulp van identieke transformaties, eigenschappen van rekenkundige bewerkingen en alle mogelijke andere methoden.
De uitdrukking x + 3 - x heeft bijvoorbeeld uiteraard de waarde 3, en om deze waarde te berekenen is het niet nodig om de waarde van de variabele x te kennen. De waarde van deze uitdrukking is gelijk aan drie voor alle waarden van de variabele x uit het bereik van toegestane waarden.
Nog een voorbeeld. De waarde van de uitdrukking x x is gelijk aan één voor alle positieve x-en.
Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter
Bij het bestuderen van het onderwerp numerieke, letteruitdrukkingen en uitdrukkingen met variabelen, moet je aandacht besteden aan het concept expressie waarde. In dit artikel zullen we de vraag beantwoorden wat de waarde is van een numerieke expressie, en wat de waarde wordt genoemd van een letterlijke expressie en een expressie met variabelen voor geselecteerde variabelewaarden. Om deze definities te verduidelijken, geven we voorbeelden.
Paginanavigatie.
Wat is de waarde van een numerieke uitdrukking?
Kennismaking met numerieke uitdrukkingen begint bijna vanaf de eerste wiskundelessen op school. Vrijwel onmiddellijk wordt het concept van “waarde van een numerieke uitdrukking” geïntroduceerd. Het verwijst naar uitdrukkingen die bestaan uit getallen die met elkaar verbonden zijn door tekens van rekenkundige bewerkingen (+, −, ·, :). Laten we de bijbehorende definitie geven.
Definitie.
Numerieke expressiewaarde– dit is het getal dat wordt verkregen na het uitvoeren van alle acties in de originele numerieke uitdrukking.
Beschouw bijvoorbeeld de numerieke uitdrukking 1+2. Als we klaar zijn, krijgen we het getal 3, wat de waarde is van de numerieke uitdrukking 1+2.
Vaak wordt in de zinsnede “de betekenis van een numerieke uitdrukking” het woord “numeriek” weggelaten en wordt er eenvoudigweg “de betekenis van de uitdrukking” gezegd, omdat het nog steeds duidelijk is wat de betekenis van de uitdrukking is.
De bovenstaande definitie van de betekenis van een uitdrukking is ook van toepassing op numerieke uitdrukkingen van meer dan complexe soort die op de middelbare school worden bestudeerd. Hierbij moet worden opgemerkt dat u numerieke uitdrukkingen tegen kunt komen waarvan de waarden niet kunnen worden opgegeven. Dit komt omdat het in sommige uitingen niet mogelijk is om de opgenomen acties uit te voeren. Dit is bijvoorbeeld de reden waarom we de waarde van de uitdrukking 3:(2−2) niet kunnen specificeren. Dergelijke numerieke uitdrukkingen worden genoemd uitingen die nergens op slaan.
In de praktijk is het vaak niet zozeer de numerieke uitdrukking die van belang is, als wel de betekenis ervan. Dat wil zeggen, de taak ontstaat om de betekenis van een bepaalde uitdrukking te bepalen. In dit geval zeggen ze meestal dat je de waarde van de uitdrukking moet vinden. Dit artikel bespreekt in detail het proces van het vinden van de waarde van numerieke uitdrukkingen verschillende soorten, en er worden veel voorbeelden met gedetailleerde beschrijvingen van oplossingen overwogen.
Betekenis van letterlijke en variabele uitdrukkingen
Naast numerieke uitdrukkingen worden ook letterlijke uitdrukkingen bestudeerd, dat wil zeggen uitdrukkingen waarin naast cijfers een of meer letters aanwezig zijn. Letters in een letterlijke uitdrukking kunnen vertegenwoordigen verschillende nummers, en als de letters worden vervangen door deze cijfers, wordt de letteruitdrukking een numerieke uitdrukking.
Definitie.
Getallen die letters in een letterlijke uitdrukking vervangen, worden aangeroepen de betekenis van deze letters, en de waarde van de resulterende numerieke uitdrukking wordt aangeroepen de waarde van een letterlijke uitdrukking voor bepaalde letterwaarden.
Voor letterlijke uitdrukkingen spreken we dus niet alleen over de betekenis van de letterlijke uitdrukking, maar over de betekenis van de letterlijke uitdrukking gegeven (gegeven, aangegeven, etc.) waarden van de letters.
Laten we een voorbeeld geven. Laten we de letterlijke uitdrukking 2·a+b nemen. Laat de waarden van de letters a en b gegeven worden, bijvoorbeeld a=1 en b=6. Door de letters in de oorspronkelijke uitdrukking te vervangen door hun waarden, krijgen we een numerieke uitdrukking van de vorm 2·1+6, de waarde ervan is 8. Het getal 8 is dus de waarde van de letterlijke uitdrukking 2·a+b voor de gegeven waarden van de letters a=1 en b=6. Als er andere letterwaarden zouden worden opgegeven, zouden we de waarde van de letteruitdrukking voor die letterwaarden krijgen. Met a=5 en b=1 hebben we bijvoorbeeld de waarde 2·5+1=11.
In de algebra op de middelbare school mogen de letters in letteruitdrukkingen verschillende betekenissen aannemen. Dergelijke letters worden variabelen genoemd en letteruitdrukkingen worden uitdrukkingen met variabelen genoemd. Voor deze expressies wordt het concept van de waarde van een expressie met variabelen geïntroduceerd voor geselecteerde waarden van de variabelen. Laten we uitzoeken wat het is.
Definitie.
De waarde van een expressie met variabelen voor de geselecteerde variabelewaarden is de waarde van een numerieke expressie die wordt verkregen na het vervangen van de geselecteerde variabelewaarden in de originele expressie.
Laten we de genoemde definitie uitleggen met een voorbeeld. Beschouw een uitdrukking met variabelen x en y van de vorm 3·x·y+y. Laten we x=2 en y=4 nemen, deze variabelewaarden vervangen door de oorspronkelijke uitdrukking en de numerieke uitdrukking 3·2·4+4 verkrijgen. Laten we de waarde van deze uitdrukking berekenen: 3·2·4+4=24+4=28. De gevonden waarde 28 is de waarde van de oorspronkelijke uitdrukking met de variabelen 3·x·y+y voor de geselecteerde waarden van de variabelen x=2 en y=4.
Als u andere variabelewaarden selecteert, bijvoorbeeld x=5 en y=0, dan komen deze geselecteerde variabelewaarden overeen met de waarde van de variabele-uitdrukking gelijk aan 3·5·0+0=0.
Opgemerkt kan worden dat men soms voor verschillende geselecteerde variabele waarden kan krijgen gelijke waarden uitdrukkingen. Voor x=9 en y=1 is de waarde van de uitdrukking 3 x y+y bijvoorbeeld 28 (aangezien 3 9 1+1=27+1=28), en hierboven hebben we laten zien dat dezelfde waarde een uitdrukking is met variabelen heeft bij x=2 en y=4 .
Variabele waarden kunnen worden geselecteerd uit de overeenkomstige waarden bereik van aanvaardbare waarden. Anders krijgt u bij het vervangen van de waarden van deze variabelen in de oorspronkelijke uitdrukking een numerieke uitdrukking die nergens op slaat. Als u bijvoorbeeld x=0 kiest en deze waarde vervangt door de uitdrukking 1/x, krijgt u de numerieke uitdrukking 1/0, wat geen zin heeft, aangezien delen door nul niet gedefinieerd is.
Er moet alleen nog aan worden toegevoegd dat er uitdrukkingen zijn met variabelen waarvan de waarden niet afhankelijk zijn van de waarden van de variabelen die erin zijn opgenomen. De waarde van een uitdrukking met een variabele x van de vorm 2+x−x hangt bijvoorbeeld niet af van de waarde van deze variabele; hij is gelijk aan 2 voor elke geselecteerde waarde van de variabele x uit het bereik van zijn toegestane waarden , wat in dit geval de verzameling is van alle reële getallen.
Referenties.
- Wiskunde: leerboek voor het 5e leerjaar. algemeen onderwijs instellingen / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21e druk, gewist. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. ISBN-5-346-00699-0.
- Algebra: leerboek voor het 7e leerjaar algemeen onderwijs instellingen / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; bewerkt door S. A. Teljakovski. - 17e druk. - M.: Onderwijs, 2008. - 240 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: leerboek voor groep 8. algemeen onderwijs instellingen / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; bewerkt door S. A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
In deze les ga je kijken naar het onderwerp 'Numerieke expressies'. Vergelijking van numerieke uitdrukkingen." In deze les maakt u kennis met het definiëren van numerieke uitdrukkingen. Je leert dat numerieke uitdrukkingen kunnen worden gelezen. Je leert ook de betekenis ervan te vinden en te vergelijken. Sommige praktische voorbeelden zal u helpen het geleerde materiaal te consolideren.
Les: Numerieke uitdrukkingen. Numerieke expressies vergelijken
Kijk naar deze uitdrukkingen en probeer de vreemde eend in de bijt te vinden.
20 + een
s + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9
De redundante invoer is 18 > 9 (18 is groter dan 9). Waarom denk je?
Juiste antwoord: omdat er alleen een vergelijkingsteken wordt gebruikt. Alle anderen gebruiken actietekens.
De geschreven uitdrukkingen kunnen in twee groepen worden verdeeld:
Letterlijke uitdrukkingen Numerieke uitdrukkingen
20 + een 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)
Letterlijke uitdrukkingen zijn uitdrukkingen die letters van het Latijnse alfabet gebruiken.
Numerieke expressies- nummers verbonden door actieborden. Numerieke uitdrukkingen kunnen worden gelezen.
6 + 8…(som van 6 en 8)
15 - (10 + 2)…(van 15 trekt u de som van 10 en 2 af)
Laten we de betekenis van de uitdrukkingen vinden:
15 - (10 + 2) = …
Eerst voeren we de actie uit die tussen haakjes staat. Voeg 2 tot 10 toe.
10 + 2 = 12
Nu moet je 12 van 15 aftrekken.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3
Laten we nu de taak voltooien:
We hebben besproken wat het betekent om de waarde van een numerieke uitdrukking te vinden.
Nu moeten we numerieke uitdrukkingen leren vergelijken. Vergelijk een numerieke uitdrukking: zoek de waarde van elke uitdrukking en vergelijk ze.
Laten we de betekenissen van de twee uitdrukkingen vergelijken. Om dit te doen, zullen we de waarden van elk van hen vinden.
|
15 - 7 < 6 + 3 |
Laten we nu de waarden van nog twee expressies vergelijken:
|
3. Festival pedagogische ideeën « Open les» (). Maak het thuis Los numerieke uitdrukkingen op: a) 20 +14 b) 56 - 22 c) 47 - 22 Vergelijk expressies: a) 33 - 12 en 25 + 7 b) 45 - 5 en 19 + 21 c) 23 + 5 en 12 + 6 |
Laden...
