पूर्णांक आणि अपूर्णांक परिमेय समीकरणे सोडवणे. गणितातील तर्कसंगत समीकरणांची प्रणाली दोन चलांसह तर्कसंगत समीकरणाची व्याख्या

या विषयाकडे लेखकाचा दृष्टिकोन अपघाती नाही. दोन व्हेरिएबल्स असलेली समीकरणे प्रथम 7 व्या वर्गाच्या अभ्यासक्रमात येतात. दोन व्हेरिएबल्ससह एका समीकरणामध्ये अनंत संख्येने निराकरणे आहेत. ax + by=c म्हणून दिलेल्या रेखीय कार्याच्या आलेखाद्वारे हे स्पष्टपणे दिसून येते. शालेय अभ्यासक्रमात, विद्यार्थी दोन समीकरणांच्या प्रणालींचा दोन चलांसह अभ्यास करतात. परिणामी, समीकरणाच्या गुणांकावरील मर्यादित अटींसह समस्यांची संपूर्ण मालिका, तसेच त्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धती, शिक्षकांच्या आणि म्हणूनच, विद्यार्थ्याच्या नजरेतून बाहेर पडतात.

आपण पूर्णांक किंवा नैसर्गिक संख्यांमध्ये दोन अज्ञात असलेले समीकरण सोडवण्याबद्दल बोलत आहोत.

शाळेत, नैसर्गिक संख्या आणि पूर्णांकांचा अभ्यास ग्रेड 4-6 मध्ये केला जातो. शाळेतून पदवीधर होईपर्यंत, सर्व विद्यार्थ्यांना या संख्यांच्या संचामधील फरक लक्षात राहत नाही.

तथापि, "पूर्णांकांमध्ये ax + by=c चे समीकरण सोडवा" सारखी समस्या विद्यापीठांच्या प्रवेश परीक्षांमध्ये आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षा सामग्रीमध्ये वाढत्या प्रमाणात आढळते.

अनिश्चित समीकरणे सोडवल्याने तार्किक विचार, बुद्धिमत्ता आणि विश्लेषणाकडे लक्ष विकसित होते.

मी या विषयावर अनेक धडे विकसित करण्याचा प्रस्ताव देतो. या धड्यांच्या वेळेबद्दल माझ्याकडे स्पष्ट शिफारसी नाहीत. काही घटक 7 व्या वर्गात देखील वापरले जाऊ शकतात (एक मजबूत वर्गासाठी). हे धडे एक आधार म्हणून घेतले जाऊ शकतात आणि 9 व्या इयत्तेमध्ये पूर्व-व्यावसायिक प्रशिक्षणावर एक लहान निवडक अभ्यासक्रम विकसित केला जाऊ शकतो. आणि अर्थातच, परीक्षेची तयारी करण्यासाठी ही सामग्री ग्रेड 10-11 मध्ये वापरली जाऊ शकते.

धड्याचा उद्देश:

• "प्रथम आणि द्वितीय क्रम समीकरणे" या विषयावरील ज्ञानाची पुनरावृत्ती आणि सामान्यीकरण
• विषयातील संज्ञानात्मक स्वारस्य वाढवणे
• विश्लेषण करण्याची क्षमता विकसित करणे, सामान्यीकरण करणे, नवीन परिस्थितीत ज्ञान हस्तांतरित करणे

धडा 1.

वर्ग दरम्यान.

1) Org. क्षण

2) मूलभूत ज्ञान अपडेट करणे.

व्याख्या. दोन चलांमधील रेखीय समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे

mx + ny = k, जेथे m, n, k संख्या आहेत, x, y चल आहेत.

उदाहरण: 5x+2y=10

व्याख्या. दोन व्हेरिएबल्ससह समीकरणाचे समाधान म्हणजे व्हेरिएबल्सच्या मूल्यांची जोडी जी समीकरणाला खऱ्या समानतेमध्ये बदलते.

समान सोल्युशन्स असलेल्या दोन चलांसह समीकरणांना समतुल्य म्हणतात.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

या समीकरणात कितीही उपाय असू शकतात. हे करण्यासाठी, कोणतेही x मूल्य घेणे आणि संबंधित y मूल्य शोधणे पुरेसे आहे.

x = 2, y = -2.5 2+6 = 1 समजा

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

संख्यांच्या जोडी (2;1); (4;-4) – समीकरणाचे निराकरण (1).

या समीकरणात अनेक उपाय आहेत.

3) ऐतिहासिक पार्श्वभूमी

अनिश्चित (Diophantine) समीकरणे एकापेक्षा जास्त चल असलेली समीकरणे आहेत.

3 व्या शतकात. इ.स - अलेक्झांड्रियाच्या डायओफंटसने "अंकगणित" लिहिले, ज्यामध्ये त्याने संख्यांचा संच तर्कसंगत केला आणि बीजगणितीय प्रतीकवाद सादर केला.

डायओफँटसने अनिश्चित समीकरणे सोडवण्याच्या समस्यांचाही विचार केला आणि त्याने द्वितीय आणि तृतीय अंशाची अनिश्चित समीकरणे सोडविण्याच्या पद्धती सांगितल्या.

4) नवीन साहित्याचा अभ्यास करणे.

व्याख्या: दोन अज्ञात x, y सह प्रथम श्रेणीतील एकसंध डायओफँटाइन समीकरण हे mx + ny = k या स्वरूपाचे समीकरण आहे, जेथे m, n, k, x, y Z k0

विधान १.

समीकरण (1) मधील मुक्त संज्ञा k ला m आणि n संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाने (GCD) विभाज्य नसल्यास, समीकरण (1) मध्ये पूर्णांक निराकरणे नाहीत.

उदाहरण: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 ला 17 ने समान भाग जात नाही, पूर्णांकांमध्ये कोणतेही समाधान नाही.

k ला gcd (m, n) ने भागू द्या. सर्व गुणांकांचे विभाजन करून, आम्ही सुनिश्चित करू शकतो की m आणि n तुलनेने अविभाज्य आहेत.

विधान 2.

जर (1) समीकरणाचे m आणि n तुलनेने अविभाज्य संख्या असतील, तर या समीकरणाला किमान एक उपाय आहे.

विधान 3.

जर (1) समीकरणाचे m आणि n गुणांक कॉप्राइम संख्या असतील, तर या समीकरणाला अनंतपणे अनेक उपाय आहेत:

जेथे (; ) हे समीकरणाचे कोणतेही समाधान आहे (1), t Z

व्याख्या. दोन अज्ञात x, y असलेले प्रथम क्रमाचे एकसंध डायओफँटाइन समीकरण हे mx + ny = 0 या स्वरूपाचे समीकरण आहे, जेथे (2)

विधान 4.

जर m आणि n कॉप्राइम संख्या असतील, तर समीकरण (2) च्या कोणत्याही सोल्युशनला फॉर्म असतो

5) गृहपाठ. समीकरण पूर्ण संख्येत सोडवा:

1. 9x - 18y = 5
2. x + y = xy
3. अनेक मुले सफरचंद काढत होती. प्रत्येक मुलाने 21 किलो आणि मुलीने 15 किलो गोळा केले. एकूण त्यांनी 174 किलो गोळा केले. किती मुले आणि किती मुलींनी सफरचंद उचलले?

टिप्पणी. हा धडा पूर्णांकांमध्ये समीकरणे सोडवण्याची उदाहरणे देत नाही. त्यामुळे मुले विधान १ आणि निवडीच्या आधारे गृहपाठ सोडवतात.

धडा 2.

1) संघटनात्मक क्षण

२) गृहपाठ तपासणे

1) 9x - 18y = 5

5 ला 9 ने भाग जात नाही; पूर्ण संख्यांमध्ये कोणतेही उपाय नाहीत.

निवड पद्धतीचा वापर करून तुम्ही उपाय शोधू शकता

उत्तर: (०;०), (२;२)

३) एक समीकरण बनवू.

मुले x, x Z आणि मुली y, y Z असू द्या, तर आपण 21x + 15y = 174 हे समीकरण तयार करू शकतो.

अनेक विद्यार्थी, समीकरण लिहून, ते सोडवू शकणार नाहीत.

उत्तर: 4 मुले, 6 मुली.

3) नवीन साहित्य शिकणे

गृहपाठ पूर्ण करण्यात अडचणी आल्याने, अनिश्चित समीकरणे सोडवण्यासाठी त्यांच्या पद्धती शिकण्याची गरज विद्यार्थ्यांना पटली. त्यापैकी काही पाहू.

I. भागाकार शेष विचारात घेण्याची पद्धत.

उदाहरण. समीकरण 3x – 4y = 1 पूर्ण संख्येत सोडवा.

समीकरणाची डावी बाजू 3 ने निःशेष भाग जाते, म्हणून उजवी बाजू भागली पाहिजे. चला तीन प्रकरणांचा विचार करूया.

उत्तर: जेथे m Z.

m आणि n संख्या लहान नसल्यास वर्णन केलेली पद्धत वापरण्यास सोयीस्कर आहे, परंतु साध्या घटकांमध्ये विघटित होऊ शकते.

उदाहरण: पूर्ण संख्येतील समीकरणे सोडवा.

y = 4n समजा, नंतर 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) 4 ने भागले.

y = 4n+1, नंतर 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n ला 4 ने भाग जात नाही.

y = 4n+2, नंतर 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n ला 4 ने भाग जात नाही.

y = 4n+3, नंतर 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n ला 4 ने भाग जात नाही.

म्हणून y = 4n, नंतर

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

उत्तर: , जेथे n Z.

II. 2 रा डिग्रीची अनिश्चित समीकरणे

आज धड्यात आपण फक्त दुसऱ्या क्रमाच्या डायओफँटाइन समीकरणांच्या समाधानाला स्पर्श करू.

आणि सर्व प्रकारच्या समीकरणांमध्ये, जेव्हा आपण वर्ग सूत्राचा फरक किंवा फॅक्टरायझेशनची दुसरी पद्धत लागू करू शकतो तेव्हा आपण केसचा विचार करू.

उदाहरण: पूर्ण संख्येतील समीकरण सोडवा.

13 ही अविभाज्य संख्या आहे, म्हणून ती फक्त चार प्रकारे गुणांकित केली जाऊ शकते: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

चला या प्रकरणांचा विचार करूया

उत्तर: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) गृहपाठ.

उदाहरणे. समीकरण पूर्ण संख्येत सोडवा:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = ५/२	x = ५/२
y = 0	बसत नाही	बसत नाही
2x = -4	बसत नाही	बसत नाही
x = -2
y = 0

उत्तर: (-2;0), (2;0).

उत्तरे: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

उत्तर: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

परिणाम. समीकरण पूर्ण संख्येत सोडवण्याचा अर्थ काय?

अनिश्चित समीकरणे सोडवण्याच्या कोणत्या पद्धती तुम्हाला माहीत आहेत?

अर्ज:

प्रशिक्षणासाठी व्यायाम.

१) पूर्ण संख्येने सोडवा.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) समीकरणाचे पूर्णांक नॉन-ऋणात्मक समाधान शोधा:

उपाय:Z (2; -1)

साहित्य.

1. मुलांचा ज्ञानकोश "अध्यापनशास्त्र", मॉस्को, 1972.
2. बीजगणित-8, N.Ya. Vilenkin, VO "विज्ञान", नोवोसिबिर्स्क, 1992
3. संख्या सिद्धांतावर आधारित स्पर्धा समस्या. व्ही.या. गॅल्किन, डी.यू. सिचुगोव्ह. MSU, VMK, मॉस्को, 2005.
4. ग्रेड 7-9 साठी बीजगणित अभ्यासक्रमात वाढलेल्या अडचणीच्या समस्या. एन.पी. कोसरीकिना. "ज्ञान", मॉस्को, 1991
5. बीजगणित 7, मकर्यचेव्ह यु.एन., "ज्ञान."

7 व्या इयत्तेच्या गणिताच्या अभ्यासक्रमात, आम्ही प्रथमच भेटतो दोन चलांसह समीकरणे, परंतु त्यांचा अभ्यास केवळ दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांच्या प्रणालींच्या संदर्भात केला जातो. म्हणूनच समस्यांची एक संपूर्ण मालिका ज्यामध्ये समीकरणाच्या गुणांकांवर विशिष्ट अटी सादर केल्या जातात ज्यामुळे त्यांना मर्यादित केले जाते. याव्यतिरिक्त, "नैसर्गिक किंवा पूर्णांक संख्यांमध्ये समीकरण सोडवा" यासारख्या समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींकडेही दुर्लक्ष केले जाते, जरी अशा प्रकारच्या समस्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा साहित्य आणि प्रवेश परीक्षांमध्ये अधिक वेळा आढळतात.

कोणत्या समीकरणाला दोन चल असलेले समीकरण म्हटले जाईल?

तर, उदाहरणार्थ, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, किंवा xy = 12 ही दोन चलांमधील समीकरणे आहेत.

2x – y = 1 या समीकरणाचा विचार करा. ते x = 2 आणि y = 3 असताना खरे ठरते, त्यामुळे चल मूल्यांची ही जोडी प्रश्नातील समीकरणाचे निराकरण आहे.

अशा प्रकारे, दोन व्हेरिएबल्ससह कोणत्याही समीकरणाचे समाधान म्हणजे क्रमबद्ध जोड्यांचा संच (x; y), व्हेरिएबल्सची मूल्ये जी या समीकरणाला खऱ्या संख्यात्मक समानतेमध्ये बदलतात.

दोन अज्ञात असलेले समीकरण हे करू शकते:

अ) एक उपाय आहे.उदाहरणार्थ, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 मध्ये एक अद्वितीय समाधान आहे (0; 0);

ब) अनेक उपाय आहेत.उदाहरणार्थ, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 मध्ये 4 उपाय आहेत: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) कोणतेही उपाय नाहीत.उदाहरणार्थ, x 2 + y 2 + 1 = 0 या समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत;

जी) अमर्यादपणे अनेक उपाय आहेत.उदाहरणार्थ, x + y = 3. या समीकरणाचे निराकरण अशा संख्या असतील ज्यांची बेरीज 3 असेल. या समीकरणाच्या सोल्यूशन्सचा संच (k; 3 – k) फॉर्ममध्ये लिहिला जाऊ शकतो, जेथे k ही वास्तविक आहे संख्या

दोन व्हेरिएबल्ससह समीकरणे सोडविण्याच्या मुख्य पद्धती म्हणजे गुणांकन अभिव्यक्तींवर आधारित पद्धती, पूर्ण वर्ग वेगळे करणे, द्विघात समीकरणाचे गुणधर्म, मर्यादित अभिव्यक्ती आणि अंदाज पद्धती वापरणे. समीकरण सामान्यत: एका फॉर्ममध्ये बदलले जाते ज्यामधून अज्ञात शोधण्यासाठी एक प्रणाली मिळवता येते.

फॅक्टरीकरण

उदाहरण १.

समीकरण सोडवा: xy – 2 = 2x – y.

उपाय.

फॅक्टरायझेशनच्या उद्देशाने आम्ही अटींचे गट करतो:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. प्रत्येक कंसातून आपण एक सामान्य घटक काढतो:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. आमच्याकडे आहे:

y = 2, x – कोणतीही वास्तविक संख्या किंवा x = -1, y – कोणतीही वास्तविक संख्या.

अशा प्रकारे, उत्तर फॉर्मच्या सर्व जोड्या आहेत (x; 2), x € R आणि (-1; y), y € R.

शून्यावर नॉन-ऋणात्मक संख्यांची समानता

उदाहरण २.

समीकरण सोडवा: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

उपाय.

गटबद्ध करणे:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. आता प्रत्येक कंस वर्ग फरक सूत्र वापरून दुमडला जाऊ शकतो.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

3x – 2 = 0 आणि 2y – 3 = 0 असेल तरच दोन गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तींची बेरीज शून्य आहे.

याचा अर्थ x = 2/3 आणि y = 3/2.

उत्तर: (2/3; 3/2).

अंदाज पद्धत

उदाहरण ३.

समीकरण सोडवा: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

उपाय.

प्रत्येक ब्रॅकेटमध्ये आम्ही संपूर्ण चौरस निवडतो:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. चला अंदाज लावूया कंसातील अभिव्यक्तींचा अर्थ.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 आणि (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, नंतर समीकरणाची डावी बाजू नेहमी किमान 2 असते. समानता शक्य आहे जर:

(x + 1) 2 + 1 = 1 आणि (y – 2) 2 + 2 = 2, म्हणजे x = -1, y = 2.

उत्तर: (-1; 2).

दुसऱ्या पदवीच्या दोन चलांसह समीकरणे सोडवण्याची दुसरी पद्धत जाणून घेऊया. या पद्धतीमध्ये समीकरण असे मानले जाते काही व्हेरिएबलच्या संदर्भात चौरस.

उदाहरण ४.

समीकरण सोडवा: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

उपाय.

x साठी चतुर्भुज समीकरण म्हणून समीकरण सोडवू. चला भेदभाव शोधूया:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . समीकरणाला D = 0, म्हणजे y = 4 असल्यासच समाधान मिळेल. आपण मूळ समीकरणात y चे मूल्य बदलतो आणि ते x = 3 शोधतो.

उत्तर: (3; 4).

अनेकदा दोन अज्ञात असलेल्या समीकरणांमध्ये ते सूचित करतात व्हेरिएबल्सवरील निर्बंध.

उदाहरण ५.

समीकरण पूर्ण संख्यांमध्ये सोडवा: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

उपाय.

चला समीकरण x 2 = -5y 2 + 20x + 2 या फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू. 5 ने भागल्यावर परिणामी समीकरणाची उजवी बाजू 2 चा उरलेला भाग देते. म्हणून, x 2 ला 5 ने भाग जात नाही. परंतु a चा वर्ग 5 ने भाग न येणारी संख्या 1 किंवा 4 उरते. अशा प्रकारे, समानता अशक्य आहे आणि कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर: मुळे नाहीत.

उदाहरण 6.

समीकरण सोडवा: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

उपाय.

चला प्रत्येक ब्रॅकेटमधील पूर्ण चौरस हायलाइट करूया:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरणाची डावी बाजू नेहमी 3 पेक्षा मोठी किंवा समान असते. समानता प्रदान करणे शक्य आहे |x| – 2 = 0 आणि y + 3 = 0. अशा प्रकारे, x = ± 2, y = -3.

उत्तर: (2; -3) आणि (-2; -3).

उदाहरण 7.

समीकरणाचे समाधान करणाऱ्या ऋण पूर्णांकांच्या (x;y) प्रत्येक जोडीसाठी
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, बेरीज (x + y) काढा. कृपया तुमच्या उत्तरात सर्वात लहान रक्कम दर्शवा.

उपाय.

चला पूर्ण चौरस निवडा:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x आणि y पूर्णांक असल्याने, त्यांचे वर्ग देखील पूर्णांक आहेत. आपण 1 + 36 जोडल्यास दोन पूर्णांकांच्या वर्गांची बेरीज 37 इतकी मिळते. म्हणून:

(x – y) 2 = 36 आणि (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 आणि (y + 2) 2 = 36.

या प्रणालींचे निराकरण करून आणि x आणि y नकारात्मक आहेत हे लक्षात घेऊन, आम्हाला उपाय सापडतात: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

उत्तर:-17.

तुम्हाला दोन अज्ञात व्यक्तींसह समीकरणे सोडवण्यात अडचण येत असल्यास निराश होऊ नका. थोड्या सरावाने तुम्ही कोणतेही समीकरण हाताळू शकता.

अद्याप प्रश्न आहेत? दोन चलांमधील समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
शिक्षकाकडून मदत मिळवण्यासाठी, नोंदणी करा.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

सूचना

प्रतिस्थापन पद्धत एक्सप्रेस एक व्हेरिएबल आणि त्यास दुसर्‍या समीकरणात बदला. आपण आपल्या विवेकबुद्धीनुसार कोणतेही चल व्यक्त करू शकता. उदाहरणार्थ, दुसऱ्या समीकरणातून y व्यक्त करा:
x-y=2 => y=x-2 नंतर सर्व गोष्टी पहिल्या समीकरणात बदला:
2x+(x-2)=10 “x” शिवाय सर्व काही उजव्या बाजूला हलवा आणि गणना करा:
2x+x=10+2
3x=12 पुढे, x मिळविण्यासाठी, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने विभाजित करा:
x=4. तर, तुम्हाला “x” आढळला. शोधा "y. हे करण्यासाठी, ज्या समीकरणातून तुम्ही "y" व्यक्त केले त्यामध्ये "x" ला बदला:
y=x-2=4-2=2
y=2.

एक चेक करा. हे करण्यासाठी, समीकरणांमध्ये परिणामी मूल्ये बदला:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात बरोबर सापडले आहेत!

समीकरणे जोडण्याचा किंवा वजा करण्याचा मार्ग कोणत्याही व्हेरिएबलपासून लगेच मुक्त व्हा. आमच्या बाबतीत, हे करणे सोपे आहे “y.
समीकरणात “y” मध्ये “+” चिन्ह आहे आणि दुसर्‍यामध्ये “-” आहे, तर तुम्ही जोडणी ऑपरेशन करू शकता, म्हणजे. डावीकडे डावीकडे दुमडणे आणि उजवीकडे उजवीकडे दुमडणे:
2x+y+(x-y)=10+2 रूपांतर:
2x+y+x-y=10+2
३x=१२
x=4कोणत्याही समीकरणात "x" ची जागा घ्या आणि "y" शोधा:
2*4+y=10
८+y=१०
y=10-8
y=2 1ली पद्धत वापरून, तुम्ही मुळे बरोबर सापडली आहेत हे तपासू शकता.

जर स्पष्टपणे परिभाषित व्हेरिएबल्स नसतील तर समीकरणांचे किंचित रूपांतर करणे आवश्यक आहे.
पहिल्या समीकरणात आपल्याकडे "2x" आहे, आणि दुसर्‍या समीकरणात फक्त "x" आहे. जोडताना किंवा वजा करताना x कमी करण्यासाठी, दुसरे समीकरण 2 ने गुणा:
x-y=2
2x-2y=4 नंतर पहिल्या समीकरणातून दुसरे वजा करा:
2x+y-(2x-2y)=10-4 लक्षात घ्या की कंसाच्या समोर उणे असल्यास, उघडल्यानंतर, चिन्हे विरुद्ध चिन्हांमध्ये बदला:
2x+y-2x+2y=6
3u = 6
कोणत्याही समीकरणातून व्यक्त करून y=2x शोधा, उदा.
x=4

विषयावरील व्हिडिओ

विभेदक समीकरणे सोडवताना, वितर्क x (किंवा भौतिक समस्यांमधील वेळ t) नेहमी स्पष्टपणे उपलब्ध नसतो. असे असले तरी, हे विभेदक समीकरण निर्दिष्ट करण्याचे एक सरलीकृत विशेष प्रकरण आहे, जे सहसा त्याच्या अविभाज्यतेचा शोध सुलभ करण्यात मदत करते.

सूचना

भौतिकशास्त्राच्या समस्येचा विचार करा ज्याचा परिणाम भिन्न समीकरणामध्ये होतो ज्यामध्ये t हा युक्तिवाद गहाळ आहे. उभ्या समतल r लांबीच्या थ्रेडवर निलंबित केलेल्या वस्तुमान m च्या दोलनांबद्दल ही समस्या आहे. पेंडुलमच्या गतीचे समीकरण आवश्यक आहे जर ते सुरुवातीला गतिहीन असेल आणि समतोल स्थितीपासून α कोनाने झुकले असेल. शक्तींकडे दुर्लक्ष केले पाहिजे (चित्र 1a पहा).

उपाय. गणितीय पेंडुलम हा एक भौतिक बिंदू आहे जो वजनहीन आणि अगम्य धाग्यावर O बिंदूवर निलंबित केला जातो. दोन बल बिंदूवर कार्य करतात: गुरुत्वाकर्षण बल G=mg आणि धाग्याचे ताण बल. ही दोन्ही शक्ती उभ्या समतल भागात असतात. . म्हणून, समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, तुम्ही O बिंदूमधून जाणाऱ्या क्षैतिज अक्षाभोवती बिंदूच्या रोटेशनल गतीचे समीकरण लागू करू शकता. शरीराच्या घूर्णन गतीचे समीकरण अंजीर मध्ये दर्शविलेले स्वरूप आहे. 1 ब. या प्रकरणात, मी भौतिक बिंदूच्या जडत्वाचा क्षण आहे; j हा बिंदूसह थ्रेडच्या फिरण्याचा कोन आहे, जो उभ्या अक्षावरून घड्याळाच्या उलट दिशेने मोजला जातो; M हा भौतिक बिंदूवर लागू केलेल्या शक्तींचा क्षण आहे.

या मूल्यांची गणना करा. I=mr^2, M=M(G)+M(N). पण M(N)=0, कारण बलाच्या क्रियेची रेषा O बिंदूमधून जाते. M(G)=-mgrsinj. "-" चिन्हाचा अर्थ असा आहे की शक्तीचा क्षण हालचालीच्या विरुद्ध दिशेने निर्देशित केला जातो. गतीच्या समीकरणामध्ये जडत्वाचा क्षण आणि बलाचा क्षण बदला आणि अंजीर मध्ये दाखवलेले समीकरण मिळवा. 1से. वस्तुमान कमी करून, एक संबंध उदयास येतो (चित्र 1d पहा). येथे कोणताही वाद नाही.

चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे आपण आधीच शिकलो आहोत. आता अभ्यास केलेल्या पद्धतींचा विस्तार तर्कसंगत समीकरणांपर्यंत करू.

तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती म्हणजे काय? आम्ही या संकल्पनेचा आधीच सामना केला आहे. तर्कशुद्ध अभिव्यक्तीअंक, चल, त्यांची शक्ती आणि गणितीय क्रियांची चिन्हे याने बनलेली अभिव्यक्ती आहेत.

त्यानुसार, तर्कसंगत समीकरणे ही फॉर्मची समीकरणे आहेत: , कुठे - तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती.

पूर्वी, आम्ही फक्त त्या तर्कसंगत समीकरणांचा विचार केला होता जी रेषीय समीकरणांवर कमी केली जाऊ शकतात. आता ती परिमेय समीकरणे पाहू ज्यांना चतुर्भुज समीकरणे कमी करता येतात.

उदाहरण १

समीकरण सोडवा: .

उपाय:

अपूर्णांक ० च्या बरोबरीचा असतो आणि फक्त जर त्याचा अंश ० सारखा असेल आणि त्याचा भाजक ० च्या बरोबर नसेल.

आम्हाला खालील प्रणाली मिळते:

प्रणालीचे पहिले समीकरण हे चतुर्भुज समीकरण आहे. ते सोडवण्याआधी, त्याचे सर्व गुणांक 3 ने विभाजित करू. आम्हाला मिळते:

आम्हाला दोन मुळे मिळतात: ; .

2 कधीही 0 च्या बरोबरीचे नसल्यामुळे, दोन अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत: . वरील प्राप्त समीकरणाचे कोणतेही मूळ दुसरी असमानता सोडवताना प्राप्त झालेल्या चलच्या अवैध मूल्यांशी जुळत नसल्यामुळे, ते दोन्ही या समीकरणाचे निराकरण आहेत.

उत्तर:.

तर, तर्कसंगत समीकरणे सोडवण्यासाठी एक अल्गोरिदम तयार करूया:

1. सर्व संज्ञा डावीकडे हलवा जेणेकरून उजवी बाजू 0 ने संपेल.

2. डाव्या बाजूचे रूपांतर आणि सरलीकरण करा, सर्व अपूर्णांकांना एका सामान्य भाजकावर आणा.

3. खालील अल्गोरिदम वापरून परिणामी अपूर्णांकाची बरोबरी करा: .

4. पहिल्या समीकरणात मिळालेली मुळे लिहा आणि उत्तरातील दुसरी असमानता पूर्ण करा.

आणखी एक उदाहरण पाहू.

उदाहरण २

समीकरण सोडवा: .

उपाय

अगदी सुरुवातीला, आम्ही सर्व अटी डावीकडे हलवतो जेणेकरून 0 उजवीकडे राहील. आम्हाला मिळते:

आता समीकरणाची डावी बाजू एका सामान्य भाजकाकडे आणू:

हे समीकरण प्रणालीशी समतुल्य आहे:

प्रणालीचे पहिले समीकरण हे चतुर्भुज समीकरण आहे.

या समीकरणाचे गुणांक: . आम्ही भेदभावाची गणना करतो:

आम्हाला दोन मुळे मिळतात: ; .

आता दुसरी असमानता सोडवू: घटकांचे गुणन 0 च्या बरोबरीचे नाही आणि जर घटकांपैकी एकही 0 च्या बरोबर नसेल तरच.

दोन अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत: . पहिल्या समीकरणाच्या दोन मुळांपैकी एकच योग्य आहे - 3.

उत्तर:.

या धड्यात, आम्ही तर्कसंगत अभिव्यक्ती काय आहे हे लक्षात ठेवले आणि परिमेय समीकरणे कशी सोडवायची हे देखील शिकलो, जे चतुर्भुज समीकरणांवर कमी होते.

पुढील धड्यात आपण तर्कसंगत समीकरणे वास्तविक परिस्थितीचे मॉडेल म्हणून पाहू आणि गती समस्या देखील पाहू.

संदर्भग्रंथ

1. बाश्माकोव्ह एम.आय. बीजगणित, 8 वी इयत्ता. - एम.: शिक्षण, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. आणि इतर. बीजगणित, 8. 5वी आवृत्ती. - एम.: शिक्षण, 2010.
3. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव्ह एम.ए., रेशेतनिकोव्ह एन.एन., शेव्हकिन ए.व्ही. बीजगणित, 8 वी इयत्ता. सामान्य शिक्षण संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक. - एम.: शिक्षण, 2006.

1. अध्यापनशास्त्रीय कल्पनांचा उत्सव "ओपन लेसन" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

गृहपाठ