Зэрэг бүхий бүх үйлдэл. Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Тоог өөрөө үржүүлэх үйлдлийг хялбарчлахад хүчийг ашигладаг. Жишээлбэл, бичихийн оронд та бичиж болно 4 5 (\displaystyle 4^(5))(энэ шилжилтийн тайлбарыг энэ зүйлийн эхний хэсэгт өгсөн болно). Зэрэг нь урт эсвэл бичихэд хялбар болгодог нарийн төвөгтэй илэрхийллүүдэсвэл тэгшитгэл; хүчийг нэмэх, хасахад хялбар байдаг тул хялбаршуулсан илэрхийлэл эсвэл тэгшитгэл (жишээлбэл, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Жич:Хэрэв та экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бол (ийм тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нь экспонентт байдаг) уншина уу.

Алхам

Зэрэгтэй энгийн бодлого бодох

Экспонентийн суурийг хэд хэдэн удаа үржүүлээрэй.Хэрэв та эрчим хүчний асуудлыг гараар шийдэх шаардлагатай бол чадлын суурь нь өөрөө үржүүлдэг үржүүлэх үйлдэл болгон хүчийг дахин бичнэ үү. Жишээлбэл, эрдмийн зэрэг өгсөн 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Энэ тохиолдолд 3-р чадлын суурийг өөрөө 4 дахин үржүүлэх шаардлагатай. 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Энд бусад жишээнүүд байна:

Эхлээд эхний хоёр тоог үржүүлнэ.Жишээлбэл, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Санаа зоволтгүй - тооцоолох үйл явц нь эхлээд харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Эхлээд эхний хоёр дөрөвийг үржүүлээд дараа нь үр дүнгээр нь солино. Үүнтэй адил:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Үр дүнг (бидний жишээнд 16) дараагийн тоогоор үржүүлнэ.Дараагийн үр дүн бүр пропорциональ өсөх болно. Бидний жишээн дээр 16-г 4-р үржүүлээрэй. Үүнтэй адил:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Эцсийн хариултаа авах хүртлээ эхний хоёр тооны үр дүнг дараагийн тоогоор үржүүл. Үүнийг хийхийн тулд эхний хоёр тоог үржүүлээд дараа нь гарсан үр дүнг дараагийн тоогоор үржүүлнэ. Энэ арга нь ямар ч түвшинд хүчинтэй. Бидний жишээн дээр та дараахь зүйлийг авах ёстой. 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Дараах асуудлыг шийднэ үү.Хариултаа тооцоолуур ашиглан шалгана уу.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Тооны машин дээрээ "exp" эсвэл " гэсэн шошготой түлхүүрийг олоорой. x n (\displaystyle x^(n))", эсвэл "^".Энэ товчлуурыг ашигласнаар та тоог нэг том болгох болно. Гараар том үзүүлэлттэй зэрэг тооцох нь бараг боломжгүй юм (жишээлбэл, зэрэг 9 15 (\displaystyle 9^(15))), гэхдээ тооцоолуур энэ ажлыг амархан даван туулж чадна. Windows 7-д стандарт тооцоолуурыг инженерийн горимд шилжүүлж болно; Үүнийг хийхийн тулд "Харах" -> "Инженерчлэл" дээр дарна уу. Энгийн горимд шилжихийн тулд "Харах" -> "Хэвийн" дээр дарна уу.

   • Хариултаа ашиглан шалгана уу хайлтын систем(Google эсвэл Yandex). Компьютерийн гар дээрх "^" товчийг ашиглан хайлтын системд тухайн илэрхийллийг оруулснаар зөв хариултыг шууд харуулах болно (мөн танд судлахад ижил төстэй хэллэг санал болгож магадгүй).

   Хүчний нэмэх, хасах, үржүүлэх

   1. Зөвхөн ижил суурьтай тохиолдолд та градус нэмэх, хасах боломжтой.Хэрэв та зэрэг нэмэх шаардлагатай бол ижил үндэслэлээрба илтгэгч, дараа нь нэмэх үйлдлийг үржүүлэх үйлдлээр сольж болно. Жишээлбэл, илэрхийлэл өгсөн 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). зэрэг гэдгийг санаарай 4 5 (\displaystyle 4^(5))хэлбэрээр төлөөлж болно 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Тиймээс, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(энд 1 +1 =2). Өөрөөр хэлбэл, ижил төстэй градусын тоог тоолж, дараа нь тэр зэрэг болон энэ тоог үржүүлнэ. Бидний жишээн дээр 4-ийг тав дахь зэрэглэл рүү өсгөж, үр дүнг 2-оор үржүүлнэ. Нэмэх үйлдлийг үржүүлэх үйлдлээр сольж болно гэдгийг санаарай, жишээ нь: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Энд бусад жишээнүүд байна:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчийг нэмнэ (суурь нь өөрчлөгдөхгүй).Жишээ нь, илэрхийлэл өгсөн x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Энэ тохиолдолд та зөвхөн үзүүлэлтүүдийг нэмж, суурийг өөрчлөхгүй байх хэрэгтэй. Тиймээс, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Энэ дүрмийн харааны тайлбарыг энд оруулав.

      Хүчин чадлыг өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ.Жишээлбэл, эрдмийн зэрэг олгодог. Нэгэнт илтгэгчийг үржүүлдэг (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Энэ дүрмийн гол утга нь та эрх мэдлээр үржиж байгаа явдал юм (x 2) (\displaystyle (x^(2)))өөрөө таван удаа. Үүнтэй адил:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Суурь нь ижил тул илтгэгчийг нэмбэл: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Зэрэг c сөрөг үзүүлэлтбутархай (урвуу хүч) болгон хувиргах ёстой.Хоёр талын зэрэг гэж юу байдгийг мэдэхгүй ч хамаагүй. Хэрэв танд сөрөг үзүүлэлттэй зэрэг өгөгдсөн бол, жишээ нь. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), энэ зэрэглэлийг бутархайн хуваарьт бичээд (тоологч хэсэгт 1-ийг тавь), илтгэгчийг эерэг болго. Бидний жишээнд: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Энд бусад жишээнүүд байна:

      Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасна (суурь нь өөрчлөгдөхгүй).Хуваах үйлдэл нь үржүүлэх үйлдлийн эсрэг үйлдэл юм. Жишээлбэл, илэрхийлэл өгсөн 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Хуваагч дахь илтгэгчийг тоологч дахь илтгэгчээс хасна (суурийг бүү өөрчил). Тиймээс, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Хуваагч дахь хүчийг дараах байдлаар бичиж болно. 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Бутархай нь сөрөг илтгэгчтэй тоо (хүч, илэрхийлэл) гэдгийг санаарай.

   4. Доорх илэрхийлэл нь илтгэгчтэй бодлогыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад тань туслах болно.Өгөгдсөн илэрхийллүүд нь энэ хэсэгт танилцуулсан материалыг хамарна. Хариултыг харахын тулд тэнцүү тэмдгийн дараа хоосон зайг сонгоход хангалттай.

   Бутархай илтгэгчтэй бодлого бодох

   Бутархай илтгэгчтэй хүчийг (жишээ нь, ) үндсэн үйлдэл болгон хувиргадаг.Бидний жишээнд: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Энд бутархай илтгэгчийн хуваарьт ямар тоо байх нь хамаагүй. Жишээлбэл, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x"-ийн дөрөв дэх үндэс, өөрөөр хэлбэл x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Хэрэв илтгэгч нь буруу бутархай бол асуудлын шийдлийг хялбарчлахын тулд илтгэгчийг хоёр зэрэгт хувааж болно. Үүнд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй - зөвхөн хүчийг үржүүлэх дүрмийг санаарай. Жишээлбэл, эрдмийн зэрэг олгодог. Ийм хүчийг бутархай илтгэгчийн хуваагчтай тэнцэх язгуур болгон хувиргаж, дараа нь энэ язгуурыг бутархай илтгэгчийн хуваагчтай тэнцүү зэрэгт өсгөнө. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг санаарай = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)*5)

      • . Бидний жишээнд:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Зарим тооны машинууд илтгэгчийг тооцоолох товчлууртай байдаг (та эхлээд суурийг оруулаад дараа нь товчлуурыг дарж, дараа нь экспонентыг оруулах ёстой). Үүнийг ^ эсвэл x^y гэж тэмдэглэнэ. Эхний зэрэгтэй ямар ч тоо нь өөртэй нь тэнцүү гэдгийг санаарай, жишээлбэл, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Түүгээр ч барахгүй, нэгээр үржүүлсэн эсвэл хуваасан аливаа тоо нь өөртэйгөө тэнцүү, жишээлбэл. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Тэгээд.
   4. 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) 0 0 хүч байхгүй гэдгийг мэдэж аваарай (ийм хүч нь шийдэлгүй). Хэрэв та ийм зэрэглэлийг тооны машин эсвэл компьютер дээр шийдэх гэж оролдвол алдаа гарах болно. Гэхдээ тэг хүчин чадалтай ямар ч тоо 1 гэдгийг санаарай, жишээлбэл,
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) INдээд математик , төсөөлөлтэй тоогоор ажилладаг: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Хаана i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))

   ; e нь ойролцоогоор 2.7-тэй тэнцүү тогтмол байна; a нь дурын тогтмол юм. Энэ тэгш байдлын баталгааг дээд математикийн ямар ч сурах бичгээс олж болно.

   • Анхааруулга

Экспонент нэмэгдэхийн хэрээр түүний утга ихээхэн нэмэгддэг. Тиймээс хэрэв хариулт танд буруу мэт санагдаж байвал энэ нь үнэхээр зөв байж магадгүй юм. Та үүнийг 2 x гэх мэт аливаа экспоненциал функцийн графикаар шалгаж болно. I. Ажил n хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байнаА Ажилдуудсан хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна-тооны р зэрэглэл хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байнаболон томилогдсон.

n Жишээ.

1) мммм; 2) ааабб; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Шийдэл.

1) мммм=м 4, учир нь, зэрэг тодорхойлолтоор, дөрвөн хүчин зүйлийн үржвэр, тус бүр тэнцүү байна м, болно м-ийн дөрөв дэх хүч.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II.Хэд хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг олох үйлдлийг экспоненциал гэж нэрлэдэг. Хүчин чадалд хүрсэн тоог чадлын суурь гэж нэрлэдэг. Суурь ямар чадлаар өргөгдсөнийг илтгэх тоог илтгэгч гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр, хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байнаболон томилогдсон- зэрэг, хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна- зэрэг олгох үндэслэл, Ажил– илтгэгч. Жишээ нь:

2 3 — энэ бол эрдмийн зэрэг юм. Тоо 2 зэрэгийн суурь, илтгэгч нь тэнцүү байна 3 . Зэрэглэлийн үнэ цэнэ 2 3 тэнцүү байна 8, учир нь 2 3 =2·2·2=8.

n Дараах илэрхийллүүдийг илтгэгчгүйгээр бич.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2.

Шийдэл.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = ааа-ббб; 8) 2a 4 +3b 2 = 2аааа+3бб.

III.ба 0 =1 Ямар ч тоо (тэгээс бусад) тэг хүртэлх хүчин чадал нь нэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 0 =1.
IV. a 1 =aЭхний түвшний аль ч тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна.

В.а м∙ a n= а м + болон томилогдсон Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд суурь нь ижил, илтгэгч нь хэвээр үлдэнэ атираат

Жишээ. Хялбарчлах:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Шийдэл.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI.а м: a n= а м - болон томилогдсонИжил суурьтай хүчийг хуваахдаа суурь нь хэвээр үлдэж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.

Жишээ. Хялбарчлах:

12) a 8:a 3; 13) м 11: м 4; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)м 11:м 4=м 11-4 =м 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (а м) болон томилогдсон= a mn Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлнэ.

Жишээ. Хялбарчлах:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Анхаарна уу, хүчин зүйлүүдийг дахин зохицуулахаас бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул, Тэр:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

ВI II. (a∙b) n =a n ∙b n

Жишээ. Хялбарчлах:

Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгоход хүчин зүйл бүрийг тухайн хүчин чадалд шилжүүлдэг.

Шийдэл.

17) (2a 2) 5 ; 18) 0.2 6 5 6; 19) 0.25 2 40 2. 17) (2a 2) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0.2 6 5 6

=(0.2·5) 6 =1 6 =1; 19) 0.25 2 40 2

=(0.25·40) 2 =10 2 =100. IX.

Жишээ. Хялбарчлах:

Шийдэл.

Бутархайг зэрэглэлд хүргэх үед бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа тэрхүү хэмжээнд нэмэгдэнэ.

1 хуудасны 1 1

Сэдвийн хичээл: "Ижил ба өөр илтгэгчтэй хүчийг үржүүлэх, хуваах дүрэм. Жишээ".
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай. Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

7-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
Сурах бичгийн гарын авлага Ю.Н. Макарычевагийн сурах бичгийн гарын авлага А.Г. Мордкович

Хичээлийн зорилго: Тоонуудын хүчээр үйлдлүүдийг хийж сурах.

Эхлээд "тооны хүч" гэсэн ойлголтыг санацгаая. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ хэлбэрийн илэрхийллийг $a^n$ хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Мөн эсрэгээр нь үнэн: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Энэ тэгш байдлыг "зэрэглэлийг бүтээгдэхүүн болгон бүртгэх" гэж нэрлэдэг. Энэ нь хүчийг хэрхэн үржүүлж, хуваахыг тодорхойлоход тусална.
Санаж байна уу:
а- зэрэг олгох үндэслэл.
Ажил– илтгэгч.
Хэрэв n=1, энэ нь тоо гэсэн үг хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байнанэг удаа авсан бөгөөд үүний дагуу: $a^n= 1$.
Хэрэв n= 0, дараа нь $a^0= 1$.

Эрх мэдлийг үржүүлэх, хуваах дүрэмтэй танилцсанаар бид яагаад ийм зүйл болдгийг олж мэдэх боломжтой.

Үржүүлэх дүрэм

a) Хэрэв ижил суурьтай хүчийг үржүүлбэл.
$a^n * a^m$ авахын тулд бид градусуудыг бүтээгдэхүүн болгон бичнэ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(м)$.
Зураг нь тоог харуулж байна хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байнаавсан n+mудаа, дараа нь $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Жишээ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Энэ өмч нь тоог илүү өндөр түвшинд хүргэх ажлыг хялбарчлахад тохиромжтой.
Жишээ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Хэрэв суурь нь өөр өөр градустай боловч ижил илтгэгчийг үржүүлсэн бол.
$a^n * b^n$ авахын тулд бид градусуудыг бүтээгдэхүүн болгон бичнэ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(м)$.
Хэрэв бид хүчин зүйлүүдийг сольж, үүссэн хосуудыг тоолвол $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ болно.

Тэгэхээр $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Жишээ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Хуваалтын дүрэм

a) Зэрэглэлийн суурь нь ижил, үзүүлэлтүүд нь өөр.
Бага илтгэгчтэй хүчийг хуваах замаар илүү том илтгэгчтэй хүчийг хуваах талаар бодож үзээрэй.

Тиймээс, бидэнд хэрэгтэй $\фрак(а^н)(а^м)$ e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) н>м.

Зэрэглэлүүдийг бутархай хэлбэрээр бичье.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид хуваалтыг энгийн бутархай хэлбэрээр бичдэг.

Одоо бутархайг багасгая.

Эндээс харахад: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
гэсэн үг, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Энэ өмч нь тоог тэг хүртэл өсгөх нөхцөл байдлыг тайлбарлахад тусална. Ингэж бодъё n=m, дараа нь $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Жишээ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Зэрэглэлийн суурь нь өөр, үзүүлэлтүүд нь ижил байна.
Бидэнд $\frac(a^n)( b^n)$ хэрэгтэй гэж бодъё. Тоонуудын хүчийг бутархай болгон бичье.

$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Тохиромжтой болгохын тулд төсөөлөөд үз дээ.

Бутархайн шинж чанарыг ашиглан бид том бутархайг жижиг хэсгүүдийн үржвэрт хуваана.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Үүний дагуу: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Жишээ.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Юу болов экспоненциал тэгшитгэл? Энэ бол үл мэдэгдэх (х) ба тэдгээртэй илэрхийлэгдэх тэгшитгэл юм үзүүлэлтүүдзарим градус. Зөвхөн тэнд! Энэ бол чухал.

Энд байна жишээнүүд экспоненциал тэгшитгэл :

3 x 2 x = 8 x+3

Анхаар! Зэрэглэлийн үндсэн дээр (доор) - зөвхөн тоо. IN үзүүлэлтүүдградус (дээр) - X тэмдэгтэй олон төрлийн илэрхийлэл. Хэрэв тэгшитгэлд заагчаас өөр газар гэнэт X гарч ирвэл, жишээлбэл:

Энэ нь аль хэдийн холимог төрлийн тэгшитгэл байх болно. Ийм тэгшитгэлд тэдгээрийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэм байдаггүй. Бид тэдгээрийг одоогоор авч үзэхгүй. Энд бид шийдвэрлэх болно экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэххамгийн цэвэр хэлбэрээр.

Үнэн хэрэгтээ цэвэр экспоненциал тэгшитгэлүүд хүртэл үргэлж тодорхой шийдэгддэггүй. Гэхдээ байдаг тодорхой төрөлшийдэж болох ба шийдвэрлэх ёстой экспоненциал тэгшитгэлүүд. Эдгээр нь бидний авч үзэх төрлүүд юм.

Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Эхлээд маш энгийн зүйлийг шийдье. Жишээ нь:

Ямар ч онолгүй ч гэсэн энгийн сонголтоор х = 2 гэдэг нь ойлгомжтой. Өөр юу ч биш, тийм ээ!? X-ийн өөр утга ажиллахгүй. Одоо энэ төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийн шийдлийг харцгаая.

Бид юу хийсэн бэ? Бид үнэндээ ижил суурийг (гурвалсан) хаясан. Бүрэн хаягдсан. Сайн мэдээ гэвэл бид толгой дээрээ хадаас цохив!

Үнэн хэрэгтээ, экспоненциал тэгшитгэлд баруун ба зүүн гэсэн хоёр байдаг адилханаль ч зэрэглэлд байгаа тоонууд, эдгээр тоонуудыг хасч, илтгэгчийг тэнцүүлж болно. Математик зөвшөөрдөг. Илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх л үлдлээ. Гайхалтай, тийм үү?)

Гэсэн хэдий ч бид хатуу санаж байна: Зүүн ба баруун талын үндсэн тоонууд гайхалтай тусгаарлагдсан үед л та суурийг устгаж болно!Ямар ч хөрш, коэффициентгүйгээр. Тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хэлье.

2 x +2 x+1 = 2 3, эсвэл

хоёрыг арилгах боломжгүй!

За, бид хамгийн чухал зүйлийг эзэмшсэн. Муу экспоненциал илэрхийллээс энгийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжих вэ.

"Тэр бол цаг үе юм!" - чи хэлж байна. "Хэн шалгалт, шалгалтын талаар ийм энгийн хичээл заах вэ!?"

Би зөвшөөрөх ёстой. Хэн ч тэгэхгүй. Харин одоо та төвөгтэй жишээг шийдвэрлэхдээ хаашаа чиглэхээ мэддэг болсон. Үүнийг зүүн, баруун талд ижил үндсэн дугаартай хэлбэрт оруулах ёстой. Дараа нь бүх зүйл илүү хялбар болно. Үнэндээ энэ бол математикийн сонгодог бүтээл юм. Бид анхны жишээг аваад хүссэн болгон хувиргадаг бидоюун ухаан. Мэдээжийн хэрэг математикийн дүрмийн дагуу.

Тэдгээрийг хамгийн энгийн болгож багасгахын тулд нэмэлт хүчин чармайлт шаарддаг жишээнүүдийг харцгаая. Тэднийг дуудъя энгийн экспоненциал тэгшитгэл.

Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гол дүрмүүд нь байдаг зэрэгтэй үйлдлүүд.Эдгээр үйлдлүүдийг мэдэхгүй бол юу ч ажиллахгүй.

Эрдмийн зэрэгтэй үйлдлүүд дээр хүн хувийн ажиглалт, ур чадвар нэмэх ёстой. Бидэнд ижил суурь тоо хэрэгтэй юу? Тиймээс бид тэдгээрийг жишээн дээр тодорхой эсвэл шифрлэгдсэн хэлбэрээр хайж байна.

Үүнийг практикт хэрхэн яаж хийхийг харцгаая?

Бидэнд жишээ өгье:

2 2x - 8 x+1 = 0

Эхний хурц харц бол дараах үндэслэл.Тэд... Тэд өөр! Хоёр ба найм. Гэхдээ сэтгэлээр унахад эрт байна. Үүнийг санах цаг болжээ

Хоёр, найм нь зэрэгтэй хамаатан юм.) Үүнийг бичих бүрэн боломжтой.

8 x+1 = (2 3) x+1

Хэрэв бид градустай үйлдлүүдийн томъёог эргэн санавал:

(a n) m = a nm ,

Энэ нь маш сайн ажилладаг:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Анхны жишээ иймэрхүү харагдаж эхлэв.

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Бид шилжүүлдэг 2 3 (x+1)баруун талд (хэн ч математикийн энгийн үйлдлүүдийг цуцалсангүй!), бид дараахь зүйлийг авна.

2 2x = 2 3(x+1)

Энэ бол бараг бүх зүйл. Суурийг арилгах:

Бид энэ мангасыг шийдэж, авна

Энэ бол зөв хариулт юм.

Энэ жишээн дээр хоёрын хүчийг мэдэх нь бидэнд тусалсан. Бид тодорхойлсоннаймд шифрлэгдсэн хоёр байна. Энэхүү техник (нийтлэг үндэслэлийг шифрлэх өөр өөр тоо) нь экспоненциал тэгшитгэлд маш алдартай арга юм! Тийм ээ, мөн логарифм дээр. Та тоон доторх бусад тоонуудын хүчийг таних чадвартай байх хэрэгтэй. Энэ нь экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш чухал юм.

Ямар ч тоог ямар ч хүчинд өсгөх нь асуудал биш юм. Цаасан дээр ч гэсэн үржүүлээрэй, тэгээд л болоо. Жишээлбэл, хэн ч 3-аас тав дахь хүчийг өсгөж болно. Хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийг мэддэг бол 243 ажиллах болно.) Гэхдээ экспоненциал тэгшитгэлд ихэвчлэн хүчийг нэмэгдүүлэх шаардлагагүй, харин эсрэгээр... Үүнийг олж мэдээрэй. ямар тоо ямар хэмжээнд байна 243-ын ард нуугдаж байна, эсвэл 343 гэх мэт... Энд ямар ч тооны машин танд туслахгүй.

Зарим тооны хүчийг нүдээр нь мэдэх хэрэгтэй, тийм ээ... Дасгал хийцгээе?

Тоонууд нь ямар хүчин чадалтай, ямар тоотой болохыг тодорхойл.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Хариултууд (мэдээж эмх замбараагүй байна!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Хэрэв та анхааралтай ажиглавал харж болно хачирхалтай баримт. Даалгавраас хамаагүй илүү хариултууд байдаг! За, ийм зүйл тохиолддог ... Жишээ нь, 2 6, 4 3, 8 2 - энэ бүгд 64.

Та тоонуудтай танилцсан тухай мэдээллийг анхаарч үзсэн гэж бодъё.) Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд бид ашигладаг гэдгийг сануулъя. бүгдматематикийн мэдлэгийн нөөц. Үүнд бага, дунд ангийнхан орно. Чи шууд ахлах сургуульд ороогүй биз дээ?)

Жишээлбэл, экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах нь ихэвчлэн тусалдаг (7-р ангидаа сайн уу!). Нэг жишээг харцгаая:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Дахин хэлэхэд, анхны харц нь суурь дээр байна! Зэрэглэлийн суурь нь өөр... Гурав ба ес. Мөн бид тэднийг адилхан байгаасай гэж хүсч байна. За, энэ тохиолдолд хүсэл бүрэн биелсэн!) Учир нь:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Зэрэгтэй харьцахдаа ижил дүрмийг ашиглана уу:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Гайхалтай, та үүнийг бичиж болно:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ татсан. Тэгээд дараа нь яах вэ!? Та гурвыг хаяж болохгүй... Мөхөс үү?

Огт үгүй. Шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл бөгөөд хүчирхэг дүрмийг санаарай хүн бүрматематикийн даалгавар:

Хэрэв танд юу хэрэгтэйгээ мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!

Хараач, бүх зүйл бүтэх болно).

Энэ экспоненциал тэгшитгэлд юу байна Чадаххийх үү? Тийм ээ, зүүн талд нь зүгээр л хаалтнаас гаргахыг гуйж байна! 3 2x-ийн нийт үржүүлэгч нь үүнийг тодорхой харуулж байна. Оролдоод үзье, тэгээд харна:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Жишээ нь улам сайн болж байна!

Үндэслэлийг арилгахын тулд ямар ч коэффициентгүй цэвэр зэрэг хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна. 70 гэдэг тоо биднийг зовоож байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг 70-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

Өө! Бүх зүйл сайжирсан!

Энэ бол эцсийн хариулт.

Гэсэн хэдий ч ижил үндсэн дээр такси хийх боломжтой боловч тэдгээрийг арилгах боломжгүй юм. Энэ нь бусад төрлийн экспоненциал тэгшитгэлд тохиолддог. Энэ төрлийг эзэмшицгээе.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хувьсагчийг солих. Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийдье:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Нэгдүгээрт - ердийнх шиг. Нэг суурь руу шилжье. Хоёр тал руу.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Бид тэгшитгэлийг авна:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Энэ бол бидний цагийг өнгөрөөдөг газар юм. Өмнөх техникүүд яаж ч харсан бүтэхгүй. Бид өөр нэг хүчирхэг, бүх нийтийн аргыг зэвсэглэлээсээ гаргах хэрэгтэй болно. гэж нэрлэдэг хувьсах солих.

Аргын мөн чанар нь гайхалтай энгийн юм. Нэг төвөгтэй дүрсний оронд (бидний тохиолдолд - 2 x) бид өөр, илүү энгийн дүрс бичдэг (жишээлбэл - t). Ийм утгагүй мэт орлуулалт нь гайхалтай үр дүнд хүргэдэг!) Бүх зүйл зүгээр л ойлгомжтой, ойлгомжтой болно!

За тэгье

Дараа нь 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Бидний тэгшитгэлд бид бүх хүчийг x-ээр t-ээр солино.

За, та нарт үүр цайж байна уу?) Квадрат тэгшитгэлТа мартаагүй байна уу? Дискриминантаар дамжуулан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энд гол зүйл бол зогсохгүй байх явдал юм... Энэ бол одоохондоо хариулт биш, бидэнд t биш x хэрэгтэй. X-ууд руу буцаж орцгооё, i.e. Бид урвуу орлуулалт хийдэг. Эхлээд t 1:

Тиймээс,

Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:

Хм... Зүүн талд 2 х, баруун талд 1 ... Асуудал уу? Огт үгүй! Нэгж гэдгийг санахад хангалттай (хүчтэй үйлдлээс, тийм ээ ...). ямар чтоог тэг хүртэл. Ямар ч. Юу хэрэгтэй байна, бид үүнийг суулгана. Бидэнд хоёр хэрэгтэй. гэсэн утгатай:

Одоо л болоо. Бид 2 үндэстэй болсон:

Энэ бол хариулт юм.

At экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэцэст нь заримдаа та ямар нэгэн эвгүй илэрхийлэлтэй байдаг. Төрөл:

Энгийн хүчээр долоог хоёр болгож болохгүй. Тэд хамаатан садан биш... Бид яаж байх юм бэ? Хэн нэгэн андуурч магадгүй... Харин энэ сайтаас “Логарифм гэж юу вэ?” гэсэн сэдвийг уншсан хүн , зүгээр л бага зэрэг инээмсэглэж, хатуу гараар туйлын зөв хариултыг бичнэ:

Улсын нэгдсэн шалгалтын "В" даалгаварт ийм хариулт байх боломжгүй. Тодорхой дугаар шаардлагатай. Гэхдээ "С" даалгаварт энэ нь хялбар байдаг.

Энэ хичээл нь хамгийн түгээмэл экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээнүүдийг өгдөг. Гол санааг онцолж үзье.

Практик зөвлөгөө:

1. Юуны өмнө бид хардаг үндэслэлградус. Тэднийг хийх боломжтой юу гэж бид гайхаж байна адилхан.Үүнийг идэвхтэй ашиглах замаар хийхийг хичээцгээе зэрэгтэй үйлдлүүд.Х-гүй тоонуудыг мөн зэрэгт шилжүүлж болно гэдгийг битгий мартаарай!

2. Зүүн ба баруун талд байх үед экспоненциал тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахыг хичээдэг адилханямар ч эрх бүхий тоо. Бид ашигладаг зэрэгтэй үйлдлүүд 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) хүчин зүйлчлэл.Тоогоор юуг тоолж болох вэ, бид тоолдог.

3. Хэрэв хоёр дахь зөвлөгөө ажиллахгүй бол хувьсагчийг орлуулахыг оролдоно уу. Үр дүн нь амархан шийдэж болох тэгшитгэл байж болно. Ихэнхдээ - дөрвөлжин. Эсвэл бутархай, энэ нь мөн квадрат болж буурдаг.

4. төлөө амжилттай шийдэлЭкспоненциал тэгшитгэлийн хувьд та зарим тооны хүчийг "хараар" мэдэх хэрэгтэй.

Ердийнх шиг, хичээлийн төгсгөлд таныг бага зэрэг шийдэхийг урьж байна.) Өөрөө. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийд:

Илүү хэцүү:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Үндэсийн үржвэрийг ол:

2 3 + 2 x = 9

Энэ ажилласан уу?

За, тэгвэл маш нарийн төвөгтэй жишээ (хэдийгээр үүнийг оюун ухаанд шийдэж болно ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Юу нь илүү сонирхолтой вэ? Тэгвэл танд нэг муу жишээ байна. Хэцүү байдал нэмэгдэхэд маш сонирхолтой. Энэ жишээнд таныг авардаг зүйл бол оюун ухаан, математикийн бүх асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл дүрэм гэдгийг сануулъя.)

2 5х-1 3 3х-1 5 2х-1 = 720 х

Тайвшруулахын тулд илүү энгийн жишээ):

9 2 x - 4 3 x = 0

Мөн амттангаар. Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Тийм, тийм! Энэ бол холимог төрлийн тэгшитгэл юм! Үүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзээгүй. Яагаад тэдгээрийг авч үзэх вэ, тэдгээрийг шийдэх хэрэгтэй!) Энэ хичээл нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. За, танд овсгоо хэрэгтэй байна ... Мөн долдугаар анги танд туслах болтугай (энэ бол зөвлөгөө!).

Хариултууд (эмх замбараагүй, цэг таслалаар тусгаарлагдсан):

1; 2; 3; 4; шийдэл байхгүй; 2; -2; -5; 4; 0.

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Гайхалтай.

Ямар нэгэн асуудал байна уу? Асуулт байхгүй! Тусгай хэсэгт 555-д эдгээр бүх экспоненциал тэгшитгэлийг шийддэг дэлгэрэнгүй тайлбар. Юу, яагаад, яагаад. Мэдээжийн хэрэг, бүх төрлийн экспоненциал тэгшитгэлтэй ажиллах нэмэлт үнэ цэнэтэй мэдээлэл байдаг. Зөвхөн эдгээрийг биш.)

Сүүлчийн нэг хөгжилтэй асуултыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ хичээлээр бид экспоненциал тэгшитгэлтэй ажилласан. Би яагаад энд ОДЗ-ын талаар ганц ч үг хэлээгүй юм бэ?Тэгшитгэлд энэ нь маш чухал зүйл юм ...

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Хэсэгүүд:Математик

Хичээлийн төрөл:мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл

Зорилго:

боловсролын– зэрэглэлийн тодорхойлолт, зэрэглэлийг үржүүлэх, хуваах дүрмийг давтах, зэрэглэлийг хүчирхэг болгох, зэрэг агуулсан жишээг шийдвэрлэх чадварыг нэгтгэх,

хөгжиж байна- сурагчдын логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, судалж буй материалыг сонирхох;

өсгөх- сурахад хариуцлагатай хандлагыг төлөвшүүлэх, харилцааны соёл, хамтын үзлийг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, мультимедиа проектор, интерактив самбар, аман тооцооны “Зэрэг”-ийн танилцуулга, даалгаврын карт, тараах материал.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

Зохион байгуулалтын мөч.

Дүрмүүдийг давтах

Амаар тоолох.

Түүхэн мэдээлэл.

Самбар дээр ажиллах.

Биеийн тамирын минут.

Интерактив самбар дээр ажиллах.

Бие даасан ажил.

Гэрийн даалгавар.

Хичээлийг дүгнэж байна.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн сэдэв, зорилгыг илэрхийлэх.

Өмнөх хичээлүүдээс та олж мэдсэн гайхалтай ертөнцзэрэг, зэрэг үржүүлж, хувааж сурсан бөгөөд тэдгээрийг хүчирхэг болгож өсгөсөн. Өнөөдөр бид жишээнүүдийг шийдвэрлэх замаар олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх ёстой.

II. Дүрмүүдийг давтах(амаар)

1. -ээр зэрэг тодорхойлно байгалийн үзүүлэлт? (Тооны хүч хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна 1-ээс их натурал илтгэгчийг бүтээгдэхүүн гэнэ Ажилхүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна.)
2. Хоёр хүчийг хэрхэн үржүүлэх вэ? (Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхийн тулд та суурийг хэвээр үлдээж, илтгэгчийг нэмэх хэрэгтэй.)
3. Зэрэгцээ зэргийг хэрхэн хуваах вэ? (Ижил суурьтай хүчийг хуваахын тулд та суурийг хэвээр үлдээж, илтгэгчийг хасах хэрэгтэй.)
4. Бүтээгдэхүүнийг хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? (Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд хүчин зүйл бүрийг тухайн хүчин чадалд хүргэх хэрэгтэй)
5. Эрдмийн зэрэглэлийг хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? (Чадлыг хүч болгон нэмэгдүүлэхийн тулд та суурийг хэвээр үлдээж, илтгэгчийг үржүүлэх хэрэгтэй)

III. Амаар тоолох(мултимедиагаар)

IV. Түүхэн суурь

Бүх асуудал нь МЭӨ 1650 онд бичигдсэн Ахмес папирусаас гаралтай. д. барилга угсралтын практик, газрын хилийн заагийг тогтоох зэрэгтэй холбоотой.. Даалгавруудыг сэдвийн дагуу бүлэглэсэн. Эдгээр нь гурвалжин, дөрвөлжин ба тойргийн талбайг олох, бүхэл тоо ба бутархайтай янз бүрийн үйлдэл хийх, пропорциональ хуваах, харьцааг олох, мөн өөр өөр зэрэгтэй болгох, нэг үл мэдэгдэх нэг ба хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх даалгавар юм.

Ямар нэгэн тайлбар, нотлох баримт бүрэн дутмаг байна. Хүссэн үр дүнг шууд өгөх эсвэл тооцоолох богино алгоритмыг өгнө. Эртний дорно дахины улс орнуудын шинжлэх ухаанд байдаг энэхүү илтгэх арга нь тэнд математик нь ерөнхий онол бүрдүүлээгүй ерөнхий дүгнэлт, таамаглалаар хөгжсөн болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч папирус нь Египетийн математикчид хэрхэн үндсийг гаргаж авах, хүчирхэгжүүлэх, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэр ч байтугай алгебрийн үндсэн ойлголтуудыг эзэмшсэн гэсэн хэд хэдэн баримтыг агуулдаг.

V. Удирдах зөвлөлд ажиллах

Илэрхийллийн утгыг оновчтой аргаар ол:

Илэрхийллийн утгыг тооцоолно уу:



VI. Биеийн тамирын минут

6. нүдний хувьд
7. хүзүүний хувьд
8. гарт зориулсан
9. их биеийн хувьд
10. хөлийн хувьд

VII. Асуудлыг шийдвэрлэх(интерактив самбар дээрх дэлгэцтэй)

Тэгшитгэлийн язгуур эерэг тоо мөн үү?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Хүч чадал ба үндэсийн томъёо.

Зэрэглэлийн томьёонарийн төвөгтэй илэрхийллийг багасгах, хялбарчлах, тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Тоо вбайна Ажил-тооны р зэрэглэл аХэзээ:



Зэрэгтэй үйлдлүүд.

1. Ижил суурьтай градусыг үржүүлснээр тэдгээрийн үзүүлэлтүүд нэмэгдэнэ.

2. Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасна.



3. Бүтээгдэхүүний хүч 2 буюу илүүхүчин зүйлүүд нь эдгээр хүчин зүйлсийн чадлын үржвэртэй тэнцүү байна:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Бутархайн зэрэг нь ногдол ашиг ба хуваагчийн градусын харьцаатай тэнцүү байна.

5. Хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ.

Дээрх томьёо бүр зүүнээс баруун тийш болон эсрэгээр нь үнэн байна.

Үндэстэй үйлдлүүд.

1. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн үндэс нь эдгээр хүчин зүйлийн язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

2. Харьцааны үндэс нь ногдол ашиг ба язгуур хуваагчийн харьцаатай тэнцүү байна.



3. Үндэсийг хүчирхэг болгохдоо радикал тоог энэ зэрэгт хүргэхэд хангалттай.



4. Хэрэв та язгуурын зэрэглэлийг нэмэгдүүлбэл Ажилнэг удаа, нэгэн зэрэг бүтээх Ажил th хүч нь радикал тоо бол язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй.



5. Хэрэв та язгуурын зэрэглэлийг бууруулбал Ажилүндсийг нь нэгэн зэрэг гаргаж авна Ажил-Радикал тооны р зэрэгтэй байвал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй:



Эерэг бус (бүхэл тоо) илтгэгчтэй тодорхой тооны хүчийг илтгэгчтэй тэнцүү тооны хүчинд хуваах гэж тодорхойлогддог. үнэмлэхүй үнэ цэнээерэг бус үзүүлэлт:



Томъёо а м :a n =a m - nзориулаад зогсохгүй ашиглаж болно м > Ажил, гэхдээ бас хамт м 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Томъёо руу а м :a n =a m - nхэзээ шударга болсон m=n, тэг градус байх шаардлагатай.

Тэг илтгэгчтэй 0-тэй тэнцүү биш аливаа тооны хүчин чадал нэгтэй тэнцүү байна.

Бариулахын тулд бодит тоо хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байназэрэг хүртэл м/н, та үндсийг нь задлах хэрэгтэй Ажил-аас эхлэн м- энэ тооны 1-р зэрэглэл хүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна:



Зэрэглэлийн томьёо.

6. а — Ажил = - зэрэг хуваах;

7. - зэрэг хуваах;

8. a 1/n = ;

Зэрэг бүхий үйлдлийн дүрмийн зэрэг

1. Хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрийн зэрэг нь эдгээр хүчин зүйлийн градусын үржвэртэй тэнцүү байна (ижил экспоненттай):

(abc…) n = a n b n c n…

Жишээ 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Жишээ 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

Практикт урвуу хөрвүүлэлт нь илүү чухал юм.

a n b n c n … = (abc…) n

тэдгээр. хэд хэдэн хэмжигдэхүүний ижил чадлын үржвэр нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэрийн ижил хүчин чадалтай тэнцүү байна.

Жишээ 3. Жишээ 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Хуваагчийн ижил хүчийг ижил зэрэгт хуваах категори (бутархай) -ын хүч нь тэнцүү байна.

Жишээ 5. Жишээ 6.

Урвуу хөрвүүлэлт:. Жишээ 7. . Жишээ 8. .

3. Ижил суурьтай градусыг үржүүлэхэд градусын илтгэгчийг нэмнэ.

Жишээ 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Жишээ 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Ижил суурьтай зэрэглэлийг хуваахдаа ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.

Жишээ 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Жишээ 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Зэрэгийг зэрэглэлд хүргэх үед илтгэгчийг үржүүлнэ.

Жишээ 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Жишээ 14.

www.maths.yfa1.ru

Эрх мэдэл ба үндэс

Эрх мэдэл, үндэстэй үйл ажиллагаа. Сөрөг зэрэгтэй ,

тэг ба бутархай үзүүлэлт. Ямар ч утгагүй илэрхийллийн тухай.

Зэрэгтэй үйлдлүүд.

1. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчийг нэмнэ.

а м · a n = a m + n.

2. Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгч хасагдсан байна .



3. Хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрийн зэрэг нь эдгээр хүчин зүйлийн градусын үржвэртэй тэнцүү байна.

4. Харьцааны зэрэг (бутархай) нь ногдол ашиг (тоо) ба хуваагч (хуваагч) зэрэгийн харьцаатай тэнцүү байна:

(а/б) n = a n / b n .

5. Хүчин чадлыг өсгөхдөө тэдгээрийн илтгэгчийг үржүүлнэ.

Дээрх бүх томъёог зүүнээс баруун тийш болон эсрэгээр хоёр чиглэлд уншиж, гүйцэтгэнэ.

ЖИШЭЭ (2 3 5/15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Үндэстэй үйлдлүүд. Доорх бүх томъёонд тэмдэг нь утгыг илэрхийлнэ арифметик үндэс(радикал илэрхийлэл эерэг).

1. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн үндэс нь эдгээр хүчин зүйлсийн язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

2. Харьцааны үндэс нь ногдол ашиг ба хуваагчийн язгууруудын харьцаатай тэнцүү байна.



3. Үндэсийг хүч чадалд өргөхөд энэ хүчинд өргөхөд хангалттай радикал тоо:



4. Хэрэв та язгуурын зэрэгийг m дахин өсгөж, нэгэн зэрэг радикал тоог m-ийн зэрэглэлд хүргэвэл язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй:



5. Хэрэв та язгуурын зэрэгийг m дахин багасгаж, радикал тооны mth язгуурыг нэгэн зэрэг гаргаж авбал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй:




Зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлэх. Одоогоор бид градусыг зөвхөн натурал илтгэгчээр авч үзсэн; гэхдээ эрх мэдэл, үндэстэй үйл ажиллагаа нь бас хүргэж болно сөрөг, тэг 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) бутархайүзүүлэлтүүд. Эдгээр бүх илтгэгчид нэмэлт тодорхойлолт шаарддаг.

Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг. Сөрөг (бүхэл тоо) илтгэгчтэй тодорхой тооны хүчийг сөрөг илтгэгчийн абсолют утгатай тэнцүү илтгэгчтэй ижил тооны хүчинд хуваах байдлаар тодорхойлогддог.



Одоо томъёо а м : a n = a m - nзориулаад зогсохгүй ашиглаж болно м, илүү Ажил, гэхдээ бас хамт м, -ээс бага Ажил .

ЖИШЭЭ а 4: а 7 =а 4 — 7 =а — 3 .

Хэрэв бид томъёог хүсч байвал а м : a n = а м — Ажилхэзээ шударга байсан m = n, бидэнд тэг зэрэглэлийн тодорхойлолт хэрэгтэй байна.

Тэг индекстэй зэрэг. Экспонент тэгтэй тэгээс өөр тооны хүчин чадал 1 байна.

ЖИШЭЭ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэг. Бодит a тоог m / n зэрэгт хүргэхийн тулд та энэ тооны m-р түвшний n-р үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй:



Ямар ч утгагүй илэрхийллийн тухай. Ийм хэд хэдэн илэрхийлэл байдаг.

Хаана а ≠ 0 , байхгүй.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид үүнийг тооцвол xЭнэ нь тодорхой тоо юм, тэгвэл хуваах үйл ажиллагааны тодорхойлолтын дагуу бид: а = 0· x, өөрөөр хэлбэл а= 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна: а ≠ 0

— ямар ч тоо.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид энэ илэрхийллийг зарим тоотой тэнцүү гэж үзвэл x, тэгвэл хуваах үйлдлийн тодорхойлолтын дагуу бид: 0 = 0 · x. Гэхдээ энэ тэгш байдал хэзээ явагдана дурын тоо x, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

0 0 — ямар ч тоо.



Шийдэл гурван үндсэн тохиолдлыг авч үзье.

1) x = 0 – Энэ утга нь энэ тэгшитгэлийг хангахгүй байна

2) хэзээ x> 0 бид дараахыг авна: х/х= 1, өөрөөр хэлбэл. 1 = 1 гэсэн үг

Юу x- дурын дугаар; гэхдээ үүнийг харгалзан үзвэл

манай тохиолдолд x> 0, хариулт нь x > 0 ;

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Энэ хичээлээр бид ойлгох болно гэдгийг бид танд сануулж байна градусын шинж чанаруудбайгалийн үзүүлэлттэй ба тэг. Рационал илтгэгчтэй хүчнүүд, тэдгээрийн шинж чанаруудыг 8-р ангийн хичээл дээр авч үзэх болно.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг нь хэд хэдэн байдаг чухал шинж чанарууд, энэ нь танд хүч чадал бүхий жишээн дэх тооцооллыг хялбарчлах боломжийг олгодог.

Өмч No1
Эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн

Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд суурь нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд зэрэглэлийн илтгэгчийг нэмнэ.

a m · a n = a m + n, энд “a” нь дурын тоо, “m”, “n” нь дурын натурал тоо юм.

Эрх мэдлийн энэхүү шинж чанар нь гурав ба түүнээс дээш эрх мэдлийн үржвэрт мөн хамаарна.

• Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Үүнийг эрдмийн зэрэгтэй болгож өгнө үү.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Үүнийг эрдмийн зэрэгтэй болгож өгнө үү.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Заасан өмчид бид зөвхөн ижил үндэслэлтэй хүчийг үржүүлэх тухай ярьж байсныг анхаарна уу. Энэ нь тэдний нэмэлтэд хамаарахгүй.

Та нийлбэрийг (3 3 + 3 2) 3 5-аар сольж болохгүй. Хэрэв энэ нь ойлгомжтой
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, 3 5 = 243 гэж тооцоол.

Өмч No2
Хэсэгчилсэн зэрэг

Ижил суурьтай хүчийг хуваахдаа суурь нь өөрчлөгдөхгүй бөгөөд ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.

• Хэсэлтийг хүч гэж бичнэ үү
  (2б) 5: (2б) 3 = (2б) 5 − 3 = (2б) 2
• Тооцоол.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. Бид хуваалтын хүчийг ашигладаг.
3 8: t = 3 4

Хариулт: t = 3 4 = 81

1 ба 2 дугаар шинж чанаруудыг ашигласнаар та илэрхийллийг хялбарчилж, тооцоолол хийж болно.

Жишээ. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
4 5м + 6 4 м + 2: 4 4м + 3 = 4 5м + 6 + м + 2: 4 4м + 3 = 4 6м + 8 - 4м - 3 = 4 2м + 5

Жишээ. Экспонентийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн утгыг ол.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

2-р өмч дээр бид зөвхөн ижил үндэслэлээр эрх мэдлийг хуваах тухай ярьж байсныг анхаарна уу.

Та зөрүүг (4 3 −4 2) 4 1-ээр сольж болохгүй. Хэрэв та (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, 4 1 = 4 гэж тооцвол энэ нь ойлгомжтой.

Өмч No3
Эрдмийн зэрэг дэвийг эрх мэдэлд хүргэх

Зэрэгийг хүч болгон өсгөхөд зэрэглэлийн суурь өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлнэ.

(a n) m = a n · m, энд “a” нь дурын тоо, “m”, “n” нь дурын натурал тоо юм.

Жишээ.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Жишээ. 3 20-ыг 3 2 суурьтай зэрэглэлээр илэрхийл.

Эрдмийн зэрэг өргөх өмчөөрХүчин чадалд хүрэх үед илтгэгчийг үржүүлдэг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь:

Үл хөдлөх хөрөнгө 4
Бүтээгдэхүүний хүч

Хүчийг бүтээгдэхүүний хүчин чадалд өсгөхөд хүчин зүйл бүрийг тухайн хүчин чадалд өсгөж үр дүн нь үрждэг.

(a b) n = a n b n, энд “a”, “b” нь дурын рационал тоонууд; "n" нь дурын натурал тоо юм.

• Жишээ 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Жишээ 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Бусад зэрэглэлийн шинж чанаруудын нэгэн адил 4-р өмчийг урвуу дарааллаар ашигладаг болохыг анхаарна уу.

(a n · b n)= (a · b) n

Өөрөөр хэлбэл, ижил илтгэгчтэй хүчийг үржүүлэхийн тулд та суурийг үржүүлж болно, гэхдээ илтгэгчийг өөрчлөхгүйгээр үлдээх хэрэгтэй.

• Жишээ. Тооцоол.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
• Жишээ. Тооцоол.
  0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

Илүү их нарийн төвөгтэй жишээнүүдҮржүүлэх, хуваах үйлдлийг хүчин чадал дээр хийх тохиолдол байдаг янз бүрийн шалтгааны улмаас 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) янз бүрийн үзүүлэлтүүд. Энэ тохиолдолд бид танд дараахь зүйлийг хийхийг зөвлөж байна.

Жишээлбэл, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Аравтын бутархайг өсгөх жишээ.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Шинж чанар 5
Хэсгийн хүч (бутархай)

Хүчний коэффициентийг нэмэгдүүлэхийн тулд та ногдол ашиг болон хуваагчийг тусад нь энэ түвшинд өсгөж, эхний үр дүнг хоёр дахь хэсэгт хувааж болно.

(a: b) n = a n: b n, энд “a”, “b” нь дурын рационал тоо, b ≠ 0, n - дурын натурал тоо.

• Жишээ. Илэрхийлэлийг чадлын хуваарь болгон үзүүл.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Хэмжилтийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг бид танд сануулж байна. Тиймээс бид дараагийн хуудсанд бутархайг хүчирхэг болгох сэдвийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.