Эрхэм найзууд! Деривативтай холбоотой бүлэг даалгаврууд нь даалгавруудыг агуулдаг - нөхцөл нь функцийн графикийг өгдөг бөгөөд энэ график дээр хэд хэдэн цэг байдаг бөгөөд асуулт нь:
Дериватив аль үед хамгийн их (хамгийн бага) вэ?
Товчхон давтъя:
Нэг цэг дэх дериватив нь тэнцүү байна налуудамжин өнгөрөх шүргэгчграфик дээрх энэ цэг.
УШүргэгчийн глобал коэффициент нь эргээд энэ шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.
*Энэ нь шүргэгч ба х тэнхлэгийн хоорондох өнцгийг хэлнэ.
1. Өсөн нэмэгдэж буй функцын интервалд дериватив эерэг утгатай байна.
2. Түүний бууралтын интервалд дериватив нь сөрөг утгатай байна.
Дараах ноорог зургийг авч үзье.
1,2,4-р цэгүүдэд эдгээр цэгүүд буурах интервалд хамаарах тул функцийн дериватив нь сөрөг утгатай байна.
3,5,6-р цэгүүдэд эдгээр цэгүүд нэмэгдэж буй интервалд хамаарах тул функцийн дериватив эерэг утгатай байна.
Таны харж байгаагаар деривативын утгын хувьд бүх зүйл тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл графикийн тодорхой цэг дээр ямар тэмдэг (эерэг эсвэл сөрөг) байгааг тодорхойлоход хэцүү биш юм.
Түүгээр ч зогсохгүй эдгээр цэгүүдэд шүргэгчийг оюун ухаанаараа байгуулбал 3, 5, 6-р цэгийг дайран өнгөрч буй шулуун шугамууд нь oX тэнхлэгтэй 0-ээс 90 o хүртэлх өнцөг үүсгэж, 1, 2, 4-р цэгүүдийг дайран өнгөрдөг шулуун шугамууд үүсэхийг харах болно. oX тэнхлэгтэй бол өнцөг нь 90-аас 180 o хооронд хэлбэлздэг.
*Харилцаа тодорхой: Өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн интервалд хамаарах цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгч нь oX тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэдэг, буурах функцын интервалд хамаарах цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шүргэгч нь oX тэнхлэгтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг.
Одоо чухал асуулт!
Деривативын үнэ цэнэ хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Эцсийн эцэст, тасралтгүй функцийн графикийн өөр өөр цэгүүд дэх шүргэгч нь графикийн аль цэгийг дайран өнгөрөхөөс хамаарч өөр өөр өнцгийг үүсгэдэг.
* Эсвэл ярих энгийн хэлээр, шүргэгч нь "хэвтээ" эсвэл "босоо" шиг байрлана. Хараач:
Шулуун шугамууд нь oX тэнхлэгтэй 0-ээс 90 o хүртэлх өнцөг үүсгэдэг
Шулуун шугамууд нь oX тэнхлэгтэй 90°-аас 180° хүртэлх өнцөг үүсгэдэг
Тиймээс, хэрэв танд асуулт байвал:
- График дээрх өгөгдсөн цэгүүдийн алинд нь дериватив хамгийн бага утгатай байх вэ?
- График дээрх өгөгдсөн цэгүүдийн алинд нь дериватив хамгийн их утгатай вэ?
Дараа нь хариулахын тулд шүргэгч өнцгийн тангенсийн утга 0-ээс 180 o хүртэлх мужид хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ойлгох шаардлагатай.
*Урьд дурьдсанчлан, тухайн цэг дэх функцын деривативын утга нь oX тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.
Тангенсийн утга дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.
Шулуун шугамын налуу өнцөг 0°-аас 90° хүртэл өөрчлөгдөхөд шүргэгчийн утга, улмаар дериватив нь 0-ээс +∞ хүртэл өөрчлөгдөнө;
Шулуун шугамын налуу өнцөг 90°-аас 180° хүртэл өөрчлөгдөхөд шүргэгчийн утга, улмаар дериватив нь -∞ 0 болж өөрчлөгдөнө.
Үүнийг шүргэгч функцийн графикаас тодорхой харж болно.
Энгийнээр хэлбэл:
0°-аас 90° хүртэлх шүргэгч налуу өнцгөөр
Энэ нь 0 o-д ойртох тусам деривативын утга нь тэгтэй ойролцоо байх болно (эерэг тал дээр).
Өнцөг нь 90°-д ойртох тусам дериватив утга нь +∞ руу нэмэгдэх болно.
90°-аас 180° хүртэлх шүргэгч налуу өнцөгтэй
90 o-д ойртох тусам дериватив утга нь –∞ руу багасна.
Өнцөг нь 180 ° -тай ойртох тусам деривативын утга тэгтэй ойролцоо байх болно (сөрөг тал дээр).
317543. Зурагт у = функцийн графикийг үзүүлэв е(x) мөн цэгүүд тэмдэглэгдсэн байна–2, –1, 1, 2. Эдгээр цэгүүдийн алинд нь дериватив хамгийн их байх вэ? Хариултдаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.
Бидэнд дөрвөн цэг байна: тэдгээрийн хоёр нь функц буурах интервалд (эдгээр нь -1 ба 1 цэгүүд), хоёр нь функц нэмэгдэх интервалд (эдгээр нь -2 ба 2 цэгүүд) хамаарна.
-1 ба 1 цэгүүдэд дериватив нь сөрөг утгатай, -2 ба 2 цэгүүдэд эерэг утгатай байна гэж бид шууд дүгнэж болно. Тиймээс, энэ тохиолдолд -2 ба 2 цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн аль нь хамгийн их утгатай болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Заасан цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуулъя.
Шулуун а ба абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн шүргэгчийн утга нь b шулуун ба энэ тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенсийн утгаас их байх болно. Энэ нь -2 цэг дэх деривативын утга хамгийн их байх болно гэсэн үг юм.
Дараах асуултад хариулъя: аль цэгт –2, –1, 1 эсвэл 2 нь деривативын утга хамгийн сөрөг байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.
Дериватив нь буурах интервалд хамаарах цэгүүдэд сөрөг утгатай байх тул -2 ба 1 цэгүүдийг авч үзье. Тэдгээрийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуулъя:
b шулуун ба oX тэнхлэгийн хоорондох мохоо өнцөг нь 180-тай ойр байгааг бид харж байна.О , тиймээс түүний шүргэгч нь шулуун a ба oX тэнхлэгээс үүссэн өнцгийн тангенсаас их байх болно.
Тиймээс x = 1 цэг дээр деривативын утга хамгийн их сөрөг байх болно.
317544. Зурагт у = функцийн графикийг үзүүлэв е(x) мөн цэгүүд тэмдэглэгдсэн байна–2, –1, 1, 4. Эдгээр цэгүүдийн алинд нь дериватив хамгийн бага байх вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.
Бидэнд дөрвөн цэг байна: тэдгээрийн хоёр нь функц буурах интервалд (эдгээр нь -1 ба 4 цэгүүд), хоёр нь функцийн өсөлтийн интервалд (эдгээр нь -2 ба 1 цэгүүд) хамаарна.
-1 ба 4 цэгүүдэд дериватив нь сөрөг утгатай, -2 ба 1 цэгүүдэд эерэг утгатай байна гэж бид шууд дүгнэж болно. Тиймээс, энэ тохиолдолд -1 ба 4 цэгүүдэд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн аль нь хамгийн бага утгатай болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Заасан цэгүүдийг дайран өнгөрөх шүргэгчийг байгуулъя.
Шулуун а ба абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн шүргэгчийн утга нь b шулуун ба энэ тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенсийн утгаас их байх болно. Энэ нь x = 4 цэг дээрх деривативын утга хамгийн бага байх болно гэсэн үг юм.
Хариулт: 4
Би чамайг бичих хэмжээний "хэт ачаалаагүй" гэж найдаж байна. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл маш энгийн, та зөвхөн деривативын шинж чанар, түүний геометрийн утга, өнцгийн тангенсийн утга 0-ээс 180 o хүртэл хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ойлгох хэрэгтэй.
1. Эхлээд эдгээр цэгүүд дээрх деривативын тэмдгүүдийг (+ эсвэл -) тодорхойлж, шаардлагатай цэгүүдийг (асуултаас хамааран) сонгоно уу.
2. Эдгээр цэгүүдэд шүргэгчийг байгуул.
3. Тангесоидын графикийг ашиглан өнцгийг бүдүүвчээр тэмдэглэж үзүүлнэАлександр.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Сайн байна уу! Удахгүй болох Улсын нэгдсэн шалгалтыг чанартай, системтэй бэлтгэлтэй, эрдмийн боржин чулууг тууштай тээцгээе!!! INБичлэгийн төгсгөлд уралдааны даалгавар байна, хамгийн түрүүнд байгаарай! Энэ хэсгийн нийтлэлүүдийн нэгэнд та, би функцийн графикийг өгч, экстремум, өсөлт (бууралт) интервал болон бусад зүйлийн талаар янз бүрийн асуултуудыг тавьсан.
Энэ нийтлэлд бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд багтсан функцийн деривативын графикийг өгч, дараахь асуултуудыг тавьсан асуудлуудыг авч үзэх болно.
1. Өгөгдсөн сегментийн аль цэгт функц хамгийн том (эсвэл хамгийн бага) утгыг авдаг.
2. Өгөгдсөн сегментэд хамаарах функцын хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) цэгүүдийн тоог ол.
3. Өгөгдсөн сегментэд хамаарах функцийн экстремум цэгийн тоог ол.
4. Өгөгдсөн хэрчимд хамаарах функцийн экстремум цэгийг ол.
5. Өсөх (буурах) функцын интервалуудыг олоод хариултанд эдгээр интервалд багтсан бүхэл цэгүүдийн нийлбэрийг заана уу.
6. Функцийн өсөлт (эсвэл буурах) интервалуудыг ол. Хариултдаа эдгээр интервалуудын хамгийн том уртыг заана уу.
7. Функцийн графикт шүргэгч нь у = kx + b хэлбэрийн шулуунтай параллель буюу давхцах цэгүүдийн тоог ол.
8. Функцийн графикт шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж байгаа цэгийн абсциссыг ол.
Бусад асуултууд байж болох ч хэрэв та ойлгож байгаа бол тэдгээр нь танд ямар ч хүндрэл учруулахгүй бөгөөд (шийдвэр гаргахад шаардлагатай мэдээллээр хангасан нийтлэлүүдийн холбоосууд байгаа тул би тэдгээрийг давтахыг зөвлөж байна).
Үндсэн мэдээлэл (товчхон):
1. Өсөн нэмэгдэж буй интервалтай дериватив эерэг тэмдэгтэй байна.
Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив эерэг утгатай байвал энэ интервал дээрх функцийн график өснө.
2. Буурах интервалд дериватив сөрөг тэмдэгтэй байна.
Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив нь сөрөг утгатай байвал функцийн график энэ интервал дээр буурдаг.
3. x цэгийн дериватив нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.
4. Функцийн экстремум (хамгийн их-минимум) цэгүүдэд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ цэг дэх функцийн графикт шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна.
Үүнийг тодорхой ойлгож, санаж байх ёстой!!!
Дериватив график нь олон хүнийг "төөрөгдүүлдэг". Зарим хүмүүс үүнийг функцийн график гэж санамсаргүйгээр андуурдаг. Тиймээс, ийм барилгад график өгөгдсөнийг харсан даруйдаа өгөгдсөн нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулаарай: функцийн график эсвэл функцийн деривативын график уу?
Хэрэв энэ нь функцийн деривативын график юм бол үүнийг функцийн өөрийнх нь "тусгал" гэж үзэх бөгөөд энэ нь танд зөвхөн тухайн функцийн талаар мэдээлэл өгөх болно.
Даалгаврыг авч үзье:
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–2;21).
Бид дараах асуултуудад хариулах болно.
1. Функц сегментийн аль цэгт байна е(X)хамгийн их үнэ цэнийг авдаг.
Өгөгдсөн интервал дээр функцийн дериватив сөрөг байх ба энэ интервал дээрх функц буурдаг (энэ нь интервалын зүүн хилээс баруун тийш буурдаг) гэсэн үг юм. Тиймээс функцийн хамгийн их утга нь сегментийн зүүн хил дээр, өөрөөр хэлбэл 7-р цэг дээр хүрдэг.
Хариулт: 7
2. Функц сегментийн аль цэгт байна е(X)
By энэ хуваарьдериватив гэж бид дараахь зүйлийг хэлж чадна. Өгөгдсөн интервал дээр функцийн дериватив эерэг байх бөгөөд энэ нь энэ интервал дээрх функц өсдөг (энэ нь интервалын зүүн хилээс баруун тийш өсдөг) гэсэн үг юм. Тиймээс функцийн хамгийн бага утгыг сегментийн зүүн хил дээр, өөрөөр хэлбэл x = 3 цэг дээр олж авдаг.
Хариулт: 3
3. Функцийн хамгийн их цэгийн тоог ол е(X)
Дээд цэгүүд нь деривативын тэмдэг эерэгээс сөрөг болж өөрчлөгдөх цэгүүдтэй тохирч байна. Ийм байдлаар тэмдэг хаана өөрчлөгдөхийг авч үзье.
(3;6) сегмент дээр дериватив эерэг, (6;16) хэсэгт сөрөг байна.
(16;18) сегмент дээр дериватив эерэг, (18;20) хэсэгт сөрөг байна.
Тиймээс өгөгдсөн сегмент дээр функц нь x = 6 ба x = 18 гэсэн хоёр хамгийн их цэгтэй байна.
Хариулт: 2
4. Функцийн хамгийн бага цэгүүдийн тоог ол е(X), сегментэд хамаарах.
Хамгийн бага оноо нь деривативын тэмдэг сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгдөх цэгүүдэд тохирно. Манай дериватив интервал дээр сөрөг (0;3), интервал (3;4) дээр эерэг байна.
Тиймээс сегмент дээр функц нь зөвхөн нэг хамгийн бага цэгтэй байна x = 3.
*Хариултыг бичихдээ болгоомжтой байгаарай - x-ийн утга биш, онооны тоо бүртгэгдсэн байна.
Хариулт: 1
5. Функцийн экстремум цэгийн тоог ол е(X), сегментэд хамаарах.
Та юу олох хэрэгтэйг анхаарна уу тоо хэмжэээкстремум цэгүүд (эдгээр нь хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд).
Экстремум цэгүүд нь деривативын тэмдэг өөрчлөгддөг (эерэгээс сөрөг эсвэл эсрэгээр) цэгүүдтэй тохирч байна. Нөхцөлд өгөгдсөн графикт эдгээр нь функцийн тэг юм. Дериватив нь 3, 6, 16, 18-р цэгүүдэд алга болно.
Тиймээс функц нь сегмент дээр 4 экстремум цэгтэй байна.
Хариулт: 4
6. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол е(X)
Энэ функцийг нэмэгдүүлэх интервалууд е(X)түүний дериватив эерэг байх интервалууд, өөрөөр хэлбэл (3;6) ба (16;18) интервалд тохирно. Үүнд интервалын хил хязгаарыг оруулаагүй болохыг анхаарна уу (дугуй хаалт - хил хязгаарыг интервалд оруулаагүй, дөрвөлжин хаалтанд оруулав). Эдгээр интервалууд нь 4, 5, 17 бүхэл цэгүүдийг агуулна. Тэдний нийлбэр нь: 4 + 5 + 17 = 26
Хариулт: 26
7. Буурах функцийн интервалуудыг ол е(X)өгөгдсөн интервалд. Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.
Функцийн интервалыг багасгах е(X)функцийн дериватив сөрөг байх интервалд тохирно. Энэ асуудалд эдгээр нь (–2;3), (6;16), (18:21) интервалууд юм.
Эдгээр интервалууд нь дараах бүхэл цэгүүдийг агуулна: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Тэдний нийлбэр нь:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Хариулт: 140
*Нөхцөлд анхаарлаа хандуулаарай: хил хязгаар нь интервалд орсон эсэх. Хэрэв хил хязгаарыг оруулсан бол шийдлийн процесст авч үзсэн интервалд эдгээр хил хязгаарыг мөн харгалзан үзэх шаардлагатай.
8. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол е(X)
Өсөн нэмэгдэж буй функцын интервалууд е(X)функцийн дериватив эерэг байх интервалд тохирно. Бид тэдгээрийг аль хэдийн зааж өгсөн: (3;6) ба (16:18). Тэдгээрийн хамгийн том нь интервал (3; 6), урт нь 3 байна.
Хариулт: 3
9. Буурах функцийн интервалуудыг ол е(X). Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томын уртыг заана уу.
Функцийн интервалыг багасгах е(X)функцийн дериватив сөрөг байх интервалд тохирно. Эдгээр нь (–2;3), (6;16), (18;21) интервалууд бөгөөд тэдгээрийн урт нь 5, 10, 3 байна.
Хамгийн том урт нь 10 байна.
Хариулт: 10
10. Функцийн графикт шүргэгч байх цэгийн тоог ол е(X) y = 2x + 3 шулуунтай параллель буюу түүнтэй давхцаж байна.
Шүргэх цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Шүргэх нь y = 2x + 3 шулуунтай параллель буюу түүнтэй давхцаж байгаа тул тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь 2-той тэнцүү байна. Энэ нь y′(x 0) = 2 байх цэгүүдийн тоог олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Геометрийн хувьд энэ нь y = 2 шулуун шугамтай дериватив графикийн огтлолцох цэгүүдийн тоотой тохирч байна. Энэ интервал дээр ийм 4 цэг байна.
Хариулт: 4
11. Функцийн экстремум цэгийг ол е(X), сегментэд хамаарах.
Функцийн экстремум цэг нь түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх цэг бөгөөд энэ цэгийн ойролцоо дериватив тэмдэг өөрчлөгддөг (эерэгээс сөрөг эсвэл эсрэгээр). Сегмент дээр дериватив график нь x тэнхлэгийг огтолж, дериватив тэмдэг нь сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгддөг. Тиймээс x = 3 цэг нь экстремум цэг юм.
Хариулт: 3
12. y = f (x) графикийн шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж байгаа цэгүүдийн абсциссаг ол. Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томыг нь зааж өгнө үү.
y = f (x) графикийн шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель эсвэл үүнтэй давхцаж болно, зөвхөн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдэд (эдгээр нь деривативын ойролцоох экстремум цэгүүд эсвэл суурин цэгүүд байж болно) түүний тэмдгийг өөрчлөхгүй). Энэ графикаас 3, 6, 16,18-р цэгүүдэд дериватив нь тэг байгааг харуулж байна. Хамгийн том нь 18.
Та үндэслэлээ дараах байдлаар зохион байгуулж болно.
Шүргэх цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Шүргээ нь x тэнхлэгтэй параллель буюу түүнтэй давхцаж байгаа тул түүний налуу нь 0 (үнэхээр тэг градусын өнцгийн тангенс тэг болно). Тиймээс бид налуу нь тэгтэй тэнцүү байх цэгийг хайж байгаа тул дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. График нь х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг дээр дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ба эдгээр нь 3, 6, 16,18 цэгүүд юм.
Хариулт: 18
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–8;4). [–7;–3] сегментийн аль цэгт функц байна е(X)хамгийн бага утгыг авдаг.
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–7;14). Функцийн хамгийн их цэгийн тоог ол е(X), сегментэд хамаарах [–6;9].
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–18;6). Функцийн хамгийн бага цэгүүдийн тоог ол е(X), сегментэд хамаарах [–13;1].
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–11; –11). Функцийн экстремум цэгүүдийн тоог ол е(X), сегментэд хамаарах [–10; –10].
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–7;4). Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол е(X). Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–5;7). Буурах функцийн интервалыг ол е(X). Хариултдаа эдгээр интервалд орсон бүхэл тоонуудын нийлбэрийг заана уу.
Зураг нь графикийг харуулж байна у =е'(X)- функцийн дериватив е(X), интервал дээр тодорхойлогддог (–11;3). Өсөн нэмэгдэж буй функцийн интервалуудыг ол е(X). Хариултдаа тэдгээрийн хамгийн томын уртыг заана уу.
F Зураг нь графикийг харуулж байна
Асуудлын нөхцөл ижил байна (бидний авч үзсэн). Гурван тооны нийлбэрийг ол:
1. f (x) функцийн экстремумын квадратуудын нийлбэр.
2. f (x) функцийн хамгийн их цэгүүдийн нийлбэр ба хамгийн бага цэгүүдийн нийлбэрийн квадратуудын зөрүү.
3. y = –3x + 5 шулуунтай параллель байх f (x) шүргэлтийн тоо.
Эхний зөв хариултыг өгсөн хүн 150 рублийн урамшууллын шагнал авах болно. Хариултаа коммент хэсэгт бичээрэй. Хэрэв энэ нь таны блог дээрх анхны сэтгэгдэл бол тэр даруй гарч ирэхгүй, гэхдээ хэсэг хугацааны дараа (санаа зоволтгүй, сэтгэгдэл бичсэн цагийг тэмдэглэсэн болно).
Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицих.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
(Зураг 1)
Зураг 1. Дериватив график
Дериватив графикийн шинж чанарууд
- Өсөн нэмэгдэж буй интервалд дериватив эерэг байна. Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив эерэг утгатай байвал энэ интервал дээрх функцийн график өснө.
- Буурах интервалд дериватив нь сөрөг байна (хасах тэмдэгтэй). Хэрэв тодорхой интервалаас тодорхой цэг дэх дериватив нь сөрөг утгатай байвал функцийн график энэ интервал дээр буурдаг.
- x цэг дээрх дериватив нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.
- Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдэд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ цэг дэх функцийн графикт шүргэгч нь OX тэнхлэгтэй параллель байна.
Жишээ 1
Деривативын графикийг (зураг 2) ашиглан сегментийн аль цэгт байгааг тодорхойл [-3; 5] функц хамгийн их байна.
Зураг 2. Дериватив график
Шийдэл: Энэ сегмент дээр дериватив нь сөрөг бөгөөд энэ нь функц зүүнээс баруун тийш буурч, хамгийн том утга нь зүүн талд -3 цэгт байна.
Жишээ 2
Деривативын графикийг (3-р зураг) ашиглан сегментийн хамгийн их цэгийн тоог тодорхойлно уу [-11; 3].
Зураг 3. Дериватив график
Шийдэл: Дээд цэгүүд нь деривативын тэмдэг эерэгээс сөрөг болж өөрчлөгдөх цэгүүдтэй тохирч байна. Энэ интервал дээр функц нь тэмдгийг нэмэхээс хасах руу хоёр удаа өөрчилдөг - -10 цэг дээр, -1 цэг дээр. Энэ нь хамгийн их онооны тоо хоёр байна гэсэн үг юм.
Жишээ 3
Деривативын графикийг (3-р зураг) ашиглан сегмент дэх хамгийн бага цэгүүдийн тоог тодорхойлно уу [-11; -1].
Шийдэл: Хамгийн бага оноо нь деривативын тэмдэг сөрөгээс эерэг болж өөрчлөгдөх цэгүүдтэй тохирч байна. Энэ сегмент дээр ийм цэг нь зөвхөн -7 байна. Энэ нь тухайн сегмент дэх хамгийн бага цэгүүдийн тоо нэг байна гэсэн үг юм.
Жишээ 4
Деривативын графикийг (зураг 3) ашиглан экстремум цэгийн тоог тодорхойлно.
Шийдэл: Хэт цэгүүд нь хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд юм. Дериватив тэмдэг өөрчлөгдөх цэгийн тоог олъё.
Элсэлтийн түвшин
Функцийн дериватив. Цогц гарын авлага (2019)
Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.
Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.
Ийм замаар урагшлахдаа бид ч бас дээш доош хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординат тэнхлэгийн дагуу).
Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x"-ийг уншина уу).
Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.
Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!
Энэ нь жишээлбэл, .
Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг.
Үнэ цэнийг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэв төгсгөлийн цэг нь эхлэх цэгээс доогуур байвал энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш, харин доошилж байна гэсэн үг юм.
"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.
Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрвээ зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.
Одоо нэг толгодын оройг харцгаая. Хэсгийн эхлэлийг оргилд хүрэхээс хагас километрийн өмнө, төгсгөлийг нь хагас километрийн дараа авбал өндөр нь бараг ижил байгааг харж болно.
Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү хангалттай, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү! INбодит амьдрал Хамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэнхязгааргүй жижиг , өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юмЭнэ тоо тэгтэй тэнцүү биш байна!
Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн их тоог гаргавал хоёроор үржүүлбэл бүр ч их тоо гарах болно. Мөн хязгааргүй байдал нь юу болж байгаагаас ч илүү юм. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.
Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:
Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэдэг нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя. Хязгааргүй цөөн тоонуудыг хооронд нь хуваах юм бол бүрэн энгийн тоог авч болно, жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.
Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.
Деривативын тухай ойлголт
Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.
Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.
Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.
Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.
Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативын хувьд ийм байна: тогтмол функцийн дериватив (тогтмол) тэгтэй тэнцүү байна:
учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.
Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг оройн эсрэг талд байрлуулж, төгсгөлийн өндөр нь ижил байхаар, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байхаар зохион байгуулах боломжтой болсон.
Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.
Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагатай байдаггүй, гэхдээ тэнцүү). Тиймээс дериватив
Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.
Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг болон эерэг утгуудын хооронд байх ёстой. Энэ нь функц нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.
Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талын функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):
Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.
Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.
Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Одоо функцийн үнэ цэнэ хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:
Өсөлтийг олох дасгал хийх:
- Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх цэг дэх функцийн өсөлтийг ол.
- Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.
Шийдэл:
Ижил аргументийн өсөлттэй өөр өөр цэгүүдэд функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:
Эрчим хүчний функц.
Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.
Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .
Хамгийн энгийн тохиолдол бол илтгэгч нь:
Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:
Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?
Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:
Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
б) Одоо бод квадрат функц (): .
Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.
Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:
в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .
Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.
Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.
Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.
Бид авна: .
г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:
e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.
| (2) |
Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.
Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:
- (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);
- . Итгэнэ үү үгүй юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
Тэгэхээр манайх квадрат язгуур- энэ бол зүгээр л үзүүлэлттэй зэрэг юм:
.
Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)
- . Одоо экспонент:
Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
;
.
Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
. - . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .
Тригонометрийн функцууд.
Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:
Илэрхийлэлээр.
Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:
Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.
Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.
Ингээд оролдоод үзье: ;
Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!
гэх мэт. Бид бага байх тусам харьцааны утга ойр байгааг харж байна.
a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:
Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .
Одоо дериватив нь:
Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт (өөрөөр хэлбэл, at) хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ.
Тиймээс бид дараах дүрмийг авна. синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:
Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:
Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.
Дадлага хийх:
- Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
- Функцийн деривативыг ол.
Шийдэл:
- Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
;
. - Энд бид чадлын функцтэй төстэй зүйл байна. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
хэвийн харагдах байдал:
.
Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
.
. - . Эээээээ.....Энэ юу вэ????
За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохоо хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй:
Экспонент ба натурал логарифм.
Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм
Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.
Тиймээс, дүрэм:
Санахад маш амархан.
За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:
Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.
Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.
Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.
Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:
Жишээ нь:
- Функцийн деривативыг ол.
- Функцийн дериватив нь юу вэ?
Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.
Ялгах дүрэм
Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...
Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.
Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.
Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглах болно, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:
Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.
Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.
Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.
Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .
Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.
Жишээ.
Функцийн деривативуудыг ол:
- нэг цэг дээр;
- нэг цэг дээр;
- нэг цэг дээр;
- цэг дээр.
Шийдэл:
- (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэгт ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);
Бүтээгдэхүүний дериватив
Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:
Дериватив:
Жишээ нь:
- Функцийн деривативыг олох ба;
- Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.
Шийдэл:
Экспоненциал функцийн дериватив
Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).
Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.
Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэддэг тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.
Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:
За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.
Энэ ажилласан уу?
Энд өөрийгөө шалгана уу:
Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.
Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:
Хариултууд:
Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.
Логарифм функцийн дериватив
Энэ нь үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.
Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:
Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:
Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:
Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:
Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.
Юу болсон бэ" нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.
Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколад идэхийн тулд та хийх хэрэгтэй урвуу үйлдэлурвуу дарааллаар.
Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.
Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.
Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .
Эхний жишээнд, .
Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .
Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).
Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.
Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд
- Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад шинж чанартай гэсэн үг юм.
Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: .
Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.
За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.
Өөр нэг жишээ:
Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:
Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?
Жишээнүүдээр шалгацгаая:
Шийдэл:
1) Дотоод: ;
Гадаад: ;
2) Дотоод: ;
(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)
3) Дотоод: ;
Гадаад: ;
Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь шууд тодорхой харагдаж байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (бид шоколадыг саванд хийнэ) боодолтой ба цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.
Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.
Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:
Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:
Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.
1. Радикал илэрхийлэл. .
2. Үндэс. .
3. Синус. .
4. Дөрвөлжин. .
5. Бүгдийг нэгтгэх нь:
ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:
Үндсэн деривативууд:
Ялгах дүрэм:
Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:
Нийлбэрийн дериватив:
Бүтээгдэхүүний дериватив:
Хэсгийн дериватив:
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:
- Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
- Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
- Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.
Өгөгдсөн интервалд функц нь 2 максимум, 2 минимум, нийт 4 экстремумтай байна. Даалгавар Зураг дээр интервал дээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын графикийг үзүүлэв. Шийдэл Өгөгдсөн сегмент дээр функцийн дериватив эерэг байх тул энэ сегмент дээр функц нэмэгдэнэ. Шийдэл Хэрэв тодорхой цэг дэх дериватив нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд түүний ойролцоо тэмдэг өөрчлөгдвөл энэ нь экстремум цэг болно.
Дериватив утгын тооцоо. Хоёр цэгийн арга
1. Дериватив график ашиглан функцийг шалгана уу. y=f(x) функц (x1;x2) болон (x3;x4) интервалууд дээр буурна. y=f ‘(x) деривативын графикийг ашиглан y=f(x) функцийн утгыг мөн харьцуулж болно.
Эдгээр цэгүүдийг A (x1; y1) ба B (x2; y2) гэж тэмдэглэе. Координатыг зөв бичээрэй - энэ бол гол цэгшийдэл, энд байгаа аливаа алдаа нь буруу хариултад хүргэдэг.
Физик утгаараа дериватив нь аливаа үйл явцын өөрчлөлтийн хурд юм. Материаллаг цэг нь x(t) = t²-13t+23 хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг ба энд x нь жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай, t нь хөдөлгөөний эхнээс хэмжигдэх хугацаа секундээр илэрхийлэгдэнэ.
Тойрог, эллипс, гипербол, параболын шүргэгч.
Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байгааг танд сануулъя: функцын том аргумент нь функцийн том/бага утгатай тохирч байвал тухайн функцийг интервалаар нэмэгдүүлэх/багарах гэж нэрлэдэг. Гэхдээ 7089-р асуудлын шийдлийг харна уу. Тэнд нэмэгдэж буй интервалыг зааж өгөхдөө хил хязгаарыг оруулаагүй болно. Дериватив график өгөгдсөн болохыг анхаарна уу. Ердийнх шиг: цоорсон цэг нь график дээр байхгүй, түүний утгууд байхгүй бөгөөд тооцогдохгүй. Сайн бэлтгэгдсэн хүүхдүүд "үүсмэл" ба "хоёр дахь дериватив" гэсэн ойлголтуудыг ялгадаг. Та андуурч байна: хэрэв дериватив нь 0 байсан бол тухайн үед функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгатай байж болно. Деривативын сөрөг утга нь f(x) функц буурах интервалтай тохирч байна.
Энэ хүртэл бид y = f(x) хэлбэрийн нэг утгатай функцүүдийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг янз бүрийн цэгүүдэд олох завгүй байсан.
Доорх зурагт гурван өөр секант (A ба B цэгүүд өөр) харагдаж байгаа боловч тэдгээр нь давхцаж, нэг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тодорхойлолтоос эхэлбэл шулуун ба түүний зүсэлтийн шугам давхцдаг. Шүргэдэг цэгүүдийн координатыг хайж эхэлцгээе. Дараа нь шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолохдоо үүнийг ашиглах болно, үүнд анхаарлаа хандуулна уу. Цэг ба орой дээр төвтэй гиперболыг тэгшитгэлээр (зүүн талын доорх зураг), оройтой ба тэгш байдлаар (баруун талын доорх зураг) өгөгдөнө. Логик асуулт гарч ирнэ: цэг аль функцэд хамаарахыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Үүнд хариулахын тулд бид координатуудыг тэгшитгэл болгон орлуулж, аль тэгшитгэл нь ижил төстэй болж хувирахыг харна.
Заримдаа оюутнууд функцийн графикт шүргэгч гэж юу вэ гэж асуудаг. Энэ бол энэ хэсгийн графиктай нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугам бөгөөд бидний зурагт үзүүлэв. Энэ нь тойрогтой шүргэгч шиг харагдаж байна. Бид олох болно. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээх талын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна. График дээр энэ нь өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурах боломжгүй үед огцом завсарлагатай тохирч байна. Функцийг графикаар бус томъёогоор өгсөн бол деривативыг хэрхэн олох вэ?
Ачааж байна...
