Тэгшитгэлийн системийн хоёр төрлийн шийдлийг шинжлэхийг үзье.

1. Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.
2. Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах аргаарТа энгийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй:
1. Экспресс. Аливаа тэгшитгэлээс бид нэг хувьсагчийг илэрхийлдэг.
2. Орлуулах. Бид гарсан утгыг илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Шийдвэрлэх системхэрэгтэй:
1. Бид ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонго.
2. Бид тэгшитгэлийг нэмэх буюу хасахын үр дүнд нэг хувьсагчтай тэгшитгэл үүсдэг.
3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Системийн шийдэл нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.

Жишээнүүдийг ашиглан системийн шийдлийг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ №1:

Орлуулах аргаар шийдье

Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

2x+5y=1 (1 тэгшитгэл)
x-10y=3 (2-р тэгшитгэл)

1. Экспресс
Хоёр дахь тэгшитгэлд 1 коэффициенттэй х хувьсагч байгааг харж болно, энэ нь хоёр дахь тэгшитгэлээс х хувьсагчийг илэрхийлэхэд хамгийн хялбар гэсэн үг юм.
x=3+10y

2.Бид үүнийг илэрхийлсний дараа эхний тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд 3+10y-г орлуулна.
2(3+10y)+5y=1

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд.
2(3+10y)+5y=1 (хаалт нээх)
6+20ж+5у=1
25 нас=1-6
25y=-5 |: (25)
у=-5:25
y=-0.2

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцох цэгүүд тул бид x ба y-ийг олох хэрэгтэй, учир нь огтлолцлын цэг нь x ба y-ээс бүрддэг тул бид үүнийг илэрхийлсэн эхний цэг дээр y-г орлоно.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Нэгдүгээрт бид x хувьсагч, хоёрдугаарт у хувьсагчийг бичдэг цэгүүдийг бичдэг заншилтай.
Хариулт: (1; -0.2)

Жишээ №2:

Нэр томьёогоор нэмэх (хасах) аргыг ашиглан шийдье.

Нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

3x-2y=1 (1 тэгшитгэл)
2x-3y=-10 (2-р тэгшитгэл)

1. Бид хувьсагчийг сонгосон, x-г сонгосон гэж бодъё. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч нь 3 коэффициенттэй, хоёр дахь нь - 2. Бид коэффициентүүдийг ижил болгох хэрэгтэй, үүний тулд бид тэгшитгэлийг үржүүлэх эсвэл дурын тоогоор хуваах эрхтэй. Бид эхний тэгшитгэлийг 2-оор, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлж, нийт 6 коэффициентийг авна.

3x-2y=1 |*2
6х-4у=2

2х-3у=-10 |*3
6х-9у=-30

2. Х хувьсагчаас салахын тулд эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасаад шугаман тэгшитгэлийг шийд.
__6x-4y=2

5у=32 | :5
y=6.4

3. x-г ол. Бид олсон y-г аль нэг тэгшитгэлд орлуулж, эхний тэгшитгэлд оруулъя.
3х-2у=1
3х-2*6.4=1
3х-12.8=1
3х=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Уулзвар цэг нь x=4.6; y=6.4
Хариулт: (4.6; 6.4)

Та шалгалтандаа үнэ төлбөргүй бэлдмээр байна уу? Онлайн багш үнэгүй. Тохиолдолгүй.

Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг үргэлжлүүлэн судлах болно, тухайлбал: арга алгебрийн нэмэлт. Эхлээд энэ аргын хэрэглээг жишээн дээр авч үзье шугаман тэгшитгэлба түүний мөн чанар. Тэгшитгэл дэх коэффициентийг хэрхэн тэнцүүлэх талаар бас санацгаая. Мөн бид энэ аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.

Сэдэв: Тэгшитгэлийн системүүд

Хичээл: Алгебрийн нэмэх арга

1. Шугаман системийг жишээ болгон ашиглах алгебрийн нэмэх арга

Ингээд авч үзье алгебрийн нэмэх аргашугаман системийн жишээг ашиглан.

Жишээ 1. Системийг шийд

Хэрэв бид энэ хоёр тэгшитгэлийг нэмбэл y нь хүчингүй болж, x-ийн тэгшитгэл үлдэнэ.

Хэрэв бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал х-ууд бие биенээ хүчингүй болгож, y-ийн тэгшитгэлийг авна. Энэ бол алгебрийн нэмэх аргын утга юм.

Бид системийг шийдэж, алгебрийн нэмэх аргыг санав. Үүний мөн чанарыг давтан хэлье: бид тэгшитгэлийг нэмж, хасах боломжтой, гэхдээ бид зөвхөн нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг авах ёстой.

2. Коэффициентийг урьдчилан тэнцүүлэх алгебрийн нэмэх арга

Жишээ 2. Системийг шийд

Энэ нэр томъёо нь хоёр тэгшитгэлд байдаг тул алгебрийн нэмэх арга нь тохиромжтой. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасъя.

Хариулт: (2; -1).

Тиймээс тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийсний дараа энэ нь алгебрийн нэмэх аргад тохиромжтой болохыг харж, хэрэглэж болно.

Өөр нэг шугаман системийг авч үзье.

3. Шугаман бус системийн шийдэл

Жишээ 3. Системийг шийд

Бид y-г арилгахыг хүсч байгаа ч хоёр тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд өөр байна. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тэнцүүлж, эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь нь 4-ээр үржүүлээрэй.

Жишээ 4. Системийг шийд

Х-ийн коэффициентүүдийг тэнцүүлж үзье

Та үүнийг өөрөөр хийж болно - y-ийн коэффициентийг тэнцүүлээрэй.

Бид алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэж системийг шийдсэн.

Алгебрийн нэмэх арга нь шугаман бус системийг шийдвэрлэхэд ч бас хамаатай.

Жишээ 5. Системийг шийд

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг нийлүүлээд у-г хасъя.

Алгебрийн нэмэх аргыг хоёр удаа хэрэглэснээр ижил системийг шийдэж болно. Нэг тэгшитгэлээс нөгөөг нэмж хасъя.

Жишээ 6. Системийг шийд

Хариулт:

Жишээ 7. Системийг шийд

Алгебрийн нэмэх аргыг ашигласнаар бид xy гишүүнчлэлээс салах болно. Эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлье.

Эхний тэгшитгэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд хоёр дахь тэгшитгэлийн оронд бид алгебрийн нийлбэрийг бичнэ.

Хариулт:

Жишээ 8. Системийг шийд

Төгс квадратыг тусгаарлахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлнэ.

Бидний даалгавар бол дөрвөн энгийн системийг шийдэх явдал байв.

4. Дүгнэлт

Шугаман болон шугаман бус системийг шийдвэрлэх жишээн дээр бид алгебрийн нэмэх аргыг судалсан. Дараагийн хичээлээр бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг авч үзэх болно.

1. Мордкович А.Г., Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.

2. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.

3. Макарычев Ю.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын сурагчдад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.

4. Алимов Ш., Колягин Ю., Сидоров Ю. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.

5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.

6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.

1. Коллежийн хэсэг. Математик дахь ru.

2. “Даалгавар” интернет төсөл.

3. Боловсролын портал"БИ ХЭРЭГЛЭЭГ ШИЙДЭХ болно."

1. Mordkovich A.G. et al. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 125 - 127.

Та тухайн сэдвээр хичээлийн төлөвлөгөөг татаж авах хэрэгтэй » Алгебрийн нэмэх арга?

Энэхүү математикийн программыг ашигласнаар та хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах арга болон нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна орлуулах арга, нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх алхамуудын тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгдөг.

Энэ програмЭнэ нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтад бэлтгэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хяналт тавихад тустай. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт. Тэгшитгэл оруулах үедта хаалт ашиглаж болно
. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно.

Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2
Тэгшитгэлд та зөвхөн бүхэл тоо төдийгүй бутархайг аравтын бутархай, энгийн бутархай хэлбэрээр ашиглаж болно. Аравтын бутархай оруулах дүрэм.Бүхэл ба бутархай хэсгүүд
аравтын бутархай

цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна. Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.Орохдоо /
тоон бутархай &

Тоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана.
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана.
Жишээ.

Жишээ нь: 3x-4y = 5

Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2
Тэгшитгэлийн системийг шийдэх
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.

Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.
Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.

Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ тухай бичиж болно Санал хүсэлтийн маягт.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг олж авна.
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд х-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах замаар шийдвэрлэх үед бид энэ системээс өөр, ижил төстэй системд шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг нэр томъёогоор үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмснээр нэг хувьсагч 3x=33 тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системийг нь авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

Ном (сурах бичиг) Хураангуй Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтын тест онлайн Тоглоом, таавар График функцууд Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Залуучуудын хар ярианы толь бичиг Орос сургуулиудын лавлах ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталогАжлын жагсаалт

Нэмэх аргыг ашиглан системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмдэг бөгөөд нэг буюу хоёуланг нь (хэд хэдэн) тэгшитгэлийг дурын тоогоор үржүүлж болно. Үүний үр дүнд тэд тэгшитгэлийн аль нэгэнд зөвхөн нэг хувьсагч байдаг эквивалент SLE-д хүрдэг.

Системийг шийдэхийн тулд Хугацаагаар нэмэх (хасах) аргадараах алхмуудыг дагана уу:

1. Ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонгоно уу.

2. Одоо та тэгшитгэлүүдийг нэмэх, хасах ба нэг хувьсагчтай тэгшитгэл авах хэрэгтэй.

Системийн шийдэл- эдгээр нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1.

Өгөгдсөн систем:

Энэ системд дүн шинжилгээ хийсний дараа хувьсагчийн коэффициентүүд нь тэнцүү хэмжээтэй, тэмдгээр ялгаатай (-1 ба 1) байгааг анзаарч болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг нэр томъёогоор хялбархан нэмж болно:

Бид оюун ухаандаа улаанаар дугуйлсан үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

Нэр томьёогоор нэмсний үр дүн нь хувьсагчийн алга болсон явдал байв y. Энэ нь аргын яг тодорхой утга учир юм - хувьсагчийн аль нэгийг арилгах.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Системийн хэлбэрээр шийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна:

Хариулт: x = -4 , y = 1.

Жишээ 2.

Өгөгдсөн систем:

Энэ жишээнд та "сургууль" аргыг ашиглаж болно, гэхдээ энэ нь нэлээд том сул талтай - аливаа тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлэх үед та энгийн бутархайн шийдлийг авах болно. Гэхдээ бутархайг шийдэх нь маш их цаг хугацаа шаарддаг бөгөөд алдаа гаргах магадлал нэмэгддэг.

Иймд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргыг хэрэглэх нь зүйтэй. Харгалзах хувьсагчдын коэффициентүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Та хувааж болох тоог олох хэрэгтэй 3 гэх мэт 4 , мөн энэ тоо хамгийн бага байх шаардлагатай. Энэ хамгийн бага нийтлэг үржвэр. Хэрэв танд тохирох тоог олоход хэцүү бол та коэффициентийг үржүүлж болно: .

Дараагийн алхам:

Бид 1-р тэгшитгэлийг үржүүлнэ,

Бид 3-р тэгшитгэлийг үржүүлнэ,