Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл - томъёо, шийдэл, жишээ

Энэ өгүүллийн эхэнд бид тригонометрийн функцүүдийн тухай ойлголтыг авч үзсэн. Тэдний гол зорилго нь тригонометрийн үндсийг судлах, үечилсэн үйл явцыг судлах явдал юм. Бид тригонометрийн тойрог зурсан нь дэмий хоосон байсангүй, учир нь ихэнх тохиолдолд тригонометрийн функцууд нь гурвалжны талуудын харьцаа эсвэл нэгж тойрог дахь түүний тодорхой сегментүүдийн харьцаагаар тодорхойлогддог. Би мөн тригонометрийн маргаангүй асар их ач холбогдлыг дурдсан орчин үеийн амьдрал. Гэхдээ шинжлэх ухаан зогсохгүй байгаа тул бид тригонометрийн хамрах хүрээг мэдэгдэхүйц өргөжүүлж, түүний заалтуудыг бодит, заримдаа нарийн төвөгтэй тоонд шилжүүлж чадна.

Тригонометрийн томъёоХэд хэдэн төрөл байдаг. Тэдгээрийг дарааллаар нь харцгаая.

1. Ижил өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн харьцаа

Энд бид ийм ойлголтыг авч үзэх болно үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдал .

Тригонометрийн ижилсэл гэдэг нь тригонометрийн харилцаанаас бүрдэх, түүнд багтсан өнцгийн бүх утгын хувьд хангагдсан тэгш байдал юм.

Хамгийн чухал тригонометрийн таних тэмдэг, тэдгээрийн нотолгоог харцгаая.

Эхний таних нь шүргэгчийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

А орой дээр x хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг ав.



Тодорхойлолтыг батлахын тулд та Пифагорын теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Одоо бид тэгш байдлын хоёр талыг (AB) 2-т хувааж, нүгэл ба кос өнцгийн тодорхойлолтыг эргэн санаснаар бид хоёр дахь ижил төстэй байдлыг олж авна.

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

нүгэл x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Гурав, дөрөв дэх таних тэмдгийг батлахын тулд бид өмнөх нотолгоог ашигладаг.

Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь таних тэмдгийн хоёр талыг cos 2 x-т хуваана:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Эхний таних тэмдэг дээр үндэслэн tg x = sin x /cos x бид гурав дахь зүйлийг олж авна.

1 + бор 2 x = 1/cos 2 x

Одоо хоёр дахь таних тэмдгийг нүгэл 2 х-т хуваая:

нүгэл 2 х/ нүгэл 2 х + cos 2 х/ нүгэл 2 х = 1/ нүгэл 2 х

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x нь 1/tg 2 x-ээс өөр зүйл биш тул бид дөрөв дэх ижил төстэй байдлыг олж авна.

1 + 1/тг 2 х = 1/нүгэл 2 х

Нийлбэрийн теоремыг санах цаг болжээ дотоод булангуудгурвалжин бөгөөд энэ нь гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр = 180 0 байна. Гурвалжны В орой дээр 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x гэсэн өнцөг байгаа нь харагдаж байна.



Нүгэл ба cos-ийн тодорхойлолтыг дахин эргэн санаж, тав, зургаа дахь ижил төстэй байдлыг олж авцгаая.

нүгэл x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Одоо дараах зүйлийг хийцгээе.

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Таны харж байгаагаар энд бүх зүйл энгийн зүйл юм.

Математик таних тэмдгийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бусад таних тэмдэгүүд байдаг, би тэдгээрийг энгийн хэлбэрээр өгөх болно. лавлагаа мэдээлэл, учир нь тэдгээр нь бүгд дээрхээс үүдэлтэй.



2. Тригонометрийн функцуудыг бие биенээр нь илэрхийлэх

   (Үндэсний урд талын тэмдгийг сонгох нь тойргийн дөрөвний аль нь булангийн байрлалаар тодорхойлогддог вэ?)







3. Өнцөг нэмэх, хасах томъёог доор харуулав.



4. Давхар, гурав дахин, хагас өнцгийн томьёо.

   Тэд бүгд өмнөх томъёоллуудаас гаралтай гэдгийг би тэмдэглэж байна.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх томъёо:

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.

Энэ нийтлэлд бид бүх гол зүйлийг дарааллаар нь жагсаах болно тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.

Хуудасны навигаци.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудНэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг өөр ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.

Бууруулах томъёо

Бууруулах томъёоСинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.

Нэмэлт томъёо

Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.

Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг

Хагас өнцгийн томъёо

Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.

Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.

Зэрэг бууруулах томъёо

Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёо-аас шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм байгалийн зэрэгтригонометрийн функцууд нь синус ба косинусыг нэгдүгээр зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томьёог мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь синусын болон косинусын нийлбэр, зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.

Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.

Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Www.site-ийн аль ч хэсэг, үүнд дотоод материалТэгээд гадаад дизайн, зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр ямар ч хэлбэрээр хуулбарлахыг хориглоно.

Энэ нийтлэлд бид цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хооронд холбоо тогтоож, эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр олох боломжийг олгодог тэгшитгэлүүд юм.

Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичээд доор нь эдгээр томъёоны гаралтыг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгнө.

Хуудасны навигаци.

Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал

Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн талаар ярьдаггүй, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрлийн . Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний аль алиныг нь тус тусад нь хуваасны дараа тэгш байдлыг олж авдаг. Тэгээд синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Өөрөөр хэлбэл, гол тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэгдсэн тэгш байдал нь онцгой анхаарал татаж байна.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг үед тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх. Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг аль ч өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.

Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс

Нэг харах өнцгийн синус ба котангенстай тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг ба синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг шууд дагаж мөрдөөрэй. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, тангенс нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. , ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, .

Ийм тодорхой байдлын ачаар таних тэмдэг болон Тангенс ба котангенсыг ихэвчлэн абсцисса ба ординатын харьцаагаар биш, харин синус ба косинусын харьцаагаар тодорхойлдог. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд хэн болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй Эдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд утга учиртай бүх өнцөгт явагдана. Тэгэхээр томьёо нь (эс тэгвэл хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томьёоны хувьд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

Өмнөх хоёроос илүү тодорхой тригонометрийн ижилсэл нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон ижил төстэй байдал юм. . Энэ нь -ээс өөр өнцөгт тохирох нь тодорхой бөгөөд өөрөөр хэлбэл тангенс эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.

Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас . Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш , Тэр .

Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь .

Тригонометрийн функцууд- "Нүглийн" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "сек" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг мөн үзнэ үү. "Sine" хүсэлтийг энд дахин чиглүүлсэн; бусад утгыг бас үзнэ үү... Википедиа

Бор

Цагаан будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.

Косинус- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.

Котангенс- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.

Секант- Будаа. 1 Тригонометрийн функцүүдийн график: синус, косинус, тангенс, секант, косекант, котангенс Тригонометрийн функцууд нь энгийн функцүүдийн нэг төрөл юм. Эдгээрт ихэвчлэн синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia орно.

Тригонометрийн түүх- Геодезийн хэмжилт (XVII зуун) ... Википедиа

Хагас өнцгийн томъёоны тангенс- Тригонометрийн хувьд хагас өнцгийн тангенс нь хагас өнцгийн тангенсыг бүтэн өнцгийн тригонометрийн функцуудтай холбодог: Энэ томьёоны өөрчлөлтүүд дараах байдалтай байна... Wikipedia

Тригонометр- (Грек хэлнээс τρίγονο (гурвалжин) ба Грекийн μετρειν (хэмжих), өөрөөр хэлбэл гурвалжны хэмжилт) нь тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Энэ нэр томьёо анх 1595 онд... ... Википедиа гэж гарч ирсэн

Гурвалжин шийдвэрлэх- (лат. solutio triangulorum) үндсэн шийдвэр гэсэн утгатай түүхэн нэр томьёо тригонометрийн асуудал: гурвалжны (тал, өнцөг гэх мэт) талаарх мэдэгдэж буй өгөгдлийг ашиглан түүний үлдсэн шинж чанарыг ол. Гурвалжин нь... ... Википедиа дээр байрлаж болно

Номууд

• Хүснэгтийн багц. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-р анги. 17 хүснэгт + арга зүй, . Хүснэгтийг 680 х 980 мм хэмжээтэй зузаан хэвлэмэл картон дээр хэвлэв. Иж бүрдэл нь товхимолтойарга зүйн зөвлөмж
• багшийн хувьд. 17 хуудас бүхий боловсролын цомог... 3944 рублиэр худалдаж аваарайИнтеграл ба бусад математикийн томьёоны хүснэгтүүд, Дуайт Г.Б. Алдарт лавлах номын арав дахь хэвлэлт нь тодорхойгүй ба тодорхой интегралын маш дэлгэрэнгүй хүснэгтүүдийг агуулдаг.

их тоо бусад математикийн томьёо: цуваа тэлэлт,...Та захиалж болно

нарийвчилсан шийдэл чиний даалгавар!!!Тэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгш байдал

тригонометрийн функц

(`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) нь тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийг `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` гэж нэрлэдэг бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-ийн хувьд ямар ч шийдэл байхгүй.

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд бодит тоонуудын дунд шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын аль ч утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

• үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
• дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Баруун талыг `1=sin^2 x+cos^2 x` гэж бичье:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулт. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас булан руу яв

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээр дурдсан алгебрийн аргыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч ба хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайтай тэнцүү юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулт. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томьёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.