Тригонометрийн синусын ерөнхий томьёо. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт, томъёоны гаргалгаа, жишээ

Би чамайг хууран мэхлэх хуудас бичихгүй гэж итгүүлэхийг оролдохгүй. Бичих! Тригонометрийн талаархи хууран мэхлэлтийн хуудсыг оруулав. Хожим нь би хууран мэхлэх хуудас яагаад хэрэгтэй, яагаад хууран мэхлэх хуудас хэрэгтэй болохыг тайлбарлахаар төлөвлөж байна. Хэрхэн сурахгүй байх тухай мэдээлэл энд байна, гэхдээ заримыг нь санаарай тригонометрийн томъёо. Тиймээс - хууран мэхлэх хуудасгүй тригонометрийг бид цээжлэхдээ ашигладаг.

1. Нэмэх томъёо:

Косинусууд үргэлж "хосоор ирдэг": косинус-косинус, синус-синус. Бас нэг зүйл: косинусууд "хангалтгүй" байна. Тэдний хувьд "бүх зүйл буруу байна" тул "-" тэмдгийг "+" болгож, эсрэгээр нь өөрчилдөг.

Синусууд - "холимог": синус-косинус, косинус-синус.

2. Нийлбэр ба ялгааны томъёо:

косинусууд үргэлж "хосоор ирдэг". Хоёр косинус - "колобокс" -ийг нэмснээр бид хос косинус - "колобокс"-ийг олж авна. Мөн хассанаар бид колобокс авахгүй нь гарцаагүй. Бид хэд хэдэн синус авдаг. Мөн хасах оноотой.

Синусууд - "холимог" :

3. Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр ба зөрүү болгон хувиргах томъёо.

Бид хэзээ косинус хосыг авах вэ? Бид косинусыг нэмэх үед. Тийм ч учраас

Бид хоёр синусыг хэзээ авах вэ? Косинусыг хасах үед. Эндээс:

"Холих" нь синусыг нэмэх, хасах үед хоёуланг нь олж авдаг. Илүү хөгжилтэй зүйл юу вэ: нэмэх эсвэл хасах уу? Энэ нь зөв, нугалах. Мөн томъёоны хувьд тэд нэмэлтийг авдаг:

Эхний болон гурав дахь томъёонд нийлбэрийг хаалтанд бичнэ. Нэр томъёоны газруудыг дахин байрлуулах нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй. Захиалга нь зөвхөн хоёр дахь томьёоны хувьд чухал юм. Гэхдээ төөрөгдүүлэхгүйн тулд санахад хялбар болгохын тулд эхний хаалтанд байгаа гурван томьёоны ялгааг авна.

хоёрдугаарт - хэмжээ

Таны халаасанд байгаа хууран мэхлэх хуудас нь сэтгэлийн амар амгаланг өгдөг: хэрэв та томъёог мартвал хуулж болно. Мөн тэд танд итгэлийг өгдөг: хэрэв та хууран мэхлэх хуудсыг ашиглаж чадахгүй бол томъёог амархан санаж чадна.

Энэ нийтлэлд бид цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хооронд холбоо тогтоож, эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр олох боломжийг олгодог тэгшитгэлүүд юм.

Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичээд доор нь эдгээр томъёоны гаралтыг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгнө.

Хуудасны навигаци.

Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал

Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн талаар ярьдаггүй, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрлийн . Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний хоёр хэсгийг тус тусад нь хувааж, тэгш байдлыг олж авна. Тэгээд синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Өөрөөр хэлбэл, гол тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэгдсэн тэгш байдал нь онцгой анхаарал татаж байна.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг үед тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх. Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг аль ч өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.

Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс

Нэг өнцгийн синус ба котангенстай тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг ба синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг шууд дагаж мөрдөөрэй. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, тангенс нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. , ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, .

Ийм тодорхой байдлын ачаар таних тэмдэг болон Тангенс ба котангенсыг ихэвчлэн абсцисса ба ординатын харьцаагаар биш, харин синус ба косинусын харьцаагаар тодорхойлдог. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.

Энэ зүйлийг дүгнэж хэлэхэд таних тэмдэг болон тэдгээрт орсон элементүүдийн бүх өнцгийн хувьд явагдана тригонометрийн функцуудутга учиртай болгох. Тэгэхээр томьёо нь (эс тэгвэл хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томьёоны хувьд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

Бүр илүү ойлгомжтой тригонометрийн ижилсэлөмнөх хоёроос илүү нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг юм . -ээс бусад өнцөгт тохирох нь ойлгомжтой, эс бөгөөс шүргэгч эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.

Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас . Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш , Тэр .

Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь .

Хоёр өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний косинус

Энэ хэсэгт дараах хоёр томъёог батлах болно.

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Хоёр өнцгийн нийлбэрийн (ялгаа) косинус нь эдгээр өнцгийн косинусын үржвэрээс эдгээр өнцгийн синусын үржвэрийг хассантай тэнцүү байна.

Томъёоны (2) нотолгооноос эхлэх нь бидэнд илүү тохиромжтой байх болно. Илтгэлийг хялбарчлахын тулд эхлээд өнцөг гэж үзье α Тэгээд β дараах нөхцлийг хангана.

1) эдгээр өнцөг бүр нь сөрөг биш, бага байна 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

0x тэнхлэгийн эерэг хэсгийг өнцгүүдийн нийтлэг эхлэл тал гэж үзье α Тэгээд β .

Бид эдгээр өнцгүүдийн төгсгөлийн талуудыг 0A ба 0B-ээр тус тус тэмдэглэнэ. Өнцөг нь ойлгомжтой α - β 0B цацрагийг 0 цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх шаардлагатай өнцөг гэж үзэж болох бөгөөд ингэснээр түүний чиглэл нь 0А цацрагийн чиглэлтэй давхцаж байна.

0A ба 0B цацрагууд дээр бид 0 координатын эх үүсвэрээс 1-ийн зайд байрлах M ба N цэгүүдийг тэмдэглэж, 0M = 0N = 1 байна.

x0y координатын системд М цэг нь координаттай ( cos α, sin α), N цэг нь координат ( cos β, sin β). Тиймээс тэдгээрийн хоорондох зайны квадрат нь:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + нүгэл 2 α - 2sin α син β + нүгэл 2 β = .

Тооцоололдоо бид таних тэмдгийг ашигласан

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Одоо 0x ба 0y тэнхлэгүүдийг 0 цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан өөр B0C координатын системийг авч үзье. β .

Энэ координатын системд М цэг нь координаттай (cos ( α - β ), нүгэл ( α - β )), цэг нь N-координат (1,0). Тиймээс тэдгээрийн хоорондох зайны квадрат нь:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ нүгэл 2 (α - β) = 2.

Гэхдээ M ба N цэгүүдийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийг ямар координатын системтэй холбож үзэхээс хамаарахгүй. Тийм ч учраас

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Эндээс (2) томъёо гарч ирнэ.

Одоо бид өнцгүүдийн танилцуулгыг хялбаршуулах үүднээс тавьсан хоёр хязгаарлалтыг санах хэрэгтэй α Тэгээд β .

Шаардлага нь булан бүрийг α Тэгээд β сөрөг биш, үнэхээр чухал биш байсан. Эцсийн эцэст, эдгээр өнцгүүдийн аль нэгэнд та 2-ын үржвэртэй өнцгийг нэмж болох бөгөөд энэ нь (2) томъёоны хүчин төгөлдөр байдалд нөлөөлөхгүй. Үүнтэй адилаар эдгээр өнцөг бүрээс үржвэртэй өнцгийг хасаж болно 2π. Тиймээс бид үүнийг таамаглаж болно 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Нөхцөл байдал нь бас ач холбогдолгүй болж хувирдаг α > β . Үнэхээр, хэрэв α < β , Тэр β >α ; тиймээс функцийн паритетыг өгөв cos X , бид авах:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

Энэ нь (2) томъёотой үндсэндээ давхцаж байна. Тиймээс томъёо

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

бүх өнцгийн хувьд үнэн α Тэгээд β . Ялангуяа, үүн дээр орлуулах β дээр - β мөн функцийг өгсөн cosX тэгш байна, функц нүгэлX хачирхалтай, бид дараахь зүйлийг авна.

cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

Энэ нь (1) томъёог баталж байна.

Тиймээс (1) ба (2) томъёонууд батлагдсан.

Жишээ.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Дасгал

1 . Тригонометрийн хүснэгт ашиглахгүйгээр тооцоолох:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

б) нүгэл 3° син 42° - cos 39° cos 42°;

в) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

д) нүгэл 3π / 5 нүгэл 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5.

2.Илбэрийг хялбарчлах:

a). учир нь( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

б). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + нүгэл (36° + α ) нүгэл ( α - 24°).

V). нүгэл(π/4 - α ) нүгэл (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + тг α нүгэл 2 α .

3 . Тооцоол :

а) cos(α - β), Хэрэв

cos α = - 2 / 5 , гэм β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

б) учир нь ( α + π / 6), хэрэв cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Хай cos(α + β)болон cos (α - β) , хэрэв тэр гэм нүгэл нь мэдэгдэж байгаа бол α = 7 / 25, cos β = - 5/13 ба хоёр өнцөг ( α Тэгээд β ) нэг улиралд дуусна.

5 .Тооцоолох:

A). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

б). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

V). cos [ arctan 1/2 + arccos (- 2) ]

Тригонометрийн таних тэмдэг- эдгээр нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс ба котангенсийн хоорондын хамаарлыг тогтоодог тэгшитгэлүүд бөгөөд эдгээр функцүүдийн аль нэгийг нь олж мэдэх боломжийг олгодог.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Энэ ижил төстэй байдал нь нэг өнцгийн синусын квадрат ба нэг өнцгийн косинусын квадратын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь практикт нэг өнцгийн синусыг косинус нь мэдэгдэж байх үед болон эсрэгээр нь тооцоолох боломжтой болгодог. .

Тригонометрийн илэрхийлэлийг хөрвүүлэхдээ энэ таних тэмдгийг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь нэг өнцгийн косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр сольж, солих үйлдлийг урвуу дарааллаар гүйцэтгэх боломжийг олгодог.

Синус ба косинусыг ашиглан тангенс ба котангенсыг олох

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Эдгээр таних тэмдэг нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос үүсдэг. Эцсийн эцэст хэрэв та үүнийг харвал ординат y нь синус, абсцисса х нь косинус юм. Дараа нь тангенс нь харьцаатай тэнцүү байх болно \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), болон харьцаа \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- котангенс байх болно.

Зөвхөн тэдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд нь утга учиртай \alpha өнцгүүдийн хувьд адилтгалууд хадгалагдана гэдгийг нэмж хэлье. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Жишээ нь: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-аас ялгаатай \alpha өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ээс өөр \alpha өнцгийн хувьд z нь бүхэл тоо юм.

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Энэ таних нь зөвхөн өөр альфа өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2) z. Үгүй бол котангенс эсвэл тангенсыг тодорхойлохгүй.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид үүнийг олж авна tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Үүнийг дагадаг tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Иймд утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь харилцан урвуу тоо юм.

Тангенс ба косинус, котангенс ба синус хоорондын хамаарал

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha ба 1 өнцгийн шүргэгчийн квадратын нийлбэр нь энэ өнцгийн косинусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь бусад бүх \alpha-д хүчинтэй \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\альфа)- 1-ийн нийлбэр ба \alpha өнцгийн котангенсийн квадрат нь тухайн өнцгийн синусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь \pi z-ээс өөр ямар ч \alpha-д хүчинтэй.

Тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1

\sin \alpha, tg \alpha бол ол \cos \alpha=-\frac12Тэгээд \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

\sin \alpha ба \cos \alpha функцууд нь томъёогоор хамааралтай \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ томъёонд орлуулах \cos \alpha = -\frac12, бид авах:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Энэ тэгшитгэл нь 2 шийдэлтэй:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд синус эерэг байна, тиймээс \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашигладаг tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Жишээ 2

Хэрэв мөн бол \cos \alpha ба ctg \alpha-г ол \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Томъёонд орлуулах \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1өгсөн дугаар \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), бид авдаг \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашиглана ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Бид тохирох утгыг мэддэг.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).