Деривативын геометрийн утгын талаарх мэдээллийг олоорой. Функцийн деривативын тодорхойлолт, түүний геометрийн болон физикийн утга

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

• Оюутнуудад деривативын физик утгыг утга учиртай шингээх нөхцлийг бүрдүүлэх.
• Төрөл бүрийн физик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд деривативыг практик ашиглах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

• Мэдээллийг ил тод болгох замаар оюутнуудын математикийн үзэл бодол, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх практик хэрэгцээсэдвийн онолын ач холбогдол.
• Оюутны сэтгэн бодох чадварыг сайжруулах нөхцөлийг бүрдүүлэх: харьцуулах, дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх.

Боловсролын:

• Математикийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх.

Хичээлийн төрөл:Шинэ мэдлэг эзэмших хичээл.

Ажлын хэлбэрүүд:урд талын, хувь хүн, бүлэг.

Тоног төхөөрөмж:Компьютер, интерактив самбар, танилцуулга, сурах бичиг.

Хичээлийн бүтэц:

1. Зохион байгуулалтын мөч, хичээлийн зорилго тавих
2. Шинэ материал сурах
3. Шинэ материалыг анхдагч нэгтгэх
4. Бие даасан ажил
5. Хичээлийн хураангуй. Тусгал.

Хичээлийн явц

I.Зохион байгуулалтын үе, хичээлийн зорилгоо тодорхойлох (2 мин.)

II. Шинэ материал сурах (10 мин.)

Багш:Өмнөх хичээлүүдээр бид деривативыг тооцоолох дүрэмтэй танилцаж, шугаман, хүч, тригонометрийн функцууд. Бид деривативын геометрийн утга гэж юу болохыг олж мэдсэн. Өнөөдөр хичээл дээр бид энэ ойлголтыг физикт хаана ашигладаг болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг хийхийн тулд деривативын тодорхойлолтыг эргэн санах хэрэгтэй (Слайд 2)

Одоо физикийн хичээл рүүгээ орцгооё (Слайд 3)

Оюутнууд ярьж, санаж байна физик ойлголтуудболон томъёо.

Биеийг S(t)= f(t) хуулийн дагуу хөдөлгө. t 0-ээс t 0 + Δ t хүртэлх хугацаанд биеийн туулсан замыг авч үзье, Δt нь аргументийн өсөлт юм. t 0 цаг хугацааны агшинд бие нь S(t 0) замыг туулсан, яг одоо t 0 +Δt - S(t 0 +Δt) замыг туулсан. Тиймээс Δt хугацааны туршид бие нь S(t 0 +Δt) – S(t 0) замыг туулсан, өөрөөр хэлбэл. Бид функцийн өсөлтийг авсан. Энэ хугацааны биеийн дундаж хурд υ==

Хугацааны интервал t богино байх тусам t мөчид бие ямар хурдтай хөдөлж байгааг илүү нарийвчлалтай олж мэдэх боломжтой. t → 0 чиглүүлсний дараа бид агшин зуурын хурдыг олж авдаг - энэ хөдөлгөөний t мөч дэх хурдны тоон утгыг.

υ= , Δt→0 үед хурд нь цаг хугацааны хувьд замын дериватив юм.

Слайд 4

Хурдатгалын тодорхойлолтыг санацгаая.

Дээр дурдсан материалыг ашигласнаар бид t a(t)= υ’(t) үед гэж дүгнэж болно. хурдатгал нь хурдны дериватив юм.

Дараа нь интерактив самбар дээр одоогийн хүч чадал, өнцгийн хурд, emf гэх мэт томъёонууд гарч ирнэ. Оюутнууд дериватив ойлголтоор дамжуулан өгөгдсөн физик хэмжигдэхүүний агшин зуурын утгыг нэмдэг. (Хэрэв байхгүй бол интерактив самбартанилцуулгыг ашиглах)

Слайд 5-8

Оюутнууд дүгнэлт гаргадаг.

Дүгнэлт:(Слайд 9) Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм. (Зам, координат, хурд, соронзон урсгал гэх мэт функцууд)

υ (x)=f ’(x)

Багш:Физик, техникийн шинжлэх ухаан, химийн шинжлэх ухаанд судлагдсан хамгийн олон янзын үйл явцын тоон шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоо нь зам ба хурдны хоорондын холбоотой төстэй болохыг бид харж байна. Та олон асуудлыг өгч болно, тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд тодорхой функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олох шаардлагатай, жишээлбэл: тодорхой агшинд уусмалын концентрацийг олох, шингэний урсгалын хурд, өнцгийг олох. биеийн эргэлтийн хурд, цэг дэх шугаман нягт гэх мэт. Одоо бид эдгээр асуудлын заримыг шийдэх болно.

III.Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх (багаар ажиллах) (15 мин.)

Дараа нь Удирдах зөвлөлийн хуралдаанаар хэлэлцэв

Асуудлыг шийдэхийн өмнө физик хэмжигдэхүүний хэмжилтийн нэгжийг тодруулах хэрэгтэй.

Хурд - [м/с]
Хурдатгал – [м/с 2 ]
Хүч чадал – [N]
Эрчим хүч – [J]

1-р бүлгийн даалгавар

Цэг нь хуулийн дагуу хөдөлдөг s(t)=2t³-3t (s - метрээр зам, t - секундээр). Цэгийн хурд ба түүний хурдатгалыг 2 секундын хугацаанд тооцоол

2-р бүлэг даалгавар

Flywheel нь φ(t)= t 4 -5t хуулийн дагуу тэнхлэгийг тойрон эргэдэг. Түүний өнцгийн хурдыг ω 2 секундын хугацаанд ол (φ нь радианаар эргэх өнцөг, ω - өнцгийн хурд rad/s)

3-р бүлэг даалгавар

2 кг жинтэй бие x(t)=2-3t+2t² хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлдөг.

Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш 3 секундын дараа биеийн хурд ба кинетик энергийг ол. Яг энэ мөчид биед ямар хүч үйлчилж байна вэ? (t секундээр хэмжигдэнэ, х нь метрээр хэмжигдэнэ)

Даалгавар 4

Цэг нь x(t)=2sin3t хуулийн дагуу хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг гүйцэтгэдэг. Хурдатгал нь х координаттай пропорциональ гэдгийг батал.

IV. 272, 274, 275, 277 тоот асуудлыг бие даан шийдвэрлэх

[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов болон бусад “Алгебр ба анализын эхлэл, 10-11-р анги”

Өгөгдсөн:	Шийдэл:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18м/с Хариулт: t=6c; υ(6)= 18м/с

Геометр, механик, физик болон бусад мэдлэгийн салбаруудын янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ функцээс ижил аналитик процессыг ашиглах хэрэгцээ гарч ирэв. y=f(x)гэж нэрлэгддэг шинэ функцийг авах дериватив функц(эсвэл зүгээр л Өгөгдсөн f(x) функцийн уламжлал)тэмдэгтээр тодорхойлогддог

Өгөгдсөн функцээс гарах үйл явц f(x)шинэ функц авах f" (x), дуудсан ялгахбөгөөд энэ нь дараах гурван алхмаас бүрдэнэ: 1) аргумент өгөх xөсөлт  xфункцийн харгалзах өсөлтийг тодорхойлно  у = f(x+ x) -f(x);

2) харилцаа үүсгэх x 3) тоолох  xтогтмол ба
0, бид олдог f" (x), бид үүнийг тэмдэглэдэг x, үр дүнд бий болсон функц нь зөвхөн утгаас хамаарна гэдгийг онцолсон мэт , бид хязгаарт хүрдэг.: Тодорхойлолт Дериватив y " =f " (x) өгөгдсөн функц y=f(x)өгөгдсөн x-ийн хувьд
Хэрэв аргументийн өсөлт тэг байх хандлагатай байвал функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөд харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв мэдээжийн хэрэг, энэ хязгаар байгаа бол, өөрөөр хэлбэл. хязгаарлагдмал.

Тиймээс, x, эсвэл Зарим үнэ цэнийн хувьд бол гэдгийг анхаарна уу, жишээ нь хэзээ
x=a  x, хандлага f(x)цагт Зарим үнэ цэнийн хувьд бол гэдгийг анхаарна уу0 нь төгсгөлийн хязгаар руу чиглэдэггүй, тэгвэл энэ тохиолдолд функц гэж хэлдэг Зарим үнэ цэнийн хувьд бол гэдгийг анхаарна ууцагт Зарим үнэ цэнийн хувьд бол гэдгийг анхаарна уу.

(эсвэл цэг дээр

) нь деривативгүй буюу цэг дээр ялгах боломжгүй

f(x)

2. Деривативын геометрийн утга.

x 0 цэгийн ойролцоо дифференциал болох y = f (x) функцийн графикийг авч үзье.

Одоо бид ∆x-ийг багасгах болно, өөрөөр хэлбэл. ∆х→ 0. Энэ тохиолдолд В цэг графикийн дагуу А цэгт ойртох ба AB секант эргэлдэнэ. AB секантын ∆x→ 0 дахь хязгаарлах байрлал нь А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч гэж нэрлэгддэг шулуун (a) байх болно.

Хэрэв бид tgβ =∆y/∆x тэгшитгэлд ∆x → 0 гэж хязгаарт очвол бид дараахийг авна.
ortg =f "(x 0), оноос хойш
-Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй шүргэгчийн налуу өнцөг
, деривативын тодорхойлолтоор. Харин tg = k нь шүргэгчийн өнцгийн коэффициент бөгөөд энэ нь k = tg = f "(x 0) гэсэн үг юм.

Тиймээс деривативын геометрийн утга нь дараах байдалтай байна.

х цэг дээрх функцийн дериватив 0 тэнцүү байна налууабсцисса х-тэй цэг дээр зурсан функцийн графиктай шүргэгч 0 .

3. Деривативын физик утга.

Шулуун шугамын дагуух цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Дурын үеийн x(t) цэгийн координатыг өгье. Мэдэгдэж байгаагаар (физикийн хичээлээс) тодорхой хугацааны дундаж хурд нь энэ хугацаанд туулсан зайны харьцаатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

Вав = ∆x/∆t. ∆t → 0 гэсэн сүүлчийн тэгшитгэлийн хязгаарт очъё.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 үеийн агшин зуурын хурд.

ба lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (деривативын тодорхойлолтоор).

Тэгэхээр, (t) =x"(t).

Деривативын физик утга нь дараах байдалтай байна: функцийн деривативy = е(x) цэг дээрx 0 функцийн өөрчлөлтийн хурд юме(x) цэг дээрx 0

Уг деривативыг физикт координат ба цаг хугацааны мэдэгдэж буй функцээс хурдыг, хурд ба цаг хугацааны мэдэгдэж буй функцээс хурдатгалыг олоход ашигладаг.

(t) = x"(t) - хурд,

a(f) = "(t) - хурдатгал, эсвэл

Хэрэв тойрог дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хууль мэдэгдэж байгаа бол эргэлтийн хөдөлгөөний үед өнцгийн хурд ба өнцгийн хурдатгалыг олж болно.

φ = φ(t) - цаг хугацааны явцад өнцгийн өөрчлөлт,

ω = φ"(t) - өнцгийн хурд,

ε = φ"(t) - өнцгийн хурдатгал, эсвэл ε = φ"(t).

Хэрэв нэгэн төрлийн бус савааны массын тархалтын хууль мэдэгдэж байгаа бол нэг төрлийн бус савааны шугаман нягтыг олж болно.

m = m(x) - масс,

x  , l - бариулын урт,

p = m"(x) - шугаман нягт.

Деривативыг ашиглан уян хатан чанар ба гармоник чичиргээний онолын асуудлуудыг шийддэг. Тиймээс, Хукийн хуулийн дагуу

F = -kx, x – хувьсах координат, k – пүршний уян хатан байдлын коэффициент. ω 2 =k/m гэж тавиад пүршний дүүжин x"(t) + ω 2 x(t) = 0-ийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Энд ω = √k/√m хэлбэлзлийн давтамж (l/c), k - хаврын хөшүүн чанар (H/m).

y" + ω 2 y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гармоник хэлбэлзлийн (механик, цахилгаан, цахилгаан соронзон) тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь функц юм.

y = Asin(ωt + φ 0) эсвэл y = Acos(ωt + φ 0), энд

A - хэлбэлзлийн далайц, ω - мөчлөгийн давтамж,

φ 0 - эхний үе шат.

Математикийн асуудлууд олон шинжлэх ухаанд хэрэглэгдэж байна. Үүнд физик, хими, технологи, эдийн засаг төдийгүй анагаах ухаан, экологи болон бусад салбарууд багтдаг. Чухал бэрхшээлийн шийдлийг олохын тулд эзэмших ёстой нэг чухал ойлголт бол функцийн дериватив юм. Үүний бодит утгыг тайлбарлах нь асуудлын мөн чанарыг ойлгоогүй хүмүүст тийм ч хэцүү биш юм. Та зүгээр л олох хэрэгтэй тохиромжтой жишээнүүдтэр дотор бодит амьдралмөн өдөр тутмын энгийн нөхцөл байдал. Үнэн хэрэгтээ ямар ч жолооч өдөр бүр хурд хэмжигч рүү хараад машиныхаа хурдыг тодорхой цаг хугацаанд нь тодорхойлдог ижил төстэй ажлыг даван туулдаг. Эцсийн эцэст, энэ нь деривативын физик утгын мөн чанарыг агуулсан яг энэ параметр юм.

Хурд яаж олох вэ

Тавдугаар ангийн аль ч хүүхэд зам дээр байгаа хүний ​​хурдыг хялбархан тодорхойлж, туулсан зай, аялах хугацааг мэддэг. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн утгуудын эхнийх нь хоёр дахь утгыг хуваана. Гэхдээ залуу математикч бүр функц болон аргументийн өсөлтийн харьцааг олж байгааг мэддэггүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та хөдөлгөөнийг график хэлбэрээр төсөөлж, ординатын тэнхлэгийн дагуух замыг, абсцисса дагуу цагийг зурвал яг ийм байх болно.

Гэсэн хэдий ч хөдөлгөөн жигд байна гэж үзвэл замын том хэсэгт бидний тодорхойлдог явган хүний ​​эсвэл бусад объектын хурд өөрчлөгдөж магадгүй юм. Физикт хөдөлгөөний олон хэлбэрийг мэддэг. Энэ нь зөвхөн байнгын хурдатгалтай төдийгүй, мөн дур зоргоороо удааширч, нэмэгдэж болно. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн шугам нь шулуун шугам байхаа болино гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Графикийн хувьд энэ нь хамгийн төвөгтэй тохиргоог авч болно. Гэхдээ график дээрх аль ч цэгийн хувьд шугаман функцээр дүрслэгдсэн шүргэгчийг үргэлж зурж болно.

Цаг хугацаанаас хамааран шилжилтийн өөрчлөлтийн параметрийг тодруулахын тулд хэмжсэн сегментүүдийг богиносгох шаардлагатай. Тэд хязгааргүй жижиг болох үед тооцоолсон хурд нь агшин зуурт болно. Энэ туршлага нь деривативыг тодорхойлоход бидэнд тусалдаг. Түүний физик утга нь мөн ийм үндэслэлээс логикийн хувьд үүсдэг.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл

Биеийн хурд их байх тусам нүүлгэн шилжүүлэлтийн цаг хугацааны хамаарлын график, тиймээс тодорхой цэг дэх шүргэгчийн графын налуу өнцгийн эгц байх нь мэдэгдэж байна. Ийм өөрчлөлтийн үзүүлэлт нь абсцисса тэнхлэг ба шүргэгч шугамын хоорондох өнцгийн тангенс байж болно. Чухам энэ нь деривативын утгыг тодорхойлдог бөгөөд абсцисса тэнхлэг рүү тодорхой цэгээс унасан перпендикуляраас үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжин дахь зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын уртын харьцаагаар тооцоологддог.

Энэ бол анхны деривативын геометрийн утга юм. Манай тохиолдолд эсрэг талын утга нь явсан зайг, зэргэлдээх тал нь цаг хугацааг илэрхийлдэг тул физик нь илчлэгдсэн. Энэ тохиолдолд тэдний харьцаа нь хурд юм. Хоёр интервал нь хязгааргүй бага байх үед тодорхойлогддог агшин зуурын хурд нь түүний физик утгыг илэрхийлдэг мөн чанар юм гэсэн дүгнэлтэд бид дахин хүрч байна. Энэ жишээн дэх хоёр дахь дериватив нь биеийн хурдатгал байх бөгөөд энэ нь эргээд хурдны өөрчлөлтийн зэргийг харуулдаг.

Физик дэх дериватив олох жишээ

Дериватив нь бид үгийн шууд утгаараа хөдөлгөөний тухай яриагүй ч гэсэн аливаа функцийн өөрчлөлтийн хурдыг илтгэдэг үзүүлэлт юм. Үүнийг тодорхой харуулахын тулд цөөн хэдэн зүйлийг энд оруулав тодорхой жишээнүүд. Одоогийн хүч нь цаг хугацаанаас хамааран өөрчлөгддөг гэж бодъё дараагийн хууль: I= 0.4т 2 .Процессын 8 секундын төгсгөлд энэ параметр өөрчлөгдөх хурдны утгыг олох шаардлагатай. Тэгшитгэлээс харахад хүссэн утга нь өөрөө байнга нэмэгдэж байгааг анхаарна уу.

Шийдэхийн тулд физик утгыг өмнө нь авч үзсэн анхны деривативыг олох шаардлагатай. Энд dI/ dt = 0,8 т. Дараа нь бид үүнийг олох болно т=8 , бид одоогийн өөрчлөлт гарах хурд нь тэнцүү болохыг олж мэдсэн 6,4 А/ в. Энд гүйдлийн хүчийг ампераар, цаг хугацааг секундээр хэмждэг гэж үздэг.

Бүх зүйл өөрчлөгддөг

Материас бүрдэх хүрээлэн буй ертөнц нь түүнд тохиолддог янз бүрийн үйл явцын хөдөлгөөнд байнга өөрчлөгдөж байдаг. Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд янз бүрийн параметрүүдийг ашиглаж болно. Хэрэв тэдгээрийг хамаарлаар нэгтгэсэн бол тэдгээрийн өөрчлөлтийг тодорхой харуулсан функц хэлбэрээр математикийн хэлбэрээр бичнэ. Хөдөлгөөн байгаа газарт (ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэгдэж болно) одоогийн байдлаар бидний авч үзэж байгаа физик утгыг агуулсан дериватив байдаг.

Дараах жишээ нь энэ тухай юм. Хуулийн дагуу биеийн температур өөрчлөгддөг гэж үзье Т=0,2 т 2 . Та 10 секундын төгсгөлд түүний халаалтын хурдыг олох хэрэгтэй. Асуудлыг өмнөх тохиолдолд тайлбарласантай ижил аргаар шийддэг. Өөрөөр хэлбэл, бид деривативыг олж, утгыг нь орлуулна т= 10 , бид авдаг Т= 0,4 т= 4. Энэ нь эцсийн хариулт нь секундэд 4 градус, өөрөөр хэлбэл градусаар хэмжигдэх халаалтын процесс, температурын өөрчлөлт яг ийм хурдтай явагддаг гэсэн үг юм.

Практик асуудлыг шийдвэрлэх

Мэдээжийн хэрэг, бодит амьдрал дээр бүх зүйл онолын асуудлаас хамаагүй илүү төвөгтэй байж болно. Практикт хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг ихэвчлэн туршилтын явцад тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд хэмжилтийн явцад тодорхой алдаатай уншилт өгдөг багажийг ашигладаг. Тиймээс, тооцоолохдоо та параметрийн ойролцоо утгыг авч үзэх хэрэгтэй бөгөөд тохиромжгүй тоонуудыг дугуйлах, түүнчлэн бусад хялбаршуулах аргыг ашиглах хэрэгтэй. Үүнийг харгалзан үзээд деривативын физик утгын талаархи асуудлуудыг дахин авч үзье, тэдгээр нь байгальд тохиолддог хамгийн нарийн төвөгтэй үйл явцын зөвхөн нэг төрлийн математик загвар гэдгийг харгалзан үзье.

Галт уулын дэлбэрэлт

Галт уул дэлбэрч байна гэж төсөөлье. Тэр хэр аюултай байж чадах вэ? Энэ асуудлыг тодруулахын тулд олон хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Бид тэдгээрийн аль нэгийг нь анхаарч үзэхийг хичээх болно.

"Галын мангас" -ын амнаас чулуунууд босоо байдлаар дээшээ шидэгдэж, гарч ирсэн цагаасаа эхлэн хамгийн их өндөрт хүрч болохыг тооцоолох шаардлагатай.

Хүссэн утгыг олохын тулд бид метрээр хэмжсэн H өндрийн бусад утгуудаас хамаарах тэгшитгэлийг гаргана. Үүнд анхны хурд, цаг хугацаа орно. Бид хурдатгалын утгыг мэдэгдэж байгаа бөгөөд ойролцоогоор 10 м/с 2 гэж үздэг.

Хэсэгчилсэн дериватив

Тэгшитгэл өөрөө нэг биш, хэд хэдэн хувьсагчийг агуулж болох тул функцийн деривативын физик утгыг арай өөр өнцгөөс авч үзье. Жишээлбэл, өмнөх асуудалд галт уулын тогооноос шидсэн чулуун өндрийн хамаарлыг зөвхөн цаг хугацааны шинж чанараас гадна анхны хурдны утгаараа тодорхойлсон. Сүүлийнх нь тогтмол, тогтмол утга гэж тооцогддог. Гэхдээ огт өөр нөхцөлтэй бусад асуудлуудад бүх зүйл өөр байж болно. Хэрэв үүнээс хамаарах тоо хэмжээ нарийн төвөгтэй функц, хэд хэдэн, тооцооллыг доорх томьёоны дагуу хийнэ.

Байнгын деривативын физик утгыг ердийн тохиолдолд адил тодорхойлох хэрэгтэй. Энэ нь хувьсагчийн параметр нэмэгдэхийн хэрээр тодорхой цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурд юм. Энэ нь бусад бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тогтмол, зөвхөн нэгийг нь хувьсах хэмжигдэхүүн гэж тооцдог байдлаар тооцдог. Дараа нь бүх зүйл ердийн дүрмийн дагуу явагддаг.

Деривативын физик утгыг ойлгох, төөрөгдүүлсэн асуудлыг шийдвэрлэх жишээ нарийн төвөгтэй асуудлууд, ийм мэдлэг олж болох хариултыг өгөхөд хэцүү биш юм. Хэрэв бид машины хурднаас хамааран түлшний зарцуулалтыг тодорхойлдог функцтэй бол сүүлийн үеийн ямар үзүүлэлтээр бензин зарцуулалт хамгийн бага байхыг тооцоолж болно.

Анагаах ухаанд хүн хэрхэн хариу үйлдэл үзүүлэхийг урьдчилан таамаглах боломжтой хүний ​​биеэмчийн зааж өгсөн эм дээр. Мансууруулах бодис хэрэглэх нь физиологийн янз бүрийн үзүүлэлтүүдэд нөлөөлдөг. Үүнд өөрчлөлт орно цусны даралт, судасны цохилт, биеийн температур гэх мэт. Тэд бүгд хэрэглэсэн тунгаас хамаарна эм. Эдгээр тооцоолол нь өвчтөний бие махбод дахь өөрчлөлтөд үхэлд хүргэж болзошгүй таатай илрэл, хүсээгүй үйл явдлын аль алинд нь эмчилгээний явцыг урьдчилан таамаглахад тусалдаг.

Деривативын физик утгыг ойлгох нь чухал нь эргэлзээгүй техникийн асуудлууд, ялангуяа цахилгаан инженерчлэл, электроник, зураг төсөл, барилгын салбарт.

Тоормосны зай

Дараагийн асуудлыг авч үзье. Тогтмол хурдтай хөдөлж, гүүрэн дээр ойртож байсан машин 36 км/цагаас дээш хурдтай явахыг хориглосон замын тэмдгийг анзаарсан жолооч орохоос 10 секундын өмнө тоормослохоос өөр аргагүй болжээ. Хэрэв түүний тоормосны зайг S = 26t - t 2 томъёогоор тодорхойлж чадвал жолооч дүрэм зөрчсөн үү?

Эхний деривативыг тооцоолсны дараа бид хурдны томъёог олж v = 28 - 2t авна. Дараа нь бид заасан илэрхийлэлд t=10 утгыг орлуулна.

Энэ утгыг секундээр илэрхийлсэн тул хурд нь 8 м / сек болж хувирдаг бөгөөд энэ нь 28.8 км / цаг гэсэн үг юм. Энэ нь жолооч цаг тухайд нь тоормослож, замын хөдөлгөөний дүрмийг зөрчөөгүй, тиймээс тэмдэг дээр заасан хурдны хязгаарыг ойлгох боломжтой болж байна.

Энэ нь деривативын физик утгын ач холбогдлыг нотолж байна. Энэ асуудлыг шийдэх жишээ нь энэ ойлголтын хэрэглээний өргөн цар хүрээг хамгийн ихээр харуулж байна өөр өөр газар нутагамьдрал. Түүний дотор өдөр тутмын нөхцөл байдал.

Эдийн засаг дахь дериватив

19-р зууныг хүртэл эдийн засагчид хөдөлмөрийн бүтээмж эсвэл үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний үнэ гэх мэт дундаж үзүүлэлтээр ажилладаг байв. Гэхдээ зарим үед энэ чиглэлээр үр дүнтэй таамаглал гаргахын тулд хязгаарын утгууд улам бүр зайлшгүй шаардлагатай болж байна. Үүнд ахиу ашиг, орлого, зардал багтаж болно. Үүнийг ойлгосноор зуу гаруй жил оршин тогтнож, хөгжиж ирсэн эдийн засгийн судалгааны цоо шинэ арга хэрэгслийг бий болгоход түлхэц өгсөн.

Хамгийн бага ба хамгийн их гэсэн ойлголтууд давамгайлж байгаа ийм тооцоог гаргахын тулд деривативын геометрийн болон физик утгыг ойлгох шаардлагатай. Эдгээр шинжлэх ухааны онолын үндэслэлийг бүтээгчдийн дунд В.С.Жевонс, К.Менгер болон бусад Англи, Австрийн нэрт эдийн засагчдыг нэрлэж болно. Мэдээжийн хэрэг, эдийн засгийн тооцоонд хязгаарын утгыг ашиглах нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Жишээлбэл, улирлын тайлангууд нь одоо байгаа схемд нийцэх албагүй ч ийм онолыг ашиглах нь олон тохиолдолд ашигтай бөгөөд үр дүнтэй байдаг.

Заримдаа математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В9 асуудалд хүн бүрийн дуртай функц эсвэл дериватив графикийн оронд цэгээс эх үүсвэр хүртэлх зайны тэгшитгэлийг өгдөг. Энэ тохиолдолд юу хийх вэ? Хурд эсвэл хурдатгалыг зайнаас хэрхэн олох вэ.

Энэ нь үнэндээ энгийн. Хурд нь зайны дериватив, хурдатгал нь хурдны дериватив (эсвэл үүнтэй адил зайны хоёр дахь дериватив) юм. Энэхүү богино хэмжээний видеон дээр та ийм асуудлыг "сонгодог" B9-ээс илүү хэцүү биш гэдгийг харах болно.

Өнөөдөр бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын деривативын физик утгын талаархи хоёр асуудлыг шинжлэх болно. Эдгээр даалгаврууд нь В хэсэгт байгаа бөгөөд ихэнх оюутнуудын дээж, шалгалт дээр харж дассан ажлуудаас эрс ялгаатай. Гол нь тэд функцийн деривативын физик утгыг ойлгохыг шаарддаг. Эдгээр асуудлуудад бид зайг илэрхийлдэг функцүүдийн талаар ярих болно.

Хэрэв $S=x\left(t \right)$ байвал бид $v$-г дараах байдлаар тооцоолж болно.

Эдгээр гурван томьёо нь үүсмэл үгийн физик утгын дээрх жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл юм. $v$ нь зайны дериватив, хурдатгал нь хурдны дериватив гэдгийг санаарай.

Бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ нь хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Жишээ №1

Энд $x$ нь жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай, $t$ нь хөдөлгөөн эхэлснээс хойш секундээр өнгөрсөн хугацаа юм. $t=2c$ үеийн цэгийн хурдыг (м/с) ол.

Энэ нь бидэнд зайг зааж өгөх функц байгаа боловч $t=2c$ цаг үеийн хурдыг тооцоолох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, бид $v$-г олох хэрэгтэй, i.e.

Нөхцөл байдлаас харахад бидэнд зөвхөн энэ л хэрэгтэй байсан: нэгдүгээрт, функц ямар харагддаг, хоёрдугаарт, бид юуг олох шаардлагатай вэ.

Шийдье. Юуны өмнө деривативыг тооцоолъё:

\[(x)"\left(t \баруун)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]

\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]

Бид 2-р цэгээс деривативыг олох хэрэгтэй. Орлуулъя:

\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Ингээд л эцсийн хариултыг олсон. Нийтдээ $t=2c$ үед бидний материаллаг цэгийн хурд 9 м/с болно.

Жишээ №2

Материаллаг цэг нь хуулийн дагуу хөдөлдөг.

Энд $x$ нь жишиг цэгээс метрээр хэмжигдэх зай, $t$ нь хөдөлгөөний эхнээс хэмжигдэх хугацааг секундээр илэрхийлнэ. Ямар үед түүний хурд 3 м/с-тэй тэнцүү байсан бэ?

Хараач, хамгийн сүүлд бид 2 секундын хугацаанд $v$-г олохыг шаардаж байсан бол энэ удаад бид энэ хурд 3 м/с-тэй тэнцэх мөчийг олохыг шаардаж байна. Бид эцсийн үнэ цэнийг мэддэг гэж хэлж болох бөгөөд энэ эцсийн үнэ цэнээс бид анхны утгыг олох хэрэгтэй.

Юуны өмнө бид деривативыг дахин хайж байна:

\[(x)"\left(t \баруун)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]

\[(x)"\left(t \баруун)=((t)^(2))-8t+19\]

Бид ямар үед хурд 3 м/с болохыг олж мэдэхийг хүсэв. Деривативын физик утгыг олохын тулд бид тэгшитгэл зохиож, шийддэг.

\[((t)^(2))-8т+19=3\]

\[((t)^(2))-8t+16=0\]

\[((\left(t-4 \баруун))^(2))=0\]

Үүссэн тоо нь дээр дурдсан хуулийн дагуу хөдөлж буй материаллаг цэгийн 4 с $v$ нь яг 3 м/с болно гэсэн үг юм.

Гол цэгүүд

Эцэст нь хэлэхэд, өнөөдрийн ажлын хамгийн чухал цэг болох зайг хурд, хурдатгал болгон хувиргах дүрмийг дахин авч үзье. Тэгэхээр, хэрэв асуудал нь материаллаг цэгээс лавлагаа цэг хүртэлх зайг шууд заадаг хуулийг бидэнд шууд тайлбарлаж байгаа бол энэ томъёогоор дамжуулан бид ямар ч агшин зуурын хурдыг олж чадна (энэ бол зүгээр л дериватив юм). Үүнээс гадна бид хурдатгалыг олж чадна. Хурдатгал нь эргээд хурдны деривативтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. зайны хоёр дахь дериватив. Ийм асуудал маш ховор байдаг тул бид өнөөдөр тэдгээрийг хараагүй. Гэхдээ хэрэв та нөхцөл байдалд "хурдатгал" гэсэн үгийг харвал энэ нь таныг айлгах хэрэггүй, зүгээр л өөр деривативыг олоорой.

Энэ хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд тань тусална гэж найдаж байна.

Зарим y = f(x) функцийн графикийг авч үзье.

Үүн дээр координаттай (x, f(x)) тодорхой А цэгийг, түүнээс холгүй (x+h, f(x+h)) координаттай В цэгийг (AB) шулуун зуръя. Эдгээр цэгүүдээр дамжуулан илэрхийллийг авч үзье . f(x+h)-f(x) ялгаа нь BL зайтай, AL зай нь h-тэй тэнцүү байна. BL/AL харьцаа нь өнцгийн шүргэгч ε - шулуун шугамын налуу өнцөг (AB). Одоо h-ийн утга маш, маш бага байна гэж төсөөлье. Тэгвэл шулуун шугам (AB) нь y = f(x) функцийн графикийн х цэгийн шүргэгчтэй бараг давхцах болно.

Тиймээс зарим нэг тодорхойлолтыг өгье.

x цэг дээрх y = f(x) функцийн деривативыг харьцааны хязгаар гэнэ h нь тэг рүү чиглэдэг. Тэд бичдэг:

Деривативын геометрийн утга нь шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс юм.

Дериватив нь бас физик утгатай. Бага сургуульд хурдыг зайг цаг хугацаагаар хуваасан байдлаар тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч бодит амьдрал дээр жишээлбэл, машины хурд нь бүх аяллын туршид тогтмол байдаггүй. Зам нь цаг хугацааны зарим функц байх болтугай - S(t) цаг хугацааны моментийг засъя. t-ээс t+h хүртэлх богино хугацаанд машин S(t+h)-S(t) замыг туулах болно. Богино хугацаанд хурд нь тийм ч их өөрчлөгдөхгүй тул та мэддэг хурдны тодорхойлолтыг ашиглаж болно бага сургууль . Мөн h нь тэг рүү чиглэх тул энэ нь дериватив болно.