Аливаа суурь руу логарифм. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Өгчихье логарифмын бүртгэлсүх. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол цэгЭнд - ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь уламжлалт байдлаар ховор байдаг тоон илэрхийллүүд. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Эрх мэдлийг үржүүлэх дүрмийг авч үзэх ижил суурь, бид авах:

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Гадаад төрхөөрөө нарийн төвөгтэй илэрхийлэлхэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулсан хэлбэрээр хэлбэржүүлсэн

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Элсэлтийн түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, логарифмыг нөхцлүүдийн нийлбэрээр нь бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Тооны логарифм Н дээр суурилсан А экспонент гэж нэрлэдэг X , та үүнийг барих хэрэгтэй А дугаарыг авахын тулд Н

Тэгсэн бол
,
,

Логарифмын тодорхойлолтоос харахад ийм байна
, өөрөөр хэлбэл
- энэ тэгш байдал нь үндсэн логарифмын ижилсэл юм.

10 суурь хүртэлх логарифмийг аравтын логарифм гэнэ. Оронд нь
бичих
.

Суурь руу логарифмууд д байгалийн гэж нэрлэдэг бөгөөд зориулалтын байна
.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд.

Нэгийн логарифм нь аль ч суурийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна.

Бүтээгдэхүүний логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3) Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хүчин зүйл
логарифмаас суурь руу шилжих модуль гэж нэрлэдэг а суурь дээр логарифм руу б .

2-5-р шинж чанарыг ашиглан логарифм дээрх энгийн арифметик үйлдлийн үр дүнд нийлмэл илэрхийллийн логарифмыг багасгах боломжтой байдаг.

Жишээлбэл,

Логарифмын ийм хувиргалтыг логарифм гэж нэрлэдэг. Логарифмын урвуу хувиргалтыг потенциац гэж нэрлэдэг.

Бүлэг 2. Дээд математикийн элементүүд.

1. Хязгаарлалт

Функцийн хязгаар
нь хязгаарлагдмал тоо юм xx 0 урьдчилан тодорхойлсон тус бүрийн хувьд
, ийм тоо байдаг
тэр даруйдаа
, Тэр
.

Хязгаарлалттай функц нь үүнээс хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай:
, хаана- b.m.v., i.e.
.

Жишээ. Функцийг авч үзье
.

Хичээж байхдаа
, функц y тэг рүү чиглэдэг:

1.1. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд.

Хязгаар тогтмол утгаэнэ тогтмол утгатай тэнцүү байна

.

Хязгаарлагдмал тооны функцын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдмал тооны функцын үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр функцийн хязгаарын хязгаар нь хуваарийн хязгаар тэг биш бол эдгээр функцүүдийн хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна.

Гайхамшигтай хязгаарууд

,
, Хаана

1.2. Хязгаарлалтын тооцооны жишээ

Гэсэн хэдий ч бүх хязгаарыг тийм ч хялбархан тооцдоггүй. Ихэнхдээ хязгаарыг тооцоолох нь тодорхойгүй байдлын төрлийг илрүүлэхэд хүргэдэг. эсвэл .

.

2. Функцийн дериватив

Бидэнд функцтэй байцгаая
, сегмент дээр тасралтгүй
.

Аргумент бага зэрэг нэмэгдлээ
. Дараа нь функц нь нэмэгдлийг хүлээн авах болно
.

Аргументын утга функцийн утгатай тохирч байна
.

Аргументын утга
функцийн утгатай тохирч байна.

Тиймээс, .

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё
. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол өгөгдсөн функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3 Өгөгдсөн функцийн дериватив
аргументаар аргументийн өсөлт нь дур зоргоороо тэг рүү чиглэх үед функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.

Функцийн дериватив
дараах байдлаар тодорхойлж болно:

; ; ; .

Тодорхойлолт 4 Функцийн деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

2.1. Деривативын механик утга.

Зарим нэг хатуу бие эсвэл материаллаг цэгийн шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье.

Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр хөдлөх цэг
зайтай байсан эхлэх байрлалаас
.

Хэсэг хугацааны дараа
тэр хол нүүсэн
. Хандлага =- дундаж хурдматериаллаг цэг
. Үүнийг харгалзан энэ харьцааны хязгаарыг олъё
.

Үүний үр дүнд материаллаг цэгийн хөдөлгөөний агшин зуурын хурдыг тодорхойлох нь цаг хугацааны хувьд замын деривативыг олох хүртэл буурдаг.

2.2. Деривативын геометрийн утга

Графикаар тодорхойлогдсон функцтэй болцгооё
.

Цагаан будаа. 1. Деривативын геометрийн утга

Хэрэв
, дараа нь зааж өгнө үү
, цэг рүү ойртож, муруйн дагуу хөдөлнө
.

Тиймээс
, өөрөөр хэлбэл аргументийн өгөгдсөн утгын деривативын утга тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү
.

2.3. Үндсэн ялгах томъёоны хүснэгт.

Эрчим хүчний функц

Экспоненциал функц

Логарифм функц

Тригонометрийн функц

Урвуу тригонометрийн функц

2.4. Ялгах дүрэм.

-ийн дериватив

Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын дериватив

2.5. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Функцийг өгье
хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой

Тэгээд
, хувьсагч хаана байна тэгвэл завсрын аргумент юм

Комплекс функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн завсрын аргументийн деривативын үржвэр ба x-ийн завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Жишээ 1.

Жишээ 2.

3. Дифференциал функц.

Байг
, тодорхой интервалаар ялгах боломжтой
мөн зөвшөөрөх цагт Энэ функц нь деривативтай

,

тэгвэл бид бичиж болно

(1),

Хаана - хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн,

хэзээнээс

Бүх тэгш байдлын нөхцөлийг (1) үржүүлэв
бидэнд байна:

Хаана
- b.m.v. илүү өндөр дараалал.

Хэмжээ
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг
болон томилогдсон

.

3.1. Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийг өгье
.

Зураг 2. Дифференциалын геометрийн утга.

.

Мэдээжийн хэрэг, функцийн дифференциал
өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

3.2. Төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив ба дифференциал.

Хэрэв байгаа бол
, Дараа нь
анхны дериватив гэж нэрлэдэг.

Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлээд бичнэ
.

Функцийн n-р эрэмбийн дериватив
(n-1)-р дарааллын дериватив гэж нэрлэгддэг ба дараах байдлаар бичнэ.

.

Функцийн дифференциалын дифференциалыг хоёр дахь дифференциал буюу хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэнэ.

.

.

3.3 Биологийн асуудлыг ялгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Даалгавар 1. Судалгаанаас харахад бичил биетний колонийн өсөлт нь хуульд захирагддаг
, Хаана Н - бичил биетний тоо (мянганаар), т - цаг (өдөр).

б) Энэ хугацаанд колонийн хүн ам өсөх эсвэл буурах уу?

Хариулах. Колонийн хэмжээ нэмэгдэх болно.

Даалгавар 2. Нуурын усыг үе үе шинжилж, эмгэг төрүүлэгч бактерийн агууламжийг хянаж байдаг. дамжуулан т шинжилгээ хийснээс хойш хэд хоногийн дараа бактерийн концентрацийг харьцаагаар тодорхойлно

.

Нуурт хэзээ нянгийн хамгийн бага концентраци үүсч, усанд сэлэх боломжтой болох вэ?

Шийдэл: Функц нь дериватив нь тэг байхад max эсвэл min-д хүрнэ.

,

6 хоногийн дараа хамгийн их эсвэл мин болохыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь деривативыг авч үзье.

Хариулт: 6 хоногийн дараа бактерийн хамгийн бага концентраци байх болно.

Логарифм гэж юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.

Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Надад итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын дотор та:

1. Та ойлгох болно логарифм гэж юу вэ.

2. Бүхэл бүтэн ангийг шийдэж сур экспоненциал тэгшитгэл. Та тэдний талаар юу ч сонсоогүй байсан ч гэсэн.

3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.

Түүгээр ч барахгүй, үүний тулд та зөвхөн үржүүлэх хүснэгт болон тоог хэрхэн хүчирхэг болгох талаар мэдэх хэрэгтэй.

Чамд эргэлзэж байх шиг байна... За за, цагаа тэмдэглээрэй! Явцгаая!

Эхлээд энэ тэгшитгэлийг толгой дээрээ шийд:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Заавар

Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоо байвал дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – байгалийн логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь дотоод функцийн дериватив ба гадаад функцийн деривативыг үржүүлэх шаардлагатай. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.

Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр энэ хооронд ямар ялгаа байна рационал тэгшитгэлоновчтой байдлаас? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч тэмдгийн доор байгаа бол квадрат язгуур, тэгвэл тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Заавар

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун болон зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гадны үндэсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь ердийн зүйл юм квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлд үндэс байхгүй; Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар даалгаврыг шийдвэрлэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Заавар

Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, эдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.

Үнэхээр хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат квадраттай тэнцүүэхний нэмэх нь эхнийхийн үржвэрийг хоёроор хоёр дахин нэмэх ба хоёр дахьын квадратыг нэмэх нь (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b юм. ^2=a^2+2ab +b^2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Математик анализын сурах бичгийг давтах буюу дээд математик, энэ нь тодорхой интеграл юм. Мэдэгдэж байгаагаар тодорхой интегралын шийдэл нь дериватив нь интеграл өгөх функц юм. Энэ функцийг антидериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.
Энэ тохиолдолд хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интегралын төрлөөр тодорхойлно. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.

Хувьсагчийг солих арга

Хэрэв интеграл нь аргумент нь олон гишүүнт тригонометрийн функц бол хувьсагчдыг өөрчлөх аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та авах болно шинэ дүр төрхөмнөх интегралын аль ч хүснэгттэй ойролцоо эсвэл бүр харгалзах.

Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх

Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн нэг хязгаар нь хязгааргүй бол түүнийг орлуулах үед эсрэг дериватив функцхязгаарт хүрч, илэрхийлэл юунд тэмүүлж байгааг олох шаардлагатай.
Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст байвал интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд интегралын хязгаарыг геометрийн хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а x+ бүртгэл а y= бүртгэл а (x · y);
2. бүртгэл а x- бүртгэл а y= бүртгэл а (x : y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийн бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг батууд: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд:

[Зургийн тайлбар]

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

[Зургийн тайлбар]

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nмэтгэлцээний зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

[Зургийн тайлбар]

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.