Хоёр хэмжээст орон зайд хоёр шулуун координатаар (x,y) тодорхойлогдсон зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцдог. Хоёр шугам хоёулаа огтлолцох цэгийг дайран өнгөрдөг тул координатууд (x,y) нь эдгээр шугамыг дүрсэлсэн тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой. Зарим нэмэлт ур чадварын тусламжтайгаар та парабол болон бусад квадрат муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийг олох боломжтой.

Алхам

Хоёр шугамын огтлолцох цэг

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа “y” хувьсагчийг тусгаарлан мөр бүрийн тэгшитгэлийг бич.Тэгшитгэлийн бусад нөхцөлийг тэгшитгэлийн баруун талд байрлуулах ёстой. Магадгүй танд өгөгдсөн тэгшитгэл нь “y”-ийн оронд f(x) эсвэл g(x) хувьсагчийг агуулсан байх; энэ тохиолдолд ийм хувьсагчийг тусгаарлана. Хувьсагчийг тусгаарлахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд тохирох математикийг гүйцэтгэнэ.

• Хэрэв таны мэддэг мэдээлэлд үндэслэн шугамуудын тэгшитгэлийг танд өгөөгүй бол.
• Жишээ. Тэгшитгэлээр дүрсэлсэн шулуун шугамууд ба y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Хоёрдахь тэгшитгэлийн "y"-г тусгаарлахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд 12 тоог нэмнэ.

1. Та хоёр шулууны огтлолцох цэгийг хайж байна, өөрөөр хэлбэл координатууд нь (x, y) хоёр тэгшитгэлийг хангадаг цэгийг хайж байна. “y” хувьсагч нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд байгаа тул тэгшитгэл бүрийн баруун талд байрлах илэрхийллүүдийг тэнцүүлж болно. Шинэ тэгшитгэл бичнэ үү.

   • Жишээ. Учир нь y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)Тэгээд y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), тэгвэл бид дараах тэгш байдлыг бичиж болно: .

2. "x" хувьсагчийн утгыг ол.Шинэ тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулсан "x". "X"-ийг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд тохирох математикийг хийж тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хувьсагчийг тусгаарла. Та x = __ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авах ёстой (хэрэв та үүнийг хийж чадахгүй бол энэ хэсгийг үзнэ үү).

   • Жишээ. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Нэмэх 2 x (\displaystyle 2x)тэгшитгэлийн тал бүрт:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Тэгшитгэлийн тал бүрээс 3-ыг хасна:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Тэгшитгэлийн тал бүрийг 3-т хуваа.
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. "x" хувьсагчийн олсон утгыг ашиглан "y" хувьсагчийн утгыг тооцоолно.Үүнийг хийхийн тулд олсон "x" утгыг шулуун шугамын тэгшитгэлд (аль ч) орлуулна.

   • Жишээ. x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Хариултыг шалгана уу.Үүнийг хийхийн тулд шугамын нөгөө тэгшитгэлд "x"-ийн утгыг орлуулж, "y"-ийн утгыг ол. Хэрэв та хүлээн авбал өөр утгатай"y", өөрийн тооцоолол зөв эсэхийг шалгана уу.

   • Жишээ: x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Та y-д ижил утгыг авсан тул таны тооцоололд алдаа байхгүй.

5. Координатуудыг (x,y) бичнэ үү."x" ба "y" утгуудыг тооцоолсны дараа та хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг оллоо. Уулзвар цэгийн координатыг (x,y) хэлбэрээр бич.

   • Жишээ. x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Ийнхүү хоёр шулуун шугам координаттай (3,6) цэг дээр огтлолцоно.

6. Онцгой тохиолдолд тооцоо хийх.Зарим тохиолдолд "x" хувьсагчийн утгыг олох боломжгүй байдаг. Гэхдээ энэ нь та алдаа гаргасан гэсэн үг биш юм. Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд онцгой тохиолдол гардаг.

   • Хэрэв хоёр шулуун зэрэгцээ байвал огтлолцохгүй. Энэ тохиолдолд "x" хувьсагч зүгээр л буурч, таны тэгшитгэл утгагүй тэгшитгэл болж хувирна (жишээлбэл, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Энэ тохиолдолд шугамууд огтлолцохгүй эсвэл шийдэл байхгүй гэдгийг хариултдаа бичнэ үү.
   • Хэрэв хоёр тэгшитгэл нь нэг шулуун шугамыг дүрсэлсэн бол төгсгөлгүй тооны огтлолцлын цэгүүд байх болно. Энэ тохиолдолд "x" хувьсагч зүгээр л цуцлагдах бөгөөд таны тэгшитгэл хатуу тэгшитгэл болж хувирна (жишээлбэл, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Энэ тохиолдолд хоёр мөр давхцаж байгааг хариултдаа бичнэ үү.

   Квадрат функцтэй холбоотой асуудлууд

   1. Квадрат функцийн тодорхойлолт.Квадрат функцэд нэг буюу хэд хэдэн хувьсагч хоёр дахь зэрэгтэй (гэхдээ түүнээс дээш биш), жишээлбэл, x 2 (\displaystyle x^(2))эсвэл y 2 (\displaystyle y^(2)). Квадрат функцүүдийн графикууд нь огтлолцохгүй эсвэл нэг эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болох муруй юм. Энэ хэсэгт бид квадрат муруйнуудын огтлолцлын цэг буюу цэгүүдийг хэрхэн олохыг танд хэлэх болно.

   2. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа “y” хувьсагчийг тусгаарлан тэгшитгэл бүрийг дахин бич.Тэгшитгэлийн бусад нөхцөлийг тэгшитгэлийн баруун талд байрлуулах ёстой.

      • Жишээ. Графикуудын огтлолцлын цэгийг ол x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)Тэгээд
      • Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа "y" хувьсагчийг тусгаарла.
      • Тэгээд y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Энэ жишээнд танд нэг квадрат функц, нэг функц өгөгдсөн шугаман функц. Хэрэв танд хоёрыг өгсөн бол гэдгийг санаарай квадрат функцууд, тооцоолол нь доор дурдсан алхмуудтай төстэй.

   3. Тэгшитгэл бүрийн баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг тэнцүүл.“y” хувьсагч нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд байгаа тул тэгшитгэл бүрийн баруун талд байрлах илэрхийлэлүүдийг тэнцүүлж болно.

      • Жишээ. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)Тэгээд y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Үүссэн тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тал руу нь шилжүүлж, баруун талд 0 гэж бичнэ.Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн үндсэн математикийг хий. Энэ нь танд үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг олгоно.

      • Жишээ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Тэгшитгэлийн хоёр талаас "x"-ийг хасах:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Тэгшитгэлийн хоёр талаас 7-г хасна:

   5. Шийдэх квадрат тэгшитгэл. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тал руу нь шилжүүлснээр квадрат тэгшитгэл гарна. Үүнийг гурван аргаар шийдэж болно: тусгай томъёог ашиглах, ба.

      • Жишээ. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооцохдоо хоёр хоёр гишүүн авах бөгөөд үржүүлснээр анхны тэгшитгэлийг өгнө. Бидний жишээнд эхний нэр томъёо x 2 (\displaystyle x^(2)) x * x болгон задалж болно. Үүнийг бичнэ үү: (x)(x) = 0
      • Бидний жишээн дээр чөлөөт нэр томъёо -6-г дараах хүчин зүйлүүдэд хувааж болно. − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Бидний жишээн дээр хоёр дахь гишүүн нь x (эсвэл 1x) юм. 1-ийг авах хүртлээ дамми гишүүний хос хүчин зүйл бүрийг нэмнэ (бидний жишээнд -6). Манай жишээнд хуурамч гишүүний тохирох хос хүчин зүйлүүд нь -2 ба 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), учир нь − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Олдсон хос тоогоор хоосон зайг бөглөнө үү: .

   6. Хоёр графикийн огтлолцлын хоёр дахь цэгийн талаар бүү мартаарай.Хэрэв та асуудлыг хурдан шийдэж, маш болгоомжтой биш бол хоёр дахь уулзварын цэгийг мартаж болно. Хоёр огтлолцох цэгийн х координатыг хэрхэн олохыг эндээс үзнэ үү.

      • Жишээ (факторжуулалт). Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)Хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл бүхэлдээ 0-тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс бид үүнийг дараах байдлаар бичиж болно. x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Тэгээд x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (өөрөөр хэлбэл та тэгшитгэлийн хоёр үндсийг олсон).
      • Жишээ (томьёог ашиглах эсвэл төгс квадратыг бөглөх). Эдгээр аргуудын аль нэгийг ашиглах үед шийдэл гарч ирнэ квадрат язгуур. Жишээлбэл, бидний жишээн дээрх тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)/2). Квадрат язгуурыг авахдаа та хоёр шийдлийг авах болно гэдгийг санаарай. Манай тохиолдолд: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Тэгээд 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Тиймээс хоёр тэгшитгэл бичээд x-ийн хоёр утгыг олоорой.

   7. Графикууд нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огт огтлолцдоггүй.Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

      • Хэрэв графикууд нэг цэг дээр огтлолцсон бол квадрат тэгшитгэлийг ижил хүчин зүйл болгон задалж, жишээ нь (x-1) (x-1) = 0, 0-ийн квадрат язгуур нь томьёонд гарч ирнэ ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь зөвхөн нэг шийдэлтэй байна.
      • График огт огтлолцохгүй бол тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэхгүй, квадрат язгуур сөрөг тоо(Жишээ нь, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Энэ тохиолдолд ямар ч шийдэл байхгүй гэж хариултдаа бичээрэй.

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал хангагдсан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор таслвал та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хоёр шугам нь хувьсагчийн коэффициентууд нь пропорциональ БИШ биш тохиолдолд л огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-н тийм утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг олж мэд.

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана (ерөнхийдөө дурын тоо үүнийг хангана).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулт:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би ямар нэгэн зүйл санал болгох нь утгагүй гэж үзэж байна бие даасан шийдвэр, бид өөр нэгийг тавьсан нь дээр чухал тоосгогеометрийн суурь болгон:

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Үүнийг мэдэхгүйгээс болж хамгийн энгийн даалгавар Nightingale хулгайчийг хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Жишээний геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамын параллель байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Үүнийг шийдэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс танд маш сайн танил болсон асуудлыг авч үзье.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна геометрийн утгахоёр систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй- эдгээр нь хавтгай дээрх огтлолцсон (ихэнхдээ) хоёр шугам юм.

Жишээ 4

Шугамын огтлолцлын цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График аргаЭнэ нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл болгонд орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс огтлолцох цэгийг аналитик аргаар хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваах нь тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритм боловсруулах нь олон хүмүүсийн хувьд ердийн зүйл юм геометрийн асуудлууд, мөн би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамтай перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэгч векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгана": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулт:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье:

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Дахин хэлэхэд туршилтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудал нь хэд хэдэн үйлдэлтэй тул шийдлийг цэг болгон томъёолоход тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө шулуун голын зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикуляр шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулт:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхмуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би завсрын үр дүнтэй шийдлийн алгоритмыг тоймлон харуулах болно:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Тооцоолоход хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд тооцоолох боломжийг танд олгоно. энгийн бутархай. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж болох юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зураг дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм цэгийн бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Ашиглах замаар урвуу функцБулангийн буланг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулт:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Сэдэв 3. Онол

Сансар дахь аналитик геометр.

Хавтгай ба шулуун шугамын тэгшитгэл.

 Ерөнхий тэгшитгэл онгоц координатын хувьд эхний эрэмбийн алгебрийн тэгшитгэл юм (x; y; z)

- хэвийн , хавтгайд перпендикуляр вектор.

Хавтгайнуудын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцлүүд нь нормуудын коллинеар ба перпендикуляр байдлын нөхцлөөр тодорхойлогддог.

Хавтгай тэгшитгэлийн зарим стандарт төрлүүд:

	Векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэл өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (X 0 , y 0 , z 0 )	А(х-х 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0
	Гуравыг дайран өнгөрч буй онгоц оноо өгсөн М 1 (X 1 , y 1 , z 1 ) , М 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , М 3 (x 3 , y 3 , z 3 )
	Өгөгдсөн хоёр вектортой зэрэгцээ Тэгээд , (шугаман бус ), цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (X 0 , y 0 , z 0 )
	Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх М 1 Тэгээд М 2 , вектортой параллель байна , (шугаман бус )
	Өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , өгөгдсөн хоёр хавтгайд перпендикуляр: А 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ; А 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 .

Хэрэв бид эхний мөрөнд харгалзах тодорхойлогчийг өргөжүүлбэл онгоцны бодит тэгшитгэлийг олж авна.

 Тооцооллын томъёо зай-аас өгсөн оноо М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) руу онгоц, тэгшитгэлээр өгөгдсөн Аа+By+ Cz+ Д=0 :

.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв г=0 , дараа нь зааж өгнө үү М 1 онгоцонд хамаарна.

 Шулуун шугам орон зайд параллель бус хоёр хавтгайн (шулуун шугамаар дамжин өнгөрөх аливаа хавтгай) огтлолцох шугам гэж тодорхойлогддог.

Орон зай дахь шулуун шугамын тэгшитгэлийн төрлүүд:

		Шугамын ерөнхий тэгшитгэл (хоёр хавтгайн огтлолцол)
	, М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) – шулуун шугам дээр байрлах дурын цэг. -чиглүүлэгч вектор шууд	Каноник тэгшитгэлүүд шулуун шугам буюу өгөгдсөн чиглэлийн вектор бүхий өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл
		Параметрийн тэгшитгэл
		Өгөгдсөн M 1 ба M 2 хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Орон зай дахь шугамуудын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөлийг тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын харилцан хамаарал ба перпендикуляр байдлын нөхцөл гэж тодорхойлдог. (1) ба (2) шулуун шугамуудыг каноник эсвэл параметрийн хэлбэрээр өгье

.

 Орон зайн хоёр шугамын огтлолцлын нөхцөл - энэ бол гурван векторын харьцуулах нөхцөл юм:

 Шилжилт ерөнхий шугаман тэгшитгэлээс каноник эсвэл параметрийн хэлбэрт тэгшитгэлийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ (урвуу шилжилт бас боломжтой).

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгөв.
.

Чиглэлийн векторын координатыг олъё:
Яаж вектор бүтээгдэхүүншугамыг тодорхойлох хавтгайн норм.

Бид олох болно ямар чшугаманд хамаарах цэг. Энэ нь мөн шугамыг тодорхойлох хоёр хавтгайд хамаарах тул координатыг (x 0, y 0, z 0) тэгшитгэлийн системээс олж болно.

,

аль нэг координатыг дур зоргоороо зааж өгөх ёстой (учир нь бид олдог ямар чцэг), гэхдээ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байх болно. Вектор координат олсон цэгийг каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэлд орлуулна.

Шулуун ба хавтгайн параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөлийг хэвийн ба чиглэлийн векторын перпендикуляр ба параллелизмын нөхцлүүд гэж томъёолдог.

, Al+Bm+Cn=0.	, .

Хоёр шугам өгье, та тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олох хэрэгтэй. Энэ цэг нь өгөгдсөн хоёр шулуун тус бүрт хамаарах тул координат нь эхний шугамын тэгшитгэл болон хоёр дахь шугамын тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангасан байх ёстой.

Тиймээс хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Шугамын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хүссэн огтлолцлын цэгийн координатыг олох болно

М огтлолцох цэг нь координаттай

Түүний тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугамыг хэрхэн байгуулахыг үзүүлье. Шулуун шугам барихын тулд түүний хоёр цэгийг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр цэг бүрийг байгуулахын тулд бид түүний координатын аль нэгнийх нь дурын утгыг зааж өгөөд дараа нь тэгшитгэлээс нөгөө координатын харгалзах утгыг олно.

Хэрэв орвол ерөнхий тэгшитгэлОдоогийн координат дээрх коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш тул энэ шулуун шугамыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох нь зүйтэй.

Жишээ 2. Шулуун шугам байгуул.

Шийдэл. Бид энэ шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийн тэгшитгэлийг хамтдаа шийднэ.

мөн бид авдаг. Ийнхүү энэ шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох M цэг (3; 0) олдлоо (Зураг 40).

Дараа нь энэ шулууны тэгшитгэл ба ордны тэнхлэгийн тэгшитгэлийг хамтад нь шийднэ

бид шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олно. Эцэст нь бид M ба хоёр цэгээс шулуун шугам байгуулна