Функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг хэрхэн олох вэ. Хичээлээс гадуурх хичээл - Антидериватив

Ялгаварлах үйлдлүүдийн нэг нь дериватив (дифференциал) олох, функцийг судлахад ашиглах явдал юм.

Урвуу асуудал нь чухал биш юм. Хэрэв түүний тодорхойлолтын цэг бүрийн ойролцоо функцийн зан төлөв нь мэдэгдэж байгаа бол функцийг бүхэлд нь хэрхэн яаж сэргээх вэ, өөрөөр хэлбэл. түүний тодорхойлолтын бүх хүрээнд. Энэ асуудал нь интеграл тооцоо гэж нэрлэгддэг судалгааны сэдэв юм.

Интеграци гэдэг нь ялгах урвуу үйлдэл юм. Эсвэл өгөгдсөн f`(x) деривативаас f(x) функцийг сэргээх. "Интегро" гэдэг латин үг нь нөхөн сэргээх гэсэн утгатай.

Жишээ №1.

(f(x))’ = 3x 2 байг. f(x)-ийг олцгооё.

Шийдэл:

Ялгаалах дүрэмд үндэслэн f(x) = x 3 гэдгийг таахад хэцүү биш, учир нь

(x 3)’ = 3x 2 Гэсэн хэдий ч f(x) нь өвөрмөц байдлаар олддоггүй гэдгийг та амархан анзаарч болно. f(x)-ын хувьд та f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 гэх мэтийг авч болно.

Учир нь тус бүрийн дериватив нь 3x2 байна. (Тогтмолын дериватив нь 0). Эдгээр бүх функцууд нь бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай байдаг. Тийм ч учраас ерөнхий шийдэласуудлыг f(x)= x 3 +C хэлбэрээр бичиж болох ба энд C нь аливаа тогтмол бодит тоо.

Олдсон f(x) функцүүдийн аль нэгийг дуудна эсрэг дериватив F`(x)= 3x 2 функцийн хувьд

Тодорхойлолт.

F(x) функцийг өгөгдсөн J интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ интервалаас бүх x нь F`(x)= f(x) байвал. Тэгэхээр (- ∞ ; ∞) дээр f(x)=3x 2 үед F(x)=x 3 функц эсрэг дериватив байна. Бүх x ~R хувьд тэгш байдал үнэн тул F`(x)=(x 3)`=3x 2

Бид аль хэдийн анзаарсанчлан энэ функц нь хязгааргүй тооны эсрэг деривативтай байдаг.

Жишээ №2.

Функц нь (0; +∞) интервал дээрх бүх зүйлийн эсрэг дериватив, учир нь Энэ интервалаас хойшхи бүх h-ийн хувьд тэгш байдал хадгалагдана.

Интегралчлалын даалгавар бол өгөгдсөн функцэд түүний бүх эсрэг деривативуудыг олох явдал юм. Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд дараах мэдэгдэл чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Үйл ажиллагааны тогтмол байдлын шинж тэмдэг. Хэрэв зарим I интервал дээр F"(x) = 0 бол F функц энэ интервал дээр тогтмол байна.

Баталгаа.

I интервалаас зарим х 0-ийг засъя. Дараа нь ийм интервалаас гарсан дурын x тооны хувьд Лагранжийн томьёоны тусламжтайгаар бид x ба x 0-ийн хооронд байгаа c тоог зааж өгч болно.

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Нөхцөлөөр F’ (c) = 0, учир нь c ∈1, тиймээс,

F(x) - F(x 0) = 0.

Тиймээс I интервалаас бүх x-ийн хувьд

өөрөөр хэлбэл F функц нь тогтмол утгыг хадгалж байдаг.

Бүх эсрэг дериватив функц f-г нэг томьёо ашиглан бичиж болно функцийн эсрэг деривативын ерөнхий хэлбэре. Дараах теорем үнэн ( антидеривативын үндсэн шинж чанар):

Теорем. I интервал дээрх f функцийн аливаа эсрэг деривативыг хэлбэрээр бичиж болно

F(x) + C, (1) энд F (x) нь I интервал дээрх f (x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг бөгөөд C нь дурын тогтмол юм.

Эсрэг деривативын хоёр шинж чанарыг товч тайлбарласан энэхүү мэдэгдлийг тайлбарлая.

1. Бид C-ийн оронд (1) илэрхийлэлд ямар ч тоог тавьсан бай, бид I интервал дээр f-ийн эсрэг деривативыг олж авна;
2. I интервал дээр f-ийн эсрэг ямар ч Ф-ийн эсрэг дериватив авсан бай I интервалаас бүх x-д тэгш байдал байхаар С тоог сонгох боломжтой.

Баталгаа.

1. Нөхцөлөөр F функц нь I интервал дээрх f-ийн эсрэг дериватив байна. Иймд дурын x∈1-ийн хувьд F"(x)= f (x) байна, тиймээс (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), өөрөөр хэлбэл F(x) + C нь f функцийн эсрэг дериватив юм.
2. Ф (х) нь ижил I интервал дээрх f функцийн эсрэг деривативуудын нэг, өөрөөр хэлбэл бүх x∈I-ийн хувьд Ф "(x) = f (х) байг.

Дараа нь (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Эндээс дараах нь в. Ф(х) - F(х) ялгаа нь I интервал дээр зарим тогтмол C утгыг авдаг функц болохыг функцийн тогтмол байдлын тэмдгийн хүч.

Тиймээс I интервалаас бүх x-ийн хувьд Ф(х) - F(x)=С тэгш байдал үнэн бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна. Эсрэг деривативын үндсэн шинж чанарыг өгч болно геометрийн утга: f функцийн дурын хоёр эсрэг деривативын графикуудыг Ой тэнхлэгийн дагуу параллель хөрвүүлэх замаар бие биенээсээ олж авна.

Тэмдэглэлд зориулсан асуултууд

F(x) функц нь f(x) функцийн эсрэг дериватив юм. f(x)=9x2 - 6x + 1, F(-1) = 2 бол F(1)-ийг ол.

Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг ол

(x) = cos2 * sin2x функцийн хувьд F(0) = 0 бол F(x)-ын эсрэг деривативыг ол.

Функцийн хувьд график нь цэгээр дамждаг эсрэг деривативыг ол

Математик үйлдэл бүрийн хувьд урвуу үйлдэл байдаг. Ялгаварлах үйлдэлд (функцийн деривативыг олох) бас байдаг урвуу үйлдэл- нэгтгэх. Интегралчлалын тусламжтайгаар функцийг өгөгдсөн дериватив эсвэл дифференциалаас нь олдог (дахин бүтээдэг). Олдсон функцийг дуудна эсрэг дериватив.

Тодорхойлолт.Ялгах функц F(x)функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг f(x)өгөгдсөн интервал дээр, хэрэв бүх юм бол XЭнэ интервалаас дараах тэгш байдал үүснэ. F′(x)=f (x).

Жишээ. Функцийн эсрэг деривативыг ол: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) (x²)′=2x тул тодорхойлолтоор F (x)=x² функц нь f (x)=2x функцийн эсрэг дериватив болно.

2) (sin3x)′=3cos3x. Хэрэв бид f (x)=3cos3x ба F (x)=sin3x гэж тэмдэглэвэл эсрэг деривативын тодорхойлолтоор бид: F′(x)=f (x), тиймээс F (x)=sin3x байна. f ( x)=3cos3x-ийн эсрэг дериватив.

(sin3x +5 )′= 3cos3x, ба (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... В ерөнхий үзэлгэж бичиж болно: (sin3x +C)′= 3cos3x, Хаана ХАМТ- зарим нь тогтмол. Эдгээр жишээнүүд нь аливаа дифференциалагдах функц нь нэг деривативтай байх үед дифференциалын үйлдлээс ялгаатай нь интеграцийн үйл ажиллагааны тодорхой бус байдлыг харуулж байна.

Тодорхойлолт.Хэрэв функц F(x)функцийн эсрэг дериватив юм f(x)тодорхой интервал дээр энэ функцийн бүх эсрэг деривативуудын багц дараах хэлбэртэй байна.

F(x)+C, энд C нь дурын бодит тоо юм.

Харгалзан үзэж буй интервал дээрх f (x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын F (x) + C олонлогийг тодорхой бус интеграл гэж нэрлэх ба тэмдгээр тэмдэглэнэ. ∫ (интеграл тэмдэг). Бичнэ үү: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Илэрхийлэл ∫f(x)dxуншина уу: "х-ээс де x хүртэлх интеграл ef."

f(x)dx- интеграл илэрхийлэл,

f(x)- интеграл функц,

Xнь интеграцийн хувьсагч юм.

F(x)- функцийн эсрэг дериватив f(x),

ХАМТ- зарим тогтмол утга.

Одоо авч үзсэн жишээнүүдийг дараах байдлаар бичиж болно.

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

d тэмдэг нь юу гэсэн үг вэ?

г—дифференциал тэмдэг - давхар зорилготой: нэгдүгээрт, энэ тэмдэг нь интегралын хувьсагчаас интегралыг тусгаарладаг; хоёрдугаарт, энэ тэмдгийн дараа ирэх бүх зүйлийг анхдагч байдлаар ялгаж, интегралаар үржүүлнэ.

Жишээ. Интегралуудыг ол: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Дифференциал дүрсний дараа гзардал XX, А r

∫ 2хрdx=рх²+С. Жишээтэй харьцуул 1).

Шалгалт хийцгээе. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Дифференциал дүрсний дараа гзардал r. Энэ нь интеграцийн хувьсагч гэсэн үг юм r, ба үржүүлэгч Xзарим нэг тогтмол утга гэж үзэх ёстой.

∫ 2хрдр=р²х+С. Жишээнүүдтэй харьцуул 1) Тэгээд 3).

Шалгалт хийцгээе. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Зорилтот:

• Антидериватив тухай ойлголтыг бий болгох.
• Интегралыг ойлгох бэлтгэл.
• Тооцоолох чадварыг бий болгох.
• Гоо сайхны мэдрэмжийг төлөвшүүлэх (ер бусын гоо үзэсгэлэнг харах чадвар).

Математик анализ гэдэг нь дифференциал ба интеграл тооцооллын аргаар функц, тэдгээрийн ерөнхий дүгнэлтийг судлахад зориулагдсан математикийн салбаруудын цогц юм.

Өнөөг хүртэл бид дифференциал тооцоо гэж нэрлэгддэг математик шинжилгээний салбарыг судалж ирсэн бөгөөд түүний мөн чанар нь "жижиг" дэх функцийг судлах явдал юм.

Тэдгээр. Тодорхойлолтын цэг бүрийн хангалттай жижиг хороололд функцийг судлах. Ялгаварлах үйлдлүүдийн нэг нь дериватив (дифференциал) олох, функцийг судлахад ашиглах явдал юм.

Урвуу асуудал нь чухал биш юм. Хэрэв түүний тодорхойлолтын цэг бүрийн ойролцоо функцийн зан төлөв нь мэдэгдэж байгаа бол функцийг бүхэлд нь хэрхэн яаж сэргээх вэ, өөрөөр хэлбэл. түүний тодорхойлолтын бүх хүрээнд. Энэ асуудал нь интеграл тооцоо гэж нэрлэгддэг судалгааны сэдэв юм.

Интеграци гэдэг нь ялгах урвуу үйлдэл юм. Эсвэл өгөгдсөн f`(x) деривативаас f(x) функцийг сэргээх. "Интегро" гэдэг латин үг нь нөхөн сэргээх гэсэн утгатай.

Жишээ №1.

(x)`=3x 2 гэж үзье.
f(x)-ийг олцгооё.

Шийдэл:

Ялгах дүрэмд үндэслэн f(x) = x 3 гэдгийг таахад хэцүү биш, учир нь (x 3)` = 3x 2
Гэсэн хэдий ч, та f(x) нь өвөрмөц байдлаар олдохгүй байгааг амархан анзаарч болно.
f(x) гэж бид авч болно
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 гэх мэт.

Учир нь тус бүрийн дериватив нь 3х2-тэй тэнцүү. (Тогтмолын дериватив нь 0). Эдгээр бүх функцууд нь бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай байдаг. Иймд асуудлын ерөнхий шийдлийг f(x) = x 3 + C гэж бичиж болох ба энд C нь аливаа тогтмол бодит тоо юм.

Олдсон f(x) функцүүдийн аль нэгийг дуудна ПРИМОДИУМ F`(x)= 3x 2 функцийн хувьд

Тодорхойлолт. F(x) функцийг өгөгдсөн J интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ интервалаас бүх x нь F`(x)= f(x) байвал. Тэгэхээр (- ∞ ; ∞) дээр f(x)=3x 2 үед F(x)=x 3 функц эсрэг дериватив байна.
Бүх x ~R хувьд тэгш байдал үнэн тул F`(x)=(x 3)`=3x 2

Бид аль хэдийн анзаарсанчлан, энэ функц нь хязгааргүй тооны эсрэг деривативтай (жишээ №1-ийг үз).

Жишээ №2. F(x)=x функц нь (0; +) интервал дээрх бүх f(x)= 1/x-ийн эсрэг дериватив юм, учир нь Энэ интервалаас хойшхи бүх x-ийн хувьд тэгш байдал биелнэ.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Жишээ №3. F(x)=tg3x функц нь (-n/) интервал дээрх f(x)=3/cos3x-ийн эсрэг дериватив юм. 2; p/ 2),
учир нь F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Жишээ № 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 функц нь (0;∞) интервал дээр f(x)=12cos4x-1/x 2-ын эсрэг дериватив байна.
учир нь F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Лекц 2.

Сэдэв: Эсрэг дериватив. Эсрэг дериватив функцийн үндсэн шинж чанар.

Эсрэг деривативыг судлахдаа бид дараах мэдэгдэлд найдах болно. Функцийн тогтмол байдлын тэмдэг: Хэрэв J интервал дээр функцийн дериватив Ψ(x) 0-тэй тэнцүү бол энэ интервалд Ψ(x) функц тогтмол байна.

Энэ мэдэгдлийг геометрийн аргаар харуулж болно.

Мэдэгдэж байгаагаар Ψ`(x)=tgα, γde α нь абсцисса х 0 цэгт Ψ(x) функцын графикт шүргэгчийн налуу өнцөг юм. Хэрэв J интервалын аль ч цэгт Ψ`(υ)=0 байвал Ψ(x) функцийн графикт шүргэгч дурын хувьд tanα=0 δболно. Энэ нь аль ч цэг дэх функцийн графикт шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм. Иймд заасан интервал дээр Ψ(x) функцийн график y=C шулуун шугамын хэрчимтэй давхцаж байна.

Тэгэхээр энэ интервал дээр f`(x)=0 бол f(x)=c функц J интервал дээр тогтмол байна.

Үнэн хэрэгтээ, J интервалаас дурын x 1 ба x 2-ийн хувьд функцийн дундаж утгын теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), учир нь f`(c)=0, дараа нь f(x 2)= f(x 1)

Теорем: (эсрэг дериватив функцийн үндсэн шинж чанар)

Хэрэв F(x) нь J интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг бол энэ функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог нь F(x)+C хэлбэртэй байх ба энд C нь дурын бодит тоо юм.

Нотолгоо:

X Є J-ийн хувьд F`(x) = f (x), дараа нь (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) гэж үзье.
J интервал дээр f (x)-ын өөр эсрэг дериватив Φ(x) байна гэж бодъё, өөрөөр хэлбэл. Φ`(x) = f (x),
дараа нь (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J-ийн хувьд.
Энэ нь J интервал дээр Φ(x) - F(x) тогтмол байна гэсэн үг.
Тиймээс Φ(x) - F(x) = C.
Эндээс Φ(x)= F(x)+C.
Энэ нь хэрэв F(x) нь J интервал дээрх f (x) функцийн эсрэг дериватив бол энэ функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог нь F(x)+C хэлбэртэй байна, энд C нь дурын бодит тоо байна.
Иймээс өгөгдсөн функцийн аливаа хоёр эсрэг дериватив нь бие биенээсээ тогтмол гишүүнээр ялгаатай байдаг.

Жишээ: Багц олох эсрэг дериватив функцууд f(x) = cos x. Эхний гурвын графикийг зур.

Шийдэл: Sin x нь f (x) = cos x функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм
F(x) = Sin x+C – бүх эсрэг деривативуудын багц.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометрийн дүрслэл:Аливаа эсрэг дериватив F(x)+C-ийн графикийг F(x) эсрэг деривативын графикаас r (0;c)-ийн зэрэгцээ шилжүүлгийг ашиглан авч болно.

Жишээ: f (x) = 2x функцийн хувьд график нь t.M (1;4) -ээр дамждаг эсрэг деривативыг ол.

Шийдэл: F(x)=x 2 +C – бүх эсрэг деривативуудын олонлог, F(1)=4 - бодлогын нөхцлийн дагуу.
Тиймээс 4 = 1 2 + C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Баримт бичиг

Зарим интервал X. Хэрэв Учир ньдурын xХ F"(x) = f(x), тэгвэл функцФ дуудсанэсрэг деривативУчир ньфункцууд X интервал дээр f. Эсрэг деривативУчир ньфункцуудта олохыг оролдож болно ...

Функцийн эсрэг дериватив

Баримт бичиг

... . Чиг үүрэг F(x) дуудсанэсрэг деривативУчир ньфункцууд f(x) (a;b) интервал дээр, хэрэв Учир ньбүх x(a;b) F(x) = f(x) тэгшитгэл биелнэ. Жишээлбэл, Учир ньфункцууд x2 эсрэг деривативболно функц x3...

Интеграл тооцооллын үндэс

Заавар

... ; 5. Интегралыг ол. ; B); C); D); 6. Чиг үүрэгдуудсанэсрэг деривативруу функцуудбагц дээр, хэрэв: Учир ньхүн бүр; зарим үед; Учир ньхүн бүр; зарим ... интервалаар. Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэгдуудсанэсрэг деривативУчир ньфункцуудолон дээр...

Эсрэг дериватив Тодорхой бус интеграл

Баримт бичиг

Интеграци. Эсрэг дериватив. Тасралтгүй функц F(x) дуудсанэсрэг деривативУчир ньфункцууд f (x) X интервал дээр хэрэв Учир ньбүр F’ (x) = f (x). ЖИШЭЭ Чиг үүрэг F(x) = x 3 байна эсрэг деривативУчир ньфункцууд f(x) = 3x...

ЗСБНХУ-ын ТУСГАЙ БОЛОВСРОЛ Дээд боловсролын сургалтын арга зүйн удирдах газраас баталсан ДЭЭД МАТЕМАТИКИЙН АРГА ЗААВАРЧИЛГАА, ХЯНАЛТЫН ДААЛГАВАР (ХӨТӨЛБӨРТЭЙ) инженер техникийн мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан.

Удирдамж

Асуултууд Учир ньөөрийгөө шалгах Тодорхойлолт эсрэг деривативфункцууд. Дүүргэлтийн геометрийн утгыг заана уу анхдагчфункцууд. Юу дуудсантодорхойгүй...

Интегралыг шийдэх нь хялбар ажил боловч зөвхөн сонгогдсон цөөхөн хүмүүст зориулагдсан. Энэ нийтлэл нь интегралыг ойлгож сурахыг хүсдэг боловч тэдгээрийн талаар юу ч мэдэхгүй эсвэл бараг юу ч мэдэхгүй хүмүүст зориулагдсан болно. Интеграл ... Яагаад хэрэгтэй вэ? Үүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ? Хэрэв интегралын хувьд таны мэддэг цорын ганц хэрэглээ бол интеграл дүрс хэлбэртэй зүүгээр дэгээгээр ямар нэгэн хэрэгтэй зүйл авах явдал юм. хүрэхэд хэцүү газрууд, тэгвэл тавтай морил! Интегралыг хэрхэн шийдэх, яагаад үүнгүйгээр хийх боломжгүйг олж мэдээрэй.

Бид "интеграл" гэсэн ойлголтыг судалдаг.

Интеграци нь эргээд мэдэгдэж байсан Эртний Египет. Мэдээж орохгүй орчин үеийн хэлбэр, гэхдээ одоо ч гэсэн. Түүнээс хойш математикчид энэ сэдвээр олон ном бичсэн. Ялангуяа өөрсдийгөө онцолсон Ньютон Тэгээд Лейбниц , гэхдээ юмсын мөн чанар өөрчлөгдөөгүй. Интегралыг эхнээс нь хэрхэн ойлгох вэ? Арга ч үгүй! Энэ сэдвийг ойлгохын тулд танд математик анализын үндсэн суурь мэдлэг хэрэгтэй хэвээр байх болно. Энэ бол бидний блог дээрээс олж мэдэх үндсэн мэдээлэл юм.

Тодорхой бус интеграл

Бидэнд ямар нэгэн функцтэй байцгаая f(x) .

Тодорхой бус интеграл функц f(x) энэ функцийг дууддаг F(x) , түүний дериватив нь функцтэй тэнцүү байна f(x) .

Өөрөөр хэлбэл, интеграл нь урвуу эсвэл эсрэг дериватив дериватив юм. Дашрамд хэлэхэд, хэрхэн яаж хийх талаар манай нийтлэлээс уншина уу.

Бүх тасралтгүй функцүүдэд эсрэг дериватив байдаг. Мөн тогтмол тэмдэгтээр ялгаатай функцүүдийн деривативууд давхцдаг тул эсрэг дериватив дээр тогтмол тэмдэг нэмж өгдөг. Интегралыг олох үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг.

Энгийн жишээ:

Энгийн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг байнга тооцоолохгүйн тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулж, бэлэн утгыг ашиглах нь тохиромжтой.

Тодорхой интеграл

Интеграл гэдэг ойлголттой харьцахдаа бид хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнтэй харьцаж байна. Интеграл нь зургийн талбай, жигд бус биеийн масс, жигд бус хөдөлгөөний үед туулсан зай болон бусад олон зүйлийг тооцоолоход тусална. Интеграл бол хязгааргүй нийлбэр гэдгийг санах нь зүйтэй их хэмжээгээрхязгааргүй жижиг нэр томъёо.

Жишээ болгон зарим функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Интеграл ашиглах! Координатын тэнхлэгүүд болон функцийн графикаар хязгаарлагдах муруй шугаман трапецийг хязгааргүй жижиг хэрчмүүдэд хуваацгаая. Ингэснээр зургийг нимгэн багана болгон хуваах болно. Баганын талбайн нийлбэр нь трапецын талбай болно. Гэхдээ ийм тооцоолол нь ойролцоогоор үр дүнг өгөх болно гэдгийг санаарай. Гэсэн хэдий ч сегментүүд нь жижиг, нарийхан байх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно. Хэрэв бид тэдгээрийг урт нь тэг рүү чиглүүлэхээр багасгах юм бол сегментүүдийн талбайн нийлбэр нь зургийн талбай руу чиглэх болно. Энэ бол тодорхой интеграл бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичсэн болно.

a ба b цэгүүдийг интегралын хязгаар гэж нэрлэдэг.

Бари Алибасов ба "Интеграл" хамтлаг

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулж 10% хямдралтай байгаа

Даммигийн интегралыг тооцоолох дүрэм

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Тодорхойгүй интегралыг хэрхэн шийдэх вэ? Энд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудыг авч үзэх бөгөөд энэ нь жишээг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

• Интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна:

• Тогтмолыг интеграл тэмдгийн доороос гаргаж болно.

• Нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаинтеграл. Энэ нь мөн ялгааны хувьд үнэн юм:

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

• Шугаман чанар:

• Интегралын хязгаарыг сольсон тохиолдолд интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

• At ямар чоноо а, бТэгээд -тай:

Тодорхой интеграл нь нийлбэрийн хязгаар гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Гэхдээ жишээг шийдэхдээ тодорхой утгыг хэрхэн авах вэ? Үүний тулд Ньютон-Лейбницийн томъёо байдаг:

Интегралыг шийдвэрлэх жишээ

Доор бид олох хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно тодорхойгүй интегралууд. Бид таныг шийдлийн нарийн ширийнийг өөрөө олж мэдэхийг урьж байна, хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сэтгэгдэл дээр асуулт асуугаарай.

Материалыг бататгахын тулд интегралыг практикт хэрхэн шийддэг тухай видеог үзээрэй. Хэрэв интегралыг шууд өгөхгүй бол цөхрөл бүү зов. Асуу, тэд интегралыг тооцоолох талаар мэддэг бүхнээ хэлэх болно. Бидний тусламжтайгаар битүү гадаргуу дээрх аливаа гурвалсан эсвэл муруй интеграл таны хүч чадалд багтах болно.