Асуудал 1. Оройнуудын координатыг өгсөн болно ABC гурвалжин: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Олно: 1) AB талын урт; 2) AB ба ВС талуудын тэгшитгэл, тэдгээрийн өнцгийн коэффициент; 3) хоёр цифрийн нарийвчлалтай радиан дахь B өнцөг; 4) CD өндөр ба түүний уртын тэгшитгэл; 5) дундаж AE-ийн тэгшитгэл ба энэ медианыг CD өндөртэй огтлолцох K цэгийн координатууд; 6) AB талтай параллель К цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл; 7) CD шулуун шугамтай харьцуулахад А цэгт тэгш хэмтэй байрлалтай М цэгийн координатууд.

Шийдэл:

1. A(x 1 ,y 1) ба B(x 2 ,y 2) цэгүүдийн хоорондох d зайг томъёогоор тодорхойлно.

(1)-ийг ашигласнаар бид AB талын уртыг олно.

2. A(x 1 ,y 1) ба B(x 2 ,y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

(2)

А ба В цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар бид AB талын тэгшитгэлийг олж авна.

y-ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид AB талын тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл хэлбэрээр олно.

хаана

B ба C цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар BC шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Эсвэл

3. Өнцгийн коэффициентүүд нь тус тус тэнцүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тангенсыг томъёогоор тооцоолдог нь мэдэгдэж байна.

(3)

Хүссэн B өнцгийг AB ба BC шулуун шугамаар үүсгэсэн бөгөөд тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь олддог: (3) -ийг ашиглан бид олж авна.

Эсвэл баяртай.

4. Дамжиж буй шугамын тэгшитгэл энэ цэгөгөгдсөн чиглэлд, хэлбэртэй байна

(4)

CD өндөр нь AB тал руу перпендикуляр байна. CD-ийн өндрийн налууг олохын тулд шугамуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг ашиглана. Түүнээс хойш С цэгийн координат ба өндрийн олсон өнцгийн коэффициентийг (4)-д орлуулж бид олж авна.

CD өндрийн уртыг олохын тулд эхлээд D цэгийн координатыг тодорхойлно - AB ба CD шулуун шугамуудын огтлолцох цэг. Системийг хамтдаа шийдэх нь:

бид олдог тэдгээр. D(8;0).

(1) томъёог ашиглан бид CD-ийн өндрийн уртыг олно.

5. Дундаж AE-ийн тэгшитгэлийг олохын тулд эхлээд сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах томьёог ашиглан ВС талын дунд байх Е цэгийн координатыг тодорхойлно.

(5)

Тиймээс,

А ба Е цэгүүдийн координатыг (2) орлуулснаар бид медианы тэгшитгэлийг олно.

CD өндөр ба медиан AE-ийн огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг хамтдаа шийднэ.

Бид олдог.

6. Хүссэн шулуун шугам нь AB талтай параллель байх тул түүний өнцгийн коэффициент AB шулууны өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байна. Олдсон K цэгийн координат ба өнцгийн коэффициентийг (4)-д орлуулснаар бид олж авна

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. AB шулуун нь CD шулуунтай перпендикуляр байх тул CD шулуунтай харьцангуй А цэгт тэгш хэмтэй байрлалтай хүссэн M цэг AB шулуун дээр байна. Үүнээс гадна D цэг нь AM сегментийн дунд цэг юм. Томъёо (5) ашиглан бид хүссэн M цэгийн координатыг олно.

ABC гурвалжин, CD өндөр, медиан AE, KF шулуун ба M цэгийг xOy координатын системд зурсан. 1.

Даалгавар 2. Өгөгдсөн A(4; 0) цэг ба өгөгдсөн x=1 шулуун хүртэлх зай нь 2-той тэнцүү цэгүүдийн байршлын тэгшитгэлийг үүсгэ.

Шийдэл:

xOy координатын системд бид A(4;0) цэг болон x = 1 шулуун шугамыг байгуулна. M(x;y) цэгүүдийн хүссэн геометрийн байршлын дурын цэг байцгаая. Өгөгдсөн х = 1 шулуунд MB перпендикулярыг буулгаж В цэгийн координатыг тодорхойлъё. В цэг нь өгөгдсөн шулуун дээр орших тул түүний абсцисса нь 1-тэй тэнцүү байна. В цэгийн ординат нь М цэгийн ординаттай тэнцүү байна. Тиймээс B(1;y) (Зураг 2).

Асуудлын нөхцөлийн дагуу |МА|: |MV| = 2. Зайнууд |MA| болон |MB| 1-р асуудлын (1) томъёоноос бид дараах зүйлийг олно.

Зүүн ба баруун талыг квадрат болгосноор бид авна

эсвэл

Үүссэн тэгшитгэл нь бодит хагас тэнхлэг нь a = 2, төсөөллийн хагас тэнхлэг нь гипербола юм.

Гиперболын голомтыг тодорхойлъё. Гиперболын хувьд тэгш байдал хангагдана - хэтрүүлсэн заль мэх. Таны харж байгаагаар өгөгдсөн A(4;0) цэг нь гиперболын зөв фокус юм.

Үүссэн гиперболын хазайлтыг тодорхойлъё.

Гиперболын асимптотуудын тэгшитгэл нь ба хэлбэртэй байна. Иймээс эсвэл ба нь гиперболын асимптотууд юм. Гиперболыг бүтээхийн өмнө бид түүний асимптотуудыг байгуулдаг.

Асуудал 3. А(4; 3) цэг ба шулуун шугам y = 1-ээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байршлын тэгшитгэлийг үүсгэ. Гарсан тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.

Шийдэл: M(x; y) цэгүүдийн хүссэн геометрийн байршлын нэг цэг байг. М цэгээс y = 1 шулуун шугам руу перпендикуляр MB буулгая (Зураг 3). В цэгийн координатыг тодорхойлъё. Мэдээж В цэгийн абсцисса нь М цэгийн абсцисса, В цэгийн ординат нь 1, өөрөөр хэлбэл B(x; 1)-тэй тэнцүү байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу |MA|=|MV|. Иймээс хүссэн цэгүүдийн геометрийн байршилд хамаарах дурын M(x;y) цэгийн хувьд дараах тэгш байдал үнэн болно.

Үүссэн тэгшитгэл нь параболын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулахын тулд y + 2 = Y гэж үзвэл параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?
Хавтгай дээрх гурвалжинтай холбоотой ердийн асуудал

Энэ хичээлийг хавтгайн геометр ба сансар огторгуйн геометрийн хоорондох экватор руу ойртох талаар бий болгосон. Одоогийн байдлаар хуримтлагдсан мэдээллээ системчилж, маш их хариулах шаардлагатай байна чухал асуулт: Аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?Хэцүү зүйл бол та геометрийн хязгааргүй олон тооны бодлого бодож олох боломжтой бөгөөд ямар ч сурах бичигт олон янзын жишээг багтаахгүй. Энэ биш функцийн деривативялгах таван дүрэм, хүснэгт, хэд хэдэн арга техниктэй.

Шийдэл бий! Би ямар нэгэн гайхалтай техник боловсруулсан тухайгаа чангаар ярихгүй, гэхдээ миний бодлоор хэлэлцэж буй асуудалд үр дүнтэй арга байдаг бөгөөд энэ нь бүрэн цайны сав ч гэсэн сайн, маш сайн үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Наад зах нь ерөнхий шийдлийн алгоритм геометрийн асуудлуудминий толгойд маш тодорхой бий болсон.

ТА МЭДЭХ ХЭРЭГТЭЙ, ХИЙХ ЧАДВАРТАЙ БАЙХ
геометрийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд?

Үүнээс зугтах зүйл алга - хамараараа товчлуурыг санамсаргүй цохихгүйн тулд та аналитик геометрийн үндсийг эзэмших хэрэгтэй. Тиймээс хэрэв та геометрийн хичээлийг дөнгөж судалж эхэлсэн эсвэл бүр мартсан бол хичээлээ эхлүүлээрэй Дамми нарт зориулсан векторууд. Векторууд болон тэдэнтэй хийх үйлдлээс гадна та мэдэх хэрэгтэй үндсэн ойлголтуудхавтгай геометр, ялангуяа хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлМөн . Орон зайн геометрийг нийтлэлд үзүүлэв Хавтгай тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгай дээрх үндсэн бодлого болон бусад хичээлүүд. Муруй шугам ба орон зайн гадаргууХоёрдахь зэрэглэлийнх нь бие биенээсээ арай өөр байдаг бөгөөд тэдэнтэй хамт тийм ч тодорхой ажил байдаггүй.

Оюутан аналитик геометрийн хамгийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх үндсэн мэдлэг, чадвартай болсон гэж үзье. Гэхдээ ийм зүйл тохиолддог: та асуудлын мэдэгдлийг уншиж, ... та бүх зүйлийг бүхэлд нь хааж, хамгийн буланд шидээд, яаж гэдгийг мартахыг хүсч байна. хар дарсан зүүд. Түүнээс гадна, энэ нь үндсэндээ таны мэргэшлийн түвшнээс хамаардаггүй; би үе үе шийдэл нь тодорхойгүй ажлуудтай тулгардаг. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Та ойлгохгүй байгаа ажлаас айх шаардлагагүй!

Нэгдүгээрт, суурилуулсан байх ёстой - Энэ "хавтгай" эсвэл орон зайн асуудал уу?Жишээлбэл, хэрэв нөхцөл нь хоёр координат бүхий векторуудыг багтаасан бол энэ нь мэдээжийн хэрэг, хавтгайн геометр юм. Хэрэв багш талархалтай сонсогчдод пирамид ачсан бол орон зайн геометр байгаа нь тодорхой юм. Эхний алхамын үр дүн аль хэдийн сайн байна, учир нь бид энэ даалгаварт шаардлагагүй асар их хэмжээний мэдээллийг хасаж чадсан!

Хоёрдугаарт. Нөхцөл байдал нь ихэвчлэн геометрийн дүрстэй холбоотой байх болно. Үнэхээр төрөлх их сургуулийнхаа коридороор алхвал та маш их санаа зовсон царайг харах болно.

"Хавтгай" бодлогод тодорхой цэг, шугамыг дурдахгүй байхын тулд хамгийн алдартай дүрс бол гурвалжин юм. Бид үүнийг нарийвчлан шинжлэх болно. Дараа нь параллелограмм ирдэг бөгөөд тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромб, тойрог болон бусад хэлбэрүүд нь хамаагүй бага байдаг.

Орон зайн даалгаварт ижилхэн нисч чаддаг хавтгай дүрсүүд+ онгоцнууд өөрсдөө ба параллелепипед бүхий нийтлэг гурвалжин пирамидууд.

Хоёр дахь асуулт - Та энэ зургийн талаар бүгдийг мэдэх үү?Нөхцөл нь ижил өнцөгт гурвалжны тухай ярьж байна гэж бодъё, мөн та энэ гурвалжин ямар төрлийн гурвалжин болохыг маш тодорхой санадаггүй. Бид сургуулийн сурах бичгийг нээж уншдаг тэгш өнцөгт гурвалжин. Яах вэ... эмч ромб гэж хэлсэн, ромбо гэсэн үг. Аналитик геометр бол аналитик геометр, гэхдээ Асуудлыг дүрсүүдийн геометрийн шинж чанараар шийдэх болно, сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс бидэнд мэдэгддэг. Хэрэв та гурвалжны өнцгийн нийлбэр хэд болохыг мэдэхгүй бол та удаан хугацаанд зовж шаналж болно.

Гуравдугаарт. Зургийг үргэлж дагаж мөрдөхийг хичээ(ноорог/дуусгасан хуулбар дээр/сэтгэцийн хувьд), энэ нь нөхцөлөөр шаардлагагүй байсан ч. "Хавтгай" асуудалд Евклид өөрөө захирагч, харандаа авахыг тушаажээ - зөвхөн нөхцөл байдлыг ойлгохын тулд төдийгүй өөрийгөө шалгах зорилгоор. Энэ тохиолдолд хамгийн тохиромжтой масштаб нь 1 нэгж = 1 см (2 дэвтэр нүд) юм. хайхрамжгүй оюутнууд, математикчид булшиндаа эргэлдэж байгаа тухай ярихаа больё - ийм бодлогод алдаа гаргах нь бараг боломжгүй юм. Орон зайн даалгаврын хувьд бид схемийн зургийг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийхэд тусална.

Зурах эсвэл бүдүүвч зурагихэвчлэн асуудлыг шийдэх замыг шууд харах боломжийг олгодог. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд та геометрийн үндэс суурийг мэдэж, геометрийн дүрсийн шинж чанарыг ойлгох хэрэгтэй (өмнөх догол мөрийг үзнэ үү).

Дөрөвдүгээрт. Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Геометрийн олон асуудлууд нь олон үе шаттай байдаг тул шийдэл, түүний загвар нь цэг болгон задлахад маш тохиромжтой. Ихэнх тохиолдолд алгоритм нь нөхцөлийг уншиж эсвэл зурж дуусгасны дараа шууд санаанд орж ирдэг. Хэцүү тохиолдолд бид даалгаврын АСУУЛТ-аас эхэлнэ. Жишээлбэл, "та шулуун шугам барих хэрэгтэй ..." гэсэн нөхцлийн дагуу. Энд хамгийн логик асуулт бол: "Энэ шулуун шугамыг барихад юу мэдэхэд хангалттай вэ?" "Бид цэгийг мэддэг, бид чиглэлийн векторыг мэдэх хэрэгтэй" гэж бодъё. Бид дараах асуултыг асууж байна: "Энэ чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ? Хаана?" гэх мэт.

Заримдаа "алдаа" байдаг - асуудал шийдэгдээгүй, тэгээд л болоо. Зогсоох шалтгаан нь дараахь байж болно.

– Суурь мэдлэгийн ноцтой зөрүү. Өөрөөр хэлбэл, та маш энгийн зүйлийг мэдэхгүй ба/эсвэл харахгүй байна.

– Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг үл тоомсорлодог.

- Даалгавар хэцүү байсан. Тиймээ, тохиолддог. Олон цагаар ууранд жигнэж, алчууранд нулимс цуглуулах нь утгагүй юм. Багш, хамт суралцагч нараасаа зөвлөгөө авах эсвэл форум дээр асуулт асуугаарай. Түүгээр ч барахгүй шийдлийн таны ойлгохгүй байгаа хэсгийг тодорхой болгох нь дээр. "Асуудлыг хэрхэн шийдэх вэ?" тийм ч сайн харагдахгүй байна... мөн хамгийн гол нь өөрийн нэр хүндийн төлөө.

Тавдугаар шат. Бид шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана-хариулна. Даалгаврын цэг бүрийг шалгах нь ашигтай байдаг дууссаны дараа шууд. Энэ нь алдааг даруй илрүүлэхэд тусална. Мэдээжийн хэрэг, асуудлыг бүхэлд нь хурдан шийдвэрлэхийг хэн ч хориглодоггүй, гэхдээ бүгдийг дахин бичих эрсдэлтэй байдаг (ихэвчлэн хэд хэдэн хуудас).

Эдгээр нь магадгүй асуудлыг шийдвэрлэхдээ дагаж мөрдөх ёстой бүх гол зүйл юм.

Хичээлийн практик хэсгийг хавтгай геометрээр үзүүлэв. Зөвхөн хоёр жишээ байх болно, гэхдээ хангалттай биш юм шиг =)

Шинжлэх ухааны бяцхан ажил дээрээ саяхан үзсэн алгоритмын утгыг авч үзье.

Жишээ 1

Параллелограммын гурван орой өгөгдсөн. Дээд талыг ол.

Ингээд ойлгож эхэлцгээе:

Нэгдүгээр алхам: “Хавтгай” асуудал ярьж байгаа нь ойлгомжтой.

Хоёрдугаар алхам: Асуудал нь параллелограммыг авч үздэг. Энэ параллелограмм дүрсийг бүгд санаж байна уу? Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон хүн 30-40-50 ба түүнээс дээш насанд боловсрол эзэмшдэг тул энгийн баримтуудыг ч ой санамжаас арилгадаг. Параллелограммын тодорхойлолтыг хичээлийн 3-р жишээнд үзүүлэв Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс.

Гуравдугаар алхам: Бид гурван мэдэгдэж буй оройг тэмдэглэсэн зураг зурцгаая. Хүссэн цэгээ шууд бий болгох нь тийм ч хэцүү биш нь инээдтэй юм:

Үүнийг бүтээх нь мэдээж сайн хэрэг, гэхдээ шийдлийг аналитик байдлаар томъёолох ёстой.

Дөрөвдүгээр алхам: Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Хамгийн түрүүнд санаанд орж байгаа зүйл бол цэгийг шугамын огтлолцол гэж үзэж болно. Бид тэдний тэгшитгэлийг мэдэхгүй тул энэ асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно.

1) Эсрэг талууд параллель байна. Оноогоор Эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олъё. Энэ хамгийн энгийн даалгаваранги дээр хэлэлцсэн Дамми нарт зориулсан векторууд.

Жич: "хажуу талыг агуулсан шулууны тэгшитгэл" гэж хэлэх нь илүү зөв байх болно, гэхдээ энд, цаашлаад би "талын тэгшитгэл", "талын чиглэлийн вектор" гэх мэт хэллэгүүдийг ашиглах болно.

3) Эсрэг талууд параллель байна. Цэгүүдийг ашиглан бид эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олно.

4) Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя

1-2 ба 3-4-т бид нэг асуудлыг хоёр удаа шийдсэн, энэ нь хичээлийн 3-р жишээн дээр яригдсан Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Илүү урт замыг сонгох боломжтой байсан - эхлээд шугамуудын тэгшитгэлийг олж, зөвхөн дараа нь тэдгээрээс чиглэлийн векторуудыг "сугалах" боломжтой.

5) Одоо шугамын тэгшитгэлүүд мэдэгдэж байна. Үлдсэн зүйл бол тохирох системийг эмхэтгэж, шийдвэрлэх явдал юм шугаман тэгшитгэл(ижил хичээлийн 4, 5-р жишээг үзнэ үү Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд).

Гол нь олдсон.

Асуудал нь маш энгийн бөгөөд шийдэл нь ойлгомжтой, гэхдээ илүү богино арга зам бий!

Хоёр дахь шийдэл:

Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана. Би цэгийг тэмдэглэсэн боловч зургийг будлиулахгүйн тулд диагональуудыг өөрөө зураагүй.

Хажуугийн цэгийн тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя :

Шалгахын тулд та цэг бүрийн координатыг үүссэн тэгшитгэлд оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр орлуулах хэрэгтэй. Одоо налууг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ерөнхий тэгшитгэлийг налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичнэ.

Тиймээс налуу нь:

Үүний нэгэн адил бид талуудын тэгшитгэлийг олдог. Би ижил зүйлийг тайлбарлах нь утгагүй юм, тиймээс би эцсийн үр дүнг шууд өгөх болно:

2) Хажуугийн уртыг ол. Энэ бол ангид хамгийн энгийн асуудал юм. Дамми нарт зориулсан векторууд. Онооны хувьд Бид томъёог ашигладаг:

Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бусад талуудын уртыг олоход хялбар байдаг. Шалгалтыг ердийн захирагчаар маш хурдан хийж болно.

Бид томъёог ашигладаг .

Векторуудыг олъё:

Тиймээс:

Дашрамд хэлэхэд, бид хажуугийн уртыг олсон.

Үүний үр дүнд:

Энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна, үүнийг илүү үнэмшилтэй болгохын тулд та буланд шилжүүлэгч хавсаргаж болно.

Анхаар! Гурвалжны өнцгийг шулуун шугамын хоорондох өнцөгтэй андуурч болохгүй. Гурвалжны өнцөг нь мохоо байж болох ч шулуун шугамын хоорондох өнцөг боломжгүй (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү). Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд). Гэхдээ гурвалжны өнцгийг олохын тулд дээрх хичээлийн томъёог ашиглаж болно, гэхдээ барзгар байдал нь тэдгээр томьёо нь үргэлж хурц өнцөг өгдөг. Тэдний тусламжтайгаар би энэ асуудлыг төсөл дээр шийдэж, үр дүнд хүрсэн. Эцсийн хуулбар дээр би нэмэлт шалтаг бичих хэрэгтэй болно.

4) Шугамантай параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.

Хичээлийн 2-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн стандарт даалгавар Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. -аас ерөнхий тэгшитгэлшууд Хөтөч векторыг гаргаж авцгаая. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

5) Өндөрт тэгшитгэл үүсгэж, уртыг нь олцгооё.

Хатуу тодорхойлолтоос зугтах арга байхгүй тул та сургуулийн сурах бичгээс хулгайлах хэрэгтэй болно.

Гурвалжингийн өндөр гурвалжны оройноос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикуляр гэнэ.

Өөрөөр хэлбэл оройгоос хажуу тийш зурсан перпендикулярын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай. Энэ даалгаварыг хичээлийн 6, 7-р жишээн дээр авч үзсэн болно Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Eq-аас. хэвийн векторыг арилгах. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Бид цэгийн координатыг мэдэхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа перпендикуляр шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн харьцаанаас өндрийн тэгшитгэл олддог: . Энэ тохиолдолд: . Цэг ба өнцгийн коэффициент ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг зохиоё (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү). Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл):

Өндөр уртыг хоёр аргаар олж болно.

Тойрог зам бий:

a) олох - өндөр ба хажуугийн огтлолцлын цэг;
б) мэдэгдэж буй хоёр цэгийг ашиглан хэрчмийн уртыг ол.

Гэхдээ ангид Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлуудцэгээс шулуун хүртэлх зайны тохиромжтой томьёог авч үзсэн. Цэг нь мэдэгдэж байна: , шугамын тэгшитгэл нь бас мэдэгдэж байна: , Тиймээс:

6) Гурвалжны талбайг тооцоол. Орон зайд гурвалжны талбайг уламжлалт байдлаар тооцоолдог векторуудын вектор үржвэр, гэхдээ энд бидэнд хавтгай дээрх гурвалжин өгөгдсөн. Бид сургуулийн томъёог ашигладаг:
- Гурвалжны талбай нь суурь ба өндрийн үржвэрийн талтай тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд:

Гурвалжны медианыг хэрхэн олох вэ?

7) Медианд тэгшитгэл байгуулъя.

Гурвалжны медиан гурвалжны оройг эсрэг талын дунд хэсэгтэй холбосон хэрчим гэж нэрлэдэг.

a) Хажуугийн дунд цэгийг ол. Бид ашигладаг сегментийн дунд цэгийн координатын томъёо. Сегментийн төгсгөлүүдийн координатууд нь мэдэгдэж байна: , дараа нь дунд хэсгийн координатууд:

Тиймээс:

Дундаж тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя :

Тэгшитгэлийг шалгахын тулд цэгүүдийн координатыг орлуулах хэрэгтэй.

8) Өндөр ба медиан огтлолцох цэгийг ол. Уран гулгалтын энэ элементийг унахгүйгээр яаж хийхийг хүн бүр аль хэдийн сурсан гэж би бодож байна.

Дасгал хийх. A (2,1), B (1,-2), C (-1,0) цэгүүд нь ABC гурвалжны орой юм.
a) ABC гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг ол.
б) ABC гурвалжны аль нэг медиануудын тэгшитгэлийг ол.
в) ABC гурвалжны өндрийн аль нэгийн тэгшитгэлийг ол.
d) АВС гурвалжны биссектрисын аль нэгийн тэгшитгэлийг ол.
д) ABC гурвалжны талбайг ол.

ШийдэлБид үүнийг тооцоолуур ашиглан хийдэг.
Гурвалжны координатууд өгөгдсөн: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Вектор координат
Бид векторуудын координатыг томъёогоор олно.
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Жишээлбэл, AB векторын хувьд

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
МЭӨ(-2;2)
2) Вектор модулиуд

3) Шулуун шугамын хоорондох өнцөг
a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) векторуудын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олно.

Үүнд: a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
AB ба AC талуудын хоорондох өнцгийг ол

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Вектор проекц
Вектор проекц бвектор руу атомъёог ашиглан олж болно:

АВ векторын АС вектор дээрх проекцийг олъё

5) Гурвалжны талбай



Шийдэл


Томьёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

6) Энэ хамаарал дахь сегментийн хуваагдал
АВ сегментийг AA:AB = m 1:m 2 харьцаагаар хуваах А цэгийн r радиус векторыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

А цэгийн координатыг дараах томъёогоор олно.




Гурвалжны медианы тэгшитгэл
ВС талын дунд хэсгийг М үсгээр тэмдэглэе. Дараа нь хэрчмийг хагасаар хуваах томъёог ашиглан М цэгийн координатыг олно.


М(0;-1)
Бид хоёрыг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог ашиглан медиан AM-ийн тэгшитгэлийг олно. оноо өгсөн. Дундаж AM нь A(2;1) ба M(0;-1) цэгүүдээр дамждаг тул:

эсвэл

эсвэл
y = x -1 эсвэл y -x +1 = 0
7) Шугамын тэгшитгэл


AB шугамын тэгшитгэл

эсвэл

эсвэл
y = 3x -5 эсвэл y -3x +5 = 0
АС шугамын тэгшитгэл

эсвэл

эсвэл
y = 1/3 x + 1/3 эсвэл 3y -x - 1 = 0
BC шугамын тэгшитгэл

эсвэл

эсвэл
y = -x -1 эсвэл y + x +1 = 0
8) А оройноос татсан гурвалжны өндрийн урт
M 1 (x 1 ;y 1) цэгээс Ax + By + C = 0 шулуун шугам хүртэлх d зай нь хэмжигдэхүүний абсолют утгатай тэнцүү байна.

A(2;1) цэг ба ВС шулууны хоорондох зайг ол (y + x +1 = 0)

9) С оройгоор дамжин өнгөрөх өндрийн тэгшитгэл
M 0 (x 0 ;y 0) цэгийг дайран өнгөрөх ба шулуун шугамд перпендикуляр Ax + By + C = 0 шулуун нь чиглэлийн вектор (A;B) байх тул тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ.


Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар олж болно. Үүний тулд AB шулуун шугамын k 1 налууг олъё.
AB тэгшитгэл: y = 3x -5, өөрөөр хэлбэл. k 1 = 3
Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцлөөс перпендикулярын өнцгийн коэффициент k-ийг олъё: k 1 *k = -1.
Энэ шугамын налууг k 1-ийн оронд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
3k = -1, эндээс k = -1 / 3
Перпендикуляр нь C(-1,0) цэгийг дайран өнгөрч, k = -1 / 3 байх тул бид түүний тэгшитгэлийг y-y 0 = k(x-x 0) хэлбэрээр хайна.
x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
эсвэл
y = -1/3 x - 1/3
Гурвалжин биссектрисын тэгшитгэл
А өнцгийн биссектрисаг олъё.ВС талтай биссектриса огтлолцох цэгийг M гэж тэмдэглэе.
Томьёог ашиглая:

AB тэгшитгэл: y -3x +5 = 0, хувьсах гүйдлийн тэгшитгэл: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Биссектриса нь өнцгийг хагасаар хуваадаг тул NAK өнцөг ≈ 26.5 0 байна
AB-ийн налуу нь 3-тай тэнцүү байна (y -3x +5 = 0 тул). Налуу өнцөг нь 72 байна
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0) = 1
Биссектрис нь A(2,1) цэгийг дайран өнгөрч, томъёог ашиглан бид:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
эсвэл
y=x-1
Татаж авах

Жишээ. ABC гурвалжны оройн координатууд өгөгдсөн: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Шаардлагатай: 1) онгоцны хажуугийн уртыг тооцоолох; 2) BC талын тэгшитгэлийг бий болгох; 3) олох дотоод буланВ орой дээрх гурвалжин; 4) А оройноос татсан АК өндрийн тэгшитгэл зохиох; 5) нэгэн төрлийн гурвалжны хүндийн төвийн координатыг олох (түүний медиануудын огтлолцох цэгүүд); 6) координатын системд зураг зурах.

Дасгал хийх. ABC гурвалжны оройнуудын координатууд өгөгдсөн: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Шаардлагатай:

1. В оройноос зурсан медианы тэгшитгэлийг бичээд уртыг нь тооцоол.
2. А оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг бичээд уртыг нь тооцоол.
3. ABC гурвалжны В дотоод өнцгийн косинусыг ол.

Зураг зурах.

Шийдэл татаж авах

Жишээ №3. Гурвалжны A(1;1), B(7;4), C(4;5) оройнууд өгөгдсөн. Олно: 1) AB талын урт; 2) 0.001 нарийвчлалтай радиан дахь дотоод өнцөг А. Зураг зурах.
Татаж авах

Жишээ № 4. Гурвалжны A(1;1), B(7;4), C(4;5) оройнууд өгөгдсөн. Олно: 1) С оройгоор татсан өндрийн тэгшитгэл; 2) С оройгоор зурсан медианы тэгшитгэл; 3) гурвалжны өндрийн огтлолцох цэг; 4) оройгоос буулгасан өндрийн урт C. Зураг зур.
Татаж авах

Жишээ №5. ABC гурвалжны оройнууд өгөгдсөн: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Тодорхойлно: 1) AB талын урт; 2) AB ба АС талуудын тэгшитгэл ба тэдгээрийн өнцгийн коэффициент; 3) гурвалжны талбай.

Бид векторуудын координатыг дараах томъёогоор олно: X = x j - x i ; Y = y j - y i
Энд X,Y координатуудвектор; x i, y i - A i цэгийн координатууд; x j, y j - A j цэгийн координатууд
Жишээлбэл, AB векторын хувьд
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Гурвалжны талуудын урт
a(X;Y) векторын уртыг координатаар нь дараах томъёогоор илэрхийлнэ.


Гурвалжны талбай
A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) цэгүүдийг гурвалжны оройнууд гэж үзвэл түүний талбайг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Баруун талд хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч байдаг. Гурвалжны талбай үргэлж эерэг байдаг.
Шийдэл. А-г эхний орой болгон авбал бид дараахыг олно.

Томьёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Шугамын тэгшитгэл
A 1 (x 1 ; y 1) ба A 2 (x 2 ; y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

AB шугамын тэгшитгэл
Шугамын каноник тэгшитгэл:

эсвэл

эсвэл
y = -3 / 4 x -15 / 4 эсвэл 4y + 3x +15 = 0
AB шулуун шугамын налуу нь k = -3 / 4-тэй тэнцүү байна
АС шугамын тэгшитгэл

эсвэл

эсвэл
y = 13/16 x + 65/16 эсвэл 16y -13x - 65 = 0
AB шулуун шугамын налуу нь k = 13 / 16-тай тэнцүү байна

Дасгал хийх. ABCD пирамидын оройнуудын координатыг өгөв. Шаардлагатай:

1. Ort систем дэх векторуудыг бичээд эдгээр векторуудын модулийг ол.
2. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол.
3. Вектор дээрх векторын проекцийг ол.
4. ABC нүүрний талбайг ол.
5. ABCD пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл
Жишээ №1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Жишээ № 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Жишээ №3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Жишээ № 4

Дасгал хийх. x + y -5 = 0 ба x + 4y - 8 = 0 шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг ол.
Шийдвэрлэх зөвлөмж. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн үйлчилгээг ашиглан асуудлыг шийддэг.
Хариулах: 30.96 o

Жишээ №1. A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) цэгүүдийн координатыг өгөв. A1A2 ирмэгийн уртыг ол. A1A4 ирмэг ба A1A2A3 нүүрний тэгшитгэлийг бич. А4 цэгээс A1A2A3 хавтгайд буулгасан өндрийн тэгшитгэлийг зохио. A1A2A3 гурвалжны талбайг ол. A1A2A3A4 гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг ол.

Бид векторуудын координатыг дараах томъёогоор олно: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
энд векторын X,Y,Z координатууд; x i, y i, z i - A i цэгийн координатууд; x j, y j, z j - A j цэгийн координат;
Тиймээс, A 1 A 2 векторын хувьд тэдгээр нь дараах байдалтай байна.
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1 ; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
a(X;Y;Z) векторын уртыг координатаар нь дараах томъёогоор илэрхийлнэ.