"Эсрэг дериватив функц. Функцийн график" сэдэвт хичээл, танилцуулга.
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт сургалтын хэрэглэгдэхүүн, симуляторууд
Параметртэй алгебрийн бодлого, 9-11-р анги
"10, 11-р ангийн сансарт барих интерактив даалгавар"
Эсрэг дериватив функц. Танилцуулга
Залуус аа, та функцүүдийн деривативыг хэрхэн олохыг мэддэг янз бүрийн томъёоболон дүрэм. Өнөөдөр бид деривативыг тооцоолох урвуу үйлдлийг судлах болно. Дериватив гэсэн ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг бодит амьдрал. Танд сануулъя: дериватив нь тодорхой цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурд юм. Хөдөлгөөн ба хурдтай холбоотой үйл явцыг эдгээр нэр томъёонд маш сайн дүрсэлсэн байдаг.Энэ асуудлыг авч үзье: “Шулуун замаар хөдөлж буй биетийн хурдыг $V=gt$ томьёогоор тодорхойлно.Хөдөлгөөний хуулийг сэргээх шаардлагатай.
Шийдэл.
Бид томьёог сайн мэднэ: $S"=v(t)$, S нь хөдөлгөөний хууль юм.
Бидний даалгавар бол уламжлал нь $gt$-тэй тэнцүү $S=S(t)$ функцийг олох явдал юм. Анхааралтай ажиглавал $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ гэдгийг тааж болно.
Энэ асуудлын шийдлийн зөв эсэхийг шалгая: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Функцийн деривативыг мэдсэнээр бид функцийг өөрөө олсон, өөрөөр хэлбэл урвуу үйлдлийг гүйцэтгэсэн.
Гэхдээ энэ тал дээр анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Бидний асуудлыг шийдэхийн тулд бид олсон функцэд ямар нэгэн тоо (тогтмол) нэмбэл деривативын утга өөрчлөгдөхгүй: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Залуус аа, анхаарлаа хандуулаарай: бидний асуудал хязгааргүй олон шийдэлтэй!
Хэрэв асуудал нь эхний эсвэл өөр нөхцөлийг заагаагүй бол шийдэлд тогтмол нэмэхээ бүү мартаарай. Жишээлбэл, бидний даалгавар нь хөдөлгөөний хамгийн эхэнд бидний биеийн байрлалыг зааж өгч болно. Дараа нь үүссэн тэгшитгэлд тэгийг орлуулах замаар тогтмолыг тооцоолоход хэцүү биш бөгөөд бид тогтмолын утгыг авна.
Энэ ажиллагааг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Дифференциалын урвуу үйлдлийг интеграл гэж нэрлэдэг.
Өгөгдсөн деривативаас функцийг олох - интеграл.
Функцийг өөрөө эсрэг дериватив, өөрөөр хэлбэл функцийн деривативыг олж авсан дүрс гэж нэрлэнэ.
Эсрэг деривативыг $y=F"(x)=f(x)$ том үсгээр бичдэг заншилтай.
Тодорхойлолт. $y=F(x)$ функцийг X интервал дээрх $у=f(x)$ функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэнэ. Хэрэв ямар нэгэн $хϵХ$-ийн хувьд $F'(x)=f(x)$ тэнцүү байвал .
Төрөл бүрийн функцүүдийн эсрэг деривативуудын хүснэгтийг хийцгээе. Үүнийг сануулах хэлбэрээр хэвлэж, цээжлэх хэрэгтэй.
Манай хүснэгтэд эхний нөхцөлийг заагаагүй болно. Энэ нь хүснэгтийн баруун талд байгаа илэрхийлэл бүр дээр тогтмол нэмэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Бид энэ дүрмийг дараа нь тодруулах болно.
Эсрэг деривативыг олох дүрэм
Антидеривативуудыг олоход туслах хэдэн дүрмийг бичье. Тэд бүгдээрээ ялгах дүрэмтэй төстэй.Дүрэм 1. Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Жишээ.
$y=4x^3+cos(x)$ функцийн эсрэг деривативыг ол.
Шийдэл.
Нийлбэрийн эсрэг дериватив нь эсрэг деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү бол бид танилцуулсан функц бүрийн эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тэгвэл анхны функцийн эсрэг дериватив нь: $y=x^4+sin(x)$ эсвэл $y=x^4+sin(x)+C$ хэлбэрийн аль нэг функц болно.
Дүрэм 2. Хэрэв $F(x)$ нь $f(x)$-ын эсрэг дериватив бол $k*F(x)$ нь $k*f(x)$ функцийн эсрэг дериватив болно.(Бид коэффициентийг функц болгон хялбархан авч болно).
Жишээ.
Функцийн эсрэг деривативуудыг ол:
a) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
в) $y=(3x)^2+4x+5$.
Шийдэл.
a) $sin(x)$-ын эсрэг дериватив нь $cos(x)$-ийг хасна. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=-8cos(x)$.
B) $cos(x)$-ийн эсрэг дериватив нь $sin(x)$ байна. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) $x^2$-ын эсрэг дериватив нь $\frac(x^3)(3)$ байна. x-ийн эсрэг дериватив нь $\frac(x^2)(2)$ байна. 1-ийн эсрэг дериватив нь x юм. Дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив нь дараах хэлбэртэй болно: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
Дүрэм 3. Хэрэв $у=F(x)$ нь $y=f(x)$ функцийн эсрэг дериватив бол $y=f(kx+m)$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1) функц болно. )(k)* F(kx+m)$.
Жишээ.
Дараах функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол.
a) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac(x)(2))$.
в) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Шийдэл.
a) $cos(x)$-ийн эсрэг дериватив нь $sin(x)$ байна. Тэгвэл $y=cos(7x)$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ функц болно.
B) $sin(x)$-ын эсрэг дериватив нь $cos(x)$-ийг хасна. Тэгвэл $y=sin(\frac(x)(2))$ функцийн эсрэг дериватив нь $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) функц болно. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) $x^3$-ын эсрэг дериватив нь $\frac(x^4)(4)$, дараа нь анхны функцийн эсрэг дериватив $y=-\frac(1)(2)*\frac((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Илэрхийлэлийг $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ зэрэгт бага зэрэг хялбарчил.
Экспоненциал функцийн эсрэг дериватив нь экспоненциал функц өөрөө юм. Анхны функцийн эсрэг дериватив нь $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac байх болно. (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Теорем. Хэрэв $y=F(x)$ нь X интервал дээрх $y=f(x)$ функцийн эсрэг дериватив бол $y=f(x)$ функц нь хязгааргүй олон эсрэг деривативтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд $y=F( x)+С$ хэлбэр.
Хэрэв дээр дурдсан бүх жишээн дээр бүх эсрэг деривативуудын багцыг олох шаардлагатай байсан бол тогтмол C-г хаа сайгүй нэмэх хэрэгтэй.
$y=cos(7x)$ функцийн хувьд бүх эсрэг деривативууд дараах хэлбэртэй байна: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
$y=(-2x+3)^3$ функцийн хувьд бүх эсрэг деривативууд дараах хэлбэртэй байна: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.
Жишээ.
Хугацааны явцад биеийн хурд өөрчлөгдөх хуулийг $v=-3sin(4t)$ өгснөөр тухайн биеийн анхны агшинд координаттай тэнцүү байсан бол $S=S(t)$ хөдөлгөөний хуулийг ол. 1.75.
Шийдэл.
$v=S’(t)$ тул өгөгдсөн хурдны эсрэг деривативыг олох хэрэгтэй.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Энэ асуудалд нэмэлт нөхцөл өгөгдсөн - цаг хугацааны эхний мөч. Энэ нь $t=0$ гэсэн үг.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Дараа нь хөдөлгөөний хуулийг $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$ томъёогоор тодорхойлно.
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
1. Функцийн эсрэг деривативуудыг ол:a) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
в) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Дараах функцүүдийн эсрэг деривативуудыг ол.
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Биеийн хурд $v=4cos(6t)$ цаг хугацааны хувьд өөрчлөгдөх өгөгдсөн хуулийн дагуу тухайн бие цаг хугацааны анхны агшинд000:00:0000000000000000:00:0000000000000000000000:00:00:000000000000000000000000000000:00:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000:00:00-ын дагуу хөдөлгөөний хуулийг ол. координат 2-той тэнцүү.
Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй интеграл
Баримт 1. Интеграл гэдэг нь дифференциалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, энэ функцийн мэдэгдэж буй деривативаас функцийг сэргээх явдал юм. Ингэснээр функц сэргээгдсэн Ф(x) гэж нэрлэдэг эсрэг деривативфункцийн хувьд е(x).
Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэг Ф(x е(x) тодорхой интервалаар X, хэрэв бүх утгын хувьд xЭнэ интервалаас тэгш байдал хадгалагдана Ф "(x)=е(x), өөрөөр хэлбэл энэ функц е(x) нь эсрэг дериватив функцийн дериватив юм Ф(x). .
Жишээлбэл, функц Ф(x) = нүгэл x функцийн эсрэг дериватив юм е(x) = cos x бүх тооны шулуун дээр, учир нь x-ийн дурын утгын хувьд (нүгэл x)" = (cos x) .
Тодорхойлолт 2. Функцийн тодорхойгүй интеграл е(x) нь түүний бүх эсрэг деривативуудын багц юм. Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана
∫
е(x)dx
,тэмдэг хаана байна ∫ интеграл тэмдэг, функц гэж нэрлэдэг е(x) – интеграл функц, ба е(x)dx - интеграл илэрхийлэл.
Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив е(x), Тэр
∫
е(x)dx = Ф(x) +C
Хаана C - дурын тогтмол (тогтмол).
Функцийн эсрэг деривативуудын багцын утгыг тодорхойгүй интеграл гэж ойлгохын тулд дараах зүйрлэл тохиромжтой. Хаалга байх болтугай (уламжлалт модон хаалга). Үүний үүрэг бол "хаалга байх" юм. Хаалга юугаар хийгдсэн бэ? Модоор хийсэн. Энэ нь "хаалга байх" функцийн интегралын эсрэг деривативуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойгүй интеграл нь "мод байх + C" функц байна гэсэн үг бөгөөд C нь тогтмол бөгөөд энэ нөхцөлд үүнийг хийж болно. жишээлбэл, модны төрлийг заана. Хаалгыг зарим багаж ашиглан модоор хийдэгтэй адил функцийн деривативыг ашиглан эсрэг дериватив функцээс "бүтээдэг". деривативыг судалж байхдаа бидний сурсан томъёо .
Дараа нь нийтлэг объектуудын функцын хүснэгт ба тэдгээрийн харгалзах эсрэг деривативууд ("хаалга байх" - "мод байх", "халбага байх" - "төмөр байх" гэх мэт) нь үндсэн хүснэгттэй төстэй байна. тодорхойгүй интегралуудыг доор өгөв. Тодорхой бус интегралын хүснэгтэд эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг деривативуудыг харуулсан нийтлэг функцуудыг жагсаав. Тодорхой бус интегралыг олох асуудлын нэг хэсэгт маш их хүчин чармайлтгүйгээр шууд интегралд оруулах боломжтой, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын хүснэгтийг ашиглан интегралуудыг өгдөг. Илүү төвөгтэй бодлогод хүснэгтийн интегралыг ашиглахын тулд эхлээд интегралыг хувиргах ёстой.
Баримт 2. Функцийг эсрэг дериватив болгон сэргээхдээ бид дурын тогтмол (тогтмол)-ыг харгалзан үзэх ёстой. C, мөн 1-ээс хязгааргүй хүртэлх янз бүрийн тогтмолтой эсрэг деривативуудын жагсаалтыг бичихгүйн тулд дурын тогтмолтой эсрэг деривативуудын багц бичих хэрэгтэй. C, жишээ нь: 5 x³+C. Тиймээс эсрэг дериватив нь функц байж болох тул дурын тогтмол (тогтмол) нь эсрэг деривативын илэрхийлэлд орсон болно, жишээлбэл, 5 x³+4 эсвэл 5 x³+3, ялгах үед 4 эсвэл 3 эсвэл бусад тогтмол нь тэг болно.
Энэ функцийн хувьд интеграцийн асуудлыг тавьцгаая е(x) ийм функцийг ол Ф(x), хэний деривативтэнцүү байна е(x).
Жишээ 1.Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол
Шийдэл. Энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив нь функц юм
Чиг үүрэг Ф(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг е(x), хэрэв дериватив бол Ф(x) тэнцүү байна е(x), эсвэл ижил зүйл болох дифференциал Ф(x) тэнцүү байна е(x) dx, өөрөөр хэлбэл
(2)
Тиймээс функц нь функцийн эсрэг дериватив юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц эсрэг дериватив биш юм. Тэд бас үүрэг гүйцэтгэдэг
Хаана ХАМТ- дурын тогтмол. Үүнийг ялгах замаар баталгаажуулж болно.
Тиймээс, хэрэв функцэд нэг эсрэг дериватив байгаа бол түүний хувьд тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай хязгааргүй тооны эсрэг дериватив байдаг. Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг дээрх хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь дараах теоремоос үүдэлтэй.
Теорем (баримт 2-ын албан ёсны мэдэгдэл).Хэрэв Ф(x) – функцийн эсрэг дериватив е(x) тодорхой интервалаар X, дараа нь бусад ямар ч эсрэг дериватив е(x) ижил интервал дээр хэлбэрээр илэрхийлж болно Ф(x) + C, Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.
Дараагийн жишээнд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын дараа 3-р зүйлд өгөгдсөн интегралын хүснэгт рүү шилждэг. Дээрх зүйлийн мөн чанар тодорхой байхын тулд бид хүснэгтийг бүхэлд нь уншихаас өмнө үүнийг хийдэг. Хүснэгт болон шинж чанаруудын дараа бид нэгтгэх явцад тэдгээрийг бүхэлд нь ашиглах болно.
Жишээ 2.Эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг ол:
Шийдэл. Бид эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг олдог. Интегралын хүснэгтээс томьёог дурдахдаа одоохондоо ийм томьёо байдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч, тодорхой бус интегралын хүснэгтийг өөрөө бага зэрэг судлах болно.
1) Интегралын хүснэгтээс (7) томъёог ашиглана n= 3, бид олж авна
2) Интегралын хүснэгтээс (10) томъёог ашиглана n= 1/3, бидэнд байна
3) Түүнээс хойш
дараа нь (7) томъёоны дагуу n= -1/4 бид олдог
Энэ нь интеграл тэмдгийн доор бичигдсэн функц өөрөө биш юм. е, мөн дифференциалаар түүний бүтээгдэхүүн dx. Энэ нь үндсэндээ эсрэг деривативыг аль хувьсагчаар хайж байгааг харуулахын тулд хийгддэг. Жишээ нь,
,
;
Энд хоёр тохиолдолд интеграл нь -тэй тэнцүү боловч авч үзсэн тохиолдолд түүний тодорхойгүй интегралууд өөр байна. Эхний тохиолдолд энэ функцийг хувьсагчийн функц гэж үзнэ x, хоёрдугаарт - функцээр z .
Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйл явцыг тухайн функцийг интегралдах гэж нэрлэдэг.
Тодорхой бус интегралын геометрийн утга
Бид муруй олох хэрэгтэй гэж бодъё y=F(x)Мөн түүний цэг тус бүрийн шүргэгч өнцгийн тангенс нь өгөгдсөн функц гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн f(x)энэ цэгийн абсцисса.
дагуу геометрийн мэдрэмждериватив, муруйн өгөгдсөн цэг дэх шүргэгч өнцгийн тангенс y=F(x) утгатай тэнцүү байнадериватив F"(x). Тиймээс бид ийм функцийг олох хэрэгтэй F(x), үүний төлөө F"(x)=f(x). Даалгаварт шаардлагатай функц F(x)-ийн эсрэг дериватив юм f(x). Асуудлын нөхцлийг нэг муруй биш, харин муруйн гэр бүл хангадаг. y=F(x)- эдгээр муруйнуудын аль нэгийг, мөн өөр ямар ч муруйг тэнхлэгийн дагуу параллель хөрвүүлэх замаар олж авч болно Өө.
-ийн эсрэг дериватив функцийн графикийг нэрлэе f(x)интеграл муруй. Хэрэв F"(x)=f(x), дараа нь функцийн график y=F(x)интеграл муруй байна.
Баримт 3. Тодорхой бус интеграл нь геометрийн хувьд бүх интеграл муруйн бүлгээр илэрхийлэгдэнэ. , доорх зурган дээрх шиг. Муруй бүрийн координатын гарал үүслийн зайг дурын интеграцийн тогтмолоор тодорхойлно C.
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд
Баримт 4. Теорем 1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай, дифференциал нь интегралтай тэнцүү.
Баримт 5. Теорем 2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл е(x) функцтэй тэнцүү байна е(x) тогтмол хугацаа хүртэл , өөрөөр хэлбэл
(3)
1 ба 2-р теоремууд нь дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдлүүд гэдгийг харуулж байна.
Баримт 6. Теорем 3. Интеграл дахь тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно. , өөрөөр хэлбэл
Эсрэг дериватив.
Эсрэг деривативыг жишээгээр ойлгоход хялбар байдаг.
Функцийг авч үзье у = x 3. Өмнөх хэсгүүдээс бидний мэдэж байгаагаар дериватив X 3 бол 3 X 2:
(X 3)" = 3X 2 .
Тиймээс функцээс у = x 3 бид шинэ функцтэй болно: цагт = 3X 2 .
Дүрсээр хэлбэл функц цагт = X 3 үйлдвэрлэсэн функц цагт = 3X 2 бөгөөд түүний "эцэг эх" юм. Математикт "эцэг эх" гэсэн үг байдаггүй, гэхдээ үүнтэй холбоотой ойлголт байдаг: эсрэг дериватив.
Энэ нь: функц у = x 3 нь функцийн эсрэг дериватив юм цагт = 3X 2 .
Антидеривативын тодорхойлолт:
Бидний жишээнд ( X 3)" = 3X 2 тиймээс у = x 3 – эсрэг дериватив цагт = 3X 2 .
Интеграци.
Өгөгдсөн функцийн деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Мөн урвуу үйлдлийг интеграл гэж нэрлэдэг.
Жишээ-тайлбар:
цагт = 3X 2 + нүгэл x.
Шийдэл:
3-ын эсрэг дериватив гэдгийг бид мэднэ X 2 нь X 3 .
Нүглийн эсрэг дериватив xнь – cos x.
Бид хоёр эсрэг деривативыг нэмээд өгөгдсөн функцийн эсрэг деривативыг авна.
у = x 3 + (–cos x),
у = x 3 - учир нь x.
Хариулт:
функцийн хувьд цагт = 3X 2 + нүгэл x у = x 3 - учир нь x.
Жишээ-тайлбар:
Функцийн эсрэг деривативыг олцгооё цагт= 2 нүгэл x.
Шийдэл:
Бид k = 2 гэдгийг тэмдэглэж байна. Нүглийн эсрэг дериватив xнь – cos x.
Тиймээс функцийн хувьд цагт= 2 нүгэл xэсрэг дериватив нь функц юм цагт= –2cos x.
y = 2 sin функц дэх коэффициент 2 xЭнэ функц үүссэн антидеривативын коэффициенттэй тохирч байна.
Жишээ-тайлбар:
Функцийн эсрэг деривативыг олцгооё y= нүгэл 2 x.
Шийдэл:
Бид үүнийг анзаарч байна к= 2. Нүглийн эсрэг дериватив xнь – cos x.
Функцийн эсрэг деривативыг олохын тулд бид томъёогоо ашиглана y= cos 2 x:
1
y= - · (–cos 2 x),
2
cos 2 x
y = – ----
2
cos 2 x
Хариулт: функцийн хувьд y= нүгэл 2 xэсрэг дериватив нь функц юм y = – ----
2
(4)
Жишээ-тайлбар.
Өмнөх жишээн дээрх функцийг авч үзье: y= нүгэл 2 x.
Энэ функцийн хувьд бүх антидеривативууд дараах хэлбэртэй байна.
cos 2 x
y = – ---- + C.
2
Тайлбар.
Эхний мөрийг авч үзье. Энэ нь дараах байдалтай байна: хэрэв функц y = f( x) нь 0 бол түүний эсрэг дериватив нь 1. Яагаад? Учир нь нэгдлийн дериватив нь тэг: 1" = 0.
Үлдсэн мөрүүдийг ижил дарааллаар уншина.
Хүснэгтээс өгөгдлийг хэрхэн бичих вэ? Наймдугаар мөрийг авч үзье:
(-cos x)" = нүгэл x
Бид хоёр дахь хэсгийг дериватив тэмдгээр бичээд дараа нь тэнцүү тэмдэг, деривативыг бичнэ.
Бид уншдаг: нүгэл функцийн эсрэг дериватив xнь -cos функц юм x.
Эсвэл: функц -cos x sin функцийн эсрэг дериватив юм x.
Прототип. Сайхан үг.) Нэгдүгээрт, бага зэрэг орос хэл. Энэ үг яг ингэж дуудагддаг болохоос биш "прототип" , энэ мэт санагдаж болох юм. Эсрэг дериватив - үндсэн ойлголтбүх интеграл тооцооллын . Аливаа интегралууд - тодорхойгүй, тодорхой (та энэ семестрт тэдэнтэй танилцах болно), давхар, гурвалсан, муруй, гадаргуу (мөн эдгээр нь аль хэдийн хоёр дахь жилийн гол дүрүүд юм) - үүн дээр бүтээгдсэн болно. гол ойлголт. Мастер байх нь бүрэн утга учиртай. Явцгаая.)
Эсрэг деривативын тухай ойлголттой танилцахаас өмнө эхлээд үзье ерөнхий тоймхамгийн нийтлэг нэгийг нь санацгаая дериватив. Хязгаарлалт, аргументын өсөлт болон бусад зүйлсийн уйтгартай онолыг судлахгүйгээр бид дериватив (эсвэл) олох гэж хэлж болно. ялгах) нь зүгээр л математикийн үйлдэл юм функц. Ингээд л болоо. Аливаа функцийг авдаг (жишээлбэл, f(x) = x2) Мөн тодорхой дүрмийн дагууболж хувирдаг шинэ онцлог. Мөн энэ нь нэг юм шинэ онцлоггэж нэрлэдэг дериватив.
Манай тохиолдолд ялгахын өмнө функц байсан f(x) = x2, мөн ялгасны дараа аль хэдийн болсон бусад функц f’(x) = 2x.
Дериватив– Учир нь бидний шинэ функц f’(x) = 2x болсонфункцээс f(x) = x2. Ялгаварлах үйл ажиллагааны үр дүнд . Түүнээс биш, харин өөр функцээс биш ( x 3, Жишээ нь).
Бүдүүлэг хэлэхэд, f(x) = x2- энэ бол ээж, мөн f’(x) = 2x- түүний хайртай охин.) Энэ нь ойлгомжтой. Үргэлжлүүлье.
Математикчид бол тайван бус хүмүүс юм. Үйлдэл болгондоо тэд хариу үйлдэл хийхийг хичээдэг. :) Нэмэлт байна - хасах бас байна. Үржүүлэх гэж байна, хуваах гэж байна. Эрх мэдэлд хүрэх нь үндсийг нь гаргаж авах явдал юм. Синус - арксинус. Яг адилхан ялгах- энэ нь байна гэсэн үг ... интеграци.)
Одоо нэгэн сонирхолтой асуудал дэвшүүлье. Жишээлбэл, бидэнд ийм энгийн функц байдаг f(x) = 1. Мөн бид энэ асуултанд хариулах хэрэгтэй:
WHAT функцийн дериватив нь бидэнд функцийг өгдөге(x) = 1?
Өөрөөр хэлбэл, охиноо хараад ДНК-ийн шинжилгээг ашиглан ээжийг нь хэн болохыг олж мэднэ. :) Тэгэхээр аль нь вэ? эхфункц (үүнийг F(x) гэж нэрлэе) бидний деривативфункц f(x) = 1? Эсвэл математик хэлбэрээр, үүний төлөө F(x) функц нь дараах тэгш байдлыг хангана.
F’(x) = f(x) = 1?
Энгийн жишээ. Би оролдсон.) Бид зүгээр л F(x) функцийг сонгосноор тэгш байдал ажиллах болно. :) За олсон уу? Тийм ээ, мэдээж! F(x) = x. Учир нь:
F’(x) = x’ = 1 = f(x).
Мэдээжийн хэрэг, олдсон ээж F(x) = xБи үүнийг ямар нэг зүйл гэж нэрлэх хэрэгтэй байна, тиймээ.) Надтай уулзаарай!
Функцийн эсрэг деривативе(x) ийм функцийг дууддагФ(x), дериватив нь тэнцүү байнае(x), i.e. Үүний төлөө тэгш байдал бий болноФ’(x) = е(x).
Ингээд л болоо. Шинжлэх ухааны заль мэх байхгүй. Хатуу тодорхойлолтод нэмэлт хэллэг нэмж оруулсан болно "X интервал дээр". Гэхдээ бид эдгээр нарийн ширийн зүйлийг одоохондоо судлахгүй, учир нь бидний үндсэн ажил бол эдгээр анхдагч зүйлийг олж сурах явдал юм.
Манай тохиолдолд функц нь харагдаж байна F(x) = xбайна эсрэг деривативфункцийн хувьд f(x) = 1.
Яагаад? Учир нь F’(x) = f(x) = 1. x-ийн дериватив нь нэг юм. Эсэргүүцэл байхгүй.)
"Прототип" гэсэн нэр томъёо нь нийтлэг хэллэгээр "өвөг дээдэс", "эцэг эх", "өвөг" гэсэн утгатай. Бид хамгийн хайртай хүнээ тэр даруй санаж байна хайртай хүн.) Мөн эсрэг деривативыг хайх нь өөрөө анхны функцийг сэргээх явдал юм мэдэгдэж байгаа деривативаар. Өөрөөр хэлбэл, энэ үйлдэл ялгах урвуу. Ингээд л болоо! Энэхүү сэтгэл татам үйл явцыг шинжлэх ухааны үүднээс бас нэрлэдэг. интеграци. Гэхдээ тухай интеграл- Дараа. Тэвчээртэй байгаарай, найзууд аа!)
Санаж байна уу:
Интеграци гэдэг нь функц дээр математикийн үйлдэл юм (ялгаалах гэх мэт).
Интеграци гэдэг нь ялгахын урвуу үйлдэл юм.
Эсрэг дериватив нь интеграцийн үр дүн юм.
Одоо даалгавраа хүндрүүлье. Одоо функцийн эсрэг деривативыг олъё f(x) = x. Энэ нь бид олох болно гэсэн үг юм ийм функц F(x) , руу түүний дериватив X-тэй тэнцүү байх болно:
F'(x) = x
Деривативын талаар сайн мэддэг хүн дараахь зүйлийг санагдуулна.
(x 2)’ = 2x.
За, деривативын хүснэгтийг санаж байгаа хүмүүст хүндэтгэл, хүндэтгэл!) Энэ нь зөв юм. Гэхдээ нэг асуудал байна. Бидний анхны функц f(x) = x, А (x 2)’ = 2 x. Хоёр X. Тэгээд ялгасны дараа бид авах ёстой зүгээр л x. Өнхрөхгүй. Гэхдээ…
Та бид хоёр эрдэмтэй ард түмэн. Бид гэрчилгээгээ авсан.) Мөн сургуулиасаа аливаа тэгш байдлын хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлж, хувааж болно гэдгийг мэддэг (мэдээж тэгээс бусад)! Ингээд л болоо зохион байгуулсан. Тиймээс энэ боломжийг өөрсдөдөө ашигтайгаар ашиглацгаая.)
Бид цэвэр X-г баруун талд үлдээхийг хүсч байна, тийм ээ? Гэвч энэ хоёр саад болж байна... Тиймээс бид дериватив (x 2)’ = 2x-ийн харьцааг аваад хуваана. түүний хоёр хэсэгэнэ хоёрт:
Тэгэхээр ямар нэг зүйл аль хэдийн тодорхой болж байна. Үргэлжлүүлье. Ямар ч тогтмол байж болно гэдгийг бид мэднэ үүсмэлийг тэмдгээс гарга.Үүнтэй адил:
Математикийн бүх томъёо нь зүүнээс баруун тийш, эсрэгээр баруунаас зүүн тийш ажилладаг. Энэ нь ижил амжилтанд хүрсэн тохиолдолд ямар ч тогтмол байж болно гэсэн үг юм дериватив тэмдгийн доор оруулах:
Манай тохиолдолд бид хоёрыг хуваагч (эсвэл ижил зүйл болох 1/2 коэффициент) дериватив тэмдгийн дор нуудаг.
Тэгээд одоо анхааралтайБичлэгээ сайтар харцгаая. Бид юу харж байна вэ? -ийн дериватив гэдгийг илэрхийлсэн тэгш байдлыг бид харж байна ямар нэг зүйл(Энэ ямар нэг зүйл- хаалтанд) X-тэй тэнцүү.
Үүссэн тэгш байдал нь функцэд хүссэн эсрэг дериватив гэсэн үг юм f(x) = x функцийг гүйцэтгэдэг F(x) = x 2 /2 . Цус харвалтын дор хаалтанд байгаа нэг. Эсрэг деривативын утгаар шууд.) За, үр дүнг шалгая. Деривативыг олцгооё:
Гайхалтай! Анхны функцийг олж авлаа f(x) = x. Тэдний бүжиглэсэн зүйл нь тэд буцаж ирсэн зүйл юм. Энэ нь манай антидеривативыг зөв олсон гэсэн үг.)
Яах юм бол f(x) = x2? Үүний эсрэг дериватив нь юутай тэнцүү вэ? Асуулт байхгүй! Та бид хоёр (дахин ялгах дүрмээс) мэдэж байгаа:
3x 2 = (x 3)’
БА, тиймээс,
Ойлгосон уу? Одоо бид өөрсдийнхөө хувьд үл мэдэгдэх байдлаар антидеривативыг аль ч тохиолдолд тоолж сурсан чадлын функц f(x)=x n. Оюун ухаанд.) Анхны үзүүлэлтийг авна n, нэгээр өсгөж, нөхөн олговор болгон бүх бүтцийг хуваана n+1:
Үүний үр дүнд томъёо нь зөв юм зөвхөн төлөө биш байгалийн үзүүлэлт градус n, гэхдээ бас бусад аль ч хувьд - сөрөг, бутархай. Энэ нь энгийнээс эсрэг деривативуудыг олоход хялбар болгодог бутархайТэгээд үндэс.
Жишээ нь:
Мэдээжийн хэрэг, n ≠ -1 , эс бөгөөс томьёоны хуваагч тэг болж томьёо утгаа алддаг.) Энэ онцгой тохиолдлын тухай n = -1бага зэрэг дараа.)
Тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ? Интегралын хүснэгт.
Функцийн дериватив нь хэдтэй тэнцүү болохыг хэлье F(x) = x?За, нэг, нэг - Би сэтгэл хангалуун бус хариултуудыг сонсдог ... Тийм ээ. Нэгж. Гэхдээ... Функцийн хувьд G(x) = x+1дериватив бас нэгтэй тэнцүү байх болно:
Мөн дериватив нь функцийн нэгдэлтэй тэнцүү байх болно x+1234 , мөн функцийн хувьд х-10 , мөн маягтын бусад функцийн хувьд x+C , Хаана ХАМТ - аливаа тогтмол. Учир нь аливаа тогтмолын дериватив нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд тэгийг нэмэх/хасах нь хэнд ч хүйтэн, халуун мэдрэмж төрүүлдэггүй.)
Үүний үр дүнд хоёрдмол байдал үүсдэг. Функцийн хувьд энэ нь харагдаж байна f(x) = 1прототип болж үйлчилдэг зүгээр нэг функц биш F(x) = x , гэхдээ бас функц F 1 (x) = x+1234 болон функц F 2 (x) = x-10 гэх мэт!
Тиймээ. Яг тийм.) интервал дээр тасралтгүй) функц нь зөвхөн нэг эсрэг дериватив биш, харин хязгааргүй олон - бүхэл бүтэн гэр бүл! Зөвхөн нэг ээж эсвэл аав биш, харин бүхэл бүтэн гэр бүлийн мод, тийм ээ.)
Гэхдээ! Манай бүх эртний төрөл төрөгсөд нэг нийтлэг зүйл байдаг: чухал өмч. Тийм ч учраас тэд хамаатан садан.) Өмч нь маш чухал тул нэгтгэх арга техникийг шинжлэх явцад бид үүнийг нэгээс олон удаа санах болно. Бид үүнийг удаан хугацаанд санах болно.)
Энд байна, энэ өмч:
Дурын хоёр эсрэг дериватив Ф 1 (x) МөнФ 2 (x) ижил функцээсе(x) тогтмолоор ялгаатай:
Ф 1 (x) - Ф 2 (x) = С.
Хэрэв хэн нэгэн нотлохыг сонирхож байвал уран зохиол эсвэл лекцийн тэмдэглэлийг судлаарай.) За яахав, би үүнийг нотлох болно. Аз болоход, энд нотлох баримт нь энгийн, нэг алхам юм. Тэгш байдлыг авч үзье
Ф 1 (x) - Ф 2 (x) = C
Тэгээд Түүний хоёр хэсгийг ялгаж үзье.Өөрөөр хэлбэл, бид тэнэг байдлаар цус харвалт нэмдэг.
Ингээд л болоо. Тэдний хэлснээр CHT. :)
Энэ өмч нь юу гэсэн үг вэ? Мөн хоёр өөр антидеривативын тухай ижил функцээс f(x)ялгаатай байж болохгүй X тэмдэгтэй ямар нэгэн илэрхийлэл . Зөвхөн тогтмол дээр! Өөрөөр хэлбэл, бид ямар нэгэн цагийн хуваарьтай бол эхийн нэг(F(x) байг), дараа нь графикууд бусад бүх хүмүүсМанай эсрэг деривативуудыг y тэнхлэгийн дагуу F(x) графикийг параллель шилжүүлэх замаар бүтээдэг.
Жишээ функцийг ашиглан ямар харагдахыг харцгаая f(x) = x. Бидний аль хэдийн мэдэж байгаачлан түүний бүх командууд байдаг ерөнхий үзэл F(x) = x 2 /2+C . Зураг дээр ийм харагдаж байна хязгааргүй тооны парабол, тогтмолын утгаас хамаарч OY тэнхлэгийн дагуу дээш доош шилжих замаар “үндсэн” парабол y = x 2 /2-аас гарна. ХАМТ.
Функцийн сургуулийн графикийг санаарай y=f(x)+aхуваарийн ээлж y=f(x) Y тэнхлэгийн дагуух "a" нэгжээр үү?) Энд ижил зүйл байна.)
Түүнээс гадна анхаарлаа хандуулаарай: бидний параболууд хаана ч огтлолцож болохгүй!Энэ нь байгалийн юм. Эцсийн эцэст, y 1 (x) ба y 2 (x) хоёр өөр функц нь зайлшгүй тохирох болно. тогтмолын хоёр өөр утга – C 1Тэгээд C 2.
Иймд y 1 (x) = y 2 (x) тэгшитгэлд хэзээ ч шийд байдаггүй:
C 1 = C 2
x ∊ ∅ , учир нь C 1 ≠ C2
Одоо бид интеграл тооцооллын хоёр дахь тулгуур ойлголт руу аажмаар ойртож байна. Бидний сая тогтоосончлан аливаа f(x) функцийн хувьд F(x) + C эсрэг деривативуудын хязгааргүй олонлог байдаг бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ тогтмол тоогоор ялгаатай байдаг. Энэхүү хязгааргүй олонлог нь бас өөрийн гэсэн тусгай нэртэй байдаг.) За, хайрлаж, таашаана уу!
Тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ?
Функцийн бүх эсрэг деривативуудын багц е(x) гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интегралфункцээсе(x).
Энэ бол бүхэл бүтэн тодорхойлолт юм.)
"Тодорхойгүй" - учир нь ижил функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог эцэс төгсгөлгүй. Хэт олон янзын сонголт.)
"Интеграл" - бид энэ харгис үгийн нарийвчилсан тайлалтай дараагийн том хэсэгт танилцах болно. тодорхой интеграл. Одоогоор бүдүүлэг хэлбэрээр бид ямар нэг зүйлийг интеграл гэж үзэх болно ерөнхий, нэгдсэн, бүхэл бүтэн. Мөн интеграцчлалаар - холбоо, ерөнхий ойлголт, энэ тохиолдолд тусгай (үүсмэл) -ээс ерөнхий (эсрэг дериватив) руу шилжих. Иймэрхүү зүйл.
Тодорхой бус интегралыг дараах байдлаар тэмдэглэв.
Үүнийг бичсэнтэй ижил аргаар уншина: x de x-ээс интеграл ef. Эсвэл интеграл -аас x de x-ээс ef.За, чи ойлгож байна.)
Одоо тэмдэглэгээг харцгаая.
∫ - салшгүй дүрс.Утга нь деривативын үндсэн утгатай ижил байна.)
г - дүрсдифференциал. Бүү айцгаая! Яагаад хэрэгтэй байгаа нь арай доогуур байна.
f(x) - интеграл("s" -ээр дамжуулан).
f(x)dx - интеграл илэрхийлэл.Эсвэл ойролцоогоор хэлэхэд интегралыг "бөглөх".
Тодорхойгүй интегралын утгын дагуу,
Энд F(x)- адилхан эсрэг деривативфункцийн хувьд f(x)Бид ямар нэгэн байдлаар өөрсдөө олсон.Тэд яг яаж олсон нь гол асуудал биш юм. Жишээлбэл, бид үүнийг олж мэдсэн F(x) = x 2 /2Учир нь f(x)=x.
"ХАМТ" - дурын тогтмол.Эсвэл илүү шинжлэх ухааны хувьд, интеграл тогтмол. Эсвэл интеграцийн тогтмол.Бүх зүйл нэг юм.)
Одоо эсрэг дериватив олох анхны жишээнүүд рүүгээ буцъя. Тодорхой бус интегралын хувьд бид одоо аюулгүйгээр бичиж болно:
Интеграл тогтмол гэж юу вэ, яагаад хэрэгтэй вэ?
Асуулт их сонирхолтой байна. Мөн маш (МАШ!) чухал. Эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн хязгааргүй олонлогоос интеграл тогтмол нь шугамыг ялгадаг аль нь дамжин өнгөрдөг өгсөн оноо.
Ямар учиртай юм бэ? Анти деривативуудын анхны хязгааргүй багцаас (жишээ нь. тодорхойгүй интеграл) өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх муруйг сонгох хэрэгтэй. Заримтай нь тодорхой координатууд.Ийм даалгавар нь интегралтай анх танилцах үед үргэлж, хаа сайгүй тохиолддог. Сургуульд ч, их сургуульд ч.
Ердийн асуудал:
f=x функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогоос (2;2) цэгийг дайран өнгөрөхийг сонгоно уу.
Бид толгойгоо бодож эхэлдэг ... Бүх командуудын багц нь эхлээд бид хийх ёстой гэсэн үг юм бидний анхны функцийг нэгтгэх.Энэ нь x(x). Бид үүнийг арай өндөр болгоод дараах хариултыг авсан.
Одоо бидэнд яг юу байгааг олж мэдье. Бид зөвхөн нэг функцтэй биш, гэхдээ функцүүдийн бүхэл бүтэн гэр бүл.Яг аль нь вэ? Вида y=x 2 /2+C . Тогтмол C-ийн утгаас хамаарна. Тэгээд яг энэ тогтмолын утга нь бид одоо "барих" ёстой.) За, барьж эхэлцгээе?)
Манай загас бариул - муруйн гэр бүл (парабол) y=x 2 /2+C.
Тогтмолууд - эдгээр нь загас юм. Маш олон. Гэхдээ тус бүр өөрийн гэсэн дэгээ, өгөөштэй байдаг.)
Өгөөш нь юу вэ? Зөв! Бидний цэг (-2;2).
Тиймээс бид цэгийнхээ координатыг эсрэг деривативын ерөнхий хэлбэрт орлуулж байна! Бид авах:
y(2) = 2
Эндээс олоход амархан C=0.
Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүхэл бүтэн параболын төгсгөлгүй багцаас гэсэн үг юмy=x 2 /2+Cзөвхөн тогтмол C=0 параболбидэнд тохирсон! Тухайлбал:y=x 2 /2. Тэгээд зөвхөн түүнийг. Зөвхөн энэ парабола л бидэнд хэрэгтэй цэгээр дамжин өнгөрнө (-2; 2). Тэгээд доторМанай гэр бүлийн бусад бүх параболууд дамжин өнгөрдөг энэ цэг тэд цаашид байхгүй болно.Онгоцны бусад цэгүүдээр - тийм, гэхдээ (2; 2) цэгээр - цаашид байхгүй. Ойлгосон уу?
Тодорхой болгохын тулд энд хоёр зураг байна - параболын бүхэл бүтэн гэр бүл (жишээ нь тодорхойгүй интеграл) ба зарим нь тодорхой парабол, харгалзах тогтмолын тодорхой утгамөн дамжин өнгөрөх тодорхой цэг:
Тогтмолыг анхаарч үзэх нь ямар чухал болохыг та харж байна ХАМТнэгтгэх үед! Тиймээс энэ "С" үсгийг үл тоомсорлож, эцсийн хариулт дээр нэмэхээ бүү мартаарай.
Одоо тэмдэг яагаад интеграл дотор хаа сайгүй өлгөгдсөнийг олж мэдье dx . Оюутнууд үүнийг ихэвчлэн мартдаг ... Мөн энэ нь бас алдаа юм! Бас нэлээд бүдүүлэг. Гол санаа нь интеграл гэдэг нь ялгахын урвуу үйлдэл юм. Тэгээд яг юу вэ ялгах үр дүн? Дериватив? Үнэн, гэхдээ бүрэн биш. Дифференциал!
Манай тохиолдолд функцийн хувьд f(x)түүний эсрэг деривативын дифференциал F(x), болно:
Энэ гинжийг ойлгодоггүй хүмүүст дифференциалын тодорхойлолт, утгыг, яг яаж илчлэгдэж байгааг яаралтай давтан хэлээрэй! Тэгэхгүй бол интегралдаа хайр найргүй удаашрах болно...
Ямар ч f(x) функцын дифференциал нь ердөө л үржвэр гэдгийг хамгийн бүдүүлэг филист хэлбэрээр сануулъя. f'(x)dx. Ингээд л болоо! Деривативыг аваад үржүүлээрэй дифференциал аргумент руу(жишээ нь dx). Өөрөөр хэлбэл аливаа дифференциал нь үндсэндээ ердийн зүйлийг тооцоолоход хүргэдэг дериватив.
Тиймээс, хатуухан хэлэхэд интегралыг "аваагүй" функцууд f(x), нийтлэг итгэдэг шиг, болон дифференциал f(x)dx!Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар үүнийг хэлэх нь заншилтай байдаг "интеграл нь функцээс авсан". Эсвэл: "f функц нь нэгдсэн(x)". Энэ нь ижил зүйл юм.Мөн бид яг адилхан ярих болно. Гэхдээ тэмдгийн талаар dxМартахгүй байцгаая! :)
Одоо би бичлэг хийхдээ үүнийг хэрхэн мартаж болохгүйг танд хэлэх болно. Эхлээд та x хувьсагчтай холбоотой ердийн деривативыг тооцоолж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Та үүнийг ихэвчлэн яаж бичдэг вэ?
Үүнтэй адил: f’(x), y’(x), y’ x. Эсвэл илүү хатуу, дифференциал харьцаагаар дамжуулан: dy/dx. Эдгээр бүх бүртгэлүүд нь дериватив нь X-тэй яг холбоотой болохыг харуулж байна. Мөн "igrek", "te" эсвэл бусад хувьсагчаар биш.)
Интегралд мөн адил хамаарна. Бичлэг ∫ f(x)dxбид ч гэсэн шигинтеграци нарийн хийгдэж байгааг харуулж байна x хувьсагчаар. Мэдээжийн хэрэг, энэ бүхэн маш хялбаршуулсан бөгөөд бүдүүлэг боловч ойлгомжтой байх болно гэж найдаж байна. Мөн боломжууд мартбүх нийтийн оршихуйн шинж чанар dxогцом буурсан.)
Тиймээс бид тодорхойгүй интеграл гэж юу болохыг олж мэдсэн. Гайхалтай.) Одоо эдгээр тодорхойгүй интегралуудыг сурвал сайн байх болно тооцоолох. Эсвэл энгийнээр хэлбэл “ав”. :) Тэгээд энд оюутнуудыг хоёр мэдээ хүлээж байна - сайн, тийм ч сайн биш. Одоохондоо сайнаас эхэлцгээе.)
Мэдээ сайн байна. Интеграл болон деривативын хувьд өөрийн гэсэн хүснэгт байдаг. Мөн бидний замд таарах бүх интегралууд, тэр ч байтугай хамгийн аймшигтай, боловсронгуй зүйлүүд ч гэсэн бид тодорхой дүрмийн дагууЯмар нэг байдлаар бид үүнийг маш хүснэгт хэлбэрээр багасгах болно.)
Тэгэхээр тэр энд байна интегралын хүснэгт!
Энд хамгийн алдартай функцүүдийн интегралуудын ийм үзэсгэлэнтэй хүснэгт байна. Би 1-2 томъёоны бүлэгт онцгой анхаарал хандуулахыг зөвлөж байна (тогтмол ба чадлын функц). Эдгээр нь интегралд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм!
Гурав дахь бүлэг томьёо (тригонометр) нь таны таамаглаж байгаагаар деривативын харгалзах томьёог зүгээр л урвуугаар эргүүлэх замаар олж авдаг.
Жишээ нь:
Дөрөв дэх бүлгийн томъёогоор (экпоненциал функц) бүх зүйл ижил төстэй байна.
Энд бидний хувьд сүүлийн дөрвөн бүлэг томъёо (5-8) байна шинэ.Тэд хаанаас ирсэн бэ, эдгээр чамин функцууд үндсэн интегралуудын хүснэгтэд гэнэт орсон бэ? Эдгээр функцүүдийн бүлгүүд яагаад бусад функцээс ялгардаг вэ?
Түүхэн хөгжлийн явцад ийм л болсон нэгтгэх аргууд . Бид хамгийн олон төрлийн интегралуудыг авах дасгал хийх үед та хүснэгтэд жагсаасан функцүүдийн интегралууд маш олон удаа тохиолддог гэдгийг ойлгох болно. Математикчид тэдгээрийг хүснэгтэн хэлбэрээр ангилах нь элбэг байдаг.) Илүү нарийн төвөгтэй бүтцээс авахуулаад бусад олон интегралууд тэдгээрээр илэрхийлэгддэг.
Зүгээр л хөгжилтэй байхын тулд та эдгээр аймшигт томъёонуудын аль нэгийг авч, үүнийг ялгаж чадна. :) Жишээ нь, хамгийн харгис 7-р томьёо.
Бүх зүйл сайхан байна. Математикчдыг хуурсангүй. :)
Интегралын хүснэгт, мөн деривативын хүснэгтийг цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна. Ямар ч тохиолдолд эхний дөрвөн бүлэг томъёо. Энэ нь эхлээд харахад тийм ч хэцүү биш юм. Сүүлийн дөрвөн бүлгийг цээжлэх (бутархай, үндэстэй) Баяртайүнэ цэнэтэй биш. Юутай ч та эхлээд логарифмыг хаана бичих, хаана арктангенс, хаана арксинус, хаана 1/а, хаана 1/2а... гэж эргэлзэх болно ... Ганцхан гарц бий - илүү олон жишээг шийдээрэй. Дараа нь ширээ аажмаар өөрөө санаж, эргэлзээ нь хазахаа болино.)
Ялангуяа сониуч хүмүүс хүснэгтийг анхааралтай ажиглавал: "сургуулийн" бусад бага ангийн функцүүдийн интегралууд - тангенс, логарифм, "нуман" хүснэгтийн хаана байна вэ? Хүснэгтэнд яагаад синусаас интеграл байгаа гэж хэлье, гэхдээ шүргэгчээс интеграл байхгүй гэж үзье. tg x? Эсвэл логарифмын интеграл байхгүй ln x? Арксинаас arcsin x? Тэд яагаад улам дорддог вэ? Гэхдээ энэ нь үндэс, бутархай, квадрат гэх мэт зарим "зүүн гар" функцээр дүүрэн байдаг ...
Хариулах. Муу ч биш.) Зөвхөн дээрх интегралууд (тангенс, логарифм, арксинус гэх мэт) хүснэгт биш юм . Мөн тэдгээр нь практикт хүснэгтэд үзүүлсэнтэй харьцуулахад хамаагүй бага тохиолддог. Тиймээс, мэд зүрх сэтгэлээрээ, тэдгээртэй тэнцүү байгаа зүйл нь огт шаардлагагүй юм. Мэдэх л хангалттай тэд яаж байна тооцоолсон байна.)
Юу вэ, хэн нэгэн үүнийг тэвчиж чадахгүй байна уу? Энэ нь тийм байх болно, ялангуяа таны хувьд!
За тэгээд цээжлэх гэж байна уу? :) Үгүй гэж үү? Битгий.) Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, бид ийм бүх интегралуудыг олох нь гарцаагүй. Холбогдох хичээлүүдэд. :)
За одоо тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд руу шилжье. Тийм ээ, тийм ээ, юу ч хийж чадахгүй! Шинэ үзэл баримтлалыг нэвтрүүлж, түүний зарим шинж чанарыг нэн даруй авч үздэг.
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд.
Одоо тийм ч сайн мэдээ биш байна.
Ялгахаас ялгаатай нь, нэгтгэх ерөнхий стандарт дүрэм, шударга бүх тохиолдолд, математикт биш. Энэ бол гайхалтай!
Жишээлбэл, та нар бүгд үүнийг маш сайн мэднэ (би найдаж байна!). ямар чажил ямар ч f(x) g(x) гэсэн хоёр функцийг дараах байдлаар ялгана.
(f(x) g(x))’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).
Ямар чкоэффициент нь дараах байдлаар ялгагдана.
Ямар ч төвөгтэй функц нь хичнээн төвөгтэй байсан ч дараахь байдлаар ялгагдана.
f ба g үсгийн дор ямар функц нуугдаж байгаагаас үл хамааран ерөнхий дүрмүүд ажилласаар байх бөгөөд дериватив нь ямар нэгэн байдлаар олдох болно.
Гэхдээ интегралтай бол ийм тоо ажиллахаа болино: бүтээгдэхүүний хувьд, коэффициент (бутархай), мөн түүнчлэн нарийн төвөгтэй функц ерөнхий томъёоинтеграци байхгүй! Стандарт дүрэм байхгүй!Өөрөөр хэлбэл тэд байдаг. Би математикийг дэмий л гомдоосон.) Гэхдээ нэгдүгээрт, тэднээс хамаагүй цөөхөн байдаг. ерөнхий дүрэмялгахын тулд. Хоёрдугаарт, бидний дараагийн хичээлүүдэд ярих интеграцийн аргуудын ихэнх нь маш тодорхой байдаг. Мөн тэдгээр нь зөвхөн тодорхой, маш хязгаарлагдмал функцүүдийн ангилалд хүчинтэй байдаг. Зөвхөн төлөө гэж хэлье бутархай рационал функцууд. Эсвэл бусад.
Зарим интеграл нь байгальд байдаг ч бага ангийн "сургуулийн" функцээр огт илэрхийлэгддэггүй! Тийм ээ, тийм ээ, ийм интегралууд зөндөө бий! :)
Тийм ч учраас интеграцчилал нь ялгахаас хамаагүй илүү цаг хугацаа, шаргуу ажил юм. Гэхдээ энэ нь бас өөрийн гэсэн мушгиатай. Энэ үйл ажиллагаа нь бүтээлч бөгөөд маш сэтгэл хөдөлгөм юм.) Хэрэв та интегралын хүснэгтийг сайн ойлгож, дор хаяж хоёр үндсэн техникийг эзэмшсэн бол бид дараа нь ярих болно ( ба ), тэгвэл та интегралд үнэхээр дуртай байх болно. :)
Одоо тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудтай танилцацгаая. Ерөөсөө байхгүй. Тэд энд байна.
Эхний хоёр шинж чанар нь деривативын ижил шинж чанаруудтай бүрэн төстэй бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанар . Энд бүх зүйл энгийн бөгөөд логиктой: нийлбэр/ялгааны интеграл нийлбэртэй тэнцүү байна/интегралын ялгавар, тогтмол коэффициентийг интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно.
Гэхдээ дараагийн гурван өмч нь бидний хувьд цоо шинэ юм. Тэднийг илүү нарийвчлан авч үзье. Тэд орос хэлээр дараах байдлаар сонсогддог.
Гурав дахь өмч
Интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна
Үлгэрт гардаг шиг бүх зүйл энгийн байдаг. Хэрэв та функцийг интеграцид оруулаад үр дүнгийн деривативыг буцаан олбол ... анхны интеграл функцийг авна. :) Энэ өмчийг интеграцийн эцсийн үр дүнг шалгахад үргэлж ашиглаж болно (мөн байх ёстой). Та интегралыг тооцоолсон - хариултыг ялгана уу! Бид интеграл функцийг авсан - OK. Хэрэв бид хүлээж аваагүй бол энэ нь бид хаа нэгтээ будилуулсан гэсэн үг юм. Алдаа хайх.)
Мэдээжийн хэрэг, хариулт нь ийм харгис хэрцгий, нүсэр үйл ажиллагаанд хүргэж болзошгүй тул тэдгээрийг буцааж ялгах хүсэл байхгүй, тийм ээ. Гэхдээ боломжтой бол өөрийгөө шалгахыг хичээсэн нь дээр. Наад зах нь хялбар жишээнүүдэд.)
Дөрөв дэх өмч
Интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна .
Энд онцгой зүйл байхгүй. Мөн чанар нь адилхан, зөвхөн dx төгсгөлд гарч ирнэ. Өмнөх өмчийн болон дифференциал нээх дүрмийн дагуу.
Тав дахь өмч
Зарим функцийн дифференциалын интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна. .
Энэ нь бас маш энгийн өмч юм. Мөн интегралыг шийдвэрлэх явцад бид үүнийг тогтмол ашиглах болно. Ялангуяа - болон.
Тэд энд байна ашигтай шинж чанарууд. Би энд тэдний хатуу нотлох баримтаар таныг залхаахгүй. Үүнийг хийхийг хүссэн хүмүүст би өөрөө хийхийг зөвлөж байна. Дериватив, дифференциал гэсэн утгаараа шууд. Би зөвхөн сүүлчийн, тав дахь өмчийг нотлох болно, учир нь энэ нь тодорхойгүй байна.
Тиймээс бидэнд мэдэгдэл байна:
Бид дифференциалын тодорхойлолтын дагуу интегралынхаа "чихмэлийг" гаргаж аваад нээнэ.
Ямар ч тохиолдолд үүсмэл болон эсрэг дериватив гэсэн тэмдэглэгээний дагуу би танд сануулж байна. Ф’(x) = е(x) .
Одоо бид үр дүнг интеграл дотор буцааж оруулна:
Яг хүлээн авсан тодорхойгүй интегралын тодорхойлолт (Орос хэл намайг уучлах болтугай)! :)
Ингээд л болоо.)
За. Энэ бол бидний анхны танилцуулга юм нууцлаг ертөнцБи интегралуудыг амжилттай гэж үзэж байна. Өнөөдөр би бүх зүйлийг дуусгахыг санал болгож байна. Бид тагнуул хийхээр хангалттай зэвсэглэсэн. Хэрэв пулемёт биш бол ядаж үндсэн шинж чанар, ширээ бүхий усан гар буу. :) Дараагийн хичээл дээр хүснэгтийн шууд хэрэглээнд зориулагдсан интегралын хамгийн энгийн гэм хоргүй жишээнүүд болон бичмэл шинж чанарууд биднийг хүлээж байна.
Уулзъя!
Шулуун шугамын дагуух цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Үүнд цаг гаргаарай тХөдөлгөөний эхэн үеэс эхлэн цэг хол зайг туулсан s(t).Дараа нь агшин зуурын хурд v(t)функцийн деривативтай тэнцүү байна s(t),тэр нь v(t) = s"(t).
Практикт бид урвуу асуудалтай тулгардаг: цэгийн хөдөлгөөний хурдыг өгсөн v(t)түүний явсан замыг ол s(t), өөрөөр хэлбэл ийм функцийг олох s(t),дериватив нь тэнцүү байна v(t). Чиг үүрэг s(t),тиймэрхүү s"(t) = v(t), функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг v(t).
Жишээлбэл, хэрэв v(t) = а at, Хаана Ань өгөгдсөн тоо, дараа нь функц
s(t) = (а at 2) / 2v(t),учир нь
s"(t) = ((а at 2) / 2) " = аt = v(t).
Чиг үүрэг F(x)функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг f(x)зарим нэг интервал дээр, хэрэв бүх юм бол Xэнэ цоорхойноос F"(x) = f(x).
Жишээлбэл, функц F(x) = sin xфункцийн эсрэг дериватив юм f(x) = cos x,учир нь (нүгэл х)" = cos x; функц F(x) = x 4 /4функцийн эсрэг дериватив юм f(x) = x 3, учир нь (x 4 /4)" = x 3.
Асуудлыг авч үзье.
Даалгавар.
x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 функцууд нь f(x) = x 2 функцийн эсрэг дериватив гэдгийг батал.
Шийдэл.
1) F 1 (x) = x 3 /3, дараа нь F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x) гэж тэмдэглэе.
2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).
3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).
Ерөнхийдөө C нь тогтмол нь x 3 /3 + C функц нь x 2 функцийн эсрэг дериватив юм. Энэ нь тогтмолын дериватив нь тэг байна гэсэн баримтаас гардаг. Энэ жишээ нь өгөгдсөн функцийн хувьд түүний эсрэг дериватив нь хоёрдмол утгатай болохыг харуулж байна.
F 1 (x) ба F 2 (x) нь ижил функцийн f(x) хоёр эсрэг дериватив байг.
Дараа нь F 1 "(x) = f(x) ба F" 2 (x) = f(x).
g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) тул тэдгээрийн ялгаа g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) нь тэгтэй тэнцүү байна. ) – f (x) = 0.
Хэрэв тодорхой интервал дээр g"(x) = 0 байвал энэ интервалын цэг бүрийн y = g(x) функцийн графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. Иймээс у = функцийн график g(x) нь Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам, өөрөөр хэлбэл g(x) = C, энд C нь g(x) = C, g(x) = F 1 (x) тэнцүү байна. – F 2 (x) нь F 1 (x) = F 2 (x) + S болно.
Хэрэв F(x) функц нь тодорхой интервал дахь f(x) функцийн эсрэг дериватив бол бүх эсрэг дериватив функц f(x) нь F(x) + C хэлбэрээр бичигдэх ба энд C нь дурын тогтмол юм. .
Өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын графикуудыг авч үзье. Хэрэв F(x) нь f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг бол F(x)-д зарим тогтмолыг нэмэх замаар энэ функцийн аливаа эсрэг дериватив гарна: F(x) + C. y = F( функцийн графикууд. x) + C-г y = F(x) графикаас Oy тэнхлэгийн дагуу шилжүүлэх замаар олж авна. C-г сонгосноор эсрэг деривативын график өгөгдсөн цэгээр дамжиж байгаа эсэхийг баталгаажуулж чадна.
Антидеривативыг олох дүрэмд анхаарлаа хандуулцгаая.
Өгөгдсөн функцийн деривативыг олох үйлдлийг дууддаг гэдгийг санаарай ялгах. Өгөгдсөн функцийн эсрэг деривативыг олох урвуу үйлдлийг гэнэ интеграци(Латин үгнээс "сэргээх").
Эсрэг деривативуудын хүснэгтЗарим функцүүдийн хувьд деривативын хүснэгтийг ашиглан эмхэтгэж болно. Жишээлбэл, үүнийг мэдэх (cos x)" = -sin x,бид авдаг (-cos x)" = sin x, үүнээс бүх эсрэг дериватив функцүүд гарч ирдэг гэм ххэлбэрээр бичигдсэн байдаг -cos x + C, Хаана ХАМТ- тогтмол.
Антидеривативуудын зарим утгыг авч үзье.
1) Чиг үүрэг: x p, p ≠ -1. Эсрэг дериватив: (x p+1) / (p+1) + C.
2) Чиг үүрэг: 1/x, x > 0.Эсрэг дериватив: ln x + C.
3) Чиг үүрэг: x p, p ≠ -1. Эсрэг дериватив: (x p+1) / (p+1) + C.
4) Чиг үүрэг: e x. Эсрэг дериватив: e x + C.
5) Чиг үүрэг: гэм х. Эсрэг дериватив: -cos x + C.
6) Чиг үүрэг: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0.Эсрэг дериватив: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Чиг үүрэг: 1/(kx + b), k ≠ 0. Эсрэг дериватив: (1/к) ln (kx + b)+ C.
8) Чиг үүрэг: e kx + b, k ≠ 0. Эсрэг дериватив: (1/к) e kx + b + C.
9) Чиг үүрэг: нүгэл (kx + b), k ≠ 0. Эсрэг дериватив: (-1/к) cos (kx + b).
10)
Чиг үүрэг: cos (kx + b), k ≠ 0.Эсрэг дериватив: (1/к) нүгэл (kx + b). 
Интеграцийн дүрэмашиглан авч болно ялгах дүрэм. Зарим дүрмийг авч үзье.
Болъё F(x)Тэгээд G(x)– функцүүдийн эсрэг деривативууд f(x)Тэгээд g(x)тодорхой интервалаар. Дараа нь:
1) функц F(x) ± G(x)функцийн эсрэг дериватив юм f(x) ± g(x);
2) функц аF(x)функцийн эсрэг дериватив юм аf(x).
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Ачааж байна...
