Конус гэж юу болохыг бид мэднэ, түүний гадаргуугийн талбайг олохыг хичээцгээе. Та яагаад ийм асуудлыг шийдэх хэрэгтэй байна вэ? Жишээлбэл, вафли конус хийхэд хэр их зуурсан гурил орохыг ойлгох хэрэгтэй. Эсвэл овоолоход хичнээн тоосго хэрэгтэй вэ тоосгон дээвэрцайз?
Конусын хажуугийн гадаргууг хэмжих нь ердөө л боломжгүй юм. Гэхдээ ижил эврийг даавуунд ороосон гэж төсөөлөөд үз дээ. Даавууны талбайг олохын тулд та үүнийг хайчилж, ширээн дээр тавих хэрэгтэй. Энэ нь бүтэх болно хавтгай дүрс, бид түүний талбайг олж чадна.
Цагаан будаа. 1. Гератриксийн дагуух конусын зүсэлт
Конустай ижил зүйлийг хийцгээе. Үүнийг "тайрч авъя" хажуугийн гадаргуудурын генератрикс дагуу, жишээлбэл (1-р зургийг үз).
Одоо хажуугийн гадаргууг хавтгай дээр "тайлъя". Бид салбар авдаг. Энэ секторын төв нь конусын орой, секторын радиус нь конусын генатрикстай тэнцүү бөгөөд нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой давхцдаг. Ийм салбарыг конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил гэж нэрлэдэг (2-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 2. Хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэх
Цагаан будаа. 3. Радиан дахь өнцгийн хэмжилт
Боломжтой өгөгдлийг ашиглан тухайн салбарын талбайг олохыг хичээцгээе. Эхлээд тэмдэглэгээг танилцуулъя: секторын орой дээрх өнцөг нь радианаар (3-р зургийг үз).
Асуудлыг шүүрдэх хамгийн дээд өнцөгт бид ихэвчлэн тулгардаг. Одоохондоо асуултанд хариулахыг хичээцгээе: энэ өнцөг 360 градусаас илүү байж болохгүй гэж үү? Энэ нь шүүрдэх нь өөрөө давхцах нь тодорхой биш гэж үү? Мэдээж үгүй. Үүнийг математикийн аргаар баталъя. Сканнерыг өөрөө "суперпоз" болго. Энэ нь шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн уртаас их байна гэсэн үг юм. Гэхдээ аль хэдийн дурьдсанчлан, шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн урт юм. Мэдээжийн хэрэг конусын суурийн радиус нь генератриксээс бага, жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенузаас бага байдаг.
Дараа нь планиметрийн курсээс хоёр томьёог санацгаая: нумын урт. Салбарын талбай: .
Манай тохиолдолд генератор үүрэг гүйцэтгэдэг , ба нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бидэнд:
Эцэст нь бид: .
Хажуугийн гадаргуугийн талбайгаас гадна талбайг олж болно бүрэн гадаргуу. Үүнийг хийхийн тулд суурийн талбайг хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмэх шаардлагатай. Гэхдээ суурь нь радиустай тойрог бөгөөд томъёоны дагуу талбай нь -тэй тэнцүү байна.
Эцэст нь бидэнд байна: , цилиндрийн суурийн радиус хаана байна, generatrix.
Өгөгдсөн томьёо ашиглан хэд хэдэн бодлого шийдье.
Цагаан будаа. 4. Шаардлагатай өнцөг
Жишээ 1. Конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь орой дээрх өнцөгтэй салбар юм. Конусын өндөр 4 см, суурийн радиус 3 см бол энэ өнцгийг ол (4-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 5. Конус үүсгэх тэгш өнцөгт гурвалжин
Эхний үйлдлээр Пифагорын теоремын дагуу бид генераторыг олно: 5 см (5-р зургийг үз). Дараа нь бид үүнийг мэднэ .
Жишээ 2. Конусын тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбай нь тэнцүү, өндөр нь тэнцүү байна. Нийт гадаргуугийн талбайг ол (6-р зургийг үз).
Конусын гадаргуугийн талбай (эсвэл зүгээр л конусын гадаргуу) нь суурь ба хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг S = πR томъёогоор тооцоолно л, энд R нь конусын суурийн радиус, ба л- конус үүсгэх.
Конусын суурийн талбай нь πR 2 (тойрогны талбай гэх мэт) -тэй тэнцүү тул конусын нийт гадаргуугийн талбай нь: πR 2 + πR байх болно. л= πR(R+ л).
Конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёог олж авахыг дараах үндэслэлээр тайлбарлаж болно. Зурган дээр конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийг харуул. AB нумыг боломжит гэж хуваая илүү их тоотэнцүү хэсгүүд ба бүх хуваагдах цэгүүдийг нумын төв рүү, хөрш зэргэлдээх хэсгүүдийг хөвчөөр холбоно.
Бид цуврал авдаг тэнцүү гурвалжин. Гурвалжин бүрийн талбай нь аа / 2 хаана А- гурвалжны суурийн урт, a h- түүний өндөр.
Бүх гурвалжны талбайн нийлбэр нь: аа / 2 n = аан / 2 хаана n- гурвалжны тоо.
At их тоохуваагдах үед гурвалжны талбайн нийлбэр нь хөгжлийн талбай, тухайлбал конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайтай маш ойртдог. Гурвалжны суурийн нийлбэр, i.e. а, AB нумын урттай, өөрөөр хэлбэл конусын суурийн тойрогтой маш ойртоно. Гурвалжин бүрийн өндөр нь нумын радиустай, өөрөөр хэлбэл конусын үүсгүүрт маш ойртдог.
Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн бага зэргийн ялгааг үл тоомсорлож, конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёог (S) авна.
S=C л / 2, энд C нь конусын суурийн тойрог, л- конус үүсгэх.
C = 2πR, R нь конусын суурийн тойргийн радиус гэдгийг мэдэж, бид дараахийг олж авна: S = πR л.
Анхаарна уу.Томъёонд S = C л / 2 Ойролцоо биш, яг ижил тэгш байдлын шинж тэмдэг байдаг ч дээрх үндэслэлд үндэслэн бид энэ тэгш байдлыг ойролцоо гэж үзэж болно. Гэхдээ ахлах сургуульд ахлах сургуультэгш эрхтэй болох нь батлагдсан
S=C л / 2 нь яг тодорхой, ойролцоо биш.
Теорем. Конусын хажуугийн гадаргуу нь суурийн тойргийн үржвэр ба генатриксын хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Конус дотор (Зураг) заримыг нь бичье зөв пирамидмөн үсгээр тэмдэглэнэ rТэгээд лэнэ пирамидын суурийн периметрийн урт ба апотемийг илэрхийлсэн тоонууд.
Дараа нь түүний хажуугийн гадаргууг 1/2 бүтээгдэхүүнээр илэрхийлнэ r л .
Суурь дээр бичигдсэн олон өнцөгтийн талуудын тоо хязгааргүй нэмэгддэг гэж үзье. Дараа нь периметр rСуурийн тойргийн урт С болон апотем гэж авсан хязгаарт чиглэх болно лконусын генератрикс хязгаартай байх болно (ΔSAK-аас хойш SA - SK гэсэн үг.
1 / 2 r л, 1/2 С-ийн хязгаарт хүрэх хандлагатай байна
L. Энэ хязгаарыг конусын хажуугийн гадаргуугийн хэмжээгээр авна. Конусын хажуугийн гадаргууг S үсгээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
S = 1/2 C L = C 1/2 л
Үр дагавар.
1) C = 2 тул π
R, дараа нь конусын хажуугийн гадаргууг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
S = 1/2 2π Р L= π Р.Л.
2) Хэрэв бид хажуугийн гадаргууг суурийн талбайд нэмбэл конусын бүрэн гадаргууг олж авна; Тиймээс бүрэн гадаргууг T-ээр тэмдэглэвэл бид дараах байдалтай болно.
T= π RL+ π R2= π R(L+R)
Теорем. Таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуу нь суурь ба генераторын тойргийн уртын нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Таслагдсан конус руу (Зураг) ердийн зүйл бичье таслагдсан пирамидмөн үсгээр тэмдэглэнэ r, r 1 ба лдоод ба периметрийн уртыг ижил шугаман нэгжээр илэрхийлсэн тоонууд дээд суурьмөн энэ пирамидын апотемууд.
Дараа нь бичээстэй пирамидын хажуугийн гадаргуу нь 1/2 ( p + p 1) л
Бичсэн пирамидын хажуугийн нүүрний тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр периметрүүд rТэгээд r 1 нь үндсэн тойргийн C ба C 1 урт, мөн апотем гэж авсан хязгаарт чиглэнэ. лнь таслагдсан конусын генератор L хязгаартай байна. Иймээс, бичээстэй пирамидын хажуугийн гадаргуугийн хэмжээ нь (C + C 1) L-тэй тэнцүү хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг. Энэ хязгаарыг тайрсан конусын хажуугийн гадаргуугийн хэмжээ болгон авдаг. Таслагдсан конусын хажуугийн гадаргууг S үсгээр тэмдэглэвэл бид:
S = 1/2 (C + C 1) L
Үр дагавар.
1) Хэрэв R ба R 1 нь доод ба дээд суурийн тойргийн радиусыг илэрхийлдэг бол таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуу нь:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) Л.
2) Хэрэв трапецын OO 1 A 1 A (Зураг) нь эргэлтээс таслагдсан конусыг олж авбал бид BC дунд шугамыг зурвал бид дараахь зүйлийг авна.
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
Тиймээс,
S=2 π BC L,
өөрөөр хэлбэл Таслагдсан конусын хажуугийн гадаргуу нь дунд хэсэг ба генатриксын тойргийн үржвэртэй тэнцүү байна.
3) Таслагдсан конусын нийт T гадаргууг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Буцах Урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.
Хичээлийн төрөл:асуудалд суурилсан хөгжүүлэх заах аргын элементүүдийг ашиглан шинэ материал сурах хичээл.
Хичээлийн зорилго:
- боловсролын:
- математикийн шинэ ойлголттой танилцах;
- шинэ сургалтын төвүүдийг бий болгох;
- практик асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг бий болгох.
- хөгжиж буй:
- оюутнуудын бие даасан сэтгэлгээг хөгжүүлэх;
- ур чадварыг хөгжүүлэх зөв яриасургуулийн сурагчид.
- боловсролын:
- багаар ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.
Хичээлийн тоног төхөөрөмж:соронзон самбар, компьютер, дэлгэц, мультимедиа проектор, конус загвар, хичээлийн танилцуулга, тараах материал.
Хичээлийн зорилго (Оюутнуудад зориулсан):
- шинэ геометрийн ойлголттой танилцах - конус;
- конусын гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог гаргаж авах;
- практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ олж авсан мэдлэгээ ашиглаж сурах.
Хичээлийн явц
I шат. Зохион байгуулалтын.
Хамтарсан сэдвээр гэрийн тестийн даалгавартай дэвтэр гардуулах.
Оюутнуудыг таавар тааж удахгүй болох хичээлийн сэдвийг олж мэдэхийг урьж байна (слайд 1):
Зураг 1.
Хичээлийн сэдэв, зорилгыг оюутнуудад зарлах (слайд 2).
II шат. Шинэ материалын тайлбар.
1) Багшийн лекц.
Самбар дээр конусын зурагтай ширээ байна. Шинэ материал"Стереометр" хөтөлбөрийн материалтай хамт тайлбарлав. Дэлгэц дээр конусын гурван хэмжээст дүрс гарч ирнэ. Багш конусын тодорхойлолтыг өгч, түүний элементүүдийн талаар ярьдаг. (слайд 3). Конус гэдэг нь тэгш өнцөгт гурвалжинг хөлтэй харьцуулахад эргэлдэж буй бие юм. (слайд 4, 5).Конусын хажуугийн гадаргууг сканнердсан зураг гарч ирнэ. (слайд 6)
2) Практик ажил.
Суурь мэдлэгийг шинэчлэх: тойргийн талбай, секторын талбай, тойргийн урт, тойргийн нумын уртыг тооцоолох томъёог давт. (слайд 7–10)
Анги нь бүлгүүдэд хуваагдана. Бүлэг бүр цаасан дээрээс хайчилж авсан конусын хажуугийн гадаргуугийн сканнерыг хүлээн авдаг (тогтоосон дугаар бүхий тойргийн хэсэг). Оюутнууд шаардлагатай хэмжилтийг хийж, үүссэн салбарын талбайг тооцоолно. Дэлгэц дээр ажил гүйцэтгэх заавар, асуултууд - асуудлын мэдэгдлүүд гарч ирнэ (слайд 11–14). Бүлэг бүрийн төлөөлөгч тооцооны үр дүнг самбар дээр бэлтгэсэн хүснэгтэд бичнэ. Бүлэг бүрийн оролцогчид өөрт байгаа загвараасаа конусын загварыг наа. (слайд 15)
3) Асуудлын мэдэгдэл, шийдэл.
Зөвхөн суурийн радиус ба конусын ургийн уртыг мэддэг бол конусын хажуугийн гадаргууг хэрхэн тооцоолох вэ? (слайд 16)
Бүлэг бүр шаардлагатай хэмжилтийг хийж, байгаа өгөгдлийг ашиглан шаардлагатай талбайг тооцоолох томъёог гаргаж авахыг оролддог. Энэ ажлыг хийж байхдаа оюутнууд конусын суурийн тойрог нь секторын нумын урттай тэнцүү байгааг анзаарах хэрэгтэй - энэ конусын хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэх. (слайд 17–21)Шаардлагатай томьёог ашиглан хүссэн томъёог гаргаж авна. Оюутны аргументууд дараах байдалтай байх ёстой.
Салбар шүүрдэх радиус нь тэнцүү байна би,нумын градусын хэмжүүр – φ. Салбарын талбайг томъёогоор тооцоолно: энэ салбарыг хязгаарлаж буй нумын урт нь конусын суурийн радиус R-тэй тэнцүү байна. Конусын суурь дээр байрлах тойргийн урт нь C = 2πR байна. . Конусын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийн талбайтай тэнцүү тул
Тиймээс конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно S BOD = πRl.
Конус загварын хажуугийн гадаргуугийн талбайг бие даан гаргаж авсан томъёог ашиглан тооцоолсны дараа бүлэг бүрийн төлөөлөгч тооцооллын үр дүнг загварын дугаарын дагуу самбар дээрх хүснэгтэд бичнэ. Мөр бүрийн тооцооллын үр дүн тэнцүү байх ёстой. Үүний үндсэн дээр багш бүлэг бүрийн дүгнэлтийн зөвийг тодорхойлдог. Үр дүнгийн хүснэгт дараах байдлаар харагдах ёстой.
|
Загварын дугаар |
Би даалгавар |
II даалгавар |
(125/3)π ~ 41.67 π |
||
(425/9)π ~ 47.22 π |
||
(539/9)π ~ 59.89 π |
Загварын параметрүүд:
- l=12 см, φ =120°
- l=10 см, φ =150°
- l=15 см, φ =120°
- l=10 см, φ =170°
- l=14 см, φ =110°
Тооцооллын ойролцоо тооцоолол нь хэмжилтийн алдаатай холбоотой байдаг.
Үр дүнг шалгасны дараа конусын хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайн томъёоны гаралт дэлгэц дээр гарч ирнэ. (слайд 22–26), сурагчид дэвтэрт тэмдэглэл хөтөлдөг.
III шат. Судалсан материалыг нэгтгэх.
1) Оюутнуудад санал болгож байна бэлэн зураг дээр амаар шийдвэрлэх асуудлууд.
Зурагт үзүүлсэн конусын бүрэн гадаргуугийн талбайг ол (слайд 27–32).
2) Асуулт:Нэг тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр үүссэн конусын гадаргуугийн талбайнууд нь харьцангуй юм өөр хөл? Оюутнууд таамаглал дэвшүүлж, түүнийг шалгана. Таамаглалыг бодлого шийдвэрлэх замаар шалгаж, сурагч самбар дээр бичнэ.
Өгөгдсөн:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – эргэлтийн биеүүд.
Олно: S PPK 1, S PPK 2.
Зураг 5. (слайд 33)
Шийдэл:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S үндсэн 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = б; S PPK 2 = S BOD 2 + S суурь 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Хэрэв S PPK 1 = S PPK 2 байвал a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.Учир нь a, b, c -эерэг тоонууд (гурвалжны талуудын урт), тэгш байдал нь зөвхөн үнэн юм a =б.
Дүгнэлт:Гурвалжны талууд тэнцүү байвал хоёр конусын гадаргуугийн талбай тэнцүү байна. (слайд 34)
3) Сурах бичгээс асуудлыг шийдвэрлэх: No565.
IV шат. Хичээлийг дүгнэж байна.
Гэрийн даалгавар: догол мөр 55, 56; No 548, No 561. (слайд 35)
Оноо өгсөн дүнгийн зарлал.
Хичээлийн үеэр хийсэн дүгнэлт, хичээлийн үеэр хүлээн авсан үндсэн мэдээллийг давтах.
Уран зохиол (слайд 36)
- Геометрийн 10-11 анги - Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б., Кадомцев нар, М., "Просвещение", 2008.
- "Математикийн оньсого ба тоглоомууд" - N.V. Удалцова, номын сан "Есдүгээр сарын нэг", цуврал "МАТЕМАТИК", дугаар 35, М., Чистье Пруды, 2010 он.
Конус гэж юу болохыг бид мэднэ, түүний гадаргуугийн талбайг олохыг хичээцгээе. Та яагаад ийм асуудлыг шийдэх хэрэгтэй байна вэ? Жишээлбэл, вафли конус хийхэд хэр их зуурсан гурил орохыг ойлгох хэрэгтэй. Эсвэл тоосгон цайзын дээврийг хийхэд хичнээн тоосго хэрэгтэй вэ?
Конусын хажуугийн гадаргууг хэмжих нь ердөө л боломжгүй юм. Гэхдээ ижил эврийг даавуунд ороосон гэж төсөөлөөд үз дээ. Даавууны талбайг олохын тулд та үүнийг хайчилж, ширээн дээр тавих хэрэгтэй. Үр дүн нь хавтгай дүрс бөгөөд бид түүний талбайг олж чадна.
Цагаан будаа. 1. Гератриксийн дагуух конусын зүсэлт
Конустай ижил зүйлийг хийцгээе. Жишээлбэл, түүний хажуугийн гадаргууг дурын генерацийн дагуу "тайрч авъя" (1-р зургийг үз).
Одоо хажуугийн гадаргууг хавтгай дээр "тайлъя". Бид салбар авдаг. Энэ секторын төв нь конусын орой, секторын радиус нь конусын генатрикстай тэнцүү бөгөөд нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой давхцдаг. Ийм салбарыг конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил гэж нэрлэдэг (2-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 2. Хажуугийн гадаргууг хөгжүүлэх
Цагаан будаа. 3. Радиан дахь өнцгийн хэмжилт
Боломжтой өгөгдлийг ашиглан тухайн салбарын талбайг олохыг хичээцгээе. Эхлээд тэмдэглэгээг танилцуулъя: секторын орой дээрх өнцөг нь радианаар (3-р зургийг үз).
Асуудлыг шүүрдэх хамгийн дээд өнцөгт бид ихэвчлэн тулгардаг. Одоохондоо асуултанд хариулахыг хичээцгээе: энэ өнцөг 360 градусаас илүү байж болохгүй гэж үү? Энэ нь шүүрдэх нь өөрөө давхцах нь тодорхой биш гэж үү? Мэдээж үгүй. Үүнийг математикийн аргаар баталъя. Сканнерыг өөрөө "суперпоз" болго. Энэ нь шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн уртаас их байна гэсэн үг юм. Гэхдээ аль хэдийн дурьдсанчлан, шүүрдэх нумын урт нь радиусын тойргийн урт юм. Мэдээжийн хэрэг конусын суурийн радиус нь генератриксээс бага, жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенузаас бага байдаг.
Дараа нь планиметрийн курсээс хоёр томьёог санацгаая: нумын урт. Салбарын талбай: .
Манай тохиолдолд генератор үүрэг гүйцэтгэдэг , ба нумын урт нь конусын суурийн тойрогтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бидэнд:
Эцэст нь бид: .
Хажуугийн гадаргуугийн талбайн хамт нийт гадаргуугийн талбайг мөн олж болно. Үүнийг хийхийн тулд суурийн талбайг хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмэх шаардлагатай. Гэхдээ суурь нь радиустай тойрог бөгөөд томъёоны дагуу талбай нь -тэй тэнцүү байна.
Эцэст нь бидэнд байна: , цилиндрийн суурийн радиус хаана байна, generatrix.
Өгөгдсөн томьёо ашиглан хэд хэдэн бодлого шийдье.
Цагаан будаа. 4. Шаардлагатай өнцөг
Жишээ 1. Конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь орой дээрх өнцөгтэй салбар юм. Конусын өндөр 4 см, суурийн радиус 3 см бол энэ өнцгийг ол (4-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 5. Конус үүсгэх тэгш өнцөгт гурвалжин
Эхний үйлдлээр Пифагорын теоремын дагуу бид генераторыг олно: 5 см (5-р зургийг үз). Дараа нь бид үүнийг мэднэ .
Жишээ 2. Конусын тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбай нь тэнцүү, өндөр нь тэнцүү байна. Нийт гадаргуугийн талбайг ол (6-р зургийг үз).
Ачааж байна...
