График тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. Квадрат тэгшитгэлийг графикаар хэрхэн шийдэх вэ

Бидний цэвэр алгебрийн аргаар тооцоолоход дассан олон даалгаврыг функцийн график ашиглан илүү хялбар, хурдан шийдвэрлэх боломжтой; Та "яаж тийм?" ямар нэг зүйл зурах, юу зурах вэ? Надад итгээрэй, заримдаа энэ нь илүү тохиромжтой, хялбар байдаг. Бид эхлэх үү? Тэгшитгэлээс эхэлцгээе!

Тэгшитгэлийн график шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн график шийдэл

Та аль хэдийн мэдэж байгаачлан шугаман тэгшитгэлийн график нь шулуун шугам тул энэ төрлийн нэр гарсан. Шугаман тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг - бид бүх үл мэдэгдэх зүйлийг тэгшитгэлийн нэг тал руу, бидний мэддэг бүх зүйлийг нөгөө тал руу шилжүүлдэг, мөн voila! Бид үндсийг нь олсон. Одоо би яаж хийхийг танд үзүүлэх болно графикаар.

Тэгэхээр танд тэгшитгэл байна:

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?
Сонголт 1, хамгийн түгээмэл нь үл мэдэгдэхийг нэг тал руу, мэдэгдэж буйг нөгөө тал руу шилжүүлэх явдал юм.

Одоо бүтээцгээе. Та юу авсан бэ?

Бидний тэгшитгэлийн үндэс нь юу гэж та бодож байна вэ? Энэ нь зөв, графикуудын огтлолцох цэгийн координат нь:

Бидний хариулт

Энэ бол график шийдлийн бүх мэргэн ухаан юм. Та хялбархан шалгаж болох тул бидний тэгшитгэлийн үндэс нь тоо юм!

Дээр дурдсанчлан, энэ бол алгебрийн шийдэлд ойрхон, хамгийн түгээмэл сонголт боловч та үүнийг өөр аргаар шийдэж болно. Альтернатив шийдлийг авч үзэхийн тулд тэгшитгэл рүүгээ буцъя:

Энэ удаад бид юуг ч хажуу тийш нь хөдөлгөхгүй, харин графикууд одоо байгаа тул шууд байгуулах болно.

Баригдсан уу? Харцгаая!

Энэ удаад ямар гарц байна вэ? Яг зөв. Үүнтэй ижил зүйл - графикуудын огтлолцлын цэгийн координат:

Дахин хэлэхэд бидний хариулт.

Таны харж байгаагаар хамт шугаман тэгшитгэлбүх зүйл маш энгийн. Илүү төвөгтэй зүйлийг харах цаг болжээ... Жишээ нь, квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл

Тэгэхээр одоо квадрат тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе. Та энэ тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй гэж бодъё:

Мэдээжийн хэрэг, та одоо ялгаварлагчаар эсвэл Виетийн теоремын дагуу тоолж эхлэх боломжтой, гэхдээ олон хүмүүс мэдрэлийн улмаас үржүүлэх эсвэл квадрат болгохдоо алдаа гаргадаг, ялангуяа жишээ нь: их тоо, мөн та мэдэж байгаачлан, танд шалгалт өгөх тооны машин байхгүй болно ... Тиймээс, энэ тэгшитгэлийг шийдэж байхдаа жаахан тайвширч, зурж үзье.

Та энэ тэгшитгэлийн шийдлийг графикаар олох боломжтой янз бүрийн арга замууд. Ингээд авч үзье янз бүрийн сонголтууд, мөн та аль нь хамгийн дуртайг нь сонгох боломжтой.

Арга 1. Шууд

Бид зүгээр л энэ тэгшитгэлийг ашиглан парабола байгуулна.

Үүнийг хурдан хийхийн тулд би танд бяцхан зөвлөгөө өгөх болно: Параболагийн оройг тодорхойлох замаар барилгын ажлыг эхлүүлэх нь тохиромжтой.Дараах томъёо нь параболын оройн координатыг тодорхойлоход тусална.

Та "Зогс! -ийн томьёо нь ялгаварлагчийг олох томьёотой маш төстэй, тийм ээ, энэ нь түүний үндсийг олохын тулд параболыг "шууд" байгуулах асар том сул тал юм. Гэсэн хэдий ч, эцсээ хүртэл тоолж үзье, дараа нь би үүнийг хэрхэн яаж хийхийг илүү (маш их!) хялбархан харуулах болно!

Тоолсон уу? Та параболын оройн ямар координатыг авсан бэ? Үүнийг хамтдаа олж мэдье:

Яг ижил хариулт уу? Сайн хийлээ! Одоо бид оройн координатыг аль хэдийн мэддэг болсон, гэхдээ парабол барихын тулд бидэнд илүү их ... оноо хэрэгтэй. Та бидэнд хамгийн багадаа хэдэн оноо хэрэгтэй гэж бодож байна вэ? Зөв, .

Парабол нь орой дээрээ тэгш хэмтэй байдгийг та мэднэ, жишээлбэл:

Үүний дагуу бид параболын зүүн эсвэл баруун мөчир дээр дахиад хоёр цэг хэрэгтэй бөгөөд ирээдүйд бид эдгээр цэгүүдийг эсрэг талд тэгш хэмтэй тусгах болно.

Парабол руугаа буцъя. Бидний хувьд, хугацаа. Бидэнд дахиад хоёр оноо хэрэгтэй байгаа тул эерэг оноо авах уу, сөрөг оноо авах уу? Аль оноо нь танд хамгийн тохиромжтой вэ? Эерэг зүйлтэй ажиллах нь надад илүү тохиромжтой тул би болон дээр тооцоолно.

Одоо бидэнд гурван цэг байна, бид түүний оройтой харьцуулахад сүүлийн хоёр цэгийг тусгаснаар парабола хялбархан байгуулж болно.

Таны бодлоор тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ? Энэ нь зөв, оноо, тэр нь, мөн. Учир нь.

Тэгээд бид үүнийг хэлэх юм бол энэ нь бас тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм, эсвэл.

Зүгээр үү? Бид тантай хамт тэгшитгэлийг нарийн төвөгтэй график аргаар шийдэж дуусгасан, эс тэгвээс илүү олон байх болно!

Мэдээжийн хэрэг, та бидний хариултыг алгебрийн аргаар шалгаж болно - та Виетийн теорем эсвэл Дискриминант ашиглан үндсийг тооцоолж болно. Та юу авсан бэ? Үүнтэй адил уу? Эндээс харж байна! Одоо маш энгийн график шийдлийг харцгаая, танд үнэхээр таалагдана гэдэгт итгэлтэй байна!

Арга 2. Хэд хэдэн функцэд хуваагдана

Ижил тэгшитгэлээ авч үзье: , гэхдээ бид үүнийг арай өөрөөр бичих болно, тухайлбал:

Бид ингэж бичиж болох уу? Өөрчлөлт нь тэнцүү учраас бид чадна. Цааш нь харцгаая.

Хоёр функцийг тусад нь байгуулъя:

1. - График нь энгийн парабол бөгөөд та оройг нь томьёо ашиглан тодорхойлж, бусад цэгүүдийг тодорхойлох хүснэгт зурахгүйгээр хялбархан барьж болно.
2. - График нь шулуун шугам бөгөөд та тооцоолуур ашиглахгүйгээр толгойнхоо утгыг тооцоолох замаар хялбархан барьж болно.

Баригдсан уу? Миний авсан зүйлтэй харьцуулж үзье:

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь юу гэж та бодож байна вэ? Зөв! Хоёр графикийн огтлолцолоор олж авсан координатууд нь:

Үүний дагуу энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь:

Та юу хэлэх вэ? Зөвшөөрч байна, энэ шийдлийн арга нь өмнөхөөсөө хамаагүй хялбар бөгөөд ялгаварлагчаар дамжуулан үндсийг хайхаас ч хялбар юм! Хэрэв тийм бол энэ аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийг шийдэж үзээрэй.

Та юу авсан бэ? Графикуудаа харьцуулж үзье:

Графикаас харахад хариултууд нь:

Та удирдаж чадсан уу? Сайн хийлээ! Одоо тэгшитгэлийг арай илүү төвөгтэй, тухайлбал холимог тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл янз бүрийн төрлийн функц агуулсан тэгшитгэлүүдийг авч үзье.

Холимог тэгшитгэлийн график шийдэл

Одоо дараах асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

Мэдээжийн хэрэг, бид бүгдийг авчирч чадна Ерөнхий хуваарь, үүссэн тэгшитгэлийн үндсийг олж, ODZ-ийг анхаарч үзэхээ мартуузай, гэхдээ бид өмнөх бүх тохиолдлуудын адил үүнийг графикаар шийдэхийг хичээх болно.

Энэ удаад дараах 2 графикийг бүтээцгээе.

1. - график нь гипербол юм
2. - График нь шулуун шугам бөгөөд та тооцоолуур ашиглахгүйгээр толгойнхоо утгыг тооцоолж хялбархан барьж болно.

Үүнийг ойлгосон уу? Одоо барьж эхэл.

Миний авсан зүйл энд байна:

Энэ зургийг хараад, бидний тэгшитгэлийн үндэс юу болохыг надад хэлээч?

Энэ нь зөв, мөн. Баталгаажуулалт энд байна:

Бидний үндсийг тэгшитгэлд холбож үзээрэй. Болсон уу?

Яг зөв! Зөвшөөрч байна, ийм тэгшитгэлийг графикаар шийдэх нь таатай байна!

Тэгшитгэлийг графикаар өөрөө шийдэж үзээрэй.

Би танд нэг зөвлөгөө өгөх болно: тэгшитгэлийн нэг хэсгийг баруун тал руу шилжүүлж, хамгийн энгийн функцуудыг хоёр талд байрлуулна уу. Та зөвлөгөө авсан уу? Арга хэмжээ авах!

Одоо танд юу байгааг харцгаая:

Тус тусад нь:

1. - куб парабол.
2. - энгийн шулуун шугам.

За, бүтээцгээе:

Таны бичсэнчлэн энэ тэгшитгэлийн үндэс нь - .

Үүнийг шийдсэн олон тооныЖишээ нь, та тэгшитгэлийг графикаар хэрхэн амархан, хурдан шийдэж болохыг ойлгосон гэдэгт итгэлтэй байна. Ийм байдлаар системүүдийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бодох цаг болжээ.

Системийн график шийдэл

Графикийн системийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэхээс үндсэндээ ялгаатай биш юм. Бид мөн хоёр график байгуулах бөгөөд тэдгээрийн огтлолцох цэгүүд нь энэ системийн үндэс болно. Нэг график нь нэг тэгшитгэл, хоёр дахь график нь өөр тэгшитгэл юм. Бүх зүйл маш энгийн!

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе - шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Бидэнд дараах систем байна гэж бодъё.

Эхлээд үүнийг зүүн талд нь холбоотой бүх зүйл, баруун талд нь холбоотой бүх зүйл байхаар хувиргацгаая. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр функц болгон бичье.

Одоо бид хоёр шулуун шугам барьж байна. Манай тохиолдолд шийдэл нь юу вэ? Зөв! Тэдний уулзварын цэг! Энд та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй! Бодоод үз дээ, яагаад? Би танд нэг зүйлийг хэлье: бид системтэй харьцаж байна: системд хоёулаа байдаг бөгөөд ... Санамжийг ойлгосон уу?

Яг зөв! Системийг шийдэхдээ бид хоёр координатыг харах ёстой бөгөөд зөвхөн тэгшитгэлийг шийдэх үед биш! Өөр чухал цэг- Тэдгээрийг зөв бичиж, бид хаана утга учиртай, хаана байна гэдгийг бүү андуураарай! Та үүнийг бичсэн үү? Одоо бүгдийг дарааллаар нь харьцуулж үзье:

Мөн хариултууд: ба. Шалгах - олсон үндсийг системд орлуулж, бид үүнийг графикаар зөв шийдсэн эсэхийг шалгана уу?

Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Хэрэв бид нэг шулуун шугамын оронд байвал яах вэ квадрат тэгшитгэл? Зүгээрдээ! Та зүгээр л шулуун шугамын оронд парабола барь! Итгэхгүй байна? Дараах системийг шийдэж үзээрэй.

Бидний дараагийн алхам юу вэ? Зөв, үүнийг бичнэ үү, ингэснээр бидэнд график байгуулахад тохиромжтой байх болно.

Одоо бүх зүйл жижиг зүйлсийн асуудал боллоо - үүнийг хурдан бүтээ, таны шийдэл энд байна! Бид барьж байна:

Графикууд адилхан болсон уу? Одоо зураг дээрх системийн шийдлүүдийг тэмдэглэж, тодорхойлсон хариултуудыг зөв бичээрэй!

Би бүгдийг хийсэн үү? Миний тэмдэглэлтэй харьцуул:

Бүх зүйл зөв үү? Сайн хийлээ! Та самар гэх мэт эдгээр төрлийн даалгавруудыг аль хэдийн эвдэж байна! Хэрэв тийм бол танд илүү төвөгтэй системийг өгье:

Бид юу хийж байна вэ? Зөв! Бид системийг бүтээхэд тохиромжтой байхаар бичдэг.

Систем нь маш төвөгтэй харагдаж байгаа тул би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно! График барихдаа "илүү их" бүтээгээрэй, хамгийн чухал нь огтлолцох цэгүүдийн тоог бүү гайхаарай.

За, явцгаая! Амьсгалаа гаргасан уу? Одоо барьж эхэл!

Тэгэхээр яаж? Үзэсгэлэнтэй юу? Та хэдэн уулзварын цэг авсан бэ? Надад гурав байна! Графикуудаа харьцуулж үзье:

Бас? Одоо манай системийн бүх шийдлүүдийг анхааралтай бичнэ үү:

Одоо системийг дахин харна уу:

Та үүнийг ердөө 15 минутын дотор шийдсэн гэж төсөөлж байна уу? Зөвшөөрч байна, математик бол энгийн хэвээр байна, ялангуяа илэрхийлэлийг харахад алдаа гаргахаас айдаггүй, харин зүгээр л аваад шийдээрэй! Чи том залуу байна!

Тэгш бус байдлын график шийдэл

Шугаман тэгш бус байдлын график шийдэл

Сүүлийн жишээний дараа та юу ч хийж болно! Одоо амьсгалаа аваарай - өмнөх хэсгүүдтэй харьцуулахад энэ нь маш хялбар байх болно!

Бид ердийнх шигээ график шийдлээр эхлэх болно шугаман тэгш бус байдал. Жишээлбэл, энэ нь:

Эхлээд хамгийн энгийн хувиргалтыг хийцгээе - төгс квадратуудын хаалтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя.

Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул интервалд оруулаагүй бөгөөд шийдэл нь баруун талд байгаа бүх цэгүүд байх болно, учир нь илүү, илүү гэх мэт:

Хариулт:

Тэгээд л болоо! Амархан уу? Хоёр хувьсагчтай энгийн тэгш бус байдлыг шийдье.

Координатын системд функц зуръя.

Та ийм хуваарь авсан уу? Одоо бидэнд ямар тэгш бус байдал байгааг сайтар харцгаая? Бага уу? Энэ нь бид шулуун шугамын зүүн талд байгаа бүх зүйлийг зурдаг гэсэн үг юм. Илүү олон байсан бол яах вэ? Зөв, тэгвэл бид шулуун шугамынхаа баруун талд байгаа бүх зүйлийг будна. Энэ бол энгийн.

Энэхүү тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд "сүүдэрлэгдэв" жүрж. Ингээд л хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдал шийдэгдэнэ. Энэ нь сүүдэрлэсэн талбайн аль ч цэгийн координатууд нь шийдлүүд гэсэн үг юм.

Квадрат тэгш бус байдлын график шийдэл

Одоо бид квадрат тэгш бус байдлыг графикаар хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгох болно.

Гэхдээ ажилдаа орохын өмнө квадрат функцтэй холбоотой зарим материалыг авч үзье.

Ялгаварлагч ямар хариуцлага хүлээх вэ? Энэ нь зөв, тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн байрлалын хувьд (хэрэв та үүнийг санахгүй байгаа бол квадрат функцүүдийн тухай онолыг заавал уншаарай).

Ямар ч байсан танд зориулж бяцхан сануулъя:

Одоо бид санах ойнхоо бүх материалыг сэргээсэн тул ажилдаа орцгооё - тэгш бус байдлыг графикаар шийдье.

Үүнийг шийдэх хоёр сонголт байгааг би шууд хэлье.

Сонголт 1

Бид парабола функцээр бичнэ.

Томьёог ашиглан бид параболын оройн координатыг тодорхойлно (квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй яг ижил):

Тоолж үзсэн үү? Та юу авсан бэ?

Одоо дахиад хоёрыг авъя өөр өөр цэгүүдмөн тэдний төлөө тооцоолно:

Параболагийн нэг салбарыг барьж эхэлцгээе:

Бид параболын өөр салбар дээр цэгүүдээ тэгш хэмтэй тусгана.

Одоо тэгш бус байдал руугаа буцъя.

Бид тэгээс бага байх шаардлагатай:

Бидний тэгш бус байдлын хувьд тэмдэг нь үүнээс бага байдаг тул бид төгсгөлийн цэгүүдийг хасдаг - "цоорох".

Хариулт:

Хол зам, тийм үү? Одоо би ижил тэгш бус байдлын жишээг ашиглан график шийдлийн илүү хялбар хувилбарыг үзүүлэх болно.

Сонголт 2

Бид тэгш бус байдал руугаа буцаж, шаардлагатай интервалуудыг тэмдэглэнэ.

Зөвшөөрч байна, энэ нь илүү хурдан юм.

Одоо хариултаа бичье:

Алгебрийн хэсгийг хялбарчлах өөр нэг шийдлийг авч үзье, гэхдээ гол зүйл бол төөрөлдөхгүй байх явдал юм.

Зүүн ба баруун талыг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Дараах асуудлыг өөрөө шийдэхийг хичээгээрэй квадрат тэгш бус байдалтаны дуртай ямар ч байдлаар: .

Та удирдаж чадсан уу?

Миний график хэрхэн болсныг хараарай:

Хариулт: .

Холимог тэгш бус байдлын график шийдэл

Одоо илүү төвөгтэй тэгш бус байдал руу шилжье!

Энэ танд хэр таалагдаж байна вэ:

Энэ нь аймшигтай юм, тийм үү? Үнэнийг хэлэхэд, би үүнийг алгебрийн аргаар хэрхэн шийдэх талаар мэдэхгүй байна ... Гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм. Графикийн хувьд энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй! Нүд айж байна, харин гар хийж байна!

Бидний эхлэх хамгийн эхний зүйл бол хоёр график байгуулах явдал юм.

Би тус бүрд нь хүснэгт бичихгүй - та үүнийг өөрөө төгс хийж чадна гэдэгт би итгэлтэй байна (хөөх, шийдэх олон жишээ байна!).

Та зурсан уу? Одоо хоёр график байгуул.

Зургаа харьцуулж үзье?

Тантай ч адилхан уу? Агуу их! Одоо огтлолцох цэгүүдийг цэгцэлж, онолын хувьд аль график илүү том байх ёстойг өнгийг ашиглан тодорхойлъё. Эцэст нь юу болсныг хараарай:

Одоо бидний сонгосон график хаана графикаас өндөр байгааг харцгаая? Энэ хэсгийг харандаа аваад будаарай! Тэр бидний нарийн төвөгтэй тэгш бус байдлын шийдэл байх болно!

Бид тэнхлэгийн дагуу ямар интервалаас өндөр байдаг вэ? Зөв, . Энэ бол хариулт!

За, одоо та ямар ч тэгшитгэл, ямар ч систем, тэр ч байтугай ямар ч тэгш бус байдлыг зохицуулж чадна!

ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн график ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм:

1. Үүнийгээ дамжуулан илэрхийлье
2. Функцийн төрлийг тодорхойлъё
3. Үүссэн функцүүдийн графикийг байгуулъя
4. Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё
5. Хариултаа зөв бичье (ODZ болон тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан)
6. Хариултыг шалгацгаая (тэгшитгэл эсвэл системд үндэсийг орлуулна уу)

Функцийн график байгуулах талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг "" сэдвээс үзнэ үү.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш дажгүй байна гэсэн үг.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Амжилтанд хүрэхийн тулд Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Сайн уу. Энэ нийтлэлд би танд үзүүлэхийг хичээх болно боломжит арга замууд график ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Энэ жишээг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэх хувилбаруудыг авч үзье.

1) Бид тэгшитгэлээ x 2 = 2x + 3 хэлбэрээр илэрхийлж болно. Дараа нь y = x 2 ба y = 2x + 3 функцуудын графикуудыг ижил координатын системд байгуулъя y = x 2 графикийг Зураг 1-д үзүүлэв , мөн 2-р зураг дээрх графикуудыг хоёуланг нь үзүүлэв.

Зураг 1 Зураг 2

Графикууд хоёр цэг дээр огтлолцдог, бидний тэгшитгэл нь x = – 1 ба x = 3 гэсэн шийдэлтэй байна.

2) Гэхдээ та тэгшитгэлийг өөр аргаар илэрхийлж болно, жишээлбэл, x 2 ‒ 2x = 3, y = x 2 ‒ 2x, y = 3 функцүүдийн графикийг нэг координатын системд байгуулж болно. Та тэдгээрийг Зураг 3, 4-ээс харж болно. Зураг 3-т y = x 2 ‒ 2x графикийг, Зураг 4-т y = x 2 ‒ 2x ба y = 3 графикуудыг хоёуланг нь харуулав.

Зураг 3 Зураг 4

Бидний харж байгаагаар эдгээр хоёр график нь мөн x = -1 ба x = 3 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. хариулт: - 1; 3.

3) Энэ x 2 ‒ 3 = 2x тэгшитгэлийг илэрхийлэх өөр хувилбар бий. Мөн бид ижил координатын системд y = x 2 ‒ 3 ба y = 2x функцуудын графикуудыг дахин байгуулав. Эхний y = x 2 ‒ 3 Зураг 5, график хоёуланг нь Зураг 6.

Зураг 5 Зураг 6

Хариулт: - 1; 3.

4) Та y = x 2 ‒ 2x ‒ 3 параболыг байгуулж болно.

Параболын орой x 0 = - b/2a = 2/2=1, y 0 = 1 2 ‒ 2 1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Энэ нь (1; ‒ 4) цэг юм. Тэгвэл бидний парабол х =1 шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хэрэв бид x = 1 шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй хоёр цэгийг авбал, жишээлбэл: x = - 2 ба x = 4, дараа нь бид графикийн салбарууд дамжин өнгөрөх хоёр цэгийг авна.

Хэрэв x = -2 бол у =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5 болно.

Үүний нэгэн адил x = 4, y = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3 = 16 – 8 – 3 = 5. Үүссэн цэгүүд нь (-2; 5); (1; 4) ба (4; 5) бид хавтгайд тэмдэглэгээ хийж, параболыг зурна (Зураг 7).

Зураг 7

Парабол нь x тэнхлэгийг 1 ба 3 цэгүүдээр огтолж байна. Эдгээр нь x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: - 1 ба 3.

5) Мөн та биномийн квадратыг тусгаарлаж болно:

x 2 ‒ 2x ‒ 3= 0

(x 2 ‒ 2x + 1) ‒ 1 ‒ 3= 0

(x -1) 2 - 4 = 0

Дараа нь y = (x - 1) 2 ба y = 4 функцүүдийн графикуудыг нэг координатын системд байгуулна. Эхний график нь 8-р зурагт y = (x - 1) 2, хоёр график нь у = (х - 1) байна. Зураг 9-д 2 ба y = 4 байна.

Зураг 8 Зураг 9

Тэд мөн x = -1, x = 3 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог.

Хариулт: - 1; 3.

6) x = 0 нь x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 тэгшитгэлийн язгуур биш (эсвэл 0 2 – 2 0 –3 = 0 тэгшитгэл биелэх болно) тул тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг х-д хувааж болно. Үүний үр дүнд бид x – 2 – 3/x = 0 тэгшитгэлийг олж авна. 3/x-ийг баруун тийш шилжүүлж x – 2 = 3/x тэгшитгэлийг гаргая. Дараа нь y = 3/x функцүүдийн графикийг байгуулж болно. ба нэг координатын системд y = x – 2 .

Зураг 10-д y = 3/x функцийн график, Зураг 11-д y = 3/x, y = x – 2 функцийн графикуудыг тус тус үзүүлэв.

Зураг 10 Зураг 11

Тэд мөн x = -1, x = 3 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог.

Хариулт: - 1; 3.

Хэрэв та анхааралтай ажиглаж байсан бол тэгшитгэлийг хоёр функцээр хэрхэн гаргаж байгаагаас үл хамааран та үргэлж ижил хариулттай байх болно (мэдээжийн хэрэг, та тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу илэрхийллийг шилжүүлэхэд алдаа гаргахгүй байх болно) болон график байгуулах үед). Иймд тэгшитгэлийг графикаар шийдэхдээ график функцийг дүрслэх аргыг сонгоход хялбар байдаг. Бас нэг тэмдэглэл: хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо биш бол хариулт нь үнэн зөв биш байх болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Та 7-р ангийн алгебрийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлтэй танилцсан. Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэдгийг санаарай, энд a, b, c нь дурын тоо (коэффициент), a . Зарим функц, тэдгээрийн графикийн талаархи мэдлэгээ ашиглан бид "Квадрат тэгшитгэл" сэдвийг системтэй судлахыг хүлээхгүйгээр зарим квадрат тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх боломжтой болсон; Бид эдгээр аргуудыг нэг квадрат тэгшитгэлийн жишээн дээр авч үзэх болно.

Жишээ. x 2 - 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Арга I . § 13-ын алгоритмыг ашиглан y = x 2 - 2x - 3 функцийн графикийг байгуулъя.

1) Бидэнд: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Энэ нь параболын орой нь (1; -4) цэг, параболын тэнхлэг нь x = 1 шулуун байна гэсэн үг юм.

2) Х тэнхлэг дээр параболын тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй хоёр цэгийг ав, жишээлбэл, x = -1 ба x = 3 цэгүүд.

Бид f(-1) = f(3) = 0 байна. Координатын хавтгайд (-1; 0) ба (3; 0) цэгүүдийг байгуулъя.

3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) цэгүүдээр бид параболыг зурдаг (Зураг 68).

x 2 - 2x - 3 = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд; Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс нь: x 1 = - 1, x 2 - 3 гэсэн үг юм.

II арга. Тэгшитгэлийг x 2 = 2x + 3 хэлбэрт шилжүүлье. y - x 2 ба y = 2x + 3 функцүүдийн графикийг нэг координатын системд байгуулъя (Зураг 69). Тэд A(- 1; 1) ба B(3; 9) гэсэн хоёр цэгээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн язгуурууд нь A ба B цэгүүдийн абсциссууд бөгөөд энэ нь x 1 = - 1, x 2 - 3 гэсэн үг юм.

III арга . Тэгшитгэлийг x 2 - 3 = 2x хэлбэрт шилжүүлье. y = x 2 - 3 ба y = 2x функцуудын графикийг нэг координатын системд байгуулъя (Зураг 70). Тэд A (-1; - 2) ба B (3; 6) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. Тэгшитгэлийн язгуурууд нь А ба В цэгүүдийн абсциссууд тул x 1 = - 1, x 2 = 3 байна.

IV арга. Тэгшитгэлийг x 2 -2x 4-1-4 = 0 хэлбэрт шилжүүлье
ба цааш нь
x 2 - 2x + 1 = 4, өөрөөр хэлбэл (x - IJ = 4.
Нэг координатын системд y = (x - 1) 2 парабол ба у = 4 шулуун шугамыг байгуулъя (Зураг 71). Тэд A(-1; 4) ба B(3; 4) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцоно. Тэгшитгэлийн язгуурууд нь А ба В цэгүүдийн абсциссууд тул x 1 = -1, x 2 = 3 байна.

V арга. Тэгшитгэлийн хоёр талыг х гишүүнээр хуваавал бид олж авна

Нэг координатын системд гипербол ба y = x - 2 шулуун шугамыг байгуулъя (Зураг 72).

Тэд A (-1; -3) ба B (3; 1) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. Тэгшитгэлийн язгуурууд нь А ба В цэгүүдийн абсциссууд тул x 1 = - 1, x 2 = 3 байна.

Тэгэхээр бид x 2 - 2x - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг графикаар таван аргаар шийдсэн. Эдгээр аргуудын мөн чанарыг шинжлэх болно.

Арга I. Функцийн графикийг х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг дээр байгуул.

II арга. Тэгшитгэлийг ax 2 = -bx - c хэлбэрт шилжүүлж, y = ax 2 парабол ба у = -bx - c шулуун шугам байгуулж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг ол (тэгшитгэлийн үндэс нь огтлолцлын цэгүүдийн абсцисса юм) , хэрэв мэдээжийн хэрэг байгаа бол).

III арга. Тэгшитгэлийг ax 2 + c = - bx хэлбэрт шилжүүлж, y - ax 2 + c парабол болон y = -bx шулуун шугамыг байгуул (энэ нь эхийг дайран өнгөрдөг); тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг ол.

IV арга. Бүрэн квадратыг тусгаарлах аргыг ашиглан тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлнэ

y = a (x + I) 2 парабол ба x тэнхлэгтэй параллель y = - m шулуун шугамыг байгуул; парабол ба шулуун шугамын огтлолцох цэгийг ол.

V арга. Тэгшитгэлийг хэлбэрт хөрвүүлнэ

Гипербол (энэ бол гипербол) ба шулуун шугамыг y = - ax - b байгуулах; тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг ол.

Эхний дөрвөн арга нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд, тав дахь нь зөвхөн c-тэй хүмүүст хамаарна гэдгийг анхаарна уу. Практикт та өгөгдсөн тэгшитгэлд хамгийн тохиромжтой мэт санагдах эсвэл өөрт таалагдсан (эсвэл ойлгох) аргыг сонгож болно.

Сэтгэгдэл . Квадрат тэгшитгэлийг графикаар шийдэх олон арга зам байгаа хэдий ч бид ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна гэдэгт итгэлтэй байна.
Бид үүнийг графикаар шийдэж чадна, үгүй. Жишээлбэл, та x 2 - x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (тодорхой байсантай төстэй тэгшитгэлийг авч үзье.
жишээг авч үзсэн). Жишээлбэл, үүнийг хоёр дахь аргаар шийдэхийг оролдъё: тэгшитгэлийг x 2 = x + 3 хэлбэрт шилжүүлж, y = x 2 параболыг байгуулж,
шулуун шугам y = x + 3, тэдгээр нь A ба B цэгүүд дээр огтлолцдог (Зураг 73), энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр үндэс нь юутай тэнцүү вэ, бид зургийн тусламжтайгаар
Бид хэлж чадахгүй - А ба В цэгүүд дээрх жишээн дээрх шиг "сайн" координатгүй байна. Одоо тэгшитгэлийг авч үзье
x 2 - 16x - 95 = 0. Үүнийг гурав дахь аргаар шийдэх гэж оролдъё. Тэгшитгэлийг x 2 - 95 = 16x хэлбэрт шилжүүлье. Энд бид параболыг бүтээх хэрэгтэй
y = x 2 - 95 ба шулуун шугам y = 16x. Гэхдээ дэвтэрийн хуудасны хязгаарлагдмал хэмжээ нь үүнийг зөвшөөрөхгүй, учир нь y = x 2 параболыг 95 нүдээр доош буулгах ёстой.

Тэгэхээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх график аргууд нь үзэсгэлэнтэй бөгөөд тааламжтай боловч ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдэх зуун хувийн баталгааг өгдөггүй. Цаашид бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

>>Математик: Тэгшитгэлийн график шийдэл

Тэгшитгэлийн график шийдэл

тухай мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэе графикуудфункцууд. Бид дараах функцүүдийн графикийг хэрхэн бүтээх талаар сурсан.

y =b (х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам);

y = kx (эх цэгийг дайран өнгөрөх шугам);

y - kx + m (шулуун шугам);

y = x 2 (парабол).

Эдгээр графикуудын талаархи мэдлэг нь шаардлагатай бол аналитикийг солих боломжийг бидэнд олгоно загваргеометрийн (график), жишээлбэл, y = x 2 (х ба у хоёр хувьсагчтай тэгш байдлыг илэрхийлдэг) загварын оронд координатын хавтгайд параболыг авч үзье. Ялангуяа энэ нь заримдаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй байдаг. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг хэд хэдэн жишээн дээр авч үзье.

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг

Хичээлийн агуулга хичээлийн тэмдэглэлдэмжих хүрээ хичээл танилцуулга хурдасгах аргууд интерактив технологи Дасгал хийх даалгавар, дасгал бие даан шалгах семинар, сургалт, кейс, даалгавар бие даалт хэлэлцүүлгийн асуултууд сурагчдын риторик асуултууд Зураглал аудио, видео клип, мультимедиагэрэл зураг, зураг, график, хүснэгт, диаграмм, хошигнол, анекдот, хошигнол, хошин шог, сургаалт зүйрлэл, хэллэг, кроссворд, ишлэл Нэмэлтүүд хураангуйнийтлэл, сониуч хүүхдийн ор сурах бичиг, нэр томьёоны үндсэн болон нэмэлт толь бичиг бусад Сурах бичиг, хичээлийг сайжруулахсурах бичгийн алдааг засахсурах бичгийн хэсэг, хичээл дэх инновацийн элементүүдийг шинэчлэх, хуучирсан мэдлэгийг шинэ зүйлээр солих Зөвхөн багш нарт зориулагдсан төгс хичээлүүджилийн хуанлийн төлөвлөгөө удирдамжхэлэлцүүлгийн хөтөлбөрүүд Нэгдсэн хичээлүүд

Энэхүү видео хичээлээр “Function y=x 2” сэдвийг судлахаар санал болгож байна. Тэгшитгэлийн график шийдэл." Энэ хичээлийн үеэр оюутнууд функцийн графикийн шинж чанарын мэдлэг дээр суурилсан тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэх шинэ арга барилтай танилцах боломжтой болно. Багш y=x 2 функцийг графикаар хэрхэн шийдвэрлэхийг үзүүлнэ.

Сэдэв:Чиг үүрэг

Хичээл:Чиг үүрэг. Тэгшитгэлийн график шийдэл

Тэгшитгэлийн график шийдэл нь функцын график ба тэдгээрийн шинж чанарын талаархи мэдлэг дээр суурилдаг. Графикийг нь мэддэг функцүүдийг жагсаацгаая.

1) график нь ординат тэнхлэг дээрх цэгийг дайран өнгөрөх абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм. Жишээг харцгаая: y=1:

Өөр өөр утгуудын хувьд бид x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын гэр бүлийг авдаг.

2) Шууд пропорциональ функц, энэ функцийн график нь координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Нэг жишээг харцгаая:

Шугам бүрийг байгуулахын тулд та түүнд тохирсон цэгийг сонгож, координатын гарал үүслийг хоёр дахь цэг болгон авах хэрэгтэй гэдгийг бид өмнөх хичээлүүд дээр хийсэн.

k коэффициентийн үүргийг эргэн санацгаая: функц нэмэгдэх тусам шулуун ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг хурц байна; функц буурах үед шулуун ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг мохоо байна. Нэмж дурдахад ижил тэмдгийн хоёр k параметрийн хооронд дараахь хамаарал бий: эерэг k хувьд энэ нь том байх тусам функц хурдан өсөх ба сөрөг үзүүлэлтийн хувьд үнэмлэхүй утга дахь k-ийн их утгын хувьд функц хурдан буурдаг. .

3) Шугаман функц. Хэзээ - бид ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олж авах бөгөөд энэ төрлийн бүх шулуун шугамууд (0; м) цэгээр дамждаг. Үүнээс гадна, функц нэмэгдэхийн хэрээр шулуун шугам ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг хурц байна; функц буурах үед шулуун ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг мохоо байна. Мэдээжийн хэрэг k-ийн утга нь функцийн утгын өөрчлөлтийн хурдад нөлөөлдөг.

4). Энэ функцийн график нь парабол юм.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1 - Тэгшитгэлийг графикаар шийд:

Бид энэ төрлийн функцийг мэдэхгүй тул өөрчлөх хэрэгтэй өгөгдсөн тэгшитгэлмэдэгдэж байгаа функцуудтай ажиллахын тулд:

Бид тэгшитгэлийн хоёр талд танил функцуудыг олж авдаг.

Функцийн графикуудыг байгуулъя:

Графикууд нь хоёр огтлолцох цэгтэй: (-1; 1); (2; 4)

Шийдэл зөв олдсон эсэхийг шалгаж, координатуудыг тэгшитгэлд орлуулж үзье.

Эхний цэгийг зөв олсон.

, , , , , ,

Хоёрдахь цэгийг бас зөв олсон.

Тэгэхээр тэгшитгэлийн шийдлүүд нь ба байна

Бид өмнөх жишээний адилаар ажиллаж байна: өгөгдсөн тэгшитгэлийг бидэнд мэдэгдэж буй функц болгон хувиргаж, тэдгээрийн графикийг байгуулж, огтлолцлын гүйдлийг олж, эндээс шийдлийг зааж өгнө.

Бид хоёр функцийг авдаг:

Графикуудыг бүтээцгээе:

Эдгээр графикууд огтлолцох цэггүй тул өгөгдсөн тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг

Дүгнэлт: энэ хичээлээр бид бидэнд мэдэгдэж байсан функцууд болон тэдгээрийн графикуудыг судалж, шинж чанаруудыг нь эргэн сануулж, судалж үзсэн. график аргатэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. болон бусад Алгебр 7. 6-р хэвлэл. М .: Гэгээрэл. 2010 он

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебр 7. М.: VENTANA-GRAF

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. болон бусад Алгебр 7.М.: Гэгээрэл. 2006 он

Даалгавар 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. болон бусад Алгебр 7, № 494, 110-р зүйл;

Даалгавар 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. болон бусад Алгебр 7, № 495, 110-р зүйл;

Даалгавар 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. болон бусад Алгебр 7, № 496, 110-р зүйл;