Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „X“ išvestinė yra lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, ją galima paimti iš išvestinės ženklo:

Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Išvestinė kvadratinė šaknis
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso išvestinė
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Arkosino darinys
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Realiuose uždaviniuose randant sandaugos išvestinę ir koeficientą, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl daugiau pavyzdžių dėl šių darinių – straipsnyje"Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, kuris įvyksta pradinis etapas studijuoja išvestines, tačiau sprendžiant kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, vidutinis studentas šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažna klaida- sudėtingos funkcijos išvestinės kaip paprastos funkcijos išvestinės mechaninis sprendimas. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite tokią užduotį kaip , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis darinys" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kt trigonometrinės funkcijos, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal gaminio diferenciacijos taisyklę ir lentelės vertė kvadratinės šaknies išvestinę gauname:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Straipsnio turinys

IŠVEDINĖ– funkcijos išvestinė y = f(x), duota tam tikru intervalu ( a, b) taške xŠis intervalas vadinamas riba, iki kurios linksta funkcijos prieaugio santykis fšiuo metu į atitinkamą argumento prieaugį, kai argumento padidėjimas linkęs į nulį.

Išvestinė paprastai žymima taip:

Kiti pavadinimai taip pat plačiai naudojami:

Momentinis greitis.

Tegul taškas M juda tiesia linija. Atstumas s judantis taškas, skaičiuojamas nuo tam tikros pradinės padėties M 0 , priklauso nuo laiko t, t.y. s yra laiko funkcija t: s= f(t). Leiskite tam tikru momentu t judantis taškas M buvo per atstumą s nuo pradinės padėties M 0, o kitą akimirką t+D t atsidūrė tokioje padėtyje M 1 – per atstumą s+D s iš pradinės padėties ( žr. pav.).

Taigi per tam tikrą laiką D t atstumas s pakeista suma D s. Šiuo atveju jie sako, kad per laiko intervalą D t dydžio s gavo priedą D s.

Vidutinis greitis negali visais atvejais tiksliai apibūdinti taško judėjimo greičio M tam tikru momentu t. Jei, pavyzdžiui, kūnas intervalo D pradžioje t judėjo labai greitai, o pabaigoje labai lėtai, tada vidutinis greitis negalės atspindėti nurodytų taško judėjimo ypatybių ir pateikti supratimo apie tikrąjį jo judėjimo greitį šiuo metu t. Norint tiksliau išreikšti tikrąjį greitį naudojant vidutinį greitį, reikia skirti trumpesnį laiko tarpą D t. Labiausiai apibūdina taško judėjimo greitį šiuo metu t riba, iki kurios vidutinis greitis linkęs ties D t® 0. Ši riba vadinama dabartiniu greičiu:

Taigi judėjimo greitis tam tikru momentu vadinamas kelio prieaugio santykio D riba s prie laiko padidėjimo D t, kai laiko padidėjimas linkęs nulį. Nes

Geometrinė išvestinės reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė.

Liečiamųjų linijų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis publikuotas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu, kurį parašė Leibnicas, buvo pavadintas Naujas metodas maksimumai ir minimumai, taip pat liestinės, kurioms nėra nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai, ir tam skirtas specialus skaičiavimo tipas yra kliūtis.

Tegul kreivė yra funkcijos grafikas y =f(x) V stačiakampė sistema koordinatės ( cm. ryžiai.).

Tam tikra verte x svarbu funkcija y =f(x). Šios vertybės x Ir y kreivės taškas atitinka M 0(x, y). Jei argumentas x duoti padidėjimas D x, tada nauja argumento reikšmė x+D x atitinka naują funkcijos reikšmę y+ D y = f(x + D x). Atitinkamas kreivės taškas bus taškas M 1(x+D x,y+D y). Jei nupiešite sekantą M 0M 1 ir žymimas j kampas, sudarytas skersinio su teigiama ašies kryptimi Jautis, iš paveikslo iš karto matyti, kad .

Jei dabar D x linkęs į nulį, tada taškas M 1 juda išilgai kreivės, artėdamas prie taško M 0 ir kampas j keičiasi su D x. At Dx® 0 kampas j linkęs į tam tikrą ribą a ir tiesė, einanti per tašką M 0, o dedamoji su teigiama x ašies kryptimi, kampas a, bus norima liestinė. Ji nuolydis:

Vadinasi, f´( x) = tga

tie. išvestinė vertė f´( x) nurodytai argumento vertei x lygus funkcijos grafiko liestinės suformuoto kampo tangentei f(x) atitinkamame taške M 0(x,y) su teigiama ašies kryptimi Jautis.

Funkcijų diferencijavimas.

Apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x = x 0, tada funkcija šiuo metu yra diferencijuojama.

Funkcijos, turinčios išvestinę, tęstinumas. Teorema.

Jei funkcija y = f(x) tam tikru momentu skiriasi x = x 0, tada šiame taške jis yra tęstinis.

Taigi funkcija negali turėti išvestinės nutrūkimo taškuose. Priešinga išvada yra neteisinga, t.y. nuo to, kad tam tikru momentu x = x 0 funkcija y = f(x) yra tęstinis, nereiškia, kad šiuo metu jis skiriasi. Pavyzdžiui, funkcija y = |x| nuolatinis visiems x(–Ґ x x = 0 neturi išvestinės. Šiuo metu grafiko liestinės nėra. Yra dešinioji ir kairioji, bet jos nesutampa.

Kai kurios diferencijuojamųjų funkcijų teoremos. Teorema apie išvestinės šaknis (Rolle teorema). Jei funkcija f(x) yra ištisinis segmente [a,b], skiriasi visuose šio segmento vidaus taškuose ir galuose x = a Ir x = b eina į nulį ( f(a) = f(b) = 0), tada segmento [ a,b] yra bent vienas taškas x= Su, a c b, kuriame išvestinė fў( x) eina į nulį, t.y. fў( c) = 0.

Baigtinio prieaugio teorema (Lagranžo teorema). Jei funkcija f(x) yra tęstinis intervale [ a, b] ir skiriasi visuose vidiniuose šio segmento taškuose, tada segmento viduje [ a, b] yra bent vienas taškas Su, a c b tai

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Dviejų funkcijų prieaugio santykio teorema (Koši teorema). Jeigu f(x) Ir g(x) – dvi ištisinės atkarpoje funkcijos [a, b] ir skiriasi visuose šio segmento vidiniuose taškuose, ir gў( x) niekur neišnyksta šiame segmente, tada segmento viduje [ a, b] yra toks punktas x = Su, a c b tai

Įvairių užsakymų dariniai.

Tegul funkcija y =f(x) yra diferencijuojamas tam tikru intervalu [ a, b]. Išvestinės vertės f ў( x), paprastai kalbant, priklauso nuo x, t.y. išvestinė f ў( x) taip pat yra funkcija x. Diferencijuodami šią funkciją gauname vadinamąją antrąją funkcijos išvestinę f(x), kuris yra pažymėtas f ўў ( x).

Darinys n- funkcijų tvarka f(x) vadinamas (pirmosios eilės) išvestiniu n- 1- ir žymimas simboliu y(n) = (y(n– 1))ў.

Įvairių užsakymų skirtumai.

Funkcinis diferencialas y = f(x), kur x– nepriklausomas kintamasis, taip dy = f ў( x)dx, kai kurios funkcijos iš x, bet nuo x gali priklausyti tik pirmasis veiksnys f ў( x), antrasis veiksnys ( dx) yra nepriklausomo kintamojo prieaugis x ir nepriklauso nuo šio kintamojo reikšmės. Nes dy yra funkcija nuo x, tada galime nustatyti šios funkcijos skirtumą. Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju šios funkcijos diferencialu arba antros eilės diferencialu ir žymimas d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencialinis n- pirmos eilės yra vadinamas pirmuoju diferencialo diferencialu n- 1- užsakymas:

d n m = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Dalinė išvestinė.

Jei funkcija priklauso ne nuo vieno, o nuo kelių argumentų x i(i svyruoja nuo 1 iki n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada diferencialiniame skaičiavime įvedama dalinės išvestinės sąvoka, kuri apibūdina kelių kintamųjų funkcijos kitimo greitį, kai keičiasi tik vienas argumentas, pvz. x i. 1 eilės dalinė išvestinė atžvilgiu x i apibrėžiamas kaip įprasta išvestinė, ir daroma prielaida, kad visi argumentai, išskyrus x i, išlaikyti pastovias vertes. Daliniams išvestiniams įvedamas žymėjimas

Taip apibrėžtos 1 eilės dalinės išvestinės (kaip tų pačių argumentų funkcijos) savo ruožtu gali turėti ir dalines išvestines, tai yra antros eilės dalinės išvestinės ir pan. Tokios išvestinės, paimtos iš skirtingų argumentų, vadinamos mišriomis. Tos pačios eilės ištisiniai mišrūs dariniai nepriklauso nuo diferenciacijos eilės ir yra lygūs vienas kitam.

Anna Chugainova

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra darinys, koks jo fizinis ir geometrine prasme kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Darinys sudėtinga funkcija yra lygus šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai yra spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Vieno kintamojo funkcijos išvestinė.

Įvadas.

Tikras metodologinius pokyčius skirtas Pramonės ir statybos fakulteto studentams. Jie buvo sudaryti atsižvelgiant į matematikos kurso programą skyriuje „Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas“.

Patobulinimai sudaro vieną metodinį vadovą, apimantį: trumpą teorinę informaciją; „standartinės“ problemos ir pratimai su išsamiais šių sprendimų sprendimais ir paaiškinimais; testavimo parinktys.

Kiekvienos pastraipos pabaigoje yra papildomų pratimų. Dėl šios raidos struktūros jie tinka savarankiškam skyriaus įvaldymui su minimalia mokytojo pagalba.

§1. Išvestinės apibrėžimas.

Mechaninė ir geometrinė reikšmė

išvestinė.

Išvestinės sąvoka yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Ji atsirado dar XVII a. Išvestinės sąvokos formavimasis istoriškai siejamas su dviem problemomis: kintamo judėjimo greičio ir kreivės liestinės problema.

Šios problemos, nepaisant jų skirtingo turinio, lemia tą patį matematinį veiksmą, kurį reikia atlikti su funkcija. Ši operacija matematikoje gavo specialų pavadinimą. Tai vadinama funkcijos diferenciacijos operacija. Diferencijavimo operacijos rezultatas vadinamas išvestine.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinė taške x0 yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra).
adresu
.

Išvestinė paprastai žymima taip:
.

Taigi pagal apibrėžimą

Simboliai taip pat naudojami dariniams žymėti
.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Jei s=s(t) yra materialaus taško tiesinio judėjimo dėsnis, tai
yra šio taško greitis laiko momentu t.

Geometrinė išvestinės reikšmė.

Jei funkcija y=f(x) taške turi išvestinę , tada funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas taške
lygus
.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę
taške =2:

1) Duokime tašką = 2 prieaugis
. Atkreipkite dėmesį, kad.

2) Raskite funkcijos prieaugį taške =2:

3) Sukurkime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

Raskime santykio ribą ties
:

.

Taigi,
.

§ 2. Kai kurių išvestinių

paprasčiausias funkcijas.

Studentas turi išmokti skaičiuoti konkrečių funkcijų išvestines: y=x,y= ir apskritai = .

Raskime funkcijos y=x išvestinę.

tie. (x)′=1.

Raskime funkcijos išvestinę

Darinys

Leiskite
Tada

Galios funkcijos išvestinių išraiškose nesunku pastebėti šabloną
su n=1,2,3.

Vadinasi,

. (1)

Ši formulė galioja bet kuriai realiai n.

Visų pirma, naudojant (1) formulę, turime:

;

.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

.

Ši funkcija yra ypatingas formos funkcijos atvejis

adresu
.

Naudodami formulę (1), turime

.

Funkcijų y=sin x ir y=cos x išvestinės.

Tegu y=sinx.

Padalijus iš ∆x, gauname

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, turime

Tegul y=cosx.

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, gauname

;
. (2)

§3. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės.

Panagrinėkime diferenciacijos taisykles.

Teorema1 . Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai šiame taške jų suma taip pat yra diferencijuojama, o sumos išvestinė lygi terminų išvestinių sumai : (u+v)"=u"+v".(3)

Įrodymas: apsvarstykite funkciją y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumento x prieaugis ∆x atitinka funkcijų u ir v priedus ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Tada funkcija y padidės

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vadinasi,

Taigi, (u+v)"=u"+v.

Teorema2. Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taške, tai jų sandauga yra diferencijuojama tame pačiame taške Šiuo atveju sandaugos išvestinė randama pagal šią formulę: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Įrodymas: Tegu y=uv, kur u ir v yra kai kurios diferencijuojamos x funkcijos. Suteikime x ∆x prieaugį, tada u gaus ∆u prieaugį, v – ∆v, y – ∆y;

Turime y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), arba

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Todėl ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Iš čia

Pereinant prie ribos ties ∆x→0 ir atsižvelgiant į tai, kad u ir v nepriklauso nuo ∆x, turėsime

3 teorema. Dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios vardiklis lygus daliklio kvadratui, o skaitiklis yra skirtumas tarp dividendo išvestinės iš daliklio sandaugos ir daliklio sandaugos. dividendas daliklio išvestine, t.y.

Jeigu
Tai
(5)

4 teorema. Konstantos išvestinė lygi nuliui, t.y. jei y=C, kur C=const, tai y“=0.

5 teorema. Pastovųjį veiksnį galima ištraukti iš darinio ženklo, t.y. jei y=Cu(x), kur C=const, tai y"=Cu"(x).

1 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Ši funkcija turi formą
, kur u=x,v=cosx. Taikydami diferenciacijos taisyklę (4), randame

.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Taikykime (5) formulę.

Čia
;
.

Užduotys.

Raskite šių funkcijų išvestinius:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)