Supaprastinkite išraišką. Įrašai su žyma „supaprastinti algebrinę išraišką“

Vien kai kurie algebriniai pavyzdžiai gali išgąsdinti moksleivius. Ilgi išsireiškimai ne tik baugina, bet ir labai apsunkina skaičiavimus. Bandant iš karto suprasti, kas po ko seka, ilgai neteks susipainioti. Būtent dėl ​​šios priežasties matematikai visada stengiasi kiek įmanoma supaprastinti „baisią“ problemą ir tik tada pradeda ją spręsti. Kaip bebūtų keista, šis triukas gerokai pagreitina darbo procesą.

Supaprastinimas yra vienas iš pagrindinių algebros punktų. Jei į paprastos užduotys Vis tiek galite apsieiti be jo, tačiau sunkiau apskaičiuoti pavyzdžiai gali pasirodyti per sunkūs. Štai kur šie įgūdžiai pravers! Be to, nereikia sudėtingų matematinių žinių: pakaks tik prisiminti ir išmokti praktiškai pritaikyti keletą pagrindinių metodų ir formulių.

Nepriklausomai nuo skaičiavimų sudėtingumo, sprendžiant bet kurią išraišką tai svarbu stebėti operacijų su skaičiais atlikimo tvarką:

1. skliausteliuose;
2. didinimas;
3. daugyba;
4. padalijimas;
5. papildymas;
6. atimti.

Paskutinius du taškus galima nesunkiai sukeisti ir tai niekaip neturės įtakos rezultatui. Tačiau pridėti du gretimus skaičius, kai šalia vieno iš jų yra daugybos ženklas, yra visiškai draudžiama! Atsakymas, jei toks yra, yra neteisingas. Todėl reikia atsiminti seką.

Tokių naudojimas

Tokie elementai apima skaičius su tos pačios eilės arba to paties laipsnio kintamuoju. Taip pat yra vadinamųjų laisvųjų terminų, prie kurių greta nėra raidinio pavadinimo nežinomam.

Esmė ta, kad nesant skliaustų galite supaprastinti išraišką pridėdami arba atimdami panašius.

Keletas iliustruojančių pavyzdžių:

• 8x 2 ir 3x 2 – abu skaičiai turi tą patį antros eilės kintamąjį, todėl jie yra panašūs, o sudėjus supaprastėja iki (8+3)x 2 =11x 2, o atėmus gaunasi (8-3)x 2 = 5x 2;
• 4x 3 ir 6x - ir čia „x“ turi skirtingus laipsnius;
• 2y 7 ir 33x 7 - turi skirtingus kintamuosius, todėl, kaip ir ankstesniu atveju, jie nėra panašūs.

Skaičiaus faktorius

Ši maža matematinė gudrybė, jei išmoksite ja teisingai naudotis, ateityje ne kartą padės susidoroti su sudėtinga problema. Ir nesunku suprasti, kaip veikia „sistema“: skilimas yra kelių elementų sandauga, kurią apskaičiavus gaunama pradinė vertė. Taigi 20 gali būti pavaizduoti kaip 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 arba kitu būdu.

Pastaba: Veiksniai visada yra tokie patys kaip dalikliai. Taigi jums reikia ieškoti darbinės „poros“, kuri būtų išskaidyta tarp skaičių, į kuriuos originalas dalijasi be liekanos.

Šią operaciją galima atlikti ir su laisvaisiais terminais, ir su skaičiais kintamajame. Svarbiausia, kad skaičiavimų metu pastarasis nebūtų prarastas - netgi po skilimo nežinomasis negali tiesiog „niekur išeiti“. Jis lieka viename iš daugiklių:

• 15x = 3 (5x);
• 60y 2 = (15y 2)4.

Pirminiai skaičiai, kuriuos galima padalyti tik iš savęs arba iš 1, niekada neišplečiami – nėra prasmės.

Pagrindiniai supaprastinimo metodai

Pirmas dalykas, kurį patraukia jūsų žvilgsnis:

• skliaustų buvimas;
• trupmenos;
• šaknys.

Algebriniai pavyzdžiai mokyklos programoje dažnai rašomi su mintimi, kad juos galima gražiai supaprastinti.

Skaičiavimai skliausteliuose

Atkreipkite dėmesį į ženklą prieš skliaustus! Daugyba arba padalijimas taikomas kiekvienam elementui viduje, o minuso ženklas apverčia esamus „+“ arba „-“ ženklus.

Skliaustai skaičiuojami pagal taisykles arba naudojant sutrumpintas daugybos formules, po kurių pateikiamos panašios.

Mažinančios frakcijos

Sumažinti frakcijas Taip pat lengva. Jie patys „norai pabėga“ karts nuo karto, kai tik atliekamos operacijos tokių narių pritraukimui. Bet jūs galite supaprastinti pavyzdį dar prieš tai: atkreipkite dėmesį į skaitiklį ir vardiklį. Juose dažnai yra aiškių arba paslėptų elementų, kuriuos galima sumažinti. Tiesa, jei pirmuoju atveju tereikia išbraukti tai, kas nereikalinga, antruoju teks pagalvoti, supaprastinimui suformuojant dalį posakio. Naudoti metodai:

• didžiausio bendro skaitiklio ir vardiklio daliklio paieška ir skliausteliuose;
• padalijus kiekvieną viršutinį elementą iš vardiklio.

Kai išraiška ar jos dalis yra po šaknimi, pagrindinė supaprastinimo užduotis yra beveik panaši į trupmenų atveju. Būtina ieškoti būdų, kaip visiškai jo atsikratyti arba, jei tai neįmanoma, sumažinti ženklą, kuris trukdo skaičiavimams. Pavyzdžiui, iki nepastebimo √(3) arba √(7).

Teisingas kelias supaprastinkite radikalią išraišką – pabandykite į ją atsižvelgti, kai kurie iš jų yra už ženklo ribų. Iliustratyvus pavyzdys: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Kiti smulkūs gudrybės ir niuansai:

• šią supaprastinimo operaciją galima atlikti su trupmenomis, išimant ją iš ženklo ir kaip visumą, ir atskirai kaip skaitiklį arba vardiklį;
• Dalies sumos ar skirtumo negalima išplėsti ir paimti už šaknies ribų;
• dirbdami su kintamaisiais būtinai atsižvelkite į jo laipsnį, jis turi būti lygus ar šaknies kartotinis, kad būtų galima išimti: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• kartais galima atsikratyti radikalaus kintamojo, pakėlus jį į trupmeninę laipsnį: √(y 3)=y 3/2.

Galios išraiškos supaprastinimas

Jei atliekant paprastus skaičiavimus iš minuso arba pliuso, pavyzdžiai supaprastinami cituojant panašius, tai kaip dauginant ar dalijant kintamuosius su skirtingomis galiomis? Juos galima lengvai supaprastinti prisiminus du pagrindinius dalykus:

1. Jei tarp kintamųjų yra daugybos ženklas, laipsniai sumuojami.
2. Jas padalijus vienas iš kito, ta pati vardiklio galia atimama iš skaitiklio galios.

Vienintelė tokio supaprastinimo sąlyga yra ta pati bazė abu nariai. Pavyzdžiai aiškumo dėlei:

• 5x 2 × 4x 7 +(y 13 /y 11)=(5 × 4)x 2+7 +y 13- 11 = 20x 9 +y 2;
• 2z 3 + z × z 2 -(3 × z 8 /z 5) = 2z 3 +z 1 + 2 -(3 × z 8-5) = 2z 3 + z 3 - 3z 3 = 3z 3 -3z 3 = 0.

Atkreipiame dėmesį, kad operacijos su skaitinėmis reikšmėmis prieš kintamuosius atliekamos įprastai matematines taisykles. Ir jei atidžiai pažvelgsite, paaiškės, kad posakio „veikia“ galios elementai panašiai:

• termino pakėlimas į laipsnį reiškia jo padauginimą iš savęs tam tikrą skaičių kartų, t.y. x 2 =x×x;
• padalijimas yra panašus: jei padidinsite skaitiklio ir vardiklio galias, kai kurie kintamieji bus atšaukti, o likę „surenkami“, o tai prilygsta atimčiai.

Kaip ir bet kas, algebrinių išraiškų supaprastinimas reikalauja ne tik pagrindinių žinių, bet ir praktikos. Vos po kelių pamokų pavyzdžiai, kurie kažkada atrodė sudėtingi, be didelių sunkumų bus sumažinti ir virsta trumpais ir lengvai išsprendžiamais.

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės suprasti ir prisiminti, kaip supaprastinami posakiai.

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.

Dažnai užduotys reikalauja supaprastinto atsakymo. Nors ir supaprastinti, ir nesupaprastinti atsakymai yra teisingi, jūsų mokytojas gali sumažinti jūsų pažymį, jei nesupaprastinsite atsakymo. Be to, su supaprastinta matematine išraiška dirbti daug lengviau. Todėl labai svarbu išmokti supaprastinti posakius.

Žingsniai

Teisinga matematinių operacijų tvarka

1. Prisiminkite teisingą matematinių operacijų atlikimo tvarką. Supaprastinant matematinę išraišką, reikia laikytis tam tikros tvarkos, nes kai kurios matematinės operacijos turi viršenybę prieš kitas ir turi būti atliekamos pirmiausia (iš tikrųjų, nesilaikydami teisingos operacijų tvarkos, gausite neteisingą rezultatą). Prisiminkite tokią matematinių operacijų tvarką: išraiška skliausteliuose, laipsniškumas, daugyba, dalyba, sudėjimas, atėmimas.

   • Atkreipkite dėmesį, kad žinodami teisingą operacijų tvarką, galėsite supaprastinti daugumą paprastų išraiškų, tačiau norint supaprastinti daugianarį (reiškinį su kintamuoju), turite žinoti specialias gudrybes (žr. kitą skyrių).

2. Pradėkite spręsdami skliausteliuose esančią išraišką. Matematikoje skliausteliuose nurodoma, kad pirmiausia reikia įvertinti juose esančią išraišką. Todėl supaprastindami bet kokią matematinę išraišką, pradėkite nuo skliausteliuose esančios išraiškos sprendimo (nesvarbu, kokias operacijas reikia atlikti skliausteliuose). Tačiau atminkite, kad dirbant su išraiška, esančia skliausteliuose, reikia laikytis operacijų eilės, tai yra, skliausteliuose esantys terminai pirmiausia dauginami, dalijami, pridedami, atimami ir pan.

   • Pavyzdžiui, supaprastinkime išraišką 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Čia pradedame nuo išraiškų skliausteliuose: 5 + 2 = 7 ir 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Išraiška antroje skliaustų poroje supaprastinama iki 5, nes pirmiausia reikia padalyti 4/2 (pagal teisingą operacijų tvarką). Jei nesilaikysite šios tvarkos, gausite neteisingą atsakymą: 3 + 4 = 7 ir 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jei skliausteliuose yra kita skliaustų pora, pradėkite supaprastinti spręsdami vidiniuose skliausteliuose esančią išraišką, o tada pereikite prie išoriniuose skliausteliuose esančios išraiškos sprendimo.

3. Didinti. Išsprendę skliausteliuose esančias išraiškas, pereikite prie eksponencijos (atminkite, kad laipsnis turi eksponentą ir bazę). Pakelkite atitinkamą išraišką (arba skaičių) iki laipsnio ir pakeiskite rezultatą į jums pateiktą išraišką.

   • Mūsų pavyzdyje vienintelė laipsnio išraiška (skaičius) yra 3 2: 3 2 = 9. Jums duotoje išraiškoje 3 2 pakeiskite 9 ir gausite: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Padauginti. Atminkite, kad daugybos operacija gali būti vaizduojama šiais simboliais: „x“, „∙“ arba „*“. Bet jei tarp skaičiaus ir kintamojo (pavyzdžiui, 2x) arba tarp skaičiaus ir skaičiaus skliausteliuose nėra simbolių (pavyzdžiui, 4(7)), tai taip pat yra daugybos operacija.

   • Mūsų pavyzdyje yra dvi daugybos operacijos: 2x (du padauginti iš kintamojo "x") ir 4(7) (keturi padauginti iš septynių). Mes nežinome x reikšmės, todėl išraišką 2x paliksime tokią, kokia yra. 4(7) = 4 x 7 = 28. Dabar jums suteiktą išraišką galite perrašyti taip: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Padalinti. Atminkite, kad padalijimo operacija gali būti vaizduojama šiais simboliais: „/“, „÷“ arba „–“ (paskutinį simbolį galite matyti trupmenomis). Pavyzdžiui, 3/4 yra trys padalinti iš keturių.

   • Mūsų pavyzdyje nebėra padalijimo operacijos, nes spręsdami skliausteliuose esančią išraišką jau padalinote 4 iš 2 (4/2). Taigi galite pereiti prie kito žingsnio. Atminkite, kad daugumoje išraiškų nėra visų matematinių veiksmų (tik kai kurie iš jų).

6. Sulenkite. Pridėdami išraiškos terminus galite pradėti nuo tolimiausio termino (kairėje) arba galite pridėti terminų, kuriuos lengva pridėti pirmiausia. Pavyzdžiui, reiškinyje 49 + 29 + 51 +71 iš pradžių lengviau pridėti 49 + 51 = 100, tada 29 + 71 = 100 ir galiausiai 100 + 100 = 200. Daug sunkiau sudėti taip: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Mūsų pavyzdyje 2x + 28 + 9 + 5 yra dvi sudėjimo operacijos. Pradėkime nuo tolimiausio (kairiojo) termino: 2x + 28; negalite pridėti 2x ir 28, nes nežinote kintamojo "x" reikšmės. Todėl pridėkite 28 + 9 = 37. Dabar išraišką galima perrašyti taip: 2x + 37 - 5.

7. Atimti. Tai paskutinė operacija teisinga tvarka atliekant matematinius veiksmus. Šiame etape taip pat galite pridėti neigiami skaičiai arba darykite tai narių pridėjimo etape – tai niekaip neturės įtakos galutiniam rezultatui.

   • Mūsų pavyzdyje 2x + 37 - 5 yra tik viena atėmimo operacija: 37 - 5 = 32.

8. Šiame etape, atlikę visas matematines operacijas, turėtumėte gauti supaprastintą išraišką. Bet jei jums pateiktoje išraiškoje yra vienas ar daugiau kintamųjų, atminkite, kad kintamojo terminas liks toks, koks yra. Sprendžiant (ne supaprastinant) išraišką su kintamuoju reikia rasti to kintamojo reikšmę. Kartais kintamos išraiškos gali būti supaprastintos naudojant specialius metodus(žr. kitą skyrių).

   • Mūsų pavyzdyje galutinis atsakymas yra 2x + 32. Negalite pridėti dviejų terminų, kol nežinote kintamojo "x" reikšmės. Sužinoję kintamojo reikšmę, galite lengvai supaprastinti šį dvinarį.

   Sudėtingų posakių supaprastinimas

   1. Panašių terminų pridėjimas. Atminkite, kad galite atimti ir pridėti tik panašius terminus, ty terminus su tuo pačiu kintamuoju ir tuo pačiu rodikliu. Pavyzdžiui, galite pridėti 7x ir 5x, bet negalite pridėti 7x ir 5x 2 (nes eksponentai skiriasi).

      • Ši taisyklė taip pat taikoma nariams su keliais kintamaisiais. Pavyzdžiui, galite pridėti 2xy 2 ir -3xy 2 , bet negalite pridėti 2xy 2 ir -3x 2 y arba 2xy 2 ir -3y 2 .
      • Pažiūrėkime į pavyzdį: x 2 + 3x + 6 - 8x. Čia panašūs terminai yra 3x ir 8x, todėl juos galima sudėti. Supaprastinta išraiška atrodo taip: x 2 - 5x + 6.

   2. Supaprastinkite skaičių trupmeną. Tokioje trupmenoje tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje yra skaičiai (be kintamojo). Skaitmeninė trupmena supaprastinta keliais būdais. Pirma, tiesiog padalykite vardiklį iš skaitiklio. Antra, pakoreguokite skaitiklį ir vardiklį ir atšaukite panašius veiksnius (nes padalijus skaičių iš savęs gausite 1). Kitaip tariant, jei ir skaitiklis, ir vardiklis turi tą patį koeficientą, galite jį atsisakyti ir gauti supaprastintą trupmeną.

      • Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeną 36/60. Naudodami skaičiuotuvą padalykite 36 iš 60, kad gautumėte 0,6. Bet jūs galite supaprastinti šią trupmeną kitu būdu, išskaidydami skaitiklį ir vardiklį: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Kadangi 6/6 = 1, supaprastinta trupmena yra: 1 x 6/10 = 6/10. Tačiau šią trupmeną taip pat galima supaprastinti: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Jei trupmenoje yra kintamasis, galite atšaukti panašius veiksnius naudodami kintamąjį. Padidinkite ir skaitiklį, ir vardiklį bei panaikinkite panašius veiksnius, net jei juose yra kintamasis (atminkite, kad panašiuose veiksniuose kintamasis gali būti arba ne).

      • Pažvelkime į pavyzdį: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Šią išraišką galima perrašyti (faktorizuoti) į formą: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Kadangi 3x terminas yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje, galite jį atšaukti, kad gautumėte supaprastintą išraišką: (x + 1)/(5 - x). Pažvelkime į kitą pavyzdį: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Atminkite, kad negalite atšaukti jokių terminų – atšaukiami tik identiški veiksniai, esantys tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje. Pavyzdžiui, reiškinyje (x(x + 2))/x kintamasis (koeficientas) „x“ yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje, todėl „x“ galima sumažinti, kad būtų gauta supaprastinta išraiška: (x + 2)/1 = x + 2. Tačiau reiškinyje (x + 2)/x kintamasis "x" negali būti sumažintas (nes "x" nėra skaitiklio veiksnys).

   4. Atidarykite skliaustus. Norėdami tai padaryti, padauginkite už skliausteliuose esantį terminą iš kiekvieno skliausteliuose esančio termino. Kartais tai padeda supaprastinti sudėtingą išraišką. Tai taikoma ir nariams, kurie yra pirminiai skaičiai, ir nariams, kuriuose yra kintamasis.

      • Pavyzdžiui, 3 (x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ir 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninėse išraiškose skliaustų atidaryti nereikia, jei skaitiklis ir vardiklis turi tą patį koeficientą. Pavyzdžiui, reiškinyje (3(x 2 + 8))/3x skliaustų plėsti nereikia, nes čia galite atšaukti koeficientą 3 ir gauti supaprastintą išraišką (x 2 + 8)/x. Su šia išraiška lengviau dirbti; jei išplėstumėte skliaustus, gautumėte tokią sudėtingą išraišką: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Dauginamieji koeficientai. Naudodami šį metodą galite supaprastinti kai kurias išraiškas ir daugianarias. Faktoringas yra priešinga skliaustų atidarymo operacija, tai yra, išraiška rašoma kaip dviejų posakių, kurių kiekviena yra skliausteliuose, sandauga. Kai kuriais atvejais faktoringas leidžia sumažinti tą pačią išraišką. Ypatingais atvejais (dažniausiai su kvadratines lygtis) faktoringas leis išspręsti lygtį.

      • Apsvarstykite išraišką x 2 - 5x + 6. Ji koeficientinė: (x - 3)(x - 2). Taigi, jei, pavyzdžiui, pateikta išraiška (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), galite ją perrašyti kaip (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), sumažinkite išraišką (x - 2) ir gaukite supaprastintą išraišką (x - 3)/2.
      • Faktoringo polinomo skaičiavimas naudojamas lygtims išspręsti (rasti šaknis) (lygtis yra daugianomas, lygus 0). Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį x 2 - 5x + 6 = 0. Suskaičiavę ją, gausite (x - 3)(x - 2) = 0. Kadangi bet kuri išraiška, padauginta iš 0, yra lygi 0, galime parašyti kaip tai : x - 3 = 0 ir x - 2 = 0. Taigi, x = 3 ir x = 2, tai yra, jūs radote dvi jums pateiktos lygties šaknis.

Algebrinių išraiškų supaprastinimas yra vienas iš pagrindiniai punktai mokymosi algebra ir ypač naudingas įgūdis visiems matematikams. Supaprastinimas leidžia sumažinti sudėtingą arba ilgą išraišką iki paprastos išraiškos, su kuria lengva dirbti. Pagrindiniai supaprastinimo įgūdžiai yra geri net tiems, kurie nėra entuziastingi matematikos. Stebint keletą paprastos taisyklės, galite supaprastinti daugelį dažniausiai naudojamų algebrinių išraiškų tipų, neturėdami jokių specialių matematinių žinių.

Žingsniai

Svarbūs apibrėžimai

1. Panašūs nariai. Tai nariai su tos pačios eilės kintamuoju, nariai su tais pačiais kintamaisiais arba laisvieji nariai (nariai, kuriuose kintamojo nėra). Kitaip tariant, panašūs terminai apima tą patį kintamąjį tokiu pat laipsniu, apima kelis tuos pačius kintamuosius arba visai neapima kintamojo. Terminų tvarka išraiškoje neturi reikšmės.

   • Pavyzdžiui, 3x 2 ir 4x 2 yra panašūs terminai, nes juose yra antros eilės (antrosios laipsnio) kintamasis "x". Tačiau x ir x2 nėra panašūs terminai, nes juose yra skirtingos eilės kintamasis „x“ (pirmasis ir antrasis). Taip pat -3yx ir 5xz nėra panašūs terminai, nes juose yra skirtingi kintamieji.

2. Faktorizavimas. Tai yra skaičių, kurių sandauga veda į pradinį skaičių, radimas. Bet koks pradinis skaičius gali turėti keletą veiksnių. Pavyzdžiui, skaičių 12 galima išskaidyti į kitą eilutę koeficientai: 1 × 12, 2 × 6 ir 3 × 4, todėl galime sakyti, kad skaičiai 1, 2, 3, 4, 6 ir 12 yra skaičiaus 12 koeficientai. Veiksniai yra tokie patys kaip dalikliai, ty skaičiai, iš kurių padalytas pradinis skaičius.

   • Pavyzdžiui, jei norite apskaičiuoti skaičių 20, parašykite jį taip: 4×5.
   • Atkreipkite dėmesį, kad atliekant faktoringą atsižvelgiama į kintamąjį. Pavyzdžiui, 20x = 4 (5x).
   • Pirminiai skaičiai negali būti įskaitomi, nes jie dalijasi tik iš savęs ir iš 1.

3. Prisiminkite ir laikykitės operacijų tvarkos, kad išvengtumėte klaidų.

   • Skliausteliuose
   • Laipsnis
   • Daugyba
   • Padalinys
   • Papildymas
   • Atimtis

   Panašių narių atvedimas

   1. Užsirašykite išraišką. Paprastas algebrines išraiškas (tos, kuriose nėra trupmenų, šaknų ir pan.) galima išspręsti (supaprastinti) vos keliais žingsniais.

      • Pavyzdžiui, supaprastinkite išraišką 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Apibrėžkite panašius terminus (terminus su tuo pačiu kintamuoju, terminus su tais pačiais kintamaisiais arba laisvuosius terminus).

      • Raskite panašių terminų šioje išraiškoje. Sąvokose 2x ir 4x yra tos pačios eilės kintamasis (pirmasis). Be to, 1 ir -3 yra laisvieji terminai (neturi kintamųjų). Taigi šioje išraiškoje terminai 2x ir 4x yra panašūs, ir nariai 1 ir -3 taip pat yra panašūs.

   3. Suteikite panašius narius. Tai reiškia, kad juos reikia pridėti arba atimti ir supaprastinti išraišką.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Perrašykite išraišką atsižvelgdami į duotus terminus. Gausite paprastą išraišką su mažiau terminų. Naujoji išraiška yra lygi pradinei.

      • Mūsų pavyzdyje: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, tai yra, pradinė išraiška yra supaprastinta ir su ja lengviau dirbti.

   5. Atsivesdami panašius narius vadovaukitės veiksmų tvarka. Mūsų pavyzdyje buvo lengva pateikti panašias sąlygas. Tačiau tuo atveju sudėtingos išraiškos, kuriame terminai yra skliausteliuose ir yra trupmenos bei šaknys, tokius terminus pateikti nėra taip paprasta. Tokiais atvejais laikykitės operacijų tvarkos.

      • Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Čia būtų klaida iš karto apibrėžti 3x ir 2x kaip panašius terminus ir juos duoti, nes pirmiausia reikia atidaryti skliaustus. Todėl operacijas atlikite pagal jų tvarką.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Dabar, kai reiškinyje yra tik sudėties ir atimties operacijos, galite pateikti panašius terminus.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Daugiklio išėmimas iš skliaustų

   1. Raskite visų išraiškos koeficientų didžiausią bendrąjį daliklį (GCD). GCD yra didžiausias skaičius, kuriuo dalijami visi išraiškos koeficientai.

      • Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį 9x 2 + 27x - 3. Šiuo atveju GCD = 3, nes bet kuris šios išraiškos koeficientas dalijasi iš 3.

   2. Padalinkite kiekvieną išraiškos terminą iš gcd. Gautuose terminuose bus mažesni koeficientai nei pradinėje išraiškoje.

      • Mūsų pavyzdyje kiekvieną išraiškos terminą padalinkite iš 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultatas buvo išraiška 3x 2 + 9x - 1. Tai nelygu pradinei išraiškai.

   3. Parašykite pradinę išraišką kaip lygią gcd ir gautos išraiškos sandaugai. Tai yra, gautą išraišką įdėkite į skliaustus ir išimkite gcd iš skliaustų.

      • Mūsų pavyzdyje: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Trupmeninių išraiškų supaprastinimas, koeficientą išskiriant skliausteliuose. Kodėl daugiklį tiesiog išdėlioti skliausteliuose, kaip buvo padaryta anksčiau? Tada išmokite supaprastinti sudėtingas išraiškas, pvz., trupmenines išraiškas. Šiuo atveju koeficiento iškėlimas iš skliaustų gali padėti atsikratyti trupmenos (nuo vardiklio).

      • Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeninę išraišką (9x 2 + 27x - 3)/3. Norėdami supaprastinti šią išraišką, naudokite faktoringą.
        • Įdėkite koeficientą 3 iš skliaustų (kaip ir anksčiau): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Atkreipkite dėmesį, kad dabar ir skaitiklyje, ir vardiklyje yra 3. Tai gali būti sumažinta, kad būtų gauta išraiška: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Kadangi bet kuri trupmena, kurios vardiklyje yra skaičius 1, yra tiesiog lygi skaitikliui, pradinė trupmeninė išraiška supaprastinama taip: 3x 2 + 9x - 1.

   Papildomi supaprastinimo metodai

4. Pažvelkime į paprastą pavyzdį: √(90). Skaičius 90 gali būti įtrauktas į šiuos veiksnius: 9 ir 10 ir išgautas iš 9 kvadratinė šaknis(3) ir pašalinkite 3 iš po šaknies.
   • √(90)
   • √ (9 × 10)
   • √ (9) × √ (10)
   • 3 × √ (10)
   • 3√(10)

5. Posakių supaprastinimas su galiomis. Kai kuriose išraiškose yra terminų daugybos arba padalijimo su galiomis operacijos. Dauginant terminus su ta pačia baze, jų galios pridedamos; dalijant narius su tuo pačiu pagrindu, jų laipsniai atimami.

   • Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Daugybos atveju laipsnius pridėkite, o dalybos atveju - atimkite.
     • 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) × 3 + 4 + (x 17–15)
     • 48x7 + x 2
   • Toliau paaiškinamos terminų dauginimo ir dalybos su galiomis taisyklės.
     • Terminų dauginimas iš galių prilygsta terminų dauginimui iš savęs. Pavyzdžiui, kadangi x 3 = x × x × x ir x 5 = x × x × x × x × x, tada x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), arba x 8 .
     • Taip pat terminų dalijimas laipsniais yra lygus terminų dalijimui iš savęs. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Kadangi panašius terminus, esančius tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje, galima sumažinti, dviejų „x“ arba x 2 sandauga lieka skaitiklyje.

• Visada atsiminkite ženklus (pliusas arba minusas), esančius prieš posakio terminus, nes daugeliui žmonių sunku pasirinkti tinkamą ženklą.
• Jei reikia, kreipkitės pagalbos!
• Supaprastinti algebrines išraiškas nėra lengva, tačiau įpratę tai įgūdžiai, kuriuos galite naudoti visą likusį gyvenimą.

Algebrinė išraiška, kurioje kartu su sudėties, atimties ir daugybos operacijomis ir padalijimu iš pažodiniai posakiai, vadinamas trupmenine algebrine išraiška. Tai, pavyzdžiui, posakiai

Algebrine trupmena vadiname algebrinę išraišką, kuri yra dviejų sveikųjų algebrinių reiškinių (pavyzdžiui, vienanarių arba daugianarių) dalybos forma. Tai, pavyzdžiui, posakiai

Trečias iš posakių).

Identiškos trupmeninių algebrinių išraiškų transformacijos dažniausiai yra skirtos jas pavaizduoti formoje algebrinė trupmena. Norint rasti bendrą vardiklį, naudojamas trupmenų vardikų faktorius – terminai, siekiant rasti jų mažiausią bendrą kartotinį. Mažinant algebrines trupmenas, gali būti pažeista griežta išraiškų tapatybė: būtina neįtraukti dydžių reikšmių, kai koeficientas, kuriuo redukuojama, tampa nuliu.

Pateiksime identiškų trupmeninių algebrinių reiškinių transformacijų pavyzdžių.

1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką

Visus terminus galima redukuoti iki bendro vardiklio (patogu pakeisti ženklą paskutinio termino vardiklyje ir ženklą prieš jį):

Mūsų išraiška yra lygi visoms reikšmėms, išskyrus šias reikšmes, ji neapibrėžta, o trupmenos mažinimas yra neteisėtas.

2 pavyzdys. Pateikite išraišką kaip algebrinę trupmeną

Sprendimas. Už bendras vardiklis galime priimti posakį . Iš eilės randame:

Pratimai

1. Raskite nurodytų parametrų verčių algebrinių išraiškų reikšmes:

2. Faktorizuoti.

1 pastaba

Būlio funkcija gali būti įrašyta naudojant Būlio išraišką ir tada gali būti perkelta į loginę grandinę. Norint gauti kuo paprastesnę (taigi ir pigesnę) loginę grandinę, būtina logines išraiškas supaprastinti. Iš esmės loginė funkcija, loginė išraiška ir loginė grandinė yra trys skirtingomis kalbomis, pasakojantis apie vieną subjektą.

Norėdami supaprastinti logines išraiškas, naudokite algebros logikos dėsniai.

Kai kurios transformacijos yra panašios į klasikinės algebros formulių transformacijas (bendrasis veiksnys išimamas iš skliaustų, naudojant komutacinius ir kombinacinius dėsnius ir pan.), o kitos transformacijos yra pagrįstos savybėmis, kurių klasikinės algebros operacijos neturi (naudojant skirstomąjį veiksnį). konjunkcijos dėsnis, absorbcijos, klijavimo dėsniai, de Morgano taisyklės ir kt.).

Loginės algebros dėsniai suformuluoti pagrindinėms loginėms operacijoms – „NE“ – inversija (neigimas), „AND“ – konjunkcija (loginis daugyba) ir „ARBA“ – disjunkcija (loginis sudėjimas).

Dvigubo neigimo dėsnis reiškia, kad operacija „NE“ yra grįžtama: jei ją pritaikysite du kartus, galiausiai loginė reikšmė nepasikeis.

Išskirtinio vidurio dėsnis teigia, kad bet kuri loginė išraiška yra teisinga arba klaidinga („nėra trečiojo“). Todėl jei $A=1$, tai $\bar(A)=0$ (ir atvirkščiai), vadinasi, šių dydžių konjunkcija visada lygi nuliui, o disjunkcija visada lygi vienetui.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Supaprastinkime šią formulę:

3 pav.

Iš to išplaukia, kad $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Atsakymas: Studentai $B$, $C$ ir $D$ žaidžia šachmatais, bet studentas $A$ nežaidžia.

Supaprastindami logines išraiškas galite atlikti tokią veiksmų seką:

1. Pakeiskite visas „nepagrindines“ operacijas (ekvivalentiškumas, implikacija, išskirtinis ARBA ir kt.) jų išraiškomis atlikdami pagrindines inversijos, konjunkcijos ir disjunkcijos operacijas.
2. Išplėskite sudėtingų išraiškų inversijas pagal De Morgano taisykles taip, kad neigimo operacijos liktų tik atskiriems kintamiesiems.
3. Tada supaprastinkite išraišką naudodami atidaromus skliaustus, bendruosius veiksnius įtraukdami už skliaustų ir kitus loginės algebros dėsnius.

2 pavyzdys

Čia paeiliui naudojami De Morgano taisyklė, paskirstymo dėsnis, pašalinto vidurio dėsnis, komutacinis dėsnis, pasikartojimo dėsnis, vėlgi komutacinis dėsnis ir absorbcijos dėsnis.