Pamokos pradžioje apžvelgsime pagrindines savybes kvadratinės šaknys, tada apsvarstykite keletą sudėtingų pavyzdžių Norėdami supaprastinti išraiškas, kuriose yra kvadratinių šaknų.
Tema:Funkcija. Kvadratinės šaknies savybės
Pamoka:Sudėtingesnių išraiškų su šaknimis konvertavimas ir supaprastinimas
1. Kvadratinių šaknų savybių apžvalga
Trumpai pakartokime teoriją ir prisiminkime pagrindines kvadratinių šaknų savybes.
Kvadratinių šaknų savybės:
1. todėl, ;
3. 
;
4. 
.
2. Posakių su šaknimis supaprastinimo pavyzdžiai
Pereikime prie šių savybių naudojimo pavyzdžių.
1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Kad būtų paprasčiau, skaičius 120 turi būti padalytas į pirminius veiksnius:
Sumos kvadratą atskleisime naudodami atitinkamą formulę:
2 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Atsižvelkime į tai, kad ši išraiška neturi prasmės visoms galimoms kintamojo reikšmėms, nes šioje išraiškoje yra kvadratinių šaknų ir trupmenų, o tai lemia leistinų verčių diapazono „susiaurėjimą“. ODZ: 
().
Sumažinkime išraišką skliausteliuose iki bendras vardiklis ir parašykite paskutinės trupmenos skaitiklį kaip kvadratų skirtumą:
Atsakymas. adresu.
3 pavyzdys: supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas. Matyti, kad antrasis skaitiklio skliaustas atrodo nepatogiai ir jį reikia supaprastinti, pabandykime jį suskirstyti grupavimo metodu.
Kad galėtume išvesti bendrą veiksnį, supaprastinome šaknis, jas įvertindami. Pakeiskime gautą išraišką pradine trupmena:
Sumažinus trupmeną taikome kvadratų skirtumo formulę.
3. Iracionalumo atsikratymo pavyzdys
4 pavyzdys. Išsilaisvinkite nuo neracionalumo (šaknų) vardiklyje: a) ; b) .
Sprendimas. a) Siekiant atsikratyti neracionalumo vardiklyje, naudojamas standartinis trupmenos skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguoto koeficiento su vardikliu metodas (ta pati išraiška, bet su priešingu ženklu). Tai daroma siekiant papildyti trupmenos vardiklį prie kvadratų skirtumo, o tai leidžia atsikratyti vardiklio šaknų. Padarykime tai mūsų atveju:
b) atlikti panašius veiksmus:
4. Pavyzdys, kaip įrodyti ir atskirti visą kvadratą kompleksiniame radikale
5 pavyzdys. Įrodykite lygybę 
.
Įrodymas. Naudokime kvadratinės šaknies apibrėžimą, iš kurio išplaukia, kad dešiniosios išraiškos kvadratas turi būti lygus radikaliajai išraiškai:
. Atidarykime skliaustus naudodami sumos kvadrato formulę:
, gavome teisingą lygybę.
Įrodyta.
6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas. Ši išraiška paprastai vadinama kompleksiniu radikalu (šaknis po šaknimi). Šiame pavyzdyje turite atspėti, kad atskirtumėte visą kvadratą nuo radikalios išraiškos. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad iš dviejų terminų jis yra kandidatas į dvigubo produkto vaidmenį skirtumo kvadrato formulėje (skirtumas, nes yra minusas). Parašykime jį tokio sandauga: , tada 1 pretenduoja į vieną iš pilno kvadrato sąlygų, o 1 teigia, kad yra antrasis.
Pakeiskime šią išraišką šaknimi.
5 skyrius IŠRAIKOS IR LYGTYBĖS
Šiame skyriuje sužinosite:
ü o posakius ir jų supaprastinimus;
ü kokios yra lygybių savybės;
ü kaip spręsti lygtis remiantis lygybių savybėmis;
ü kokių tipų uždaviniai sprendžiami naudojant lygtis; kas yra statmenos linijos ir kaip jas statyti;
ü kokios linijos vadinamos lygiagrečiomis ir kaip jas nutiesti;
ü kas yra koordinačių plokštuma?
ü kaip nustatyti plokštumos taško koordinates;
ü kas yra dydžių santykio grafikas ir kaip jį sudaryti;
ü kaip pritaikyti studijuotą medžiagą praktikoje
§ 30. RAIŠKOS IR JŲ SUPAPRASTINIMAS
Jūs jau žinote, kas yra raidžių išraiškos, ir žinote, kaip jas supaprastinti naudodami sudėties ir daugybos dėsnius. Pavyzdžiui, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Gautoje išraiškoje skaičius -8 vadinamas išraiškos koeficientu.
Ar išraiška CD koeficientas? Taigi. Jis lygus 1, nes CD - 1 ∙ cd .
Prisiminkite, kad išraiškos su skliaustais konvertavimas į išraišką be skliaustų vadinamas skliaustų išplėtimu. Pavyzdžiui: 5(2x + 4) = 10x+ 20.
Šiame pavyzdyje atvirkštinis veiksmas yra skliausteliuose ištraukti bendrą veiksnį.
Terminai, turintys tuos pačius raidžių veiksnius, vadinami panašiais terminais. Iš skliaustų išbraukus bendrą veiksnį, iškeliami panašūs terminai:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6 m )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
B x+ 7y - 5.
Skliaustų atidarymo taisyklės
1. Jei prieš skliaustus yra „+“ ženklas, tai atidarant skliaustus išsaugomi skliausteliuose esančių terminų ženklai;
2. Jei prieš skliaustus yra „-“ ženklas, tai atidarius skliaustus terminų ženklai skliausteliuose pasikeičia į priešingus.
1 užduotis. Supaprastinkite išraišką:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 m. -(-8 + 7 m.).
Sprendimai. 1. Prieš skliaustus yra „+“ ženklas, todėl atidarant skliaustus išsaugomi visų terminų ženklai:
4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.
2. Prieš skliaustus yra „-“ ženklas, todėl atidarant skliaustus: visų terminų ženklai apverčiami atvirkščiai:
15 – (– 8 + 7 m.) = 15 m. + 8–7 m. = 8 m. +8.
Norėdami atidaryti skliaustus, naudokite daugybos paskirstymo savybę: a( b + c ) = ab + ak. Jei a > 0, tai terminų ženklai b ir su nekeisk. Jeigu a< 0, то знаки слагаемых b ir pakeisti į priešingą.
2 užduotis. Supaprastinkite posakį:
1) 2 (6 y -8) + 7 y ;
2)-5 (2-5x) + 12.
Sprendimai. 1. Koeficientas 2 prieš skliaustus yra teigiamas, todėl atidarydami skliaustus išsaugome visų terminų ženklus: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. Koeficientas -5 prieš skliaustus yra neigiamas, todėl atidarydami skliaustus visų terminų ženklus keičiame į priešingus:
5 (2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Sužinokite daugiau
1. Žodis „suma“ kilęs iš lotynų kalbos suma , o tai reiškia „visa“, „bendra suma“.
2. Žodis "pliusas" kilęs iš lotynų kalbos pliusas kuris reiškia „daugiau“, o žodis „minusas“ yra iš lotynų kalbos minusas Ką reiškia "mažiau"? Ženklai „+“ ir „-“ naudojami sudėjimo ir atimties operacijoms nurodyti. Šiuos ženklus čekų mokslininkas J. Widmanas pristatė 1489 m. knygoje „Greita ir maloni sąskaita visiems pirkliams“(138 pav.).
Ryžiai. 138
ATMINKITE SVARBU
1. Kokie terminai vadinami panašiais? Kaip sukonstruoti tokie terminai?
2. Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „+“ ženklas?
3. Kaip atidaryti skliaustus, prieš kuriuos yra „-“ ženklas?
4. Kaip atidarote skliaustus, prieš kuriuos yra teigiamas veiksnys?
5. Kaip atidarote skliaustus, prieš kuriuos yra neigiamas veiksnys?
1374". Pavadinkite išraiškos koeficientą:
1) 12 a; 3) -5,6 xy;
2) 4 6; 4)-s.
1375". Įvardykite terminus, kurie skiriasi tik koeficientu:
1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4) 5x + 4y-x + y.
Kaip vadinami šie terminai?
1376". Ar išraiškoje yra panašių terminų:
1)11a+10a; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?
1377". Ar reikia keisti terminų ženklus skliausteliuose, skliaustus atidarant reiškinyje:
1) 4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?
1378°. Supaprastinkite išraišką ir pabraukite koeficientą:
1379°. Supaprastinkite išraišką ir pabraukite koeficientą:
1380°. Sujunkite panašius terminus:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10–4 d - 12 + 4 d ;
2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;
3)-7 ang="LT-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Sujunkite panašius terminus:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3;
2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.
1382°. Išimkite bendrą veiksnį iš skliaustų:
1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.
1383°. Išimkite bendrą veiksnį iš skliaustų:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.
1384°. Atidarykite skliaustus ir sujunkite panašius terminus;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76–4) – (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Atidarykite skliaustus ir sujunkite panašius terminus:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);
2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).
1386°. Atidarykite skliaustus ir suraskite posakio reikšmę:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Atidarykite skliaustus ir suraskite posakio reikšmę:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Išplėskite skliaustus:
1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);
3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Išplėskite skliaustus:
1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 m.);
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Supaprastinkite posakį:
1391. Supaprastinkite posakį:
1392. Sujunkite panašius terminus:
1393. Sujunkite panašius terminus:
1394. Supaprastinkite posakį:
1) 2,8 – (0,5 a + 4) – 2,5 ∙ (2a – 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, ) + 4,5 ∙ (-6 m - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Supaprastinkite posakį:
1396. Raskite posakio reikšmę;
1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), jei a = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jei = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Raskite posakio reikšmę:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jei x = -0,25;
1398*. Raskite klaidą sprendime:
1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Atidarykite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:
1) 2ab – 3(6(4a – 1) – 6(6 – 10a)) + 76;
1400*. Išdėstykite skliaustus, kad gautumėte teisingą lygybę:
1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .
1401*. Įrodykite, kad bet kokiems skaičiams a ir b jei a > b , tada galioja lygybė:
1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.
Ar ši lygybė bus teisinga, jei: a) a< b ; b) a = 6?
1402*. Įrodykite tai bet kuriam natūralusis skaičius o ankstesnių ir paskesnių skaičių aritmetinis vidurkis lygus skaičiui a.
PRADĖKITE PRAKTIKAI
1403. Vaisiniam desertui trims žmonėms paruošti reikia: 2 obuolių, 1 apelsino, 2 bananų ir 1 kivio. Kaip sukurti raidės išraišką, kad būtų galima nustatyti vaisių kiekį, reikalingą ruošiant desertą svečiams? Padėkite Marin suskaičiuoti, kiek vaisių jai reikia nupirkti, jei: 1) jos aplankyti atvažiuoja 5 draugai; 2) 8 draugai.
1404. Padarykite raidžių išraišką, kad nustatytumėte, kiek laiko reikia atlikti matematikos namų darbams, jei:
1) problemų sprendimui buvo skirta minutė; 2) išraiškų supaprastinimas yra 2 kartus didesnis nei sprendžiant uždavinius. Kiek laiko prireikė užbaigti namų darbai Vasilko, jei jis praleistų 15 minučių spręsdamas problemas?
1405. Pietūs mokyklos valgykloje – salotos, barščiai, kopūstų suktinukai ir kompotas. Salotų kaina 20%, barščiai - 30%, kopūstų suktinukai - 45%, kompotas - 5% visos išlaidos tik pietus. Parašykite išraišką, kad surastumėte pietų kainą mokyklos valgykloje. Kiek kainuoja pietūs, jei salotų kaina 2 UAH?
PERŽIŪRĖTI PROBLEMAS
1406. Išspręskite lygtį:
1407. Tanya išleido ledamsvisi turimi pinigai, o už saldainius -likusieji. Kiek pinigų Tanyai liko?
jei saldainiai kainuoja 12 UAH?
Bet kokia kalba gali išreikšti tą pačią informaciją skirtingais žodžiais ir revoliucijos. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.
Žmonės bendrauja toliau skirtingomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba – matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti perduodama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas įvairiai.
Pavyzdžiui: „Petya draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petya ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet tą patį. Iš bet kurios iš šių frazių suprastume, apie ką kalbame.
Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, ką turime omenyje mes kalbame apie. Tačiau mums nepatinka šios frazės skambesys. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.
„Berniukai“... Ar iš jų vardų neaišku, kad tai ne mergaitės? Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti paprasčiau, bet neprarasti ar neiškreipti prasmės.
Matematinėje kalboje vyksta maždaug tas pats. Tą patį galima pasakyti, parašyti kitaip. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios įvairovės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią mūsų tolimesniems tikslams.
Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinė išraiška. Jis bus lygiavertis.
Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: 
.
Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.
Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia atlikti visus veiksmus ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.
Pažvelkime į pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.
Supaprastinant pažodines išraiškas, būtina atlikti visus įmanomus veiksmus.
Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums bus patogiau turėti lygiavertį, bet ilgesnį įrašą.
Pavyzdys: iš skaičiaus reikia atimti skaičių.
Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .
Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga tolesniems skaičiavimams.
Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinti išraišką“.
Supaprastinkite posakį: .
Sprendimas
1) Atlikite veiksmus pirmajame ir antrame skliausteliuose: .
2) Apskaičiuokime produktus: .
Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.
Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).
Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, jums reikia:
1) atlikti visus įmanomus veiksmus,
2) naudoti sudėjimo, atimties, daugybos ir dalybos savybes, kad supaprastintų skaičiavimus.
Sudėjimo ir atimties savybės:
1. Komutacinė sudėties savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos.
2. Sudėties jungtinė savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.
3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.
Daugybos ir dalybos savybės
1. Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandauga nekeičiama.
2. Kombinacinė savybė: norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.
3. Daugybos skirstomoji savybė: norint skaičių padauginti iš sumos, reikia padauginti iš kiekvieno nario atskirai.
Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.
Apskaičiuokite:
Sprendimas
1) Įsivaizduokime, kaip
2) Įsivaizduokime pirmąjį veiksnį kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:
3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:
4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:
Paskirstymo įstatymas taip pat gali būti naudojamas atvirkštinė pusė: .
Atlikite šiuos veiksmus:
1) 
2) 
Sprendimas
1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, bet naudoti jį priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.
2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų
Būtina nusipirkti linoleumą virtuvei ir prieškambariui. Virtuvės zona - , prieškambaris - . Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas? trijų tipų linoleumas? (1 pav.)
Ryžiai. 1. Problemos teiginio iliustracija
Sprendimas
1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvei, o paskui koridoriuje ir susumuoti gautus gaminius.
Pažodinė išraiška (arba kintamoji išraiška) yra matematinė išraiška, susidedanti iš skaičių, raidžių ir matematinių simbolių. Pavyzdžiui, ši išraiška yra pažodinė:
a+b+4
Naudodami abėcėlės išraiškas galite rašyti dėsnius, formules, lygtis ir funkcijas. Gebėjimas manipuliuoti raidžių išraiškomis yra raktas į geras algebros ir aukštosios matematikos žinias.
Bet kokia rimta matematikos problema kyla sprendžiant lygtis. O tam, kad galėtum spręsti lygtis, reikia mokėti dirbti su pažodinėmis išraiškomis.
Norėdami dirbti su pažodinėmis išraiškomis, turite gerai išmanyti pagrindinę aritmetiką: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, pagrindinius matematikos dėsnius, trupmenas, operacijas su trupmenomis, proporcijas. Ir ne tik mokytis, bet ir gerai suprasti.
Pamokos turinysKintamieji
Raidės, esančios pažodinėse išraiškose, vadinamos kintamieji. Pavyzdžiui, išraiškoje a+b+4 kintamieji yra raidės a Ir b. Jei vietoj šių kintamųjų pakeisime bet kokius skaičius, tada pažodinė išraiška a+b+4 pavirs skaitine išraiška, kurios reikšmę galima rasti.
Skaičiai, kurie yra pakeisti kintamaisiais, vadinami kintamųjų reikšmės. Pavyzdžiui, pakeiskime kintamųjų reikšmes a Ir b. Lygybės ženklas naudojamas reikšmėms keisti
a = 2, b = 3
Mes pakeitėme kintamųjų reikšmes a Ir b. Kintamasis a priskirta vertė 2 , kintamasis b priskirta vertė 3 . Gauta pažodinė išraiška a+b+4 virsta įprasta skaitine išraiška 2+3+4 kurio vertę galima rasti:
2 + 3 + 4 = 9
Kai kintamieji dauginami, jie rašomi kartu. Pavyzdžiui, įrašyti ab reiškia tą patį, ką ir įrašas a × b. Jei pakeisime kintamuosius a Ir b numeriai 2 Ir 3 , tada gauname 6
2 × 3 = 6
Taip pat skliausteliuose galite parašyti skaičiaus dauginimą iš išraiškos. Pavyzdžiui, vietoj a × (b + c) galima užsirašyti a(b + c). Taikydami daugybos pasiskirstymo dėsnį, gauname a(b + c)=ab+ac.
Šansai
Pažodinėse išraiškose dažnai galite rasti užrašą, kuriame, pavyzdžiui, skaičius ir kintamasis rašomi kartu 3a. Tai iš tikrųjų yra santrumpa, skirta skaičių 3 padauginti iš kintamojo. a ir šis įrašas atrodo taip 3×a .
Kitaip tariant, išraiška 3a yra skaičiaus 3 ir kintamojo sandauga a. Skaičius 3 šiame darbe jie vadina koeficientas. Šis koeficientas parodo, kiek kartų kintamasis bus padidintas a. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " a tris kartus“ arba „tris kartus A“ arba „padidinti kintamojo reikšmę a tris kartus“, bet dažniausiai skaitomas kaip „trys a«
Pavyzdžiui, jei kintamasis a lygus 5 , tada išraiškos reikšmė 3a bus lygus 15.
3 × 5 = 15
Kalbėdamas paprasta kalba, koeficientas yra skaičius, esantis prieš raidę (prieš kintamąjį).
Pavyzdžiui, gali būti kelios raidės 5abc. Čia koeficientas yra skaičius 5 . Šis koeficientas parodo, kad kintamųjų sandauga abc padidėja penkis kartus. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " abc penkis kartus“ arba „padidinkite išraiškos vertę abc penkis kartus“ arba „penkis abc«.
Jei vietoj kintamųjų abc pakeiskite skaičius 2, 3 ir 4, tada išraiškos reikšmę 5abc bus lygus 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Galite mintyse įsivaizduoti, kaip pirmą kartą buvo padauginti skaičiai 2, 3 ir 4, o gauta vertė padidėjo penkis kartus:
Koeficiento ženklas nurodo tik koeficientą ir netaikomas kintamiesiems.
Apsvarstykite išraišką −6b. Minusas prieš koeficientą 6 , taikomas tik koeficientui 6 , ir nepriklauso kintamajam b. Šio fakto supratimas leis ateityje nedaryti klaidų su ženklais.
Raskime išraiškos reikšmę −6b adresu b = 3.
−6b –6 × b. Aiškumo dėlei parašykime išraišką −6b išplėstine forma ir pakeisti kintamojo reikšmę b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −6b adresu b = −5
Užrašykime išraišką −6b išplėstoje formoje
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −5a+b adresu a = 3 Ir b = 2
−5a+b tai trumpa forma −5 × a + b, todėl aiškumo dėlei rašome išraišką −5×a+b išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a Ir b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Kartais raidės rašomos, pavyzdžiui, be koeficiento a arba ab. Šiuo atveju koeficientas yra vienetas:
bet tradiciškai vienetas nenurašomas, todėl tiesiog rašo a arba ab
Jei prieš raidę yra minusas, tada koeficientas yra skaičius −1 . Pavyzdžiui, išraiška −a iš tikrųjų atrodo −1a. Tai yra minus vieno ir kintamojo sandauga a. Tai pasirodė taip:
−1 × a = −1a
Čia yra mažas laimikis. Išraiškoje −a minuso ženklas prieš kintamąjį a iš tikrųjų reiškia „nematomą vienetą“, o ne kintamąjį a. Todėl spręsdami problemas turėtumėte būti atsargūs.
Pavyzdžiui, jei pateikiama išraiška −a ir mūsų prašoma rasti jo vertę a = 2, tada mokykloje vietoj kintamojo pakeitėme du a ir gavo atsakymą −2 , per daug nesikreipiant į tai, kaip tai pasirodė. Tiesą sakant, minus vienas buvo padaugintas iš teigiamo skaičiaus 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Jei pateikiama išraiška −a ir jūs turite rasti jo vertę a = −2, tada pakeičiame −2 vietoj kintamojo a
−a = −1 × a
–1 × a = –1 × (–2) = 2
Norint išvengti klaidų, iš pradžių galima aiškiai užrašyti nematomus vienetus.
4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=2 , b = 3 Ir c=4
Išraiška abc 1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką abc a, b Ir c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=−2 , b=−3 Ir c=−4
Užrašykime išraišką abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c
1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24
6 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a = 3, b = 5 ir c = 7
Išraiška − abc tai trumpa forma −1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką − abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c
−abc = −1 × a × b × c = –1 × 3 × 5 × 7 = –105
7 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a=−2 , b=−4 ir c=−3
Užrašykime išraišką − abc išplėstine forma:
−abc = −1 × a × b × c
Pakeiskime kintamųjų reikšmes a , b Ir c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Kaip nustatyti koeficientą
Kartais reikia išspręsti problemą, kurioje reikia nustatyti išraiškos koeficientą. Iš esmės ši užduotis yra labai paprasta. Pakanka mokėti teisingai padauginti skaičius.
Norint nustatyti išraiškos koeficientą, reikia atskirai padauginti į šią išraišką įtrauktus skaičius ir atskirai padauginti raides. Gautas skaitinis koeficientas bus koeficientas.
1 pavyzdys. 7m×5a×(−3)×n
Išraiška susideda iš kelių veiksnių. Tai galima aiškiai matyti, jei išraišką rašote išplėstine forma. Tai yra, darbai 7 m Ir 5a parašykite jį formoje 7×m Ir 5×a
7 × m × 5 × a × (–3) × n
Taikykime asociatyvinį daugybos dėsnį, leidžiantį dauginti koeficientus bet kokia tvarka. Būtent, atskirai padauginsime skaičius ir atskirai padauginsime raides (kintamuosius):
–3 × 7 × 5 × m × a × n = –105 žmogus
Koeficientas yra −105 . Baigę raidės dalį patartina išdėstyti abėcėlės tvarka:
–105 val
2 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Koeficientas yra 6.
3 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje: 
Padauginkime skaičius ir raides atskirai:
Koeficientas yra –1. Atkreipkite dėmesį, kad vienetas nenurašomas, nes įprasta koeficiento 1 nerašyti.
Šios iš pažiūros paprasčiausios užduotys gali mums labai žiauriai pajuokauti. Dažnai paaiškėja, kad koeficiento ženklas nustatytas neteisingai: arba trūksta minuso, arba, priešingai, jis nustatytas veltui. Norint išvengti šių erzinančių klaidų, jis turi būti gerai išstudijuotas.
Prideda pažodinėse išraiškose
Sudėjus kelis skaičius, gaunama šių skaičių suma. Skaičiai, kurie pridedami, vadinami papildymais. Gali būti keli terminai, pavyzdžiui:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Kai išraiška susideda iš terminų, ją daug lengviau įvertinti, nes sudėti lengviau nei atimti. Tačiau išraiškoje gali būti ne tik pridėjimo, bet ir atimties, pavyzdžiui:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Šioje išraiškoje skaičiai 3 ir 5 yra sudedamosios dalys, o ne priedai. Tačiau niekas netrukdo mums atimties pakeisti pridėjimu. Tada vėl gauname išraišką, kurią sudaro terminai:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nesvarbu, kad skaičiai −3 ir −5 dabar turi minuso ženklą. Svarbiausia, kad visi šios išraiškos skaičiai būtų sujungti sudėjimo ženklu, tai yra, išraiška yra suma.
Abi išraiškos 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ir 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lygi tai pačiai reikšmei – atėmus vieną
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Taigi, posakio prasmė nenukentės, jei kur nors atimtį pakeisime pridėjimu.
Taip pat pažodinėse išraiškose atimtį galite pakeisti pridėjimu. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią išraišką:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)
Bet kurioms kintamųjų reikšmėms a, b, c, d Ir s posakius 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ir 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) bus lygi tai pačiai vertei.
Turite būti pasiruošę, kad mokytojas mokykloje ar instituto mokytojas gali skambinti lyginiais skaičiais (arba kintamaisiais), kurie nėra priedai.
Pavyzdžiui, jei skirtumas užrašytas lentoje a - b, tada mokytojas to nesakys a yra smulkmena ir b- atimamas. Abu kintamuosius jis vadins vienu bendrais bruožais — terminai. Ir viskas dėl formos išraiškos a - b matematikas mato, kaip suma a+(-b). Šiuo atveju išraiška tampa suma, o kintamieji a Ir (-b) tapti terminais.
Panašūs terminai
Panašūs terminai- tai terminai, turintys tą pačią raidės dalį. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 7a + 6b + 2a. Komponentai 7a Ir 2a turėti tą pačią raidės dalį – kintamąjį a. Taigi sąlygos 7a Ir 2a yra panašūs.
Paprastai panašūs terminai pridedami siekiant supaprastinti išraišką arba išspręsti lygtį. Ši operacija vadinama atneša panašias sąlygas.
Norėdami gauti panašius terminus, turite pridėti šių terminų koeficientus ir gautą rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies.
Pavyzdžiui, išraiškoje pateiksime panašius terminus 3a + 4a + 5a. Šiuo atveju visi terminai yra panašūs. Sudėkime jų koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies – iš kintamojo a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a
Panašūs terminai paprastai iškeliami galvoje, o rezultatas iškart užrašomas:
3a + 4a + 5a = 12a
Taip pat galima motyvuoti taip:
Buvo 3 kintamieji a, prie jų buvo pridėti dar 4 kintamieji a ir dar 5 kintamieji a. Dėl to gavome 12 kintamųjų a
Pažvelkime į kelis panašių terminų pateikimo pavyzdžius. Atsižvelgiant į tai, kad ši tema yra labai svarbi, iš pradžių mes išsamiai surašysime kiekvieną smulkmeną. Nepaisant to, kad čia viskas labai paprasta, dauguma žmonių daro daug klaidų. Daugiausia dėl neatidumo, o ne nežinojimo.
1 pavyzdys. 3a + 2a + 6a + 8 a
Sudėkime šios išraiškos koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
dizainas (3 + 2 + 6 + 8) ×a Jums nereikia jo užsirašyti, todėl atsakymą parašysime iš karto
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
2 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a+a
Antra kadencija a parašytas be koeficiento, bet iš tikrųjų prieš jį yra koeficientas 1 , kurio nematome, nes neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:
2a + 1a
Dabar pateiksime panašius terminus. Tai yra, sudedame koeficientus ir padauginame rezultatą iš bendrosios raidės dalies:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Trumpai užrašykite sprendimą:
2a + a = 3a
2a+a, galite galvoti kitaip:
3 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a-a
Atimtį pakeiskime pridėjimu:
2a + (-a)
Antra kadencija (-a) parašyta be koeficiento, bet realiai atrodo (−1a). Koeficientas −1 vėl nematomas dėl to, kad neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:
2a + (-1a)
Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir padauginkime rezultatą iš visos raidžių dalies:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Paprastai rašoma trumpiau:
2a − a = a
Panašių terminų suteikimas išraiškoje 2a-a Galite galvoti kitaip:
Buvo 2 kintamieji a, atimkite vieną kintamąjį a, galų gale liko tik vienas kintamasis a
4 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 6a - 3a + 4a - 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš visos raidės dalies
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Trumpai užrašykite sprendimą:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Yra posakių, kuriuose yra kelios skirtingos panašių terminų grupės. Pavyzdžiui, 3a + 3b + 7a + 2b. Tokioms išraiškoms galioja tos pačios taisyklės kaip ir kitoms, ty koeficientų pridėjimas ir rezultato dauginimas iš bendrosios raidės dalies. Tačiau norint išvengti klaidų, tai patogu skirtingos grupės terminai pabraukti skirtingos linijos.
Pavyzdžiui, išraiškoje 3a + 3b + 7a + 2b tie terminai, kuriuose yra kintamasis a, galima pabraukti viena eilute, ir tuos terminus, kuriuose yra kintamasis b, galima pabrėžti dviem eilutėmis:
Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš visos raidžių dalies. Tai turi būti padaryta abiem terminų grupėms: terminams, kuriuose yra kintamasis a ir terminams, kuriuose yra kintamasis b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3 + 7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b
Dar kartą kartojame, kad posakis yra paprastas ir galima turėti omenyje panašius terminus:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
5 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5a − 6a −7b + b
Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Pabrėžkime panašius terminus skirtingomis eilutėmis. Terminai, kuriuose yra kintamųjų a pabraukiame viena eilute, o terminai yra kintamųjų turinys b, pabraukite dviem eilutėmis:
Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš bendrosios raidės dalies:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)
Jei išraiškoje yra įprasti skaičiai be raidžių faktorių, jie pridedami atskirai.
6 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 4a + 3a – 5 + 2b + 7
Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Pateiksime panašius terminus. Skaičiai −5 Ir 7 neturi raidžių faktorių, bet jie yra panašūs terminai – juos tereikia pridėti. Ir terminas 2b išliks nepakitęs, nes jis vienintelis šioje išraiškoje turi raidžių koeficientą b, ir nėra ko pridurti:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Trumpai užrašykite sprendimą:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Terminus galima rūšiuoti taip, kad tie terminai, turintys tą pačią raidžių dalį, būtų toje pačioje išraiškos dalyje.
7 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5t+2x+3x+5t+x
Kadangi išraiška yra kelių terminų suma, tai leidžia įvertinti ją bet kokia tvarka. Todėl terminai, kuriuose yra kintamasis t, galima įrašyti reiškinio pradžioje, o terminai, kuriuose yra kintamasis x posakio pabaigoje:
5 t + 5 t + 2x + 3x + x
Dabar galime pateikti panašius terminus:
5 t + 5 t + 2x + 3x + x = (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x = 10 t + 6x
Trumpai užrašykite sprendimą:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Priešingų skaičių suma lygi nuliui. Ši taisyklė tinka ir pažodinėms išraiškoms. Jei išraiškoje yra identiškų terminų, bet su priešingais ženklais, galite jų atsikratyti panašių terminų mažinimo etape. Kitaip tariant, tiesiog pašalinkite juos iš išraiškos, nes jų suma lygi nuliui.
8 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 3t − 4t − 3t + 2t
Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:
3t – 4t – 3t + 2t = 3t + (-4t) + (-3t) + 2t
Komponentai 3t Ir (-3t) yra priešingi. Priešingų terminų suma lygi nuliui. Jei iš išraiškos pašalinsime šį nulį, išraiškos reikšmė nepasikeis, todėl ją pašalinsime. Ir mes jį pašalinsime tiesiog perbraukdami terminus 3t Ir (-3t)
Dėl to mums liks išraiška (−4t) + 2t. Šioje išraiškoje galite pridėti panašių terminų ir gauti galutinį atsakymą:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Trumpai užrašykite sprendimą:
Išraiškų supaprastinimas
"supaprastinti posakį" o žemiau yra išraiška, kurią reikia supaprastinti. Supaprastinkite išraišką reiškia padaryti jį paprastesnį ir trumpesnį.
Tiesą sakant, mes jau supaprastinome išraiškas, kai sumažinome trupmenas. Po sumažinimo frakcija tapo trumpesnė ir lengviau suprantama.
Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Supaprastinkite išraišką.
Šią užduotį pažodžiui galima suprasti taip: "Taikykite bet kokius tinkamus veiksmus šiai išraiškai, bet supaprastinkite." .
Tokiu atveju galite sumažinti trupmeną, ty padalyti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 2:
Ką dar galite padaryti? Galite apskaičiuoti gautą trupmeną. Tada gauname dešimtainę trupmeną 0,5
Dėl to trupmena buvo supaprastinta iki 0,5.
Pirmas klausimas, kurį turite užduoti sau sprendžiant tokias problemas, turėtų būti "Ką galima padaryti?" . Nes yra veiksmų, kuriuos galite padaryti, ir yra veiksmų, kurių negalite padaryti.
Kitas svarbus punktas Reikia atsiminti, kad išraiškos reikšmė neturėtų pasikeisti supaprastinus išraišką. Grįžkime prie išraiškos. Ši išraiška reiškia padalijimą, kurį galima atlikti. Atlikę šį padalijimą, gauname šios išraiškos reikšmę, kuri lygi 0,5
Tačiau mes supaprastinome išraišką ir gavome naują supaprastintą išraišką. Naujos supaprastintos išraiškos reikšmė vis dar yra 0,5
Bet mes taip pat bandėme supaprastinti išraišką ją apskaičiuodami. Dėl to gavome galutinį atsakymą – 0,5.
Taigi, kad ir kaip supaprastintume išraišką, gautų išraiškų reikšmė vis tiek yra lygi 0,5. Tai reiškia, kad supaprastinimas buvo atliktas teisingai kiekviename etape. Kaip tik to turėtume siekti supaprastindami posakius – posakio prasmė neturėtų nukentėti nuo mūsų veiksmų.
Dažnai reikia supaprastinti pažodinius posakius. Joms taikomos tos pačios supaprastinimo taisyklės kaip ir skaitinėms išraiškoms. Galite atlikti bet kokius galiojančius veiksmus, jei išraiškos reikšmė nesikeičia.
Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 5,21 s × t × 2,5
Norėdami supaprastinti šią išraišką, galite padauginti skaičius atskirai ir raides padauginti atskirai. Ši užduotis labai panaši į tą, kurią žiūrėjome, kai išmokome nustatyti koeficientą:
5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st
Taigi išraiška 5,21 s × t × 2,5 supaprastinta iki 13 025 g.
2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką –0,4 × (–6,3b) × 2
Antras gabalas (−6,3b) gali būti išverstas į mums suprantamą formą, būtent parašyta forma ( −6,3) × b , tada padauginkite skaičius atskirai ir padauginkite raides atskirai:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Taigi išraiška –0,4 × (–6,3b) × 2 supaprastinta iki 5.04b
3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:
Dabar padauginkime skaičius atskirai ir raides padauginkime atskirai:
Taigi išraiška supaprastinta iki −abc.Šį sprendimą galima parašyti trumpai:
Supaprastinant išraiškas, trupmenas galima sumažinti sprendimo proceso metu, o ne pačioje pabaigoje, kaip tai padarėme su paprastosiomis trupmenomis. Pavyzdžiui, jei spręsdami susiduriame su formos išraiška , tada visai nebūtina skaičiuoti skaitiklio ir vardiklio ir daryti kažką panašaus:
Trupmeną galima sumažinti pasirinkus koeficientą tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje ir sumažinant šiuos veiksnius didžiausiu bendru koeficientu. Kitaip tariant, naudojimas, kuriame mes išsamiai neaprašome, į ką buvo padalintas skaitiklis ir vardiklis.
Pavyzdžiui, skaitiklyje koeficientas yra 12, o vardiklyje koeficientas 4 gali būti sumažintas 4. Mintyse laikomės keturių, o 12 ir 4 padalijus iš šio ketverto, šalia šių skaičių užrašome atsakymus, iš pradžių juos perbraukęs
Dabar galite padauginti gautus mažus veiksnius. Šiuo atveju jų yra nedaug ir mintyse galite juos padauginti:
Laikui bėgant galite pastebėti, kad sprendžiant tam tikrą problemą išsireiškimai pradeda „storėti“, todėl patartina priprasti prie greitų skaičiavimų. Tai, ką galima apskaičiuoti protu, turi būti apskaičiuota protu. Tai, ką galima greitai sumažinti, reikia greitai sumažinti.
4 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Taigi išraiška supaprastinta iki
5 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai:
Taigi išraiška supaprastinta iki mn.
6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:
Dabar padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, dešimtainė trupmena −6,4 ir mišrus skaičius galima konvertuoti į paprastąsias trupmenas:
Taigi išraiška supaprastinta iki
Šio pavyzdžio sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:
7 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, mišrus skaičius ir po kablelio 0,1 ir 0,6 galima paversti paprastosiomis trupmenomis:
Taigi išraiška supaprastinta iki abcd. Jei praleisite detales, šis sprendimas gali būti parašytas daug trumpiau:
Atkreipkite dėmesį, kaip trupmena buvo sumažinta. Taip pat galima sumažinti naujus veiksnius, kurie gaunami sumažinus ankstesnius veiksnius.
Dabar pakalbėkime apie tai, ko nedaryti. Supaprastinant išraiškas griežtai draudžiama dauginti skaičius ir raides, jei išraiška yra suma, o ne sandauga.
Pavyzdžiui, jei norite supaprastinti išraišką 5a+4b, tada negalite rašyti taip:
Tai tas pats, jei mūsų paprašytų pridėti du skaičius ir mes juos padaugintume, o ne pridėtume.
Keičiant bet kokias kintamąsias reikšmes a Ir b išraiška 5a + 4b virsta įprasta skaitine išraiška. Tarkime, kad kintamieji a Ir b turi šias reikšmes:
a = 2, b = 3
Tada išraiškos reikšmė bus lygi 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Pirmiausia atliekamas dauginimas, o tada rezultatai pridedami. Ir jei pabandytume supaprastinti šią išraišką padaugindami skaičius ir raides, gautume:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Pasirodo, visiškai kitokia išraiškos reikšmė. Pirmuoju atveju pavyko 22 , antruoju atveju 120 . Tai reiškia, kad supaprastinama išraiška 5a+4b buvo atliktas neteisingai.
Supaprastinus išraišką, jos reikšmė neturėtų keistis esant toms pačioms kintamųjų reikšmėms. Jei pakeičiant bet kokias kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, gaunama viena reikšmė, tada supaprastinus išraišką, reikia gauti tą pačią reikšmę kaip ir prieš supaprastinimą.
Su išraiška 5a+4b tikrai nieko negali padaryti. Tai nesupaprastina.
Jei išraiškoje yra panašių terminų, juos galima pridėti, jei mūsų tikslas yra supaprastinti išraišką.
8 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 0,3a–0,4a+a
0,3a - 0,4a + a = 0,3a + (-0,4a) + a = (0,3 + (-0,4) + 1) ×a = 0,9a
arba trumpiau: 0,3a – 0,4a + a = 0,9a
Taigi išraiška 0,3a–0,4a+a supaprastinta iki 0,9a
9 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką −7,5a − 2,5b + 4a
Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
arba trumpesnis −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Terminas (−2,5b) liko nepakitęs, nes nebuvo su kuo dėti.
10 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:
Koeficientas buvo skirtas skaičiavimo patogumui.
Taigi išraiška supaprastinta iki
11 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:
Taigi išraiška supaprastinta iki .
Šiame pavyzdyje būtų tikslingiau pirmiausia pridėti pirmąjį ir paskutinįjį koeficientus. Tokiu atveju turėtume trumpą sprendimą. Tai atrodytų taip:
12 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 
Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:
Taigi išraiška supaprastinta iki 
.
Terminas liko nepakitęs, nes nebuvo prie ko jo pridėti.
Šį sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:
Trumpame sprendime buvo praleisti žingsniai, kai atimtis buvo pakeista pridėjimu ir išsamiai aprašyta, kaip trupmenos buvo sumažintos iki bendro vardiklio.
Kitas skirtumas yra tas, kad detalus sprendimas atsakymas atrodo taip , bet trumpai kaip . Tiesą sakant, jie yra ta pati išraiška. Skirtumas tas, kad pirmuoju atveju atimtis pakeičiama pridėjimu, nes pradžioje, kai rašėme sprendimą išsamiai, kur įmanoma, atimtį pakeitėme pridėjimu ir šis pakeitimas buvo išsaugotas atsakymui.
Tapatybės. Identiškai vienodos išraiškos
Supaprastinus bet kurią išraišką, ji tampa paprastesnė ir trumpesnė. Norėdami patikrinti, ar supaprastinta išraiška yra teisinga, pakanka bet kokias kintamųjų reikšmes pirmiausia pakeisti ankstesne išraiška, kurią reikėjo supaprastinti, o po to į naują, kuri buvo supaprastinta. Jei abiejų išraiškų reikšmė yra tokia pati, tada supaprastinta išraiška yra teisinga.
Pasvarstykime paprasčiausias pavyzdys. Tegul reikia supaprastinti išraišką 2a × 7b. Norėdami supaprastinti šią išraišką, galite padauginti skaičius ir raides atskirai:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Patikrinkime, ar teisingai supaprastinome išraišką. Norėdami tai padaryti, pakeiskime bet kokias kintamųjų reikšmes a Ir b pirmiausia į pirmąją išraišką, kurią reikėjo supaprastinti, o paskui į antrąją, kuri buvo supaprastinta.
Tegul kintamųjų reikšmės a , b bus taip:
a = 4, b = 5
Pakeiskime juos pirmąja išraiška 2a × 7b
Dabar pakeiskime tas pačias kintamųjų reikšmes į išraišką, kuri atsirado dėl supaprastinimo 2a × 7b, būtent išraiškoje 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Tai matome, kai a=4 Ir b = 5 pirmosios išraiškos vertė 2a × 7b o antrojo posakio prasmė 14ab lygus
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Tas pats nutiks ir bet kurioms kitoms vertybėms. Pavyzdžiui, tegul a=1 Ir b = 2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Taigi bet kurioms išraiškos kintamųjų reikšmėms 2a × 7b Ir 14ab yra lygūs tai pačiai vertei. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygus.
Darome išvadą, kad tarp posakių 2a × 7b Ir 14ab galite įdėti lygybės ženklą, nes jie yra vienodi.
2a × 7b = 14ab
Lygybė yra bet kokia išraiška, sujungta lygybės ženklu (=).
Ir formos lygybė 2a × 7b = 14ab paskambino tapatybę.
Tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms.
Kiti tapatybių pavyzdžiai:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Taip, matematikos dėsniai, kuriuos studijavome, yra tapatybės.
Tikrosios skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės. Pavyzdžiui:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Spręsdami sudėtingą problemą, kad jums būtų lengviau atlikti skaičiavimus, sudėtinga išraiška pakeistas paprastesne išraiška, identiška ankstesnei. Šis pakeitimas vadinamas identiška išraiškos transformacija arba tiesiog transformuojant išraišką.
Pavyzdžiui, mes supaprastinome išraišką 2a × 7b, ir gavo paprastesnę išraišką 14ab. Šis supaprastinimas gali būti vadinamas tapatybės transformacija.
Dažnai galite rasti užduotį, kuri sako „įrodyti, kad lygybė yra tapatybė“ ir tada pateikiama lygybė, kurią reikia įrodyti. Paprastai ši lygybė susideda iš dviejų dalių: kairės ir dešinės lygybės dalių. Mūsų užduotis yra atlikti tapatybės transformacijas su viena iš lygybės dalių ir gauti kitą dalį. Arba atlikite identiškas transformacijas su abiem lygybės pusėmis ir įsitikinkite, kad abiejose lygybės pusėse yra tos pačios išraiškos.
Pavyzdžiui, įrodykime, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.
Supaprastinkime kairiąją šios lygybės pusę. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius ir raides atskirai:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Dėl nedidelės tapatybės transformacijos kairioji lygybės pusė tapo lygiavertė dešiniajai lygybės pusei. Taigi mes įrodėme, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.
Iš identiškų transformacijų išmokome sudėti, atimti, dauginti ir dalyti skaičius, mažinti trupmenas, pridėti panašius terminus, taip pat supaprastinti kai kurias išraiškas.
Tačiau tai ne visos identiškos transformacijos, kurios egzistuoja matematikoje. Yra daug daugiau identiškų transformacijų. Ateityje tai pamatysime dar ne kartą.
Savarankiško sprendimo užduotys:
Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
§ 1 Pažodinės išraiškos supaprastinimo samprata
Šioje pamokoje susipažinsime su „panašių terminų“ sąvoka ir, pasitelkę pavyzdžius, išmoksime atlikti panašių terminų redukciją, taip supaprastinant pažodinius posakius.
Išsiaiškinkime sąvokos „supaprastinimas“ reikšmę. Žodis „supaprastinimas“ yra kilęs iš žodžio „supaprastinti“. Supaprastinti reiškia padaryti paprastą, paprastesnį. Todėl pažodinę išraišką supaprastinti reiškia sutrumpinti, su minimalus kiekis veiksmus.
Apsvarstykite išraišką 9x + 4x. Tai pažodinė išraiška, kuri yra suma. Terminai čia pateikiami kaip skaičiaus ir raidės sandauga. Skaitinis tokių terminų koeficientas vadinamas koeficientu. Šioje išraiškoje koeficientai bus skaičiai 9 ir 4. Atkreipkite dėmesį, kad koeficientas, pavaizduotas raide, yra vienodas abiejose šios sumos sąlygose.
Prisiminkime paskirstymo daugybos dėsnį:
Norėdami padauginti sumą iš skaičiaus, galite padauginti kiekvieną terminą iš to skaičiaus ir pridėti gautus produktus.
IN bendras vaizdas parašyta taip: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Šis dėsnis galioja abiem kryptimis ac + bc = (a + b) ∙ c
Taikykime tai savo pažodinei išraiškai: 9x ir 4x sandaugų suma yra lygi sandaugai, kurios pirmasis koeficientas yra lygi sumai 9 ir 4, antrasis koeficientas yra x.
9 + 4 = 13, tai yra 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Vietoj trijų išraiškos veiksmų liko tik vienas veiksmas – daugyba. Tai reiškia, kad savo pažodinę išraišką supaprastinome, t.y. jį supaprastino.
§ 2 Panašių terminų sumažinimas
Terminai 9x ir 4x skiriasi tik savo koeficientais – tokie terminai vadinami panašiais. Panašių terminų raidinė dalis yra ta pati. Panašūs terminai taip pat apima skaičius ir vienodus terminus.
Pavyzdžiui, reiškinyje 9a + 12 - 15 panašūs terminai bus skaičiai 12 ir -15, o sandaugos 12 ir 6a sumoje skaičius 14 ir sandauga 12 ir 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) lygūs dėmenys, pavaizduoti 12 ir 6a sandauga.
Svarbu pažymėti, kad nariai, kurių koeficientai lygūs, bet raidžių koeficientai skiriasi, nėra panašūs, nors kartais naudinga jiems taikyti skirstymo daugybos dėsnį, pavyzdžiui, sandaugų 5x ir 5y suma yra lygus skaičiaus 5 ir x bei y sumos sandaugai
5x + 5y = 5(x + y).
Supaprastinkime išraišką -9a + 15a - 4 + 10.
Panašūs terminai šiuo atveju yra terminai -9a ir 15a, nes jie skiriasi tik savo koeficientais. Jų raidžių daugiklis yra tas pats, o terminai -4 ir 10 taip pat yra panašūs, nes tai yra skaičiai. Pridėkite panašių terminų:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Gauname: 6a + 6.
Supaprastinę išraišką radome panašių terminų sumas matematikoje tai vadinama panašių terminų redukcija.
Jei sunku pridėti tokius terminus, galite sugalvoti jiems žodžius ir pridėti objektų.
Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
Kiekvienai raidei paimame savo objektą: b-obuolių, c-kriaušių, tada gauname: 2 obuoliai minus 5 kriaušės plius 8 kriaušės.
Ar galima iš obuolių atimti kriaušes? Žinoma, kad ne. Bet prie minus 5 kriaušių galime pridėti 8 kriaušes.
Pateiksime panašius terminus -5 kriaušės + 8 kriaušės. Panašūs terminai turi tą pačią raidės dalį, todėl vedant panašius terminus pakanka pridėti koeficientus ir prie rezultato pridėti raidės dalį:
(-5 + 8) kriaušės - gausite 3 kriaušes.
Grįžtant prie mūsų pažodinės išraiškos, turime -5 s + 8 s = 3 s. Taigi, atvedę panašius terminus, gauname išraišką 2b + 3c.
Taigi, šioje pamokoje susipažinote su „panašių terminų“ sąvoka ir išmokote supaprastinti raidžių išraiškas sumažinant panašius terminus.
Naudotos literatūros sąrašas:
- Matematika. 6 klasė: I.I. vadovėlio pamokų planai. Zubareva, A.G. Mordkovičius // autorius-kompiliatorius L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius - M.: Mnemosyne, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms/G.V. Dorofejevas, I. F. Šaryginas, S.B. Suvorovas ir kiti / redagavo G.V. Dorofejeva, I.F. Šarygina; Rusijos mokslų akademija, Rusijos švietimo akademija. M.: „Švietimas“, 2010 m.
- Matematika. 6 klasė: studijos bendrojo ugdymo įstaigoms/N.Ya. Vilenkinas, V.I. Zhokhovas, A.S. Česnokovas, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis/G.K. Muravinas, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014 m.
Naudoti vaizdai:
Įkeliama...
