Kompleksinių skaičių palyginimas internete. Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas

Prisiminkime reikiamą informaciją apie kompleksinius skaičius.

Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra i 2 = –1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i jie tiesiog rašo a. Matyti, kad tikrieji skaičiai yra ypatingas atvejis kompleksiniai skaičiai.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (skelbimas + bc)i(čia jis naudojamas i 2 = –1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:

(Pavyzdžiui, .)

Sudėtiniai skaičiai turi patogų ir vaizdinį geometrinį vaizdą: skaičių z = a + bi gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( a; b) Dekarto plokštumoje (arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Šis kiekis vadinamas modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad sukimasis tokiu kampu aplink pradžią vektoriaus nepakeis. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ ; r nuodėmė φ ). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iš čia sekti Moivre'o formulės: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. Šaknis n-asis laipsnis nuo numerio z– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku , ir , kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra dėsnio viršūnėse n-gon).

Naudojant skaičiuotuvą

Norėdami įvertinti išraišką, turite įvesti eilutę, kurią norite įvertinti. Įvedant skaičius, skyriklis tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių yra taškas. Galite naudoti skliaustus. Operacijos su kompleksiniais skaičiais yra daugyba (*), dalyba (/), sudėjimas (+), atimtis (-), eksponencija (^) ir kt. Kompleksiniams skaičiams rašyti galite naudoti eksponentinę ir algebrinę formas. Įveskite įsivaizduojamą vienetą i galima be daugybos ženklo kitais atvejais, daugybos ženklas reikalingas, pavyzdžiui, tarp skliaustų arba tarp skaičiaus ir konstantos. Galima naudoti ir konstantas: skaičius π įvedamas kaip pi, rodiklis e, bet kurios indikatoriaus išraiškos turi būti pateikiamos skliaustuose.

Skaičiavimo eilutės pavyzdys: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), kuri atitinka išraišką \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Skaičiuoklė leidžia naudoti konstantas, matematines funkcijas, papildomas operacijas ir kt. sudėtingos išraiškos, su šiomis galimybėmis galite susipažinti šios svetainės bendrųjų skaičiuoklių naudojimo taisyklių puslapyje.

Svetainė kuriama, kai kurie puslapiai gali būti nepasiekiami.

Naujienos

07.07.2016
Pridėtas skaičiuotuvas netiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti: .

30.06.2016
Svetainės dizainas yra jautrus; puslapiai tinkamai rodomi tiek dideliuose monitoriuose, tiek mobiliuosiuose įrenginiuose.

Rėmėjas

RGROnline.ru – momentinis elektrotechnikos darbų sprendimas internetu.

Klasė 12 . Sudėtingi skaičiai.

12.1. Kompleksinių skaičių apibrėžimas algebrine forma. Kompleksinių skaičių palyginimas ir vaizdavimas kompleksinėje plokštumoje. Sudėtingas poravimas. Kompleksinių skaičių sudėjimas, daugyba, dalyba.

12.2. Modulis, kompleksinio skaičiaus argumentas.

12.3. Trigonometrinės ir eksponentinės kompleksinio skaičiaus rašymo formos.

12.4. Didinimas iki sveikojo skaičiaus laipsnio ir kompleksinio skaičiaus šaknies išskyrimas.

Kompleksinių skaičių apibrėžimas algebrine forma. Kompleksinių skaičių palyginimas ir vaizdavimas kompleksinėje plokštumoje. Sudėtingas poravimas. Kompleksinių skaičių sudėjimas, daugyba, dalyba.

Kompleksinis skaičius algebrine forma yra skaičius

Kur
paskambino įsivaizduojamas vienetas Ir
- tikrieji skaičiai:
paskambino tikroji (tikra) dalis;
- įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius . Sudėtiniai formos skaičiai
yra vadinami grynai menami skaičiai. Visų kompleksinių skaičių aibė žymima raide .

Pagal apibrėžimą,

Visų realiųjų skaičių aibė yra komplekto dalis
: . Kita vertus, yra kompleksinių skaičių, kurie nepriklauso aibei
.
Pavyzdžiui,
.

Ir , nes Sudėtingi skaičiai algebrine forma atsiranda natūraliai sprendžiant

kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.
.

1 pavyzdys

. Išspręskite lygtį

,
.

Sprendimas. , Todėl duota kvadratinė lygtis turi sudėtingas šaknis

,

,
.

2 pavyzdys ,

. Raskite tikrąją ir įsivaizduojamą kompleksinių skaičių dalis
Atitinkamai tikroji ir menama skaičiaus dalys Bet koks kompleksinis skaičius
pavaizduotas vektoriumi kompleksinėje plokštumoje , vaizduojanti plokštumą su Dekarto koordinačių sistema
. Vektoriaus pradžia yra taške
, o pabaiga yra taške su koordinatėmis
(1 pav.) Ašis .

vadinama tikrąja ašimi, o ašimi
- įsivaizduojama kompleksinės plokštumos ašis
Sudėtiniai skaičiai tarpusavyje lyginami tik ženklais
. . .
Jei bent viena iš lygybių:.

tada pažeidžiamas Tipo įrašai
neturi prasmės
Pagal apibrėžimą sudėtinga
numerį
vadinamas kompleksiniu skaičiaus konjugatu

Šiuo atveju jie rašo

. Tai akivaizdu.

Visur žemiau esanti viršutinė juosta virš kompleksinio skaičiaus reikš sudėtingą konjugaciją.

Pavyzdžiui,.

Galite atlikti operacijas su kompleksiniais skaičiais, tokias kaip sudėtis (atimtis), daugyba ir padalijimas.

1. Kompleksinių skaičių sudėjimas
padaryta taip: vektoriai pagal lygiagretainio taisyklę.

Skaičių atėmimo operacija iš tarpo padaryta taip:

2. Kompleksinių skaičių daugyba padaryta taip:

Daugybos operacijos ypatybės:

Pavyzdžiui,.

- asociatyvumo savybė;

- paskirstymo dėsnis.

3. Kompleksinių skaičių dalyba įmanoma tik su
ir daroma taip:

3 pavyzdys. Rasti
, Jei.

4 pavyzdys. Apskaičiuokite
, Jei.

z, nes
.

.(oi!)

Nesunku patikrinti (siūloma tai padaryti patiems) šių teiginių pagrįstumą:

Modulis, kompleksinio skaičiaus argumentas.

Kompleksinio skaičiaus modulis
(modulis žymimas ) yra neneigiamas skaičius
, t.y.
.

Geometrinė reikšmė - skaičių žyminčio vektoriaus ilgis sudėtingoje plokštumoje .
Lygtis apibrėžia visų skaičių aibę (vektoriai per
.

), kurių galai yra ant vieneto apskritimo
Sudėtingų skaičių argumentas žymimas
(argumentas ) tai kampas
radianais tarp tikrosios ašies sudėtingoje plokštumoje ir numeris , ir
teigiamas, jei jis skaičiuojamas nuo į prieš laikrodžio rodyklę ir neigiamas, jei
teigiamas, jei jis skaičiuojamas nuo matuojant nuo ašies.

pagal laikrodžio rodyklę Taigi skaičiaus argumentas
nustatomas dviprasmiškai, iki termino
, Kur . Neabejotinai skaičiaus argumentas
nustatytas per vieną vieneto apskritimo ratą . lėktuve
Paprastai reikia rasti
,intervale ši reikšmė vadinama pagrindine skaičiaus argumento reikšme
.

ir yra paskirtas
Ir numeriai
galima rasti iš lygties , kol Būtinai reikia atsižvelgti , kuriame plokštumos ketvirtyje yra vektoriaus galas
:

- taškas
Jeigu (1-asis lėktuvo ketvirtis

- taškas
), Tai; (2-asis lėktuvo ketvirtis

- taškas
), Tai; (1-asis lėktuvo ketvirtis

- taškas
(3-asis lėktuvo ketvirtis (4-ojo ketvirčio lėktuvas

), tai.
Tiesą sakant, skaičiaus modulis ir argumentas
, tai yra polinės koordinatės
taškų nustatytas per vieną vieneto apskritimo ratą .

- vektoriaus pabaiga 5 pavyzdys

. Raskite skaičių argumento modulį ir pagrindinę reikšmę:
Ant ašių gulinčių skaičių argumentai , skiriantis kompleksinės plokštumos 1,2,3,4 ketvirčius .

, galima iš karto rasti iš šių skaičių grafinių atvaizdų plokštumoje

Trigonometrinės ir eksponentinės kompleksinio skaičiaus rašymo formos. Kompleksinių skaičių daugyba ir dalijimas trigonometriniu ir eksponentiniu žymėjimu. Trigonometrinis žymėjimas
kompleksinis skaičius

, (2)

Kur turi formą: - modulis, - kompleksinio skaičiaus argumentas

. Šis kompleksinių skaičių vaizdavimas išplaukia iš lygybių.(Orientacinė eksponentinis
kompleksinis skaičius

, (3)

Kur turi formą: ) kompleksinio skaičiaus rašymo forma - skaičiaus argumentas

. (4)

. Galimybė pateikti kompleksinius skaičius eksponentine forma (3) išplaukia iš trigonometrinės formos (2) ir Eulerio formulės:

Ši formulė įrodyta TFKP (Sudėtingo kintamojo funkcijų teorijos) eigoje.. Raskite kompleksinių skaičių trigonometrines ir eksponentines formas: iš 5 pavyzdžio.

Sprendimas. Pasinaudokime 5 pavyzdžio rezultatais, kuriame rasti visų nurodytų skaičių moduliai ir argumentai.

- trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus rašymo forma .

- trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus rašymo forma .

Trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus rašymo forma .

- trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus rašymo forma .

Trigonometrinė skaičiaus forma ,

- trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus forma .

- trigonometrinė skaičiaus rašymo forma ,

- eksponentinė skaičiaus rašymo forma .

Eksponentinė kompleksinių skaičių rašymo forma lemia tokią geometrinę kompleksinių skaičių daugybos ir dalybos operacijų interpretaciją. Leiskite
- eksponentinės skaičių formos
.

1. Dauginant kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami.

2. Dalijant kompleksinį skaičių už skaičių pasirodo, kad tai kompleksinis skaičius , modulis kuris lygus modulių santykiui , ir argumentas - skirtumai
skaičių argumentai
.

Didinimas iki sveikojo skaičiaus laipsnio ir kompleksinio skaičiaus šaknies išskyrimas.

Pagal apibrėžimą,

Kai pakeliama iki visos galios kompleksinis skaičius
, turėtumėte elgtis taip: pirmiausia suraskite modulį ir argumentas šis skaičius; pristatyti demonstracine forma
;
rasti