• 29.05.2016

  Virpesių grandinė yra elektros grandinė, kurią sudaro induktorius, kondensatorius ir elektros energijos šaltinis. Kai grandinės elementai sujungiami nuosekliai, virpesių grandinė vadinama nuoseklia, o lygiagrečiai – lygiagrečia. Virpesių grandinė - paprasčiausia sistema, kuriame gali atsirasti laisvųjų elektromagnetinių virpesių. Grandinės rezonansinis dažnis nustatomas pagal vadinamąją Tomsono formulę: ƒ = 1/(2π√(LC)) Už ...

• 20.09.2014

  Imtuvas skirtas priimti DV diapazono (150 kHz…300 kHz) signalus. Pagrindinė savybė imtuvas antenoje, kurios induktyvumas yra didesnis nei įprastos magnetinės antenos. Tai leidžia naudoti derinimo kondensatoriaus talpą 4...20 pF diapazone, taip pat toks imtuvas turi priimtiną jautrumą ir nedidelį RF kelio stiprinimą. Imtuvas veikia su ausinėmis (ausinėmis), maitinamas...

• 24.09.2014

  Šis prietaisas skirtas stebėti skysčio lygį rezervuaruose, kai tik skystis pakyla iki nustatytas lygisĮrenginys pradės nuolat pypsėti, kai skysčio lygis pasieks kritinį lygį. Įrenginys pradės pypsėti su pertrūkiais. Indikatorius susideda iš 2 generatorių, juos valdo jutiklio elementas E. Jis dedamas į baką lygiu iki ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 yra skaitmeninis kelių programų laikmatis, sukurtas dirbti su ILC3-5\7 indikatoriumi. Jame galima skaičiuoti ir rodyti esamą laiką valandomis ir minutėmis, savaitės dieną ir valdymo kanalo numerį (9 aliarmai). Žadintuvo grandinė parodyta paveikslėlyje. Mikroschema yra su laikrodžiu. rezonatorius Q1 esant 32768Hz. maistas neigiamas, bendras pliusas tenka...

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazę ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visi šoniniai šonkauliai taisyklinga piramidė lygūs vienas kitam, visi šoniniai paviršiai lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Plotas viso paviršiaus vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė yra taisyklingos piramidės dalis, esanti tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pagrindai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra teisinga, ty apačioje lygiakraštis trikampis o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją rasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Norėdami rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, rodantį vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Pagal teoremą apie ortogonaliosios projekcijos plotą plokščia figūra gauname:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime

yra daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:

• Šoniniai piramidės paviršiai yra trapecijos formos;
• Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai kraštai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
• Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
• Įprastoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiški lygiašonės trapecijos, kurio plotas lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, norėdami apskaičiuoti parametrus turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai sutrumpintai piramidei galite taikyti kitokią ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotas gali būti apskaičiuojamas per perimetrų sumos pusgaminį. bazės ir apotemas:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l= 5 cm, krašto ilgis dideliame pagrinde yra a= 6 cm, o kraštas yra ties mažesniu pagrindu b= 4 cm Apskaičiuokite nupjautos piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrinduose yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskime didesnės bazės perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Pakeiskite duomenis į formulę:

Taigi mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir tų pačių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Atminkite, kad ši formulė taikoma tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo kraštas a = 6 cm, o viršutinio pagrindo kraštas b = 4 cm Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visos pagrindų briaunos yra lygios viena kitai. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti aikštės plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskime didesnės bazės plotą:


Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, naudodami įvairias reikšmes, lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą.

Daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis, o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne, vadinamas piramide.

Šie trikampiai, sudarantys piramidę, vadinami šoniniai veidai, o likęs daugiakampis yra pagrindu piramidės.

Piramidės apačioje guli geometrinė figūra – n-kampis. Šiuo atveju piramidė taip pat vadinama n-anglies.

Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios tetraedras.

Piramidės briaunos, nepriklausančios pagrindui, vadinamos šoninis, o jų bendra esmė yra viršūnė piramidės. Kitos piramidės briaunos paprastai vadinamos pagrindo šalys.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo bazėje yra taisyklingas daugiakampis ir visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Atstumas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos vadinamas aukščio piramidės. Galime sakyti, kad piramidės aukštis yra statmenas pagrindui atkarpa, kurios galai yra piramidės viršuje ir pagrindo plokštumoje.

Bet kuriai piramidei taikomos šios formulės:

1) S pilnas = S pusė + S pagrindinis, Kur

S total – viso piramidės paviršiaus plotas;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų piramidės šoninių paviršių plotų suma;

S pagrindinis – piramidės pagrindo plotas.

2) V = 1/3 S bazės N, Kur

V – piramidės tūris;

H – piramidės aukštis.

Už taisyklinga piramidė vyksta:

S pusė = 1/2 P pagrindinė h, Kur

P main – piramidės pagrindo perimetras;

h yra apotemos ilgis, tai yra, šoninio paviršiaus, nuleisto nuo piramidės viršaus, aukščio ilgis.

Piramidės dalis, esanti tarp dviejų plokštumų – pagrindo plokštumos ir pjovimo plokštumos lygiagreti pagrindui, vadinama nupjauta piramidė.

Piramidės pagrindas ir piramidės pjūvis lygiagrečia plokštuma vadinamas priežasčių nupjauta piramidė. Likę veidai vadinami šoninis. Atstumas tarp pagrindų plokštumų vadinamas aukščio nupjauta piramidė. Vadinamos briaunos, kurios nepriklauso pagrindams šoninis.

Be to, nupjautinės piramidės pagrindas panašūs n-gonai. Jei nupjautinės piramidės pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai, o visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai tokia nupjauta piramidė vadinama teisinga.

Už savavališka nupjauta piramidė taikomos šios formulės:

1) S pilnas = S pusė + S 1 + S 2, Kur

S total – bendras paviršiaus plotas;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų nupjautinės piramidės šoninių paviršių, kurie yra trapecijos, plotų suma;

S 1, S 2 – baziniai plotai;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) H, Kur

V – nupjautinės piramidės tūris;

H – nupjautinės piramidės aukštis.

Už taisyklinga nupjauta piramidė taip pat turime:

P pusė = 1/2 (P 1 + P 2) h, Kur

P 1, P 2 – pagrindų perimetrai;

h – apotema (šoninio paviršiaus aukštis, kuris yra trapecijos formos).

Panagrinėkime keletą problemų, susijusių su nupjauta piramide.

1 užduotis.

Trikampėje nupjautinėje piramidėje, kurios aukštis lygus 10, vienos iš pagrindų kraštinės yra 27, 29 ir 52. Nustatykite nupjautinės piramidės tūrį, jei kito pagrindo perimetras yra 72.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCA 1 B 1 C 1, parodytą paveikslėlyje 1 pav.

1. Nupjautos piramidės tūrį galima rasti naudojant formulę

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kur S 1 yra vienos iš bazių plotas, galima rasti naudojant Herono formulę

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

nes Uždavinys pateikia trijų trikampio kraštinių ilgius.

Turime: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √(54 (54 – 27) (54 – 29) (54 – 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.

2. Piramidė yra nupjauta, o tai reiškia, kad panašūs daugiakampiai yra prie pagrindų. Mūsų atveju trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C 1. Be to, panašumo koeficientą galima rasti kaip nagrinėjamų trikampių perimetrų santykį, o jų plotų santykis bus lygus panašumo koeficiento kvadratui. Taigi mes turime:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Taigi S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Taigi, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Atsakymas: 1900 m.

2 užduotis.

Trikampėje nupjautoje piramidėje per šoną viršutinė bazė plokštuma nubrėžta lygiagrečiai priešingam šoniniam kraštui. Kokiu santykiu dalijamas nupjautinės piramidės tūris, jei atitinkamos pagrindų kraštinės yra santykiu 1:2?

Sprendimas.

Apsvarstykite ABCA 1 B 1 C 1 - nupjautą piramidę, parodytą paveikslėlyje ryžių. 2.

Kadangi pagrinduose kraštinės yra santykiu 1:2, tai pagrindų plotai yra santykiu 1:4 (trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C 1).

Tada nupjautos piramidės tūris yra:

V = 1/3 h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3 h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kur S 2 – viršutinio pagrindo plotas, h – aukštis.

Bet prizmės ADEA 1 B 1 C 1 tūris yra V 1 = S 2 h, todėl

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Taigi, V 2: V 1 = 3: 4.

Atsakymas: 3:4.

3 užduotis.

Taisyklingos keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinės lygios 2 ir 1, o aukštis 3. Per piramidės įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagrečią piramidės pagrindams, brėžiama plokštuma, dalijanti piramidę į dvi dalis. Raskite kiekvieno iš jų tūrį.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, parodytą paveikslėlyje ryžių. 3.

Pažymime O 1 O 2 = x, tada OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Apsvarstykite trikampį B 1 O 2 D 1 ir trikampį BO 2 D:

kampas B 1 O 2 D 1 lygus kampui BO 2 D kaip vertikalus;

kampas BDO 2 lygus kampui D 1 B 1 O 2, o kampas O 2 ВD lygus kampui B 1 D 1 O 2, esančiam skersai ties B 1 D 1 || BD ir sekantai B₁D ir BD₁ atitinkamai.

Todėl trikampis B 1 O 2 D 1 yra panašus į trikampį BO 2 D, o kraštinių santykis yra:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 arba 1/2 = x/(x – 3), iš kur x = 1.

Apsvarstykite trikampį B 1 D 1 B ir trikampį LO 2 B: kampas B yra bendras, taip pat yra pora vienpusių kampų ties B 1 D 1 || LM, o tai reiškia, kad trikampis B 1 D 1 B yra panašus į trikampį LO 2 B, iš kurio B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, t.y.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1, LN = 4/3 · B 1 D 1.

Tada S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Taigi, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Atsakymas: 152/27; 37/27.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.