Racionalių ir neracionalių posakių konvertavimo paskaita. Iracionalių posakių konvertavimas

Konvertuojant aritmetines šaknis, naudojamos jų savybės (žr. 35 pastraipą).

Pažvelkime į kelis aritmetinių šaknų savybių panaudojimo paprasčiausioms radikalų transformacijoms pavyzdžius. Šiuo atveju laikysime visus kintamuosius tik neneigiamas reikšmes.

1 pavyzdys. Ištraukite produkto šaknį Sprendimas. Taikant 1° savybę, gauname:

2 pavyzdys. Pašalinkite daugiklį iš po šaknies ženklo

Sprendimas.

Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš po šaknies ženklo. Transformacijos tikslas – supaprastinti radikalią išraišką.

3 pavyzdys: supaprastinkite

Sprendimas. Pagal savybę 3° mes paprastai bando supaprastinti radikalią išraišką, kuriai faktorius išima iš šaknies ženklo. Turime

4 pavyzdys: supaprastinkite

Sprendimas. Transformuokime išraišką, įvesdami veiksnį po šaknies ženklu: Pagal savybę 4° turime

5 pavyzdys: supaprastinkite

Sprendimas. Pagal 5° savybę mes turime teisę padalinti šaknies ir radikalios išraiškos rodiklį į tą patį dalyką natūralusis skaičius. Jei nagrinėjamame pavyzdyje nurodytus rodiklius padalinsime iš 3, gausime

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraiškas: a)

Sprendimas, a) Pagal savybę 1° nustatome, kad norint padauginti to paties laipsnio šaknis, pakanka padauginti radikalų išraiškas ir iš gauto rezultato išskirti to paties laipsnio šaknį. Reiškia,

b) Pirmiausia turime sumažinti radikalus iki vieno rodiklio. Pagal 5° savybę šaknies ir radikalios išraiškos rodiklį galime padauginti iš to paties natūraliojo skaičiaus. Todėl toliau turime Ir dabar gautame rezultate šaknies rodiklius ir radikalios išraiškos laipsnį padalijus iš 3, gauname

Šaknų savybėmis grindžiamos kitos dvi transformacijos, vadinamos jų perkėlimas po šaknies ženklu ir pašalinimas iš po šaknies ženklo, į kurį dabar kreipiamės.

Daugiklio įvedimas po šaknies ženklu

Įvedus veiksnį po ženklu, reikia pakeisti išraišką , kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, identiškai vienoda formos arba išraiška.

Pavyzdžiui, neracionali išraiška po šaknies ženklu įvedus koeficientą 2 įgyja formą .

Šios pertvarkos teoriniai pagrindai, jos įgyvendinimo taisyklės, taip pat įvairių sprendimų sprendimai tipiniai pavyzdžiai pateikta straipsnyje, įvedančiame daugiklį po šaknies ženklu.

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo

Transformacija į tam tikra prasme Daugiklio pridėjimas po šaknies ženklu yra atvirkštinis, kai daugiklis pašalinamas iš po šaknies ženklo. Jį sudaro šaknis kaip nelyginio n sandauga arba lyginio n sandauga, kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos.

Pavyzdžiui, grįžkime prie ankstesnės pastraipos: neracionali išraiška, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, įgauna formą . Kitas pavyzdys: pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo reiškinyje gaunamas sandauga, kurią galima perrašyti kaip .

Kuo pagrįsta ši transformacija ir kokiomis taisyklėmis ji atliekama, atskirame straipsnyje išnagrinėsime daugiklio pašalinimą iš po šaknies ženklo. Ten taip pat pateiksime sprendimų sprendimus ir išvardysime būdus, kaip radikalią išraišką sumažinti iki formos, patogios dauginti.

Konvertuojamos trupmenos, kuriose yra šaknų

Iracionaliose išraiškose gali būti trupmenų, kurių šaknys yra skaitiklyje ir vardikliu. Su tokiomis trupmenomis galite atlikti bet kurią iš pagrindinių trupmenų tapatumo transformacijos.

Pirma, niekas netrukdo jums dirbti su skaitiklio ir vardiklio išraiškomis. Kaip pavyzdį apsvarstykite trupmeną. Iracionalioji išraiška skaitiklyje akivaizdžiai identiškai lygi , o kreipiantis į šaknų savybes, vardiklyje esančią išraišką galima pakeisti šaknimi . Dėl to pradinė trupmena konvertuojama į formą .

Antra, galite pakeisti ženklą prieš trupmeną, pakeisdami skaitiklio arba vardiklio ženklą. Pavyzdžiui, vyksta šios neracionalios išraiškos transformacijos: .

Trečia, kartais įmanoma ir patartina sumažinti dalį. Pavyzdžiui, kaip atsisakyti malonumo sumažinti trupmeną į neracionalią išraišką, todėl gauname .

Aišku, kad daugeliu atvejų, prieš mažinant trupmeną, jos skaitiklyje ir vardiklyje esančias išraiškas tenka suskaičiuoti, o tai paprastais atvejais galima pasiekti sutrumpintomis daugybos formulėmis. Ir kartais tai padeda sumažinti trupmeną pakeičiant kintamąjį, leidžiantį pereiti nuo pradinės trupmenos su neracionalumu prie racionalios trupmenos, su kuria patogiau ir pažįstama dirbti.

Pavyzdžiui, paimkime išraišką . Įveskime naujus kintamuosius ir šiuose kintamuosiuose pradinė išraiška turi formą . Atlikęs skaitiklyje

Straipsnyje atskleidžiama prasmė neracionalios išraiškos ir transformacijos su jais. Panagrinėkime pačią neracionalių posakių sampratą, transformaciją ir būdingas išraiškas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra neracionalios išraiškos?

Įvesdami šaknis mokykloje, tiriame iracionalių posakių sampratą. Tokie posakiai yra glaudžiai susiję su šaknimis.

1 apibrėžimas

Neracionalios išraiškos yra išraiškos, turinčios šaknį. Tai yra, tai yra posakiai, turintys radikalų.

Remiantis šis apibrėžimas, turime, kad x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 yra neracionalaus tipo išraiškos.

Nagrinėdami išraišką x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 matome, kad išraiška yra racionali. Racionaliosios išraiškos apima polinomus ir algebrines trupmenas. Neracionalūs apima darbą su logaritmines išraiškas arba radikalios išraiškos.

Pagrindiniai neracionalių posakių transformacijų tipai

Skaičiuojant tokias išraiškas, būtina atkreipti dėmesį į DZ. Dažnai jie reikalauja papildomų transformacijų atidarant skliaustus, pateikiant panašius narius, grupes ir pan. Tokių transformacijų pagrindas yra operacijos su skaičiais. Iracionalių posakių transformacijos laikosi griežtos tvarkos.

1 pavyzdys

Pakeiskite išraišką 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

Sprendimas

Būtina pakeisti skaičių 9 išraiška, kurioje yra šaknis. Tada mes tai gauname

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Gauta išraiška turi panašius terminus, todėl atlikime sumažinimą ir grupavimą. Mes gauname

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Atsakymas: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

2 pavyzdys

Pateikite išraišką x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 kaip dviejų iracionaliųjų sandaugą, naudodami sutrumpintas daugybos formules.

Sprendimai

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

9 pavaizduojame 3 2 pavidalu ir taikome kvadratų skirtumo formulę:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Identiškų transformacijų rezultatas lėmė dviejų racionalių išraiškų, kurias reikėjo rasti, sandaugą.

Atsakymas:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Galite atlikti daugybę kitų transformacijų, taikomų neracionalioms išraiškoms.

Radikalios išraiškos konvertavimas

Svarbu tai, kad po šaknies ženklu esanti išraiška gali būti pakeista identiškai jam lygiaverte. Šis teiginys leidžia dirbti su radikalia išraiška. Pavyzdžiui, 1 + 6 galima pakeisti 7 arba 2 · a 5 4 - 6 2 · a 4 · a 4 - 6 . Jie yra identiški, todėl pakeitimas prasmingas.

Kai nėra 1, besiskiriančio nuo a, kur galioja a n = a 1 n formos nelygybė, tada tokia lygybė galima tik esant a = a 1. Tokių išraiškų reikšmės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms.

Šakninių savybių naudojimas

Šaknų savybės naudojamos išraiškoms supaprastinti. Taikant savybę a · b = a · b, kur a ≥ 0, b ≥ 0, tada iš iracionalios formos 1 + 3 · 12 gali tapti identiškai lygi 1 + 3 · 12. Turtas. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , kur a ≥ 0 reiškia, kad x 2 + 4 4 3 gali būti parašytas x 2 + 4 24 forma.

Konvertuojant radikalias išraiškas yra keletas niuansų. Jei yra išraiška, tai - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 negalime jos užrašyti, nes formulė a b n = a n b n tarnauja tik neneigiamam a ir teigiamam b. Jei savybė pritaikyta teisingai, rezultatas bus 7 4 81 4 formos išraiška.

Teisingai transformacijai naudojamos neracionalių išraiškų transformacijos naudojant šaknų savybes.

Daugiklio įvedimas po šaknies ženklu

3 apibrėžimas

Padėkite po šaknies ženklu- reiškia pakeisti išraišką B · C n, o B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos, kur n yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1, lygia išraiška, kuri atrodo kaip B n · C n arba - B n · C n.

Jei formos išraišką supaprastinsime 2 x 3, tai pridėję ją prie šaknies gausime, kad 2 3 x 3. Tokios transformacijos įmanomos tik išsamiai išnagrinėjus daugiklio įvedimo po šaknies ženklu taisykles.

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo

Jei yra B n · C n formos išraiška, tada ji redukuojama į formą B · C n , kur yra nelyginių n , kurie turi formą B · C n , kai lyginiai n , B ir C yra kai kurie skaičiai ir posakius.

Tai yra, jei imsime neracionalią 2 3 x 3 formos išraišką, pašalinsime faktorių iš po šaknies, tada gausime išraišką 2 x 3. Arba x + 1 2 · 7 bus x + 1 · 7 formos išraiška, kuri turi kitą formos x + 1 · 7 žymėjimą.

Norint supaprastinti išraišką ir greitai ją konvertuoti, būtina pašalinti daugiklį iš po šaknies.

Konvertuojamos trupmenos, kuriose yra šaknų

Iracionali išraiška gali būti natūralusis skaičius arba trupmena. Norėdami konvertuoti trupmenines išraiškas, atkreipkite didelį dėmesį į jo vardiklį. Jei paimsime formos trupmeną (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, tada skaitiklis įgaus formą 5 x 4 ir, pasinaudoję šaknų savybėmis, pamatysime, kad vardiklis bus x 2 + 5 6. Pradinė trupmena gali būti parašyta kaip 5 x 4 x 2 + 5 6.

Būtina atkreipti dėmesį į tai, kad reikia keisti tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą. Mes tai gauname

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Supaprastinant dažniausiai naudojamas trupmenos sumažinimas. Mes tai gauname

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 sumažinti x + 4 3 - 1 . Gauname išraišką 3 x x + 4 3 - 1 2.

Prieš redukciją būtina atlikti transformacijas, kurios supaprastina išraišką ir suteikia galimybę faktorizuoti sudėtinga išraiška. Dažniausiai naudojamos sutrumpintos daugybos formulės.

Jei imsime formos 2 · x - y x + y trupmeną, tada reikia įvesti naujus kintamuosius u = x ir v = x, tada duota išraiška pakeis formą ir taps 2 · u 2 - v 2 u + v. Skaitiklis turi būti išskaidytas į daugianarius pagal formulę, tada mes tai gauname

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v. Atlikę atvirkštinį pakeitimą, gauname formą 2 x - y, kuri yra lygi pradinei.

Leidžiamas sumažinimas iki naujo vardiklio, tada reikia skaitiklį padauginti iš papildomo koeficiento. Jei imsime formos x 3 trupmeną - 1 0, 5 · x, tai ją sumažiname iki vardiklio x. Norėdami tai padaryti, skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš išraiškos 2 x, tada gauname išraišką x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Sumažinti frakcijas arba įvesti panašias reikia tik nurodytos frakcijos ODZ. Kai skaitiklį ir vardiklį padauginame iš neracionalios išraiškos, pastebime, kad vardiklyje atsikratome neracionalumo.

Iracionalumo atsikratymas vardiklyje

Kai išraiška transformacijos būdu atsikrato vardiklio šaknies, tai vadinama neracionalumo atsikratymu. Pažiūrėkime į formos x 3 3 trupmenos pavyzdį. Atsikratę iracionalumo, gauname naują 9 3 x 3 formos trupmeną.

Perėjimas nuo šaknų prie galių

Perėjimai nuo šaknų prie galių yra būtini norint greitai transformuoti neracionalias išraiškas. Jei laikysime lygybę a m n = a m n , pamatysime, kad ją naudoti galima, kai a yra teigiamas skaičius, m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Jei laikysime išraišką 5 - 2 3, tai kitu atveju turime teisę rašyti kaip 5 - 2 3. Šios išraiškos yra lygiavertės.

Kai šaknyje yra neigiamas skaičius arba skaičius su kintamaisiais, tada formulė a m n = a m n ne visada taikoma. Jei tokias šaknis (- 8) 3 5 ir (- 16) 2 4 reikia pakeisti laipsniais, tai gauname, kad - 8 3 5 ir - 16 2 4 pagal formulę a m n = a m n su neigiamuoju a nedirbame. Norint išsamiai išanalizuoti radikalių posakių ir jų supaprastinimų temą, būtina išstudijuoti straipsnį apie perėjimą nuo šaknų prie galių ir atgal. Reikia atsiminti, kad formulė a m n = a m n netaikoma visoms šio tipo išraiškoms. Iracionalumo atsikratymas prisideda prie tolesnio išraiškos supaprastinimo, jos transformacijos ir sprendimo.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Išraiškos, turinčios radikalų ženklą (šaknį), vadinamos iracionaliosiomis.

Aritmetinė šaknis natūralus laipsnis$n$ iš neneigiamo skaičiaus a vadinamas tam tikru neneigiamu skaičiumi, pakėlus iki laipsnio $n$, gaunamas skaičius $a$.

$(√^n(a))^n=a$

Žymėjime $√^n(a)$ "a" vadinamas radikaliu skaičiumi, $n$ yra šaknies arba radikalo eksponentas.

$n$-osios šaknų savybės $a≥0$ ir $b≥0$:

1. Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai

$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$

Apskaičiuokite $√^5(5)∙√^5(625)$

Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai ir atvirkščiai: šaknų sandauga su tuo pačiu šaknies rodikliu yra lygi radikalių išraiškų sandaugai

$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

2. Trupmenos šaknis yra atskira šaknis nuo skaitiklio ir atskira šaknis nuo vardiklio

$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, $b≠0$

3. Kai šaknis pakeliama iki galios, radikali išraiška pakeliama iki šios galios

$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$

4. Jei $a≥0$ ir $n,k$ yra natūralūs skaičiai, didesni už $1$, tada lygybė yra teisinga.

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

5. Jei šaknies ir radikalinės išraiškos rodikliai bus padauginti arba padalinti iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis.

$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$

6. Nelyginio laipsnio šaknis galima išskirti iš teigiamų ir neigiami skaičiai, o lyginio laipsnio šaknis yra tik teigiama.

7. Bet kuri šaknis gali būti pavaizduota kaip laipsnis su trupmeniniu (racionaliuoju) rodikliu.

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Raskite reiškinio $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ reikšmę $s>0$

Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai

$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$

Iš skaičių galime iš karto išgauti šaknis

$(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$

$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$

$(3∙√(√^11(s))))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$

Sumažiname $22$ šaknis iš $с$ ir gauname $(3)/(2)=1.5$

Atsakymas: 1,5 USD

Jei radikalui su lyginiu laipsniu mes nežinome radikalios išraiškos ženklo, tai išimant šaknį išeina radikalios išraiškos modulis.

Raskite reiškinio $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ reikšmę ties $7< c < 9$

Jei virš šaknies nėra indikatoriaus, tai reiškia, kad dirbame su kvadratinė šaknis. Jo rodiklis yra du, t.y. sąžiningas. Jei radikalui su lyginiu laipsniu mes nežinome radikalios išraiškos ženklo, tai išimant šaknį išeina radikalios išraiškos modulis.

$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$

Pagal sąlygą $7 nustatykime išraiškos ženklą po modulio ženklu< c < 9$

Norėdami patikrinti, paimkite bet kurį skaičių iš nurodyto diapazono, pavyzdžiui, 8 USD

Patikrinkime kiekvieno modulio ženklą

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

Laipsnių su racionaliuoju rodikliu savybės:

1. Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka ta pati, o laipsniai pridedami.

$a^n∙a^m=a^(n+m)$

2. Didinant laipsnį iki laipsnio, bazė išlieka ta pati, bet rodikliai dauginami

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

3. Didinant sandaugą iki laipsnio, kiekvienas koeficientas padidinamas iki šios laipsnio

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. Keliant trupmeną iki laipsnio, skaitiklis ir vardiklis didinami iki šios laipsnio

Identiškos išraiškų transformacijos yra viena iš mokyklinio matematikos kurso turinio eilučių. Identiškos transformacijos plačiai naudojamos sprendžiant lygtis, nelygybes, lygčių ir nelygybių sistemas. Be to, identiškos išraiškų transformacijos prisideda prie intelekto, mąstymo lankstumo ir racionalumo ugdymo.

Siūloma medžiaga skirta 8 klasės mokiniams ir apima identiškų racionalių ir neracionalių posakių transformacijų teorinius pagrindus, tokių posakių transformavimo užduočių tipus ir testo tekstą.

1. Tapatybės transformacijų teoriniai pagrindai

Algebros išraiškos yra įrašai, susidedantys iš skaičių ir raidžių, sujungtų veiksmo ženklais.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – algebrinės išraiškos.

Priklausomai nuo operacijų, skiriamos racionalios ir neracionalios išraiškos.

Algebrinės išraiškos vadinamos racionaliosiomis, jei jos yra susijusios su joje esančiomis raidėmis A, b, Su, ... nevykdomos jokios kitos operacijos, išskyrus sudėtį, daugybą, atimtį, dalybą ir eksponenciją.

Algebrinės išraiškos, kuriose yra kintamojo šaknies ištraukimo arba kintamojo padidinimo iki racionalios laipsnio, kuris nėra sveikasis skaičius, yra vadinamos iracionaliosiomis šio kintamojo atžvilgiu.

Tam tikros išraiškos tapatumo transformacija yra vienos išraiškos pakeitimas kita, kuri yra identiška jai tam tikroje aibėje.

Šie teoriniai faktai yra identiškų racionalių ir neracionalių išraiškų transformacijų pagrindas.

1. Laipsnių su sveikuoju rodikliu savybės:

, nĮJUNGTA; A 1=A;

, nĮJUNGTA, A¹0; A 0=1, A¹0;

, A¹0;

, A¹0;

, A¹0;

, A¹0, b¹0;

, A¹0, b¹0.

2. Sutrumpintos daugybos formulės:

Kur A, b, Su– bet kokie realieji skaičiai;

Kur A¹0, X 1 ir X 2 – lygties šaknys .

3. Pagrindinė trupmenų savybė ir veiksmai su trupmenomis:

, Kur b¹0, Su¹0;

; ;

4. Aritmetinės šaknies apibrėžimas ir jos savybės:

; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,

Kur A, b– neneigiamus skaičius, nĮJUNGTA, n³2, mĮJUNGTA, m³2.

1. Išraiškos konvertavimo pratimai

Yra įvairių tipų pratimai identiškoms išraiškų transformacijoms. Pirmas tipas: Konversija, kurią reikia atlikti, yra aiškiai nurodyta.

Pavyzdžiui.

1. Pavaizduokite jį kaip daugianarį.

Atlikdami šią transformaciją, naudojome daugianario daugybos ir atimties taisykles, sutrumpinto daugybos formulę ir panašių narių redukciją.

2. Atsižvelgti į: .

Atlikdami transformaciją naudojome taisyklę bendrojo koeficiento dėjimo iš skliaustų ir 2 sutrumpintas daugybos formules.

3. Sumažinkite trupmeną:

.

Atlikdami transformaciją naudojome bendrojo koeficiento pašalinimą iš skliaustų, komutacinius ir susitraukimo dėsnius, 2 sutrumpintas daugybos formules ir operacijas laipsniais.

4. Pašalinkite faktorių iš po šaknies ženklo if A³0, b³0, Su³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">

Naudojome taisykles veiksmams su šaknimis ir skaičiaus modulio apibrėžimą.

5. Pašalinkite trupmenos vardiklio neracionalumą. .

Antrasis tipas pratimai – tai pratimai, kuriuose aiškiai nurodoma pagrindinė transformacija, kurią reikia atlikti. Tokiose pratybose reikalavimas paprastai formuluojamas viena iš šių formų: supaprastinti išraišką, apskaičiuoti. Atliekant tokius pratimus, visų pirma reikia nustatyti, kokias ir kokia tvarka reikia atlikti transformacijas, kad išraiška įgautų kompaktiškesnę formą nei duotoji, arba gautas skaitinis rezultatas.

Pavyzdžiui

6. Supaprastinkite posakį:

Sprendimas:

.

Naudotos veiksmų taisyklės algebrinės trupmenos ir sutrumpintos daugybos formulės.

7. Supaprastinkite posakį:

.

Jeigu A³0, b³0, A¹ b.

Naudojome sutrumpintas daugybos formules, trupmenų pridėjimo ir neracionalių išraiškų dauginimo taisykles, tapatybę https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.

Naudojome viso kvadrato, tapatybės https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21"> pasirinkimo operaciją, jei .

Įrodymas:

Nuo tada ir arba arba arba arba , t.y.

Naudojome kubų sumos sąlygą ir formulę.

Reikėtų nepamiršti, kad sąlygos, jungiančios kintamuosius, taip pat gali būti nurodytos pirmųjų dviejų tipų pratybose.

Pavyzdžiui.

10. Raskite, jei .