Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.
Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.
Ką reikia žinoti apie trapeciją?
Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.
Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.
Trapecijos plotų formulės
Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijų plotą.
Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.
Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime pagrįstai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki tokio tipo: S = m*h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.
Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.
Lygiašonė trapecija
Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą ploto formulės variantų lygiašonė trapecija.
Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.
Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.
Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.
Išlenktos trapecijos ploto formulė
Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.
Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto naudojant aukščiau nurodytus metodus. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.
Problemų pavyzdžiai
Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto radimu, pavyzdžių. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite spręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.
1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas yra 11 cm, mažesnis - 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.
Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.
Mes apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.
Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.
Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.
2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.
Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.
Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).
Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Išvada
Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.
Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.
Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniai tinklai. Leiskite geri pažymiai bus daugiau vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino testo!
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.
Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.
Ką reikia žinoti apie trapeciją?
Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.
Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.
Trapecijos plotų formulės
Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijų plotą.
Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.
Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m*h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.
Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.
Lygiašonė trapecija
Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.
Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.
Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.
Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.
Išlenktos trapecijos ploto formulė
Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.
Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto naudojant aukščiau nurodytus metodus. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.
Problemų pavyzdžiai
Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto radimu, pavyzdžių. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite spręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.
1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas yra 11 cm, mažesnis - 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.
Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.
Mes apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.
Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.
Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.
2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.
Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.
Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).
Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Išvada
Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.
Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.
Apie šį straipsnį būtinai pasakykite savo klasės draugams ir draugams socialiniuose tinkluose. Tegul būna daugiau gerų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinių egzaminų pažymių!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Norint jaustis užtikrintai ir sėkmingai spręsti uždavinius geometrijos pamokose, neužtenka išmokti formulių. Pirmiausia juos reikia suprasti. Bijoti, o juo labiau nekęsti formulių – neproduktyvu. Šiame straipsnyje prieinama kalba bus analizuojamas įvairių būdų Trapecijos ploto radimas. Norėdami geriau suprasti atitinkamas taisykles ir teoremas, atkreipsime dėmesį į jo savybes. Tai padės suprasti, kaip veikia taisyklės ir kokiais atvejais reikėtų taikyti tam tikras formules.
Trapecijos apibrėžimas
Kokia tai apskritai figūra? Trapecija yra daugiakampis su keturiais kampais ir dviem lygiagrečiomis kraštinėmis. Į kitas dvi trapecijos puses galima pakreipti skirtingi kampai. Jo lygiagrečios kraštinės vadinamos bazėmis, o nelygiagrečioms – „šonų“ arba „klubo“ pavadinimas. Tokie skaičiai yra gana dažni kasdieniame gyvenime. Trapecijos kontūrai matomi drabužių, interjero daiktų, baldų, indų ir daugelio kitų siluetuose. Atsitinka trapecija skirtingų tipų: skalinė, lygiakraštė ir stačiakampė. Toliau straipsnyje mes išsamiau išnagrinėsime jų tipus ir savybes.
Trapecijos savybės
Trumpai pakalbėkime apie šio paveikslo savybes. Kampų, esančių šalia bet kurios kraštinės, suma visada yra 180°. Reikėtų pažymėti, kad visi trapecijos kampai sudaro 360°. Trapecija turi vidurio linijos sąvoką. Jei kraštinių vidurio taškus sujungsite su segmentu, tai bus vidurinė linija. Jis žymimas m. Vidurinė linija turi svarbios savybės: jis visada yra lygiagretus pagrindams (atsimename, kad pagrindai taip pat yra lygiagrečiai vienas kitam) ir lygus jų pusinei sumai:
Šį apibrėžimą reikia išmokti ir suprasti, nes tai yra raktas į daugelio problemų sprendimą!
Naudodami trapeciją, visada galite nuleisti aukštį iki pagrindo. Aukštis yra statmenas, dažnai žymimas simboliu h, brėžiamas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą bazę arba jos tęsinį. Vidurinė linija ir aukštis padės rasti trapecijos plotą. Tokios problemos dažniausiai pasitaiko mokykliniame geometrijos kurse ir reguliariai atsiranda tarp testų ir egzaminų darbų.
Paprasčiausios trapecijos ploto formulės
Pažvelkime į dvi populiariausias ir paprasčiausias formules, naudojamas trapecijos plotui rasti. Pakanka aukštį padauginti iš pusės pagrindų sumos, kad lengvai rastumėte tai, ko ieškote:
S = h*(a + b)/2.
Šioje formulėje a, b žymi trapecijos pagrindus, h – aukštį. Kad būtų lengviau suvokti, šiame straipsnyje daugybos ženklai formulėse žymimi simboliu (*), nors oficialiose žinynuose daugybos ženklas dažniausiai praleidžiamas.
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Pateikta: trapecija su dviem pagrindais, lygiais 10 ir 14 cm, aukštis yra 7 cm. Koks yra trapecijos plotas?
Pažvelkime į šios problemos sprendimą. Naudojant šią formulę, pirmiausia reikia rasti bazių pusę: (10+14)/2 = 12. Taigi, pusė sumos lygi 12 cm. Dabar pusę sumos padauginame iš aukščio: 12*7 = 84. Tai, ko ieškome, yra rasta. Atsakymas: Trapecijos plotas yra 84 kvadratiniai metrai. cm.
Antroji gerai žinoma formulė sako: trapecijos plotas yra lygus vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai. Tai yra, tai iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnės vidurinės linijos sampratos: S=m*h.
Įstrižainių naudojimas skaičiavimams
Kitas būdas rasti trapecijos plotą iš tikrųjų nėra toks sudėtingas. Jis yra prijungtas prie jo įstrižainių. Naudodami šią formulę, norėdami rasti plotą, turite padauginti jo įstrižainių pusgaminį (d 1 d 2) iš kampo tarp jų sinuso:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Panagrinėkime problemą, kuri parodo šio metodo taikymą. Duota: trapecija, kurios įstrižainių ilgis atitinkamai lygus 8 ir 13 cm Kampas a tarp įstrižainių yra 30°. Raskite trapecijos plotą.
Sprendimas. Naudojant aukščiau pateiktą formulę, lengva apskaičiuoti, ko reikia. Kaip žinote, nuodėmė 30° yra 0,5. Todėl S = 8*13*0,5=52. Atsakymas: plotas 52 kvadratiniai metrai. cm.
Lygiašonės trapecijos ploto radimas
Trapecija gali būti lygiašonė (lygiašonė). Jo kraštinės vienodos, o kampai prie pagrindų lygūs, tai puikiai iliustruoja paveikslas. Lygiašonė trapecija turi tokias pačias savybes kaip ir įprasta, be to, daug specialių. Aplink lygiašonę trapeciją galima apibrėžti apskritimą, o joje – apskritimą.
Kokie yra tokios figūros ploto apskaičiavimo metodai? Toliau pateiktas metodas pareikalaus daug skaičiavimų. Norėdami jį naudoti, turite žinoti kampo ties trapecijos pagrindu sinuso (sin) ir kosinuso (cos) reikšmes. Norint juos apskaičiuoti, reikia arba Bradis lentelių, arba inžinerinio skaičiuotuvo. Štai formulė:
S = c*nuodėmė a*(a - c* cos a),
Kur Su- šoninės šlaunies, a- kampas prie apatinio pagrindo.
Lygiakraščio trapecijos įstrižainės yra vienodo ilgio. Taip pat yra priešingai: jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė. Taigi ši formulė, padedanti rasti trapecijos plotą - įstrižainių kvadrato ir kampo tarp jų sinuso sandauga: S = ½ d 2 sin a.
Stačiakampės trapecijos ploto radimas
Žinomas ypatingas atvejis stačiakampė trapecija. Tai trapecija, kurios viena pusė (jos šlaunys) stačiu kampu ribojasi su pagrindais. Jis turi įprastos trapecijos savybių. Be to, ji turi labai įdomi savybė. Tokios trapecijos įstrižainių kvadratų skirtumas lygus jos pagrindų kvadratų skirtumui. Tam naudojami visi anksčiau aprašyti ploto apskaičiavimo metodai.
Mes naudojame išradingumą
Yra vienas triukas, kuris gali padėti, jei pamiršite konkrečias formules. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra trapecija. Jei mintyse suskirstysime jį į dalis, tapsime pažįstami ir suprantami geometrinės formos: kvadratas arba stačiakampis ir trikampis (vienas arba du). Jei žinomas trapecijos aukštis ir kraštinės, galite naudoti formules trikampio plotas ir stačiakampį, tada sudėkite visas gautas reikšmes.
Iliustruojame tai tokiu pavyzdžiu. Duota stačiakampė trapecija. Kampas C = 45°, kampai A, D yra 90°. Viršutinė bazė trapecija yra 20 cm, aukštis 16 cm. Reikia apskaičiuoti figūros plotą.
Ši figūra akivaizdžiai susideda iš stačiakampio (jei du kampai lygūs 90°) ir trikampio. Kadangi trapecija yra stačiakampė, jos aukštis lygus jos kraštinei, tai yra 16 cm. Turime stačiakampį, kurio kraštinės yra atitinkamai 20 ir 16 cm. Dabar apsvarstykite trikampį, kurio kampas yra 45 °. Žinome, kad viena jo kraštinė yra 16 cm. Kadangi ši kraštinė yra ir trapecijos aukštis (ir žinome, kad aukštis nusileidžia stačiu kampu), todėl antrasis trikampio kampas yra 90°. Taigi likęs trikampio kampas yra 45°. Dėl to gauname stačiakampį lygiašonis trikampis, kurio abi pusės yra vienodos. Tai reiškia, kad kita trikampio pusė yra lygi aukščiui, tai yra 16 cm. Belieka apskaičiuoti trikampio ir stačiakampio plotą ir pridėti gautas vertes.
Kvadratas stačiakampis trikampis yra lygus pusei jo kojų sandaugos: S = (16*16)/2 = 128. Stačiakampio plotas lygus jo pločio ir ilgio sandaugai: S = 20*16 = 320. Mes nustatėme reikalingas: trapecijos plotas S = 128 + 320 = 448 kv. žr. Galite lengvai patikrinti save naudodami aukščiau pateiktas formules, atsakymas bus identiškas.
Mes naudojame Pick formulę
Galiausiai pateikiame dar vieną originalią formulę, kuri padeda rasti trapecijos plotą. Ji vadinama Pick formule. Patogu naudoti, kai trapecija nupiešta ant languoto popieriaus. Panašios problemos dažnai aptinkamos GIA medžiagoje. Tai atrodo taip:
S = M/2 + N - 1,
šioje formulėje M yra mazgų skaičius, t.y. figūros linijų susikirtimo su langelio linijomis ties trapecijos ribomis (paveiksle oranžiniai taškai), N – mazgų skaičius figūros viduje (mėlyni taškai). Patogiausia jį naudoti ieškant netaisyklingo daugiakampio ploto. Tačiau kuo didesnis naudojamų technikų arsenalas, tuo daugiau mažiau klaidų ir geresnių rezultatų.
Žinoma, pateikta informacija neišsemia trapecijos tipų ir savybių, taip pat jos ploto nustatymo būdų. Šiame straipsnyje apžvelgiamos svarbiausios jo savybės. Sprendime geometrinės problemos Svarbu veikti palaipsniui, pradėti nuo lengvų formulių ir problemų, nuosekliai įtvirtinti supratimą ir pereiti į kitą sudėtingumo lygį.
Dažniausiai surenkamos formulės padės mokiniams orientuotis įvairiais būdais apskaičiuokite trapecijos plotą ir geriau pasiruoškite šios temos bandymams ir bandymams.
IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime iškyla labai retai, tačiau kartais pasirodo, kad reikia, pavyzdžiui, rasti trapecijos formos kambario plotą, kuris vis dažniau naudojamas statyboje. modernūs butai, arba renovacijos projektiniuose projektuose.
Trapecija yra geometrinė figūra, sudaryta iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos kraštinėmis. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecijos turi specialius tipus: lygiašonę (lygiašonę) trapeciją, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampę trapeciją, kurioje viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.
Trapecijos turi keletą įdomių savybių:
- Trapecijos vidurio linija lygi pusei bazių sumos ir yra lygiagreti jiems.
- Lygiašonės trapecijos turi lygias kraštines ir kampus, kuriuos jie sudaro su pagrindais.
- Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
- Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
- Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
- Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija telpa į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
- Atkarpa, einanti per lygiašonės trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus statmena jos pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
Kaip rasti trapecijos plotą.
Trapecijos plotas bus lygus pusei jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės formoje tai parašyta kaip išraiška:
kur S – trapecijos plotas, a, b – kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h – trapecijos aukštis.
Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš toliau pateikto paveikslo, naudojant centrinę liniją, trapecija gali būti paversta stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.
Taip pat galite išplėsti bet kurią trapeciją į daugiau paprastos figūros: stačiakampis ir vienas ar du trikampiai, o jei jums lengviau, tada raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.
Yra dar viena paprasta formulė jo plotui apskaičiuoti. Pagal ją trapecijos plotas lygus jos vidurio linijos sandaugai iš trapecijos aukščio ir rašomas tokia forma: S = m*h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematikos uždaviniams, o ne kasdienes užduotis, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.
Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:
S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
kur S – plotas, a, b – pagrindai, c, d – trapecijos kraštinės.
Yra keletas kitų būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra beveik tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.
Įkeliama...
