Trigonometrinės funkcijos- Čia nukreipiamas „nuodėmės“ prašymas; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. „Sine“ užklausa nukreipiama čia; žr. ir kitas reikšmes... Vikipedija
Tan
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Kosinusas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Kotangentas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Sekantas- Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Trigonometrijos istorija- Geodeziniai matavimai (XVII a.) ... Vikipedija
Pusės kampo formulės liestinė- Trigonometrijoje pusės kampo formulės tangentas susieja pusės kampo liestinę su viso kampo trigonometrinėmis funkcijomis: Šios formulės variantai yra tokie... Vikipedija
Trigonometrija- (iš graikų kalbos τρίγονο (trikampis) ir graikų μετρειν (matuoti), tai yra, trikampių matavimas) matematikos šaka, kurioje jie studijuoja trigonometrinės funkcijos ir jų pritaikymas geometrijai. Šis terminas pirmą kartą pasirodė 1595 m. kaip... ... Vikipedija
Trikampių sprendimas- (lot. solutio triangulorum) istorinis terminas, reiškiantis pagrindinio sprendimą trigonometrinė problema: naudodami žinomus duomenis apie trikampį (kraštines, kampus ir kt.), raskite likusias jo charakteristikas. Trikampis gali būti... ... Vikipedijoje
Knygos
- Stalų komplektas. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 17 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Komplekte yra brošiūra su metodinės rekomendacijos
- už mokytoją. Mokomasis albumas iš 17 lapų... Pirkti už 3944 RUR Integralų ir kitų matematinių formulių lentelės, Dwight G.B. Dešimtajame garsiosios žinyno leidime yra labai išsamios neapibrėžtųjų ir apibrėžtųjų integralų lentelės, taip pat
didelis skaičius kitos matematinės formulės: serijų išplėtimai,...
Trigonometrinės tapatybės
- tai lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, leidžiančios rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .
Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Lietinės ir kotangento radimas naudojant sinusą ir kosinusą tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspaceŠios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite į tai, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis
\frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) - bus kotangentas..
Pavyzdžiui: Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo - bus kotangentas.\frac(\pi)(2)+\pi z
, A
- kampui \alpha, išskyrus \pi z, z yra sveikas skaičius.
Ryšys tarp liestinės ir kotangento tg \alpha \cdot ctg \alpha=1Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo
\frac(\pi)(2) z . Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti. galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai. Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma yra lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma yra lygi duoto kampo sinuso atvirkštiniam kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, kuri skiriasi nuo \pi z.
Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes
1 pavyzdys
Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, gauname:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ši lygtis turi 2 sprendinius:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, taigi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Norėdami rasti tan \alpha, naudojame formulę Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės,
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2 pavyzdys
Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 duotas numeris \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, taigi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Norėdami rasti ctg \alpha , naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės.
secα skaito: „sekant alfa“. Tai yra kosinuso alfa atvirkštinė vertė.
cosecα parašyta: „cosecant alfa“. Tai yra sinuso alfa atvirkštinė vertė.
Pavyzdžiai. Supaprastinkite išraišką:
A) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ir) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Ir) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
A) 1 – sin 2 α = cos 2 α pagal formulę 1) ;
b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α taip pat pritaikė formulę 1) ;
V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Pirmiausia pritaikėme dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, o tada formulę 1) ;
G) sin 2 αcosα – cosα. Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Jūs, žinoma, jau pastebėjote, kad kadangi 1 – sin 2 α = cos 2 α, tai sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Lygiai taip pat, jei 1 – cos 2 α = sin 2 α, tai cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Turime: išraiškos sin 2 α kvadratą plius dvigubą sin 2 α sandaugą iš cos 2 α ir plius antrosios išraiškos cos 2 α kvadratą. Taikykime dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Toliau taikome formulę 1) . Gauname: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ir) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Taikykite formulę 1) , o tada formulė 2) .
Prisiminkite: tgα ∙ cosα = nuodėmėα.
Panašiai, naudojant formulę 3) galite gauti: ctgα ∙ nuodėmėα = cosα. Prisimink!
h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α (cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
Ir) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Pirmiausia iš skliaustų išėmėme bendrą koeficientą ir supaprastinome skliaustų turinį naudodami formulę 7).
Konvertuoti išraišką:
Pritaikėme formulę 7) ir gavo dviejų išraiškų sumos sandaugą nepilnu šių reiškinių skirtumo kvadratu – dviejų išraiškų kubų sumos formulę.
„Nuodėmės“ prašymas nukreipiamas čia; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. „Sine“ užklausa nukreipiama čia; žr. ir kitas reikšmes... Vikipedija
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Ryžiai. 1 Trigonometrinių funkcijų grafikai: sinusas, kosinusas, liestinė, sekantas, kosekantas, kotangentas Trigonometrinės funkcijos yra elementariųjų funkcijų rūšis. Paprastai tai yra sinusas (sin x), kosinusas (cos x), tangentas (tg x), kotangentas (ctg x), ... ... Vikipedija
Geodeziniai matavimai (XVII a.) ... Vikipedija
Trigonometrijoje įdegio pusės kampo formulė susieja įdegio pusę kampo su pilno kampo trigonometrinėmis funkcijomis: Šios formulės variantai yra tokie... Vikipedija
- (iš graikų kalbos τρίγονο (trikampis) ir graikų μετρειν (matas), tai yra trikampių matavimas) matematikos šaka, kurioje tiriamos trigonometrinės funkcijos ir jų pritaikymas geometrijai. Šis terminas pirmą kartą pasirodė 1595 m. kaip... ... Vikipedija
- (lot. solutio triangulorum) istorinis terminas, reiškiantis pagrindinės trigonometrinės problemos sprendimą: pasitelkus žinomus duomenis apie trikampį (kraštines, kampus ir kt.) rasti likusias jo charakteristikas. Trikampis gali būti... ... Vikipedijoje
Knygos
- Stalų komplektas. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 17 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm.
- Rinkinyje yra brošiūra su mokymo gairėmis mokytojams.
4 žvaigždutės
