Bendrosios frakcijų savybės. Pagrindinė algebrinės trupmenos savybė

Kalbant apie matematiką, negalima atsiminti trupmenų. Jų studijoms skiriama daug dėmesio ir laiko. Prisiminkite, kiek pavyzdžių turėjote išspręsti, kad išmoktumėte tam tikras darbo su trupmenomis taisykles, kaip įsiminėte ir pritaikėte pagrindinę trupmenos savybę. Kiek nervų išeikvota ieškant bendras vardiklis, ypač jei pavyzdžiuose buvo daugiau nei du terminai!

Prisiminkime, kas tai yra, ir šiek tiek atnaujinkime pagrindinę informaciją ir darbo su trupmenomis taisykles.

Trupmenų apibrėžimas

Pradėkime, ko gero, nuo svarbiausio dalyko – apibrėžimo. Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vienos ar kelių vieneto dalių. Trupmeninis skaičius rašomas kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Šiuo atveju viršutinė (arba pirmoji) vadinama skaitikliu, o apatinė (antra) vadinama vardikliu.

Verta paminėti, kad vardiklis rodo, į kiek dalių padalintas vienetas, o skaitiklis – paimtų akcijų ar dalių skaičių. Dažnai trupmenos, jei tinkamos, yra mažesnės nei viena.

Dabar pažvelkime į šių skaičių savybes ir pagrindines taisykles, kurios taikomos dirbant su jais. Tačiau prieš nagrinėdami tokią sąvoką kaip „pagrindinė racionalios trupmenos savybė“, pakalbėkime apie trupmenų tipus ir jų ypatybes.

Kas yra trupmenos?

Yra keletas tokių skaičių tipų. Visų pirma, tai yra įprasti ir dešimtainiai. Pirmieji atspindi įrašymo tipą, kurį jau nurodėme naudodami horizontalų arba pasvirąjį brūkšnį. Antrojo tipo trupmenos nurodomos naudojant vadinamąjį pozicinį žymėjimą, kai pirmiausia nurodoma sveikoji skaičiaus dalis, o po to, po kablelio, nurodoma trupmeninė dalis.

Čia verta paminėti, kad matematikoje tiek dešimtainis, tiek bendrosios trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė galioja tik antrajam variantui. Be to, paprastosios trupmenos skirstomos į įprastus ir netinkamus skaičius. Pirmiesiems skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokia trupmena yra mažesnė už vieną. Priešingai, netinkamoje trupmenoje skaitiklis yra didesnis už vardiklį, o pati trupmena yra didesnė už vienetą. Tokiu atveju iš jo galima išgauti sveikąjį skaičių. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik paprastas trupmenas.

Trupmenų savybės

Bet koks reiškinys, cheminis, fizinis ar matematinis, turi savo ypatybes ir savybes. Trupmeniniai skaičiai nebuvo išimtis. Jie turi vieną svarbią savybę, kurios pagalba su jais galima atlikti tam tikras operacijas. Kokia yra pagrindinė trupmenos savybė? Taisyklė teigia, kad jos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties racionalaus skaičiaus, gauname naują trupmeną, kurios reikšmė bus lygi pradinės reikšmei. Tai yra, padauginus dvi trupmeninio skaičiaus 3/6 dalis iš 2, gauname naują trupmeną 6/12, ir jos bus lygios.

Remdamiesi šia savybe, galite sumažinti trupmenas, taip pat pasirinkti bendrus tam tikros skaičių poros vardiklius.

Operacijos

Nors trupmenos atrodo sudėtingesnės, jas taip pat galima naudoti atliekant pagrindines matematines operacijas, tokias kaip sudėtis ir atimtis, daugyba ir padalijimas. Be to, yra toks specifinis veiksmas kaip frakcijų mažinimas. Natūralu, kad kiekvienas iš šių veiksmų atliekamas pagal tam tikras taisykles. Žinant šiuos dėsnius, dirbti su trupmenomis tampa lengviau, lengviau ir įdomiau. Štai kodėl toliau apsvarstysime pagrindines taisykles ir veiksmų algoritmą dirbant su tokiais skaičiais.

Tačiau prieš kalbėdami apie matematines operacijas, tokias kaip sudėjimas ir atėmimas, pažvelkime į tokią operaciją kaip sumažinimas iki bendro vardiklio. Čia praverčia žinios apie tai, kokia pagrindinė trupmenos savybė egzistuoja.

Bendras vardiklis

Norėdami sumažinti skaičių iki bendro vardiklio, pirmiausia turite rasti mažiausią bendrą dviejų vardklių kartotinį. Tai yra mažiausias skaičius, kuris vienu metu dalijasi iš abiejų vardklių be liekanos. Lengviausias būdas rasti LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį) yra užrašyti vieną vardiklį eilutėje, tada – antrą, ir rasti tarp jų atitinkantį skaičių. Jei LCM nerastas, tai yra, šie skaičiai neturi bendro kartotinio, turėtumėte juos padauginti, o gauta reikšmė bus laikoma LCM.

Taigi, mes radome LCM, dabar turime rasti papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, turite pakaitomis padalyti LCM į trupmenų vardiklius ir ant kiekvieno iš jų užrašyti gautą skaičių. Tada turėtumėte padauginti skaitiklį ir vardiklį iš gauto papildomo koeficiento ir parašyti rezultatus kaip naują trupmeną. Jei abejojate, ar gautas skaičius yra lygus ankstesniam, prisiminkite pagrindinę trupmenos savybę.

Papildymas

Dabar pereikime tiesiai prie matematinių operacijų su trupmeniniais skaičiais. Pradėkime nuo paprasčiausio. Yra keletas frakcijų pridėjimo parinkčių. Pirmuoju atveju abu skaičiai turi tą patį vardiklį. Tokiu atveju belieka sudėti skaitiklius. Tačiau vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tik tada atlikti sudėjimą. Mes aptarėme, kaip tai padaryti, šiek tiek aukščiau. Šioje situacijoje pravers pagrindinė trupmenos savybė. Taisyklė leis suvesti skaičius į bendrą vardiklį. Vertė niekaip nepasikeis.

Arba gali atsitikti taip, kad frakcija sumaišoma. Tada pirmiausia turėtumėte sudėti visas dalis, o tada – trupmenines.

Daugyba

Nereikalauja jokių triukų, ir norint atlikti šis veiksmas, nebūtina žinoti pagrindinės trupmenos savybės. Pakanka iš pradžių padauginti skaitiklius ir vardiklius. Šiuo atveju skaitiklių sandauga taps nauju skaitikliu, o vardikliai – nauju vardikliu. Kaip matote, nieko sudėtingo.

Vienintelis dalykas, kurio iš jūsų reikalaujama, yra daugybos lentelių išmanymas, taip pat atidumas. Be to, gavę rezultatą, būtinai turėtumėte patikrinti, ar šį skaičių galima sumažinti, ar ne. Apie tai, kaip sumažinti trupmenas, kalbėsime šiek tiek vėliau.

Atimtis

Atlikdami turėtumėte vadovautis tomis pačiomis taisyklėmis, kaip ir pridedant. Taigi, esant skaičiams su tuo pačiu vardikliu, pakanka atimti poskyrio skaitiklį iš minuend skaitiklio. Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tada atlikti šią operaciją. Kaip ir papildomai, turėsite naudoti pagrindinę nuosavybę algebrinė trupmena, taip pat įgūdžiai ieškant LCM ir bendrų trupmenų faktorių.

Padalinys

Ir paskutinė, įdomiausia operacija dirbant su tokiais skaičiais yra padalijimas. Tai gana paprasta ir nesukelia jokių ypatingų sunkumų net tiems, kurie mažai supranta, kaip dirbti su trupmenomis, ypač sudėti ir atimti. Dalinant galioja ta pati taisyklė kaip ir dauginant iš atvirkštinės trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė, kaip ir daugybos atveju, šiai operacijai nebus naudojama. Pažiūrėkime atidžiau.

Dalijant skaičius, dividendas išlieka nepakitęs. Daliklio trupmena virsta savo reciprokine, tai yra, skaitiklis ir vardiklis keičiasi vietomis. Po to skaičiai dauginami vienas su kitu.

Sumažinimas

Taigi, mes jau išnagrinėjome trupmenų apibrėžimą ir struktūrą, jų tipus, operacijų su šiais skaičiais taisykles ir išsiaiškinome pagrindinę algebrinės trupmenos savybę. Dabar pakalbėkime apie tokią operaciją kaip sumažinimas. Trupmenos sumažinimas yra jos konvertavimo procesas – skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš to paties skaičiaus. Taigi, frakcija sumažinama nekeičiant jos savybių.

Paprastai atliekant matematinį veiksmą reikia atidžiai pažvelgti į gautą rezultatą ir išsiaiškinti, ar galima gautą trupmeną sumažinti, ar ne. Atminkite, kad galutiniame rezultate visada yra trupmeninis skaičius, kurio nereikia mažinti.

Kitos operacijos

Galiausiai pažymime, kad neišvardinome visų operacijų su trupmeniniais skaičiais, paminėjome tik žinomiausias ir būtiniausias. Trupmenas taip pat galima lyginti, konvertuoti į dešimtaines dalis ir atvirkščiai. Tačiau šiame straipsnyje mes nenagrinėjome šių operacijų, nes matematikoje jos atliekamos daug rečiau nei tos, kurias pateikėme aukščiau.

Išvados

Kalbėjomės apie trupmeninius skaičius ir operacijas su jais. Mes taip pat išnagrinėjome pagrindinę savybę. Pateikėme tik žinomiausias ir naudojamas taisykles bei davėme pačius svarbiausius, mūsų nuomone, patarimus.

Šis straipsnis skirtas atnaujinti pamirštą informaciją apie trupmenas, o ne suteikti naujos informacijos ir užpildyti galvą begale taisyklių ir formulių, kurios greičiausiai niekada jums nebus naudingos.

Tikimės, kad straipsnyje pateikta medžiaga, paprasta ir glausta, jums buvo naudinga.

Vieneto trupmenos ir vaizduojama kaip \frac(a)(b).

Trupmenos skaitiklis (a)- skaičius, esantis virš trupmenos linijos ir rodantis akcijų, į kurias buvo padalintas vienetas, skaičių.

Trupmenos vardiklis (b)- skaičius, esantis po trupmenos eilute ir rodantis, į kiek dalių padalintas vienetas.

Slėpti Rodyti

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei ad=bc, tada dvi trupmenos \frac(a)(b) Ir \frac(c)(d) laikomi lygiaverčiais. Pavyzdžiui, trupmenos bus lygios \frac35 Ir \frac(9)(15), kadangi 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Ir \frac(24)(14), kadangi 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Iš trupmenų lygybės apibrėžimo išplaukia, kad trupmenos bus lygios \frac(a)(b) Ir \frac(am)(bm), kadangi a(bm)=b(am) yra aiškus natūraliųjų skaičių dauginimo asociatyvinių ir komutuojamųjų savybių panaudojimo pavyzdys.

Reiškia \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)– štai kaip atrodo pagrindinė trupmenos savybė.

Kitaip tariant, gauname trupmeną, lygią duotajai, pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę arba padalinę iš to paties natūraliojo skaičiaus.

Dalies sumažinimas yra trupmenos pakeitimo procesas, kai nauja trupmena yra lygi pradinei, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu.

Įprasta trupmenas mažinti pagal pagrindinę trupmenos savybę.

Pavyzdžiui, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(skaitiklis ir vardiklis dalijami iš skaičiaus 3); gautą trupmeną vėl galima sumažinti padalijus iš 5, tai yra \frac(15)(20)=\frac 34.

Neredukuojama trupmena yra formos dalis \frac 34, kur skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai. Pagrindinis trupmenos mažinimo tikslas yra padaryti frakciją neredukuojamą.

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Kaip pavyzdį paimkime dvi trupmenas: \frac(2)(3) Ir \frac(5)(8) su skirtingais vardikliais 3 ir 8. Norėdami šias trupmenas sujungti į bendrą vardiklį, pirmiausia padauginame trupmenos skaitiklį ir vardiklį \frac(2)(3) iki 8. Gauname tokį rezultatą: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Tada padauginame trupmenos skaitiklį ir vardiklį \frac(5)(8) iki 3. Rezultate gauname: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15) (24). Taigi pradinės trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio 24.

Aritmetiniai veiksmai su paprastosiomis trupmenomis

Paprastųjų frakcijų pridėjimas

a) Jei vardikliai yra vienodi, pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio, vardiklis paliekamas toks pat. Kaip matote pavyzdyje:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Kada skirtingus vardiklius Pirmiausia trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, o tada skaitikliai pridedami pagal a taisyklę:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Trupmenų atėmimas

a) Jei vardikliai yra vienodi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį, vardiklį palikdami tą patį:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jei trupmenų vardikliai skiriasi, tai pirmiausia trupmenos sujungiamos į bendrą vardiklį, o po to veiksmai kartojami kaip nurodyta a punkte.

Paprastųjų trupmenų dauginimas

Dauginant trupmenas laikomasi šios taisyklės:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

tai yra, jie daugina skaitiklius ir vardiklius atskirai.

Pavyzdžiui:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Dalijimosi trupmenos

Frakcijos skirstomos taip:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

tai yra trupmena \frac(a)(b) padauginta iš trupmenos \frac(d)(c).

Pavyzdys: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Abipusiai skaičiai

Jei ab=1 , tai skaičius b yra abipusis skaičius už skaičių a.

Pavyzdys: skaičiaus 9 atvirkštinė vertė yra \frac(1)(9), nes 9\cdot\frac(1)(9)=1, skaičiui 5 - \frac(1)(5), nes 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Dešimtainės

Dešimtainė vadinama tinkama trupmena, kurios vardiklis yra 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Pavyzdžiui: \frac(6)(10)=0,6;\entarpas \frac(44)(1000)=0,044.

Taip pat rašomi ir netaisyklingi skaičiai, kurių vardiklis yra 10^n, arba mišrūs skaičiai.

Pavyzdžiui: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Bet kuri paprastoji trupmena, kurios vardiklis yra tam tikros galios 10 daliklis, vaizduojama kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys: 5 yra 100 daliklis, taigi tai trupmena \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmetinės operacijos dešimtainiais skaičiais

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Norėdami pridėti du po kablelio, turite jas išdėstyti taip, kad vienas po kito būtų vienodi skaitmenys, o po kableliu – kablelis, o tada trupmenas sudėti kaip paprastus skaičius.

Dešimtainių skaičių atėmimas

Tai atliekama taip pat, kaip ir pridėjimas.

Dešimtainių skaičių dauginimas

Dauginant dešimtainius skaičius, pakanka padauginti pateiktus skaičius, nekreipiant dėmesio į kablelius (kaip natūralius skaičius), o gautame atsakyme kablelis dešinėje atskiria tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio abiejuose veiksniuose. iš viso.

2,7 padauginkime iš 1,3. Turime 27 \cdot 13=351 . Du skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu (pirmasis ir antrasis skaičiai turi vieną skaitmenį po kablelio; 1+1=2). Dėl to gauname 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Jei gautame rezultate yra mažiau skaitmenų, nei reikia atskirti kableliu, trūkstami nuliai rašomi priešais, pavyzdžiui:

Norėdami padauginti iš 10, 100, 1000, dešimtainį kablelį reikia perkelti 1, 2, 3 skaitmenimis į dešinę (jei reikia, tam tikras skaičius nulių priskiriamas dešinėje).

Pavyzdžiui: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.

Dešimtainis padalijimas

Dešimtainės trupmenos dalijimas iš natūraliojo skaičiaus atliekamas taip pat, kaip natūralusis skaičius dalijamas iš natūraliojo skaičiaus. Kablelis dalinyje dedamas užbaigus visos dalies padalijimą.

Jei sveikoji dividendo dalis mažiau nei daliklis, tada atsakymas yra nulis sveikųjų skaičių, pavyzdžiui:

Pažiūrėkime, kaip padalinti dešimtainį skaičių iš kablelio. Tarkime, kad reikia padalyti 2,576 iš 1,12. Pirmiausia padauginkime trupmenos dividendą ir daliklį iš 100, tai yra, perkelkime dešimtainį tašką į dešinę dividende ir padalinkime iš tiek skaitmenų po kablelio, kiek yra daliklyje po kablelio (šiame pavyzdyje , du). Tada reikia padalyti trupmeną 257,6 iš natūraliojo skaičiaus 112, tai yra, problema sumažinama iki jau nagrinėjamo atvejo:

Pasitaiko, kad dalijant vieną skaičių iš kito ne visada gaunama galutinė dešimtainė trupmena. Rezultatas yra begalinė dešimtainė trupmena. Tokiais atvejais pereiname prie paprastųjų trupmenų.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Nuo mokyklos algebros kurso pereiname prie specifikos. Šiame straipsnyje mes išsamiai išnagrinėsime specialų tipą racionalios išraiškos – racionalios trupmenos, taip pat apsvarstykite, kokia charakteristika yra identiška racionalios trupmenos konversijos vykti.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad racionaliosios trupmenos ta prasme, kuria jas apibrėžiame toliau, kai kuriuose algebros vadovėliuose vadinamos algebrinėmis trupmenomis. Tai yra, šiame straipsnyje racionaliąsias ir algebrines trupmenas suprasime kaip tą patį.

Kaip įprasta, pradėkime nuo apibrėžimo ir pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie racionaliosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį ir trupmenos narių ženklų keitimą. Po to pažiūrėsime, kaip sumažinti trupmenas. Galiausiai pažiūrėkime, kaip pateikti racionaliąją trupmeną kelių trupmenų sumą. Visą informaciją pateiksime su pavyzdžiais detalius aprašymus sprendimus.

Puslapio naršymas.

Racionaliųjų trupmenų apibrėžimas ir pavyzdžiai

Racionaliosios trupmenos tiriamos 8 klasės algebros pamokose. Naudosime racionaliosios trupmenos apibrėžimą, kurį 8 klasei pateikia Yu N. Makarychev ir kt.

IN šis apibrėžimas nenurodyta, ar racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio daugianariai turi būti daugianariai standartinis vaizdas ar ne. Todėl manysime, kad racionaliųjų trupmenų žymėjimuose gali būti ir standartinių, ir nestandartinių polinomų.

Štai keletas racionaliųjų trupmenų pavyzdžiai. Taigi, x/8 ir - racionalios trupmenos. Ir trupmenomis ir neatitinka pateikto racionaliosios trupmenos apibrėžimo, nes pirmajame iš jų skaitiklyje nėra daugianario, o antrajame ir skaitiklyje, ir vardiklyje yra išraiškų, kurios nėra daugianario.

Racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio konvertavimas

Bet kurios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra savarankiškos matematinės išraiškos racionaliųjų trupmenų atveju, tai yra daugianariai, mononomai ir skaičiai; Todėl identiškas transformacijas galima atlikti su racionaliosios trupmenos skaitikliu ir vardikliu, kaip ir su bet kuria išraiška. Kitaip tariant, išraiška racionaliosios trupmenos skaitiklyje gali būti pakeista identiška išraiška, kaip ir vardiklis.

Galite atlikti identiškas transformacijas racionaliosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Pavyzdžiui, skaitiklyje galite grupuoti ir sumažinti panašius terminus, o vardiklyje kelių skaičių sandaugą galite pakeisti jos reikšme. O kadangi racionaliosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra polinomai, tai su jais galima atlikti daugianariams būdingas transformacijas, pavyzdžiui, redukciją į standartinę formą arba atvaizdavimą sandaugos forma.

Kad būtų aiškumo, panagrinėkime kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Konvertuoti racionaliąją trupmeną kad skaitiklyje būtų standartinės formos daugianario, o vardiklyje – daugianario sandauga.

Sprendimas.

Racionaliųjų trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio daugiausia naudojamas racionaliųjų trupmenų pridėjimui ir atėmimui.

Ženklų keitimas prieš trupmeną, taip pat jos skaitiklyje ir vardiklyje

Pagrindine trupmenos savybe galima pakeisti trupmenos narių ženklus. Iš tiesų, racionalios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimas iš -1 prilygsta jų ženklų keitimui, o rezultatas yra trupmena, identiška duotajai. Šią transformaciją tenka naudoti gana dažnai dirbant su racionaliosiomis trupmenomis.

Taigi, jei vienu metu pakeisite trupmenos skaitiklio ir vardiklio ženklus, gausite trupmeną, lygią pradinei. Į šį teiginį atsako lygybė.

Pateikime pavyzdį. Racionaliąją trupmeną galima pakeisti identiškai lygia dalimi su pakeistais formos skaitiklio ir vardiklio ženklais.

Su trupmenomis galite atlikti kitą identišką transformaciją, kurioje pasikeičia arba skaitiklio, arba vardiklio ženklas. Nurodykime atitinkamą taisyklę. Jei trupmenos ženklą pakeisite kartu su skaitiklio ar vardiklio ženklu, gausite trupmeną, kuri yra identiška pradinei. Rašytinis pareiškimas atitinka lygybes ir .

Įrodyti šias lygybes nėra sunku. Įrodymas pagrįstas skaičių daugybos savybėmis. Įrodykime pirmąjį iš jų: . Naudojant panašias transformacijas, įrodoma lygybė.

Pavyzdžiui, trupmeną galima pakeisti išraiška arba.

Norėdami užbaigti šį klausimą, pateikiame dar dvi naudingas lygybes ir . Tai yra, jei pakeisite tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą, trupmena pakeis savo ženklą. Pavyzdžiui, Ir .

Svarstomos transformacijos, leidžiančios pakeisti trupmenos narių ženklą, dažnai naudojamos transformuojant trupmenines racionaliąsias išraiškas.

Racionaliųjų trupmenų mažinimas

Ši racionaliųjų trupmenų transformacija, vadinama racionaliųjų trupmenų redukcija, yra pagrįsta ta pačia pagrindine trupmenos savybe. Ši transformacija atitinka lygybę , kur a, b ir c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis.

Iš aukščiau pateiktos lygybės tampa aišku, kad racionaliosios trupmenos sumažinimas reiškia, kad jos skaitiklyje ir vardiklyje atsisakoma bendro veiksnio.

Pavyzdys.

Atšaukti racionaliąją trupmeną.

Sprendimas.

Iš karto matomas bendras faktorius 2, juo sumažinkime (rašant patogu nubraukti bendruosius veiksnius, kuriais mažinami). Turime . Kadangi x 2 =x x ir y 7 =y 3 y 4 (jei reikia, žr.), aišku, kad x yra bendras gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas, kaip ir y 3. Sumažinkime pagal šiuos veiksnius: . Tai užbaigia sumažinimą.

Aukščiau mes atlikome racionaliųjų frakcijų mažinimą nuosekliai. Arba buvo galima sumažinti sumažinimą vienu žingsniu, iškart sumažinant frakciją 2 x y 3. Šiuo atveju sprendimas atrodytų taip: .

Atsakymas:

.

Mažinant racionaliąsias trupmenas, pagrindinė problema yra ta, kad ne visada matomas bendras skaitiklio ir vardiklio veiksnys. Be to, jis ne visada egzistuoja. Norint rasti bendrą veiksnį arba patikrinti jo nebuvimą, reikia įskaičiuoti racionaliosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Jei nėra bendro koeficiento, tada pradinės racionalios frakcijos nereikia mažinti, kitaip redukuojama.

Mažinant racionalias trupmenas gali atsirasti įvairių niuansų. Pagrindinės subtilybės aptariamos straipsnyje mažinant algebrines trupmenas naudojant pavyzdžius ir išsamiai.

Baigdami pokalbį apie racionaliųjų trupmenų mažinimą, pastebime, kad ši transformacija yra identiška, o pagrindinis sunkumas ją įgyvendinant yra daugianario faktoriaus skaitiklyje ir vardikliuose.

Racionaliosios trupmenos vaizdavimas trupmenų suma

Gana specifinis, bet kai kuriais atvejais labai naudingas yra racionaliosios trupmenos transformacija, kurią sudaro kelių trupmenų suma arba visos išraiškos ir trupmenos suma.

Racionalioji trupmena, kurios skaitiklyje yra daugianaris, vaizduojantis kelių vienanarių sumą, visada gali būti užrašoma kaip trupmenų su tais pačiais vardikliais suma, kurios skaitikliuose yra atitinkami vienanaliai. Pavyzdžiui, . Šis vaizdavimas paaiškinamas algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykle.

Apskritai, bet kuri racionali trupmena gali būti išreikšta kaip trupmenų suma įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trupmena a/b gali būti pavaizduota kaip dviejų trupmenų suma – savavališka trupmena c/d ir trupmena, lygi skirtumui tarp trupmenų a/b ir c/d. Šis teiginys yra teisingas, nes galioja lygybė . Pavyzdžiui, racionalioji trupmena gali būti pavaizduota kaip trupmenų suma įvairiais būdais: Įsivaizduokime pradinę trupmeną kaip sveikojo skaičiaus išraiškos ir trupmenos sumą. Padalinę skaitiklį iš vardiklio su stulpeliu, gauname lygybę . Išraiškos n 3 +4 reikšmė bet kuriam sveikajam skaičiui n yra sveikasis skaičius. Ir trupmenos reikšmė yra sveikas skaičius tada ir tik tada, kai jos vardiklis yra 1, −1, 3 arba −3. Šios reikšmės atitinka reikšmes n=3, n=1, n=5 ir n=−1.

Atsakymas:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 13 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukštesnis mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Tirdami paprastąsias trupmenas susiduriame su pagrindinių trupmenos savybių sąvokomis. Norint išspręsti pavyzdžius su paprastosiomis trupmenomis, būtina supaprastinta formuluotė. Šiame straipsnyje aptariamos algebrinės trupmenos ir joms taikomos pagrindinės savybės, kurios bus suformuluotos su jos taikymo srities pavyzdžiais.

Formuluotė ir pagrindimas

Pagrindinė trupmenos savybė yra tokia:

1 apibrėžimas

Vienu metu skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė lieka nepakitusi.

Tai yra, gauname, kad a · m b · m = a b ir a: m b: m = a b yra lygiaverčiai, kur a b = a · m b · m ir a b = a: m b: m laikomi teisingais. Reikšmės a, b, m yra kai kurie natūralieji skaičiai.

Skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš skaičiaus gali būti pavaizduotas kaip a · m b · m = a b . Tai panašu į 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 pavyzdžio sprendimą. Dalinant naudojama a formos lygybė: m b: m = a b, tada 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Jis taip pat gali būti pavaizduotas forma a · m b · m = a b, tai yra, 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Tai yra, pagrindinė trupmenos savybė a · m b · m = a b ir a b = a · m b · m bus išsamiai nagrinėjama priešingai nei a: m b: m = a b ir a b = a: m b: m.

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra realūs skaičiai, tada turtas taikomas. Pirmiausia turite įrodyti parašytos nelygybės pagrįstumą visiems skaičiams. Tai yra, įrodykite a · m b · m = a b egzistavimą visiems realiesiems a , b , m , kur b ir m yra nulinės reikšmės, kad būtų išvengta padalijimo iš nulio.

1 įrodymas

Tegu formos a b trupmena laikoma įrašo z dalimi, kitaip tariant, a b = z, tada reikia įrodyti, kad a · m b · m atitinka z, tai yra įrodyti a · m b · m = z . Tada tai leis mums įrodyti lygybės a · m b · m = a b egzistavimą.

Trupmenos linija reiškia padalijimo ženklą. Taikydami ryšį su daugyba ir dalyba, gauname, kad iš a b = z po transformacijos gauname a = b · z. Pagal skaitinių nelygybių savybes abi nelygybės puses reikia padauginti iš kito skaičiaus nei nulis. Tada padauginame iš skaičiaus m, gauname, kad a · m = (b · z) · m. Pagal savybę turime teisę užrašyti išraišką forma a · m = (b · m) · z. Tai reiškia, kad iš apibrėžimo išplaukia, kad a b = z. Štai ir visas išraiškos a · m b · m = a b įrodymas.

Formos a · m b · m = a b ir a b = a · m b · m lygybės turi prasmę, kai vietoj a , b , m yra daugianariai, o vietoj b ir m jie yra nuliniai.

Pagrindinė algebrinės trupmenos savybė: vienu metu padauginus skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, gauname išraišką, identišką pradinei.

Savybė laikoma galiojančia, nes veiksmai su daugianariais atitinka veiksmus su skaičiais.

1 pavyzdys

Pažiūrėkime į trupmenos 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 pavyzdį. Galima konvertuoti į formą 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

Atliktas dauginimas iš daugianario x 2 + 2 · x · y. Lygiai taip pat pagrindinė savybė padeda atsikratyti x 2, esančios tam tikroje formos trupmenoje 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) iki formos 5 x + 5 x 3 + 3. Tai vadinama supaprastinimu.

Pagrindinę savybę galima užrašyti kaip išraiškas a · m b · m = a b ir a b = a · m b · m, kai a, b, m yra daugianariai arba įprasti kintamieji, o b ir m turi būti ne nulis.

Algebrinės trupmenos pagrindinės savybės taikymo sritys

Pagrindinės savybės taikymas aktualus redukuojant iki naujo vardiklio arba mažinant trupmeną.

2 apibrėžimas

Sumažinimas iki bendro vardiklio yra skaitiklio ir vardiklio padauginimas iš panašaus daugianario, kad gautumėte naują. Gauta trupmena yra lygi pradinei.

Tai yra, formos x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 trupmena, padauginta iš x 2 + 1 ir sumažinta iki bendro vardiklio (x + 1) · (x 2 + 1) ) gaus formą x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Atlikę operacijas su daugianariais matome, kad algebrinė trupmena paverčiama x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Sudedant ar atimant trupmenas taip pat atliekamas redukavimas iki bendro vardiklio. Jei pateikiami trupmeniniai koeficientai, pirmiausia reikia atlikti supaprastinimą, kuris supaprastins išvaizdą ir patį bendro vardiklio nustatymą. Pavyzdžiui, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Savybės taikymas mažinant trupmenas atliekamas 2 etapais: skaitiklio ir vardiklio skaidymas į veiksnius, siekiant rasti bendrą m, o tada pereinama prie trupmenos tipo a b, remiantis a · m b · formos lygybe. m = a b.

Jei formos 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 trupmena po išplėtimo transformuojama į x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, akivaizdu, kad bendrasis daugiklis bus yra daugianario 4 x 2 − y. Tada bus galima sumažinti frakciją pagal pagrindinę jos savybę. Mes tai gauname

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Trupmena supaprastinama, tada pakeičiant reikšmes reikės atlikti daug mažiau veiksmų nei pakeičiant į pradinį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Turėti pagrindinė trupmenos savybė:

1 pastaba

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba padalinami iš to paties natūraliojo skaičiaus, rezultatas bus trupmena, lygi pradiniam skaičiui:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

1 pavyzdys

Pateikiame kvadratą, padalytą į 4 USD lygias dalis. Jei nuspalvinsime $2$ iš $4$ dalių, gausime $\frac(2)(4)$ užtamsinimą visame kvadrate. Pažvelgus į šią aikštę akivaizdu, kad lygiai pusė jos užtamsinta, t.y. $(1)(2)$. Taigi gauname $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Suskaičiuokime skaičius $2$ ir $4$:

Pakeiskime šiuos išplėtimus lygybe:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

2 pavyzdys

Ar įmanoma gauti vienodą trupmeną, jei tam tikros trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš 18 USD, o po to padalinami iš 3 USD?

Sprendimas.

Tegu duota kokia nors įprasta trupmena $\frac(a)(b)$. Pagal sąlygą šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis buvo padauginti iš $18$, gavome:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Pagal pagrindinę trupmenos savybę:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Taigi rezultatas buvo trupmena, lygi pradinei.

Atsakymas: Galite gauti trupmeną, lygią pradinei.

Pagrindinės trupmenos savybės taikymas

Pagrindinė trupmenos savybė dažniausiai naudojama:

• trupmenų konvertavimas į naują vardiklį:
• frakcijų mažinimas.

Trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio- duotosios trupmenos pakeitimas trupmena, kuri bus lygi jai, bet turi didesnį skaitiklį ir didesnį vardiklį. Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, todėl pagal pagrindinę trupmenos savybę gaunama trupmena, lygi pradinei, bet didesnė skaitiklis ir vardiklis.

Dalies sumažinimas- duotosios trupmenos pakeitimas trupmena, kuri bus lygi jai, bet turi mažesnį skaitiklį ir mažesnį vardiklį. Norėdami tai padaryti, trupmenos skaitiklis ir vardiklis padalijami iš teigiamo bendras daliklis skaitiklis ir vardiklis skiriasi nuo nulio, todėl pagal pagrindinę trupmenos savybę gaunama trupmena, lygi pradinei, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu.

Jei skaitiklį ir vardiklį padalinsime (sumažinsime) iš jų gcd, rezultatas bus toks neredukuojama pradinės trupmenos forma.

Mažinančios frakcijos

Kaip žinote, paprastosios trupmenos skirstomos į susitraukiantis Ir nesumažinamas.

Norėdami sumažinti trupmeną, turite padalyti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš jų teigiamo bendro daliklio, kuris nėra nulis. Kai trupmena sumažinama, gaunama nauja trupmena su mažesniu skaitikliu ir vardikliu, kuris savo pagrindinėmis savybėmis yra lygus pradinei.

3 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną $\frac(15)(25)$.

Sprendimas.

Sumažinkime trupmeną 5 USD (jos skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš 5 USD):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Atsakymas: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Neredukuojamos trupmenos gavimas

Dažniausiai trupmena redukuojama, kad būtų gauta neredukuojama frakcija, lygi pradinei redukuotai frakcijai. Šį rezultatą galima pasiekti padalijus pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš jų gcd.

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ yra neredukuojama trupmena, nes Pagal gcd savybes tam tikros trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra pirminiai skaičiai.

GCD(a,b) yra didžiausias skaičius, iš kurio galima padalyti trupmenos $\frac(a)(b)$ skaitiklį ir vardiklį. Taigi, norint sumažinti trupmeną į neredukuojamą formą, jos skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš jų gcd.

2 pastaba

Trupmenų mažinimo taisyklė: 1. Raskite dviejų skaičių, esančių trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje, gcd. 2. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš rastos gcd.

4 pavyzdys

Sumažinkite dalį $6/36$ iki jos neredukuojamos formos.

Sprendimas.

Sumažinkime šią trupmeną GCD$(6.36)=6$, nes 36 USD\div 6 = 6 USD. Mes gauname:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Atsakymas: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

Praktiškai frazė „sumažinti trupmeną“ reiškia, kad reikia sumažinti frakciją iki nesumažinamos formos.