Nebandysiu tavęs įtikinti, kad nerašytum sukčiavimo lapų. Rašyk! Įskaitant trigonometrijos sukčiavimo lapus. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kodėl cheat sheets yra naudingi. Ir čia yra informacija, kaip ne mokytis, bet kai ką prisiminti trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet Mes naudojame asociacijas įsiminimui!
1. Sudėjimo formulės:
Kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas.
Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jiems „viskas ne taip“, todėl ženklus „-“ keičia į „+“ ir atvirkščiai.
Sinusai - „mišinys“: sinusas-kosinusas, kosinusas-sinusas.
2. Sumos ir skirtumo formulės:
kosinusai visada „eina poromis“. Pridėjus du kosinusus - „koloboks“, gauname porą kosinusų - „koloboks“. O atėmus tikrai negausime kolobokų. Gauname porą sinusų. Taip pat su minusu priekyje.
Sinusai - „mišinys“ :
3. Produkto pavertimo suma ir skirtumu formulės.
Kada gauname kosinusų porą? Kai pridedame kosinusus. Štai kodėl
Kada gausime porą sinusų? Atimant kosinusus. Iš čia:
„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudedant, tiek atimant sinusus. Kas smagiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei jie prideda:
Pirmoje ir trečioje formulėse suma yra skliausteliuose. Pakeitus terminų vietas, suma nekeičiama. Tvarka svarbi tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau atsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą
ir antra – suma
Sukčiavimo lapai kišenėje suteikia ramybės: jei pamiršite formulę, galite ją nukopijuoti. Ir jie suteikia jums pasitikėjimo: jei nepasinaudosite cheat sheet, galite lengvai prisiminti formules.
Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.
Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvestį ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.
Puslapio naršymas.
Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso
Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus 
. Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis iš ir atitinkamai, ir lygybes 
Ir 
išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime tolesnėse pastraipose.
Tai yra, ypač domina lygybė, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.
Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai trigonometrinių išraiškų konvertavimas. Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne mažiau dažnai pagrindinė trigonometrinė tapatybė naudojama atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.
Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą
Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno matymo kampo sinusu ir kosinusu ir 
iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, 
, o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty 
.
Dėl tokio tapatybių akivaizdumo ir Tangentas ir kotangentas dažnai apibrėžiami ne per abscisių ir ordinačių santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.
Apibendrinant šį punktą, pažymėtina, kad tapatybės ir vyksta visiems kampams, kuriais į juos įtraukti elementai trigonometrinės funkcijos prasmės. Taigi formulė galioja bet kuriai , išskyrus (kitaip vardiklis turės nulį, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
Dar akivaizdžiau trigonometrinė tapatybė nei ankstesni du, yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą . Akivaizdu, kad jis galioja bet kokiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.
Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur 
. Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Kadangi , Tai 
.
Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra .
Dviejų kampų sumos ir skirtumo kosinusas
Šiame skyriuje bus įrodytos šios dvi formulės:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Dviejų kampų sumos (skirtumo) kosinusas yra lygus šių kampų kosinusų sandaugai, atėmus (plius) šių kampų sinusų sandaugai.
Mums bus patogiau pradėti nuo (2) formulės įrodymo. Pateikimo paprastumo dėlei pirmiausia manykime, kad kampai α Ir β atitinka šias sąlygas:
1) kiekvienas iš šių kampų yra neneigiamas ir mažesnis 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Tegul teigiama 0x ašies dalis yra bendroji kampų pradžia α Ir β .
Šių kampų galines puses žymime atitinkamai 0A ir 0B. Aišku kampas α - β gali būti laikomas kampu, kuriuo pluoštą 0B reikia pasukti aplink tašką 0 prieš laikrodžio rodyklę, kad jo kryptis sutaptų su pluošto 0A kryptimi.
Ant spindulių 0A ir 0B pažymime taškus M ir N, esančius 1 atstumu nuo koordinačių 0 pradžios, kad 0M = 0N = 1.
x0y koordinačių sistemoje taškas M turi koordinates ( cos α, sin α), o taškas N yra koordinatės ( cos β, sin β). Todėl atstumo tarp jų kvadratas yra:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Skaičiuodami naudojome tapatybę
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Dabar apsvarstykite kitą koordinačių sistemą B0C, kuri gaunama kampu sukant 0x ir 0y ašis aplink tašką 0 prieš laikrodžio rodyklę. β .
Šioje koordinačių sistemoje taškas M turi koordinates (cos ( α - β ), nuodėmė ( α - β )), o taškas yra N koordinatė (1,0). Todėl atstumo tarp jų kvadratas yra:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Tačiau atstumas tarp taškų M ir N nepriklauso nuo to, kurios koordinačių sistemos atžvilgiu mes svarstome šiuos taškus. Štai kodėl
d 1 2 = d 2 2
2 (1 – cos α cos β – sin α sin β) = 2 .
Čia seka (2) formulė.
Dabar turėtume prisiminti tuos du apribojimus, kuriuos nustatėme dėl kampų pateikimo paprastumo α Ir β .
Reikalavimas, kad kiekvienas iš kampų α Ir β buvo neneigiamas, nelabai reikšmingas. Galų gale, prie bet kurio iš šių kampų galite pridėti kampą, kuris yra 2 kartotinis, o tai neturės įtakos (2) formulės galiojimui. Taip pat iš kiekvieno iš šių kampų galite atimti kampą, kuris yra kartotinis 2π. Todėl galime manyti, kad 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Būklė taip pat pasirodo nereikšminga α > β . Tikrai, jei α < β , Tai β >α ; todėl atsižvelgiant į funkcijos paritetą cos X , gauname:
cos (α – β) = cos (β – α) = cos β cos α + sin β sin α,
kuri iš esmės sutampa su (2) formule. Taigi formulė
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tinka visais kampais α Ir β . Visų pirma, pakeičiant jame β įjungta - β ir atsižvelgiant į tai, kad funkcija cosX yra lygus, ir funkcija nuodėmėX keista, gauname:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
kuri įrodo (1) formulę.
Taigi, formulės (1) ir (2) yra įrodytos.
Pavyzdžiai.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Pratimai
1 . Apskaičiuokite nenaudodami trigonometrinių lentelių:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Supaprastinkite išraiškas:
a). cos ( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) nuodėmė ( α -24°).
V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α + tg α nuodėmė 2 α .
3 . Apskaičiuokite :
a) cos(α – β), Jei
cos α = - 2 / 5 , nuodėmė β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), jei cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Rasti cos(α + β) ir cos (α - β) ,jei žinoma, kad nuodėmė α = 7/25, cos β = - 5/13 ir abu kampai ( α Ir β ) baigiasi tame pačiame ketvirtyje.
5 .Apskaičiuokite:
A). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arckos (- 2/3)] .
V). cos [ arctan 1/2 + arccos (- 2) ]
Trigonometrinės tapatybės- tai lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, leidžiančios rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .
Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Lietinės ir kotangento radimas naudojant sinusą ir kosinusą
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite į tai, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas.
Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z, z yra sveikas skaičius.
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.
Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma yra lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma yra lygi duoto kampo sinuso atvirkštiniam kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, kuri skiriasi nuo \pi z.
Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes
1 pavyzdys
Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, gauname:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ši lygtis turi 2 sprendinius:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, taigi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Norėdami rasti tan \alpha, naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2 pavyzdys
Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 duotas numeris \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, taigi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Norėdami rasti ctg \alpha , naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Įkeliama...
